2020年河南省许昌市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题）
1．﹣的相反数是（）
A．6B．﹣6C．D．﹣
2．据新华社报道，我国粮食总产量连续5年稳定在6500亿公斤以上，粮食储备充足，口粮绝对安全．将数据“6500亿”用科学记数法表示为（）
A．65×1011B．6.5×1011C．65×1012D．6.5×1012
3．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（）
A．35°B．45°C．55°D．65°
4．下面计算正确的是（）
A．3a﹣2a＝1B．2a2+4a2＝6a4
C．（x3）2＝x5D．x8÷x2＝x6
5．桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（）
A．B．
C．D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
7．九年级一班同学根据兴趣分成A、B、C、D、E五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人数是（）
A．10人B．11人C．12人D．15人
8．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0
9．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC 于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为12，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是（）
A．9B．12C．D．6
10．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣1，0），C（1，2），点F是BC的中点，CD 与y轴交于点E，AF与BE交于点G．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G的坐标为（）
A．（，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（，﹣）二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2＝．
12．方程（x+2）（x﹣3）＝x+2的解是．
13．在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛，恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是OA的中点，D是的中点，连接CD、CB．若OA＝2，则阴影部分的面积为．（结果保留π）
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠B＝30°，D是BC上一点，连接AD，把△ABD 沿直线AD折叠，点B落在B′处，连接B'C，若△AB'C是直角三角形，则BD的长为．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．先化简，再求值：?÷，其中x、y满足＝2．
17．为普及防治疫情科学知识和方法，不断增强同学们的自我保护意识，学校举办了疫情防控网络知识竞答活动，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级的三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如表：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数
60708090100人数
班级
1班01621
2班113a1
3班11422分析数据：
平均数中位数众数1班838080
2班83c d
3班b8080根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；
（3）为了让同学们重视疫情防控知识的学习，学校将给竞答成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共600人，试估计需要准备多少张奖状？
18．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点（不与点A、B重合），D 是的中点，DE⊥AB于点E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．
（1）求证：∠FCD＝∠ADE；
（2）填空：
①当∠FCD的度数为时，四边形OADC是菱形；
②若AB＝2，当CF∥AB时，DF的长为．
19．数学兴趣小组想测量河对岸两颗大树C、D之间的距离．如图所示，在河岸A点测得大树C位于正北方向上，大树D位于北偏东42°方向上．再沿河岸向东前进100米到达B处，测得大树D位于北偏东31°方向上．求两颗大树C、D之间的距离．（结果精确到1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，coo42°≈0.74，tan42°≈0.90）．
20．某商场销售A、B两种型号的电风扇，进价及售价如表：
品牌A B
进价（元/台）120180
售价（元/台）150240（1）该商场4月份用21000元购进A、B两种型号的电风扇，全部售完后获利6000元，求商场4月份购进A、B两种型号电风扇的数量；
（2）该商场5月份计划用不超过42000元购进A、B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？
21．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…
y…3m10121n…
其中，m＝，n＝．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，
x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
22．（1）发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．
填空：
①∠DCE的度数是；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．
（2）探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用
如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC ＝90°，请直接写出DA的长．
23．如图，直线y＝﹣2x+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）是线段OA上一动点（点M不与点O，A重合），过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交抛物线于点N，若NP＝AP，求m的值；
（3）若抛物线上存在点Q，使∠QBA＝45°，请直接写出相应的点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1．﹣的相反数是（）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可得到结论．
