人教版初三数学实际问题与一元二次方程复习课
3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季 度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率 为x,根据题意得方程为( )
探究2
两年前生产一吨甲种药品的成本是5000 元, 生产一吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技 术的进步,现代生产一吨甲种药品的成本是3000 元,生产一吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品 成本的年平均下降率较大? 分析 显然乙种药品成本的年平均下降额较大 ,是 分析:: 甲种药品成本的年平均下降额________ 否它的年平均下降率也较大 ?请大家计算看看 . 乙种药品成本的年平均下降额 ________ 显然 ,_______ 种药品成本的年平均下降额较大 . 思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额 但 :年平均下降额 (元)不等于年平均下降率(百分 较大的药品 ,它的成本下降率一定也较大吗 ? 比 ) 应该怎样全面地比较几个对象的变化状况?
解得
变式:
3 3 x1 2
3 3 x2 ( 舍去) 2
左右边衬的宽度为:
故上下边衬的宽度为:
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是 一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边 衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、 右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也 为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为 9:7
a(1 x) A
n
其中增长取“+”,降低取“－”
试一试
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨. 设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意, 列出方程为 __________________ . 2．某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降 低成本的百分数为x,可列方程_____________.
例
D
Q C
A P 问(1)P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡ B
D
Q C
分析:四边形PBCQ的形状是梯形,上下底,高 各是多少?
• .如图，ΔABC中，∠B=90º ，点P从点A开始
沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点 B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. • （1）如果点P、Q分别从点A、B同时出发， 经过几秒钟，ΔPBQ的面积等于8cm2？
例
2003年我国政府工作报告指出:为解决农民负担 过重问题,在近两年的税费政策改革中,我国政府采取 了一系列政策措施,2001年中央财政用于支持这项改革 试点的资金约为180亿元,预计到2003年将到达304.2亿 元,求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革 资金的平均增长率? 分析:设这两年的平均增长率为x,
有多少人患流感 x+1? 人患了流感. 第一轮后共有 ________
第二轮的传染源
n 第二轮:这些人中的每个人都又传染了 x人,
2 1+x+x(x+1)=(x+1) 第二轮后共有____________________人患了流感.
(1 x)
列方程得
1+x+x(x+1)=121
x=10;x=-12
合作帮助
交流展示
变式 练习： 设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利 用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1） （2）
( x1 1)(x2 1)
x2 x1 x1 x2
（３）（x1- x2）2
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中 央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周 的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽, 左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm， 7xcm 3 9x 7x 27 21 依题意得 4 27
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 X
得 x1=20, x2=5
当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm
30cm
从一块长300厘米,宽200厘米的铁片中间截 去一个小长方形,使剩下的长方形方框四周的宽 度都一样,并且小长方形的面积是原来面积的一 半,求这个宽(精确到1厘米)
根与系数关系的应用 （一）
例 1 ：不解方程，求下列方程两根 的和与两根的积各是多少？ （1）x2- 3x+1=0 ( 2)3x2- 2x=2
（3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
学习主题 数 学 活 动 六
根与系数关系的应用（三）
例3：利用根与系数的关系，求一元二次方 程
2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和（2）倒数 和；
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
3 (27 18 x)( 21 14 x) 27 21 4 63 3 解方程得 x 4
(以下同学们自己完成)
27
如图,已知A、B、C、D为矩 A 形的四个顶点,AB=16㎝,AD=6㎝,动 P 点P、Q分别从点A、C同时出发,点P 以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点 B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动. B 问:P、Q两点从出发开始几秒时,四边形 PBCQ的面积是33c㎡
2
b b 2 4ac x2 2a
b b 4ac b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a 4a 2
2 2 2 2
4ac c
2
4a 2
a
b x1 x2 a
c x1 x2 a
结论归纳，语言叙述。
2001年
2002 年
2003年
180
180(1+x)
2
180(1 x)
2
解:这两年的平均增长率为（以下大家完成）
类似地 这种增长率的问题在 实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或 降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则 它们的数量关系可表示为
某农场要建一个长方形的养鸡场， 鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三 边用40m的木栏围成。 （1）鸡场的面积能达到180m2吗？试 通过计算说明。 （2）鸡场的面积能达到250m2吗？为 什么？
列一元二次方程解应用题的一般步骤
1、审 2、设 3、列 4、解 5、检 6、答
列一元二次方程解决实际问题应注意什么？
第二课时:面积问题
探究3
在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四 周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽 2 为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm ，求这个 长方形框的框边宽。 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 X
30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0
在实际问题中找出数学模型（即把实际问题转化为数学问题）
证 明 过 程 利用求根公式证明；
2 b b 4ac ( b 4ac 0) x1 2a 2 2 b b 4 ac b b 4ac x1 x2 x1 2a 2a b b 2 4ac b b 2 4ac 2b b 2a 2a a
D Q A P B C
