西安中学高三数学期中试卷
2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)(含解析)
2021-2022学年西安中学高三上学期期中数学复习卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知全集U ={0,1，2，3，4}，设集合A ={0,1，2}，B ={1,2，3}，则A ∩∁U B =( )A. {3}B. ⌀C. {1,2}D. {0}2.2−i 1+2i=( )A. 1B. −1C. iD. −i3.下列命题中是假命题的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0(a ⃗ ≠0⃗ ,b ⃗ ≠0⃗ )，则a ⃗ ⊥b ⃗B. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗C. 若ac 2>bc 2，则a >bD. 5>34.若f (x )= x 2−2 x −4ln x ，则f ′(x )>0的解集为…( )A. (0,+∞)B. (−1,0)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (−1,0)5.数列{a n }满足a 1=1，且2a n−1−2a n =a n a n−1(n ≥2)，则a n =( )A. 2n+1B. 2n+2C. (23)nD. (23)n−16.函数f(x)=3x −的零点存在区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)7.函数的最小正周期是( )A.B. C.D.8.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =1，AC =2，点P 为△ABC 内(包含边界)的点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中x ，y 为正实数)，则当xy 最大时，yx的值是( ) A. 12 B. 1C. 2D. 与∠A 的大小有关9.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是B 1B ，B 1C 1，CD 的中点，则MN 与D 1P 所成角的余弦值为( )A. −√105B. √105C. √55D. 2√5510. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =√xB. y =(x −1)2C. y =(12)xD. y =log 0.5x11. 函数f(x)={e cosπx ,x ≤1ln(x −1x),x >1的图象大致是( ) A.B.C.D.12. 设定义在(1,e )上函数若曲线上存在点(x 0,y 0)使得f(f(y 0))=y 0，则实数a 的取值范围是( )A.B.C. [−1,e 2−e +1)D. (0,e 2−e +1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=x 2的一条切线与直线y =2x −3平行，则该切线的方程为______． 14. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,m)，若b ⃗ =λa ⃗ ，λ∈R ，则m =______． 15. 下面有四个命题：①函数的最小正周期是； ②函数的最大值是；③把函数的图象向右平移得的图象；④函数在上是减函数．其中真命题的序号是 ．16. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则ℎ= ______ cm ，该几何体的外接球半径为______ cm ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =2a n−1+n+2n(n+1)(n ≥2,n ∈N ∗). (1)若数列{b n }满足b n =a n +1n+1(n ∈N ∗)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)设c n =2n(n+1)a n+1，记 S n =c 1⋅c 2+c 2⋅c 3+⋯+c n ⋅c n+1，求使S n >79的最小正整数n 的值．18. 如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于D 点．(1)求∠ADF 的度数； (2)AB =AC ，求AC ∶BC ．19. 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x 和体重y 数据如表所示．求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为174cm 的女大学生的体重．(结果精确到0.01，且每一步用上一步的近似值进行计算)参考公式：对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．20. 已知椭圆C 的离心率为√32，长轴长为4，焦点在x 轴上，斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程 (2)求|AB|的最大值．21. 已知函数f(x)=lnx −12ax 2+ax ，a ∈R ． (1)当a <0时，讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)若关于x 的不等式f(x)≤2ax −x −1恒成立，求整数a 的最小值； (3)对于函数f(x)图象上任意给定的两点A(x 1,f(x 1))、B(x 2,f(x 2))，试判断f′(x 1+x 22)与f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1的大小关系(其中f′(x )是函数f(x)的导函数)，并给出证明．22. 直线l ：ρcos(θ−π6)=2，圆C ：ρ=2sinθ.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．(1)求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；(2)已知点P 在圆C 上，点P 到直线l 和x 轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 设函数f(x)=|x −a|，a ∈R ．(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|0<x <2}，求a 的值； (2)若存在x 0∈R ，使f(x 0)+x 0<3，求a 的取值范围．。
【名师解析】陕西省西安市第一中学高三上学期期中考试数学(文)试题版含解析
则满足 f ( x) 1的 x 值为（
）
log 3 x, x 0
（A） 0
（ B） 3
（ C） 0或3
（ D） 1 3
解得， x 值为 0或3 ，故选 D.
考点：分段函数，指数函数、对数函数的性质 .
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2
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20. （本题 13 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a, b,c ，已知
cos2 A 3 cos(B C ) 1. （1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC 的面积 S 5 3,b 5 ，求 sin B sinC 的值 .
考点：函数方程，指数函数的图象 .