解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．据新华社报道，我国粮食总产量连续5年稳定在6500亿公斤以上，粮食储备充足，口粮绝对安全．将数据“6500亿”用科学记数法表示为（）
A．65×1011B．6.5×1011C．65×1012D．6.5×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：6500亿＝6500×108＝6.5×1011．
故选：B．
3．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，
∴∠3＝35°．
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝55°．
故选：C．
4．下面计算正确的是（）
A．3a﹣2a＝1B．2a2+4a2＝6a4
C．（x3）2＝x5D．x8÷x2＝x6
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．
解：∵3a﹣2a＝a，故选项A错误；
∵2a2+4a2＝6a2，故选项B错误；
∵（x3）2＝x6，故选项C错误；
∵x8÷x2＝x6，故选项D正确；
故选：D．
5．桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（）
A．B．
C．D．
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得左视图有3列，从左到右分别是2，3，2个正方形．
解：由俯视图中的数字可得：左视图有3列，从左到右分别是2，3，2个正方形．故选：D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故选：A．
7．九年级一班同学根据兴趣分成A、B、C、D、E五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则D小组的人数是（）
A．10人B．11人C．12人D．15人
【分析】从条形统计图可看出A的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求出总人数．然后结合D所占的百分比求得D小组的人数．
解：总人数＝＝50（人）
D小组的人数＝50×＝12（人）．
故选：C．
8．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0
【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
解：抛物线的对称轴是x＝1，
则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；
当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．
故选：A．
9．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC 于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为12，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是（）
A．9B．12C．D．6
【分析】由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，所以∠1＝∠2，再证明AF＝BE，则可判断四边形AFEB为平行四边形，于是利用AB＝AF可判断四边形ABEF是菱形；根据菱形的性质得AG＝EG，BF⊥AE，求出BF和AG的长，即可得出结果．
解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，
则∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，
∴∠2＝∠BEA，
∴∠1＝∠BEA＝30°，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，
而AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
∴BF⊥AE，AG＝EG，
∵四边形ABEF的周长为12，
∴AF＝BF＝AB＝3，
在Rt△ABG中，∠1＝30°，
∴BG＝AB＝1.5，AG＝BG＝，
∴AE＝2AG＝3，
∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×3×3＝；
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣1，0），C（1，2），点F是BC的中点，CD 与y轴交于点E，AF与BE交于点G．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G的坐标为（）
A．（，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（，﹣）【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝2，∠C＝∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠CBE，根据余角的性质得到∠BGF＝90°，过G作GH⊥AB 于H，根据相似三角形的性质得到BH＝＝，求得OH＝，根据勾股定理得到HG ＝＝，求得G（，），找出规律即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠C＝∠ABF＝90°，
∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，
∴CE＝BF＝1，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠BAF＝∠CBE，
∵∠BAF+∠BFA＝90°，
∴∠FBG+∠BFG＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴BE⊥AF，
∵AF＝＝＝，
∴BG＝＝，
过G作GH⊥AB于H，
∴∠BHG＝∠AGB＝90°，
∵∠HBG＝∠ABG，
∴△ABG∽△GBH，
∴，
∴BG2＝BH?AB，
∴BH＝＝，
∴OH＝，
∵OG＝AB＝1，
∴HG＝＝，
∴G（，），
∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°，
∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（，﹣），
第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣，﹣），
第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣，），
第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（，），
…，
∵99＝4×24+3，
∴每4次一个循环，第99次旋转结束时，相当于正方形ABCD绕点O顺时针旋转3次，