问题2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加利润， 商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每 件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫 应降价多少元？ 为尽快减少库存，以便资金周转， 则降价多少元？ （2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售 获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多 少元？(小组合作探究)
C
Q A B
P
• （2）如果点P、Q分别从点A、B同时出发， 并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点 Q到点C后又继续在CA边上前进，经过几 秒钟，ΔPCQ的面积等于12.6cm2？
C
Q A B
P
• 2.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm， BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始 向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时 出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）. 那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？
一传十,
十传百,
百传千千万
有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析 :设每轮传染中平均一个人传染了 x人 注意 :1,此类问题是传播问题. 2,计算结果要符合问题的实际意义 开始有一人患了流感 , 第一轮的传染源 . x+1 第一轮 :: 他传染了 x人,第一轮后共有______ 人患了流感. 思考 如果按照这样的传播速度 ,三轮后
数学人教版九年级上册《实际问题与一元二次方程,复习课》教案及实录
《实际问题与一元二次方程，复习课》教案武汉市第二十五中学，罗琪教学目标：一、知识与技能：1.会解一元二次方程应用题中的面积问题和利润问题；（基础要求，训练巩固）2. 熟悉掌握一元二次方程应用中的面积问题的多种情况；（提高难度，发散思维）3. 能分析了解到一元二次方程应用中的面积问题和利润问题的本质；（开拓思维，提升认知高度）4. 能自己根据条件编应用题。
（加深难度，逆向思维）二、过程与方法学生通过顺向思维解决问题、修改问题条件和逆向思维编撰问题的数学活动，自主探索、合作交流、展示讲解、探究讨论，发展数学思维，培养合作学习意识、动手、动脑习惯。
三、情感、态度与价值观在积极开放的数学活动中，培养学生独立思考意识、合作交流意识，并逐渐提高学生学习数学的自信和对数学学科的热爱。
学情分析：一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
本节课以一元二次方程解决实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
知识积累方面：学生之前已经进行了一周时间的一元二次方程的应用知识学习，有一定的知识积累，并做了一定数量的习题训练，为这节翻转课堂提供了必要的知识准备。
信息技术方面：在日常学习中，学生经常使用"洋葱数学网"“乐乐课题”等网络资源平台开展预习活动或巩固训练，使用电子白板等工具上台讲题，为这节翻转课堂学生的自主讲解环节和讨论环节奠定了基础。
使用信息技术情况：教师使用希沃一体机，武汉市教育云互动课堂系统，洋葱数学网络教学平台。
学生自带智能手机，使用洋葱数学网络学习平台，乐乐课堂网络学习平台，“家校帮”APP。
教学重点难点：1.能写出一元二次方程应用中的面积问题的多种情况，考察学生对面积问题掌握的广度，训练发散思维。
人教版九年级数学上册期末复习：一元二次方程实际应用(三)
人教版九年级数学上册期末复习：一元二次方程实际应用（三）1．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米．（1）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（2）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件．（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？3．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？4．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．5．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．（1）饲养场另一边BC＝米（用含x的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x的值．6．某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店每天的利润．（1）若每份套餐售价不超过10元．①试写出y与x的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？7．某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．8．现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的26名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？9．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价．如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件．如果超市平均每天要盈利1200元，每件羽绒服应降价多少元？10．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？参考答案1．解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得x2+16x＝60，即（x﹣6）（x﹣10）＝0．解得x1＝6，x2＝10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；（2）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由（1）知，﹣x2+16x＝70，即x2﹣16x+70＝0因为△＝（﹣16）2﹣4×1×70＝﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．2．解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，每天可以售出（20+5x），由题意，得（44﹣x）（20+5x）＝1600，即：（x﹣4）（x﹣36）＝0，解，得x1＝4，x2＝36，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为36，所以，若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价36元；（2）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元，由题意，得y＝（44﹣x）（20+5x）＝﹣5（x﹣20）2+2880，当x＝20元时，该函数取得最大值2880元，3．解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，＝，解得：x＝1200，经检验x＝1200是原方程的根，则x+300＝1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）＝3200，解得：x＝1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．4．解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据题意得：x（40﹣2x）＝200，解得：x1＝x2＝10，∴40﹣2x＝20．答：鸡场平行于墙的一边长为20m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据题意得：y（40﹣2y）＝250，整理得：y2﹣20y+125＝0．∵△＝（﹣20）2﹣4×1×125＝﹣100＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．5．解：（1）由题意得：（48﹣3x）米．故答案是：（48﹣3x）；（2）由题意得：x（48﹣3x）＝180解得x1＝6，x2＝106．解：（1）①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10）．②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，又∵5＜x≤10，∴8.5≤x≤10．∵且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应为9元或10元．（2）能，理由：依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，解得：x1＝11，x2＝14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．