8. 函数 f ( x) 1 2 x
1 的定义域为（
）.
x3
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9. 函数 f ( x) ex x 2 (e为自然对数的底数） 的零点个数为（
）
（A） 0
（ B） 1
6. 已知函数 f ( x) 为奇函数，且当 x
0时， f ( x)
x2
1 ，则 f ( 1)
（
）
x
（A） 2
（ B） 1
（ C） 0
（ D） 2
7. 已知关于 x 的方程 3x 1 m 有一解，则 m 的取值范围为（
）
（A） m m 0或m 1 （ B） m m 0或m 1 （ C） m m 1 （ D） m m 0
陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷含答案
∵ 퐴퐷 + 퐴퐸 = 푥퐴퐵 +푦퐴퐶，则푥 + 푦 = 2，
∵ 点 D，E 是线段 BC 上两个动点， ∴ 푥 > 0，푦 > 0．
∴
1 푥
+
4 푦
=
11 2(푥
+
4 푦)(푥
+ 푦)
=
12(5
+
푦 푥
+
4푦푥)
≥
12(5
∴ 푏4 = 푎3 + 푎5 = 2푎4 = 23，푎4 = 4，
又푏5 = 푎4 +2푎6 = 24，∴ 푎6 = 6 ，
∴ 푎6 = 푎4 +2푑，得푑 = 1，
第 8 页，共 19 页
푎6 = 푎1 +5푑 푎 = 1
，得
，
∴ 푎푛 = 푛．
1
∴ 푎2019 + 푏9 = 2019 + 28 = 2275，
푛
}的通项公式以及数列{푎푛}的通项公式即可计算出푎2019 + 푏9的值．
【解答】
解： ∵ 푏1 = 1，푏3 = 푏2 +2，{푏 }
∴ 푏1푞2 = 푏 1푞
+ 2，푞2 = 푞
是正项等比数列， + 2，푛 解得푞 = −1(舍)或푞
= 2，
∴ 푏푛 = 2푛−1，
∵ 数列{푎푛}是等差数列，푏4 = 푎3 + 푎5，푏5 = 푎4 +2푎6，
减函数，故正确． 故选 D．
4.【答案】D
【解析】解：푎−2 = 0，即푎 = 2时，−4 < 0，恒成立；
{ 푎−2
≠ 0时，
푎−2 < 0 4(푎−2)2 + 16(푎−2) < 0，解得−2 < 푎
陕西省.西安中学.高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)【全国百强校高考预测真题】
15．在平面直角坐标系中，角 的始边落在 x 轴的非负半轴，终边上有一点是
，若
，则
______．
16．在△ABC 中,M 为边 BC 的中点,N 为线段 BM 的中点.若 小值为______________。
,则
的最
三、解答题 17．已知函数
求 的最小正周期；
，．
求 在闭区间
上的最大值和最小值．
18．如图所示，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7 .
妨
2x1
2
2k
，2x2
2
2
2m
，∴ x1
x2
2
(k
m)
，又∵
x1
x2
min
3
，
∴ ，故选 D.
2
3
6
考点：三角函数的图象和性质.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考
17．(1） ；(2）最大值为 ，最小值为
【解析】 【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
利用正弦函数的定义域和值域，求得 在闭区间 【详解】
，Hale Waihona Puke ，可得再利用微积分基本定理即可得出．
【详解】
，
，
．
则
．
故答案为： 【点睛】 本题考查了微积分基本定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16． 【解析】 【分析】
先计算出
，再求出
和
再利用基本不等式求得
.