∴第99次旋转结束时，点G的坐标为（﹣，）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2＝﹣1﹣．
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：（π+1）0+|﹣2|﹣（）﹣2
＝1+2﹣﹣4
＝﹣1﹣
故答案为：﹣1﹣．
12．方程（x+2）（x﹣3）＝x+2的解是x1＝﹣2，x2＝4．
【分析】先移项，再提取公因式，求出x的值即可．
解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）＝0，
提取公因式得，（x+2）（x﹣4）＝0，
故x+2＝0或x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．
13．在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛，恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
故答案为：．
14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是OA的中点，D是的中点，连接CD、CB．若OA＝2，则阴影部分的面积为+﹣1．（结果保留π）
【分析】连接OD，过D作DH⊥OA于H，求得DH＝OC＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OD，过D作DH⊥OA于H，
∵∠AOB＝90°，D是的中点，
∴∠AOD＝∠BOD＝45°，
∵OD＝OA＝2，
∴DH＝OC＝，
∵C是OA的中点，
∴OC＝1，
∴阴影部分的面积＝S扇形DOB+S△CDO﹣S△BCO＝+×1﹣＝+﹣1，
故答案为：+﹣1．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠B＝30°，D是BC上一点，连接AD，把△ABD 沿直线AD折叠，点B落在B′处，连接B'C，若△AB'C是直角三角形，则BD的长为或．
【分析】分两种情形：如图1中，当点B′在直线BC的下方∠CAB′＝90°时，作AF ⊥BC于F．证明∠ADF＝45°，求出DF，BF即可解决问题．如图2中，当点B′在直线BC的上方∠CAB′＝90°时，同法可得∠ADB＝45°，求出DF即可．
解：如图1中，当点B′在直线BC的下方∠CAB′＝90°时，作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC＝，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠CAB′＝90°，
∴∠BAB′＝30°，
∴∠DAB＝∠DAB′＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝45°，
∵AF⊥DF，
∴AD＝DF＝AB?sin30°＝，BF＝AF＝，
∴BD＝BF﹣DF＝．
如图2中，当点B′在直线BC的上方∠CAB′＝90°时，可得∠ADB＝45°，AF＝DF ＝，BD＝BF+FD＝，
综上所述，满足条件的BD的值时．
故答案为或．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．先化简，再求值：?÷，其中x、y满足＝2．【分析】根据分式的乘除法可以化简题目中的式子，然后将＝2代入化简后的式子即可解答本题．
解：?÷
＝
＝，
＝1+，
当＝2时，原式＝1+2＝3．
17．为普及防治疫情的科学知识和有效方法，不断增强同学们的自我保护意识，学校举办了疫情防控网络知识竞答活动，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级的三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如表：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数
60708090100人数
班级
1班01621
2班113a1
3班11422分析数据：
平均数中位数众数1班838080
2班83c d
3班b8080根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；
（3）为了让同学们重视疫情防控知识的学习，学校将给竞答成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共600人，试估计需要准备多少张奖状？
【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
解：（1）a＝4，b＝83，c＝85，d＝90；
（2）从平均数上看三个班都一样；
从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85；
从众数上看，1班和3班都是80，2班是90；
综上所述，2班成绩比较好；
（3）600×＝80（张），
答：估计需要准备80张奖状．
18．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点（不与点A、B重合），D是的中点，DE⊥AB于点E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．
（1）求证：∠FCD＝∠ADE；
（2）填空：
①当∠FCD的度数为30°时，四边形OADC是菱形；
②若AB＝2，当CF∥AB时，DF的长为﹣1．
【分析】（1）连接OC、AC．由题意得出＝，得出DA＝DC，由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA．∠OAC＝∠OCA．证出∠OAD＝∠OCD．由切线的性质得出CF⊥OC，由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）①连接OD，证△OAD是等边三角形，△COD是等边三角形，得出OA＝AD＝CD ＝OC，即可得出结论；
②连接OD，证△ADE≌△DCF（AAS），得出AE＝DF，DE＝CF，证明△ODE是等
腰直角三角形，得出OE＝OD＝1，进而得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC、AC．如图1所示：
∵D是的中点，
∴＝，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠DAC+∠OAC＝∠DCA+∠OCA，
即∠OAD＝∠OCD．
∵CF是半圆O的切线，
∴CF⊥OC，
∴∠FCD+∠OCD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠OAD＝90°，
∴∠FCD＝∠ADE．
（2）解：①当∠FCD的度数为30°时，四边形OADC是菱形；理由如下：连接OD，如图2所示：
∵∠FCD＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠OAD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA，∠AOD＝60°，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝OC，
∴OA＝AD＝CD＝OC，
∴四边形OADC是菱形；
故答案为：30°；