故该套餐售价应定为11元．7．解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，解得：z＝120，答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，整理得：x2+8x﹣20＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣10，此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）根据题意得：1≤a≤6．8．解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：10×（1+x）2＝12.1，解得：x1＝10%，x2＝﹣210%．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），26×0.6＝15.6（万件）．∵15.6＞13.31，∴该公司现有的26名快递投递业务员能完成今年6月份的快递投递任务．9．解：设每件羽绒服应降价x元，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10；x2＝20．答：每件羽绒服应降价10元或20元．10．解：设售价定为x元，[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝10000，整理，得x2﹣130x+4000＝0，解得：x1＝50，x2＝80（舍去）．600﹣10（x﹣40）＝600﹣10×（50﹣40）＝500（个）．答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个．11/ 11。
2022年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时教案新版新人教版
21.3 实际问题与一元二次方程(2)教学内容建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．教学目标掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 重难点关键1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的题目．问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是（0.3-x ）元，总件数应是（500+×100） 解：设每张贺年卡应降价x 元则（0.3-x ）（500+）=120 解得：x=0.1答：每张贺年卡应降价0.1元．二、探索新知刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系．例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；，从这0.1x 1000.1x 0.30.751000.10.2534=≈些数目看，好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．（2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y 元，则：（0.75-y ）（200+×34）=120 即（-y ）（200+136y ）=120 整理：得68y 2+49y-15=0∴y ≈-0.98（不符题意，应舍去）y ≈0.23元答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律． （学生活动）例2．两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为5000（1-x ）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x ）元．依题意，得5000（1-x ）2=3000解得：x 1≈0.225，x 2≈1.775（不合题意，舍去）设乙种药品成本的平均下降率为y ．则：6000（1-y ）2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得：y ≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大．因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等．三、巩固练习新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?四、应用拓展例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，0.25y 34一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg ．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg ，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg ）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x 2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg ，定价为x 元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x 1=80，x 2=60当x 1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg ，满足题意．当x 2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg ，（舍去）．五、归纳小结本节课应掌握：建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．六、布置作业1．教材复习巩固2 综合运用7、9．2．选用作业设计：一、选择题1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A ．12人B ．18人C ．9人D ．10人2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x 增加到（x+10%），则x 是（）．A ．12%B ．15%C ．30%D ．50%3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．A ．600B ．604C ．595D ．605二、填空题1．一个产品原价为a 元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．3．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，则列出的方程是________．1000040三、综合提高题1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a （a>0）个成品，且每个车间每天都生产b （b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?答案：一、1．C 2．B 3．D二、1．2 2．1 3．（1-）2= 三、1．甲：设上升率为x ，则100（1+x ）2=121，x=10%乙：设上升率为y ，则200（1+y ）2=288，y=20%，那么乙商场年均利润的上升率大．2．设多种x 棵树，则（100+x ）（1000-2x ）=100×1000×（1+15.2%），整理，得：x 2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x 1=20，x 2=3803．（1）=a+2b 或 （2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．所以a+2b=，解得：a=4b 所以（a+2b ）÷b=6b ÷b==7.5（人） 所以至少要派8名检验员．4563x 28632222a b +⨯2253a b +⨯2103a b +4545304。
最新人教版九年级上册数学第21章一元二次方程专题4 实际问题与一元二次方程
二、面积问题 3. (2019徐州)如图D21-4-1，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm. 在其四角各剪去一个同样的正方形，然 后将四周突出部分折起，可制成 一个无盖长方体盒子. 当剪去正 方形的边长取何值时，所得长方 体盒子的侧面积为200 cm2？
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解：设剪去正方形的边长为x cm，则做成无盖长方体盒 子的底面长为(30-2x) cm，宽为(20-2x) cm，高为x cm. 依题意，得2×[(30-2x)+(20-2x)]x＝200. 解得x1＝ ，x2＝10. 当x＝10时，20-2x＝0，不合题意，舍去. 答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子 的侧面积为200 cm2.
解：设应邀请x支球队参加比赛. 由题意，得 x(x-1)＝28. 解得x1＝8，x2＝-7(不合题意，舍去). 答：应邀请8支球队参加比赛.
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8. 某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作
活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图D21-
4-4，甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆
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6. 某商场销售A，B两种新型小家电，A型每台进价40元， 售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A 型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元. (1)求4月份售出B型小家电至少多少台？ 解：(1)设4月份售出B型小家电x台，根据题意， 得(50-40)×40+(40-32)x≥800. 解得x≥50. 答：4月始运动到第二次相遇时，它们运动了多 少时间？
(3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半
圆的长度，
则 1 t2+ 3 t+4t＝21×3，
2
22.3实际问题与一元二次方程复习教案(新人教版九年级上)
22.3 实际问题与一元二次方程复习【教学任务分析】【教学环节安排】综合应用【分析】（1）经过2次降价，那么等量关系为：原价×（1-降低的百分率）2=现在的价格，把相关数值代入即可求解．（2）设三、四月份平均每月增长的百分率是x，60（1-10%）（1+x）2=91.26例题2西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?【分析】设售价定为x元/kg时，每天可盈利200元，则：由题意得：40(3)200(2)242000.1xx-⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦，化简得：-502x+275x-378=0，解之得：x1=2.8(舍去), x2=2.7，所以，售价定位2.7元/kg时，每天可盈利200元，此时售价降低了3-2.7=0.3（元/kg）.理解情况，以便在讲解中做到有的放矢.个别有困难的小组或个人，适当的点拨或帮助.充分讨论交流后，各小组展示自己的成果，教师认真听取，并给出肯定或纠正，然后教师根据情况讲解.两生板演过程，其他学生在练习本上完成.矫正补偿1.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握手66次，这次到会的人数是_______人.2.某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（）A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km3.某电脑公司2009年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40℅，该公司预计2011年经营总收入要达到2160万元，且计划从2009到2011年，每年经营总收入的增长率相同.问2010年经营总收入为多少万元？4.如图所示，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道，当矩形温室的长与宽为多少时，蔬菜种植区域的面积为288m2？5. 某海关缉私艇发现在正北方30海里的A处有一艘可疑船只测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截，试问经过多少时间能赶上？学生独立完成.教师巡视，了解学生完成的情况，及时的纠正和指导.学生举手回答每道题的答案，教师进行点评.对于在巡视中发现的较多的问题详解.完善整合1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．3. 列方程时：（1）注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系；（2）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致．教师总结利用一元二次方程解决实际问题的方法和规律，学生认真的听取，并做好笔记.。
最新人教版九年级数学上册《21.3 实际问题与一元二次方程 (第2课时)》优质教学课件
素养目标
2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实
际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学
问题的过程，提高数学应用意识．
1. 能正确列出关于增长率问题的一元二
次方程.
探究新知
知识点
有关增长/下降率的问题
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药
品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种
解得 x1≈0.5，x2≈-3.5（舍去）.
答:这个增长率是50%.
课堂小结
基数为a,平均增长/下降率为x
增长率
问题
增长(下降)
率问题
下降率
问题
第一次增长
a(1+x)
第二次增长
a(1+x)2
第n次增长
a(1+x)n
第一次下降
a(1－x)
第二次下降
a(1－x)2
第n次下降
a(1－x)n
a(1±x)n
D.720(1+x)2=500
课堂检测
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实
验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
2=8.
2（1+x）+2（1+x）
为
课堂检测
能力提升题
受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好
因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计：
精彩吧。
.
探究新知
【思考】为什么选择22.5％作为答案？比较两种药品
成本的年平均下降率.经过计算,你能得出什么结论?成
本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?
最新中考数学复习 实际问题与一元二次方程教案1 新人教版
师生行为
设计意图
一、复习引入 导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一 点题，板书课题. 元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨 论如何利用一元二次方程来解决实际问题.
二、探究新知
探究课本 30 页问题 1
联系曾经学习 过的方程应用 衔接本节内容， 明确本节课任 务
分析：设正方体的棱长是 xdm，则一个正方体的表面积是
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力. 3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
建立数学模型，找等量关系，列方程 找等量关系，列方程
教学过程设计
教学程序及教学内容
新旧知识，明确
我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实
共性.
际问题和解决问题的类型．
三、课堂训练
补充练习：
○1 ．一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，
因库存积压，•所以就按销售价的 70%出售，那么每台售价 为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C．（1+25%）（1-70%）a 元 D．（1+25%+70%）a 元 ○2 ．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为 了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过
多少？10 个呢？等量关系是什么？
探究课本 38 页问题
分析：
设物体经过 xs 落回地面，这时它离地面的高度是多
少？
淡化解方程，重
人教版 九年级数学 实际问题与一元二次方程讲义 (含解析)
第3讲实际问题与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们重点学习根与系数的关系以及一元二次方程在实际问题中的应用，能够熟练使用根与系数的关系进行代数式的求解，对常见的一元二次方程的应用有一定的了解，本节课的难点在于实际问题中的一元二次方程的构造，是中学阶段关于应用题部分常考的一个知识点，希望同学们认真学习，为后面的二次函数的学习奠定良好的基础。
知识梳理讲解用时：25分钟根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立。
课堂精讲精练【例题1】已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，△﹣n=﹣2，即n=2，△x1x2=n﹣3=2﹣3=﹣1．讲解用时：2分钟解题思路：利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可。
教学建议：熟练运用根与系数的关系。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潜江模拟年份：2018 【练习1】设x1、x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，则x12+x1x2+x2-2=。
【答案】﹣1【解析】本题主要考查了根与系数的关系，△x1、x2是方程x2﹣x﹣2017=0的两实数根，△x12﹣x1﹣2017=0，x1+x2=1，x1•x2=﹣2017，△x12=x1+2017，△x12+x1x2+x2﹣2=x1+2017+x1x2+x2﹣2=x1+x2+x1x2+2015=1﹣2017+2015=﹣1．讲解用时：5分钟解题思路：根据一元二次方程的解的定义得到：x 12=x 1+2017，结合根与系数的关系得出与系数的关系得出x 1+x 2=a b ，x 1•x 2=ac ，代入求出即可。
最新中考数学复习 实际问题与一元二次方程教案2 新人教版
扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通 题的做题技巧.
一类题型
性，在解题时有规律可循.
桑水
课本 47 页探究 3
分析：
○1 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含 教师提出问题，让学生
义？
结合画图独立理解并解
○2 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该 答问题，培养学生对几
为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现
实世界的模型作用.
2.培养学生的阅读能力与分析能力.
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的
数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，
拓展：课本思考.四轮呢？
师 组 织 学 生 合 作 交 没有痊愈，仍
归纳：
流，达到共识，
在继续传染别
本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的
人.
问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生 师生汇总生活中常见
活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病 的类似问题，总结这类 让学生掌握这
弄清问题背 景，特别注意 分析清楚题
○3 第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了 方程，求根.根据实际 意，题中没有
流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？ 问 题 要 求， 对 根进 行 特别说明，那
○4 本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.
选择确定问题的解.教 么最早的患者
有什么关系？
何图形的分析能力，将
○3 若设正中央的长方形的长和宽分别为 9a ㎝，7a ㎝，尝试 数学知识和实际问题相
数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时).3 实际问题与一元二次方程(第2课时)
（参考数据： 0 .90 .9 5)
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分 率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破 10000元/m2？请说明理由。
【解析】（1）设4、5两月平均每月降价率为x,依题意，得 1400（1-x)2=12600.
解得x1=0.05,x2=1.95(不合题意，舍去）.
21.3
实际问题与一元二次方程
第2课时
1.掌握列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、 解、检、答． 2.建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较
几个对象的变化状况．
例
题
【例1】 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生 产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进 步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨
课后练习：
１、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价
平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米
上涨了2000元，这两年该县房价的平均增长率为多少？
２、某商场将进价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出 600个.当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场
解:设每千克水果应涨价x元,依题意得:
(10+x) (500-20x) = 6000 整理得: x2-15x+50=0
解得: x1=5
x2=10
要使顾客得到实惠应取x=5 答:每千克水果应涨价 5元.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答． 2.建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地 比较几个对象的变化状况的问题．