【详解】 由条件知
陕西省西安市第一中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)
市一中大学区2021-2022度第一学期期中考试高三数学试题（理）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．） 1．设集合{}|1A x x =>，集合{}2B a =+，若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】本题主要考查集合的运算． 因为{}|1A x x =>且AB 为空集，所以21a +≤，即1a -≤，所以当1a -≤时，满足A 与B 的交集为空集的条件． 故选A ．2．已知为i 虚数单位，若复数1i()1i a z a -=∈+R 的虚部为3-，则||z =（ ）． A ．5B 13C ．23D 10【答案】C 【解析】因为1i (1i)(1i)1(1)i 111i 2222ia a a a a a z -----+-+====-+， 所以132a+-=-，所以5a =，所以23i z =--，所以22(2)(3)13z -+- 故选C ．3．已知命题:p x ∀∈R ，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ）． A ．0x ∃∈R ，120(2)0x ->B ．x ∀∈R ，12(1)0x -> C ．x ∀∈R ，12(1)0x -≥D ．0x ∃∈R ，120(2)0x -≥【答案】C【解析】解：因为原命题为全称命题，所以原命题的否定是特称命题， 即命题p x ⌝∀∈R ，20x >，的否定是：:p x ∃∈R ，20x ≤． 故选C ．4．执行如图所示的算法框图，则输出的S 值是（ ）．是否S=4i=1i=9S=22Si =i +1输出S结束开始A ．1-B ．23C ．32D ．4 【答案】D【解析】i 1=，1S =-；i 2=，23S =；i 3=，32S =； i 4=，4S =；i 5=，1S =-；；i 8=，4S =；i 9=，结束循环，输出S 的值是4．故选D ．5．设55log 4log 2a =-，2ln ln33b =+，1lg5210c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】解：∵13log 20a =<，112211log log 132b =>=，0.30110122c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<． 故选A ．6．若函数()f x 满足1(1)()2f x f x +=，则()f x 的解析式在下列四式中只有可能是（ ）． A ．2x B ．12x +C ．2x -D ．12log x【答案】C【解析】本题主要考查函数的解析式． 由已知该函数具有性质1(1)()2f x f x +=，将此运用到四个选项中： A 项，1(1)2x f x ++=，1()24xf x =，不符合题意，故A 项错误； B 项，3(1)2f x x +=+，11()224x f x =+，不符合题意，故B 项错误；C 项，(1)11(1)22()22x x f x f x -+-+==⨯=，符合题意，故C 项正确； D 项，12(1)log (1)f x x +=+，112211()log log 22f x x x ==D 项错误． 故选C ．7．函数e x y x =和图象是（ ）．A ．xyOB ．yOx C ．yOx D ．yOx【答案】C 【解析】8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则[0,2]xy ∈的概率是（ ）． A ．1ln 22- B ．32ln24- C ．1ln 22+ D ．12ln22+ 【答案】C【解析】本题主要考查微积分的基本定理和几何概型．由题意可将所求概率转化为图中阴影部分面积和正方形面积之比，故所求概率212222(ln )2d 11ln 2442x x S x P S +++====⎰阴影正方形．【注意有文字】故选C ．xy O412343219．设实数x ，y 满足22010210x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≥≤，则11y x --的最小值是（ ）．A ．5-B ．12-C ．12D ．5【答案】B【解析】(1,1)xyOy=x+44000x y x y -+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥所表示的区域如图所示 11y z x -=-表示区域中的点到点(1,1)的斜率， 故原点到点(1,1)的斜率最大． 故选B ．10．若将函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象最新y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）． A ．5π12B ．π3C ．2π3D ．5π6-【答案】A【解析】把该函数的图象右移ϕ个单位，所得图象对应的函数解析式为：π2sin 223y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又所得图象最新y 轴对称，则 π3π22πk ϕ-=+，k ∈Z ， ∴当1k =-时，ϕ有最小正值是 5π12．故选A ．11．设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A ．11,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．2026,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2026,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】解：函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥的图象，如图，xO y65432143211234564321不妨设123x x x <<，则2x ，3x 最新直线3x =对称，故236x x +=，且1x 满足1703x -<<；则123x x x ++的取值范围是：12376063x x x -+<++<+，即12311,63x x x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭．故选D ．12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()2()f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 是导函数，e 是自然对数的底数），则(1)(2)f f 的范围为（ ）． A ．11,2e e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(e,2e)D ．3(e,e )【答案】B【解析】构造函数()()e x f x g x =，(0,)x ∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xfx f x f x f x g x ''--'==， 由已知()()f x f x '<得()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上递增， 所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >，所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <， 再构造函数2()()(e )x f x h x =，(0,)x ∈+∞，2242()(e )()2(e )()2()()(e )(e )x x x x fx f x f x f x g x ''⋅-'==， 由已知()2()f x f x '<，所以()0h x '<在(0,)+∞，则函数()h x 在区间(0,)+∞上单调递减， 所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f <，又因为()0f x >， 所以根据24(1)(2)e e f f <有24(1)e (2)e f f <，即2(1)1(2)e f f <，所以21(1)1e (2)e f f <<． 故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算11130.7536170.027*********-⎛⎫+--= ⎪⎝⎭__________． 【答案】31【解析】原式1133316412590.33625697295-⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭3109913643553=-+-+- 31=．14．已知423401234(23)x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1【解析】令1x =，得401234(23)a a a a a =++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(23)(23)(1)1=⋅-=-=．15．一个类似杨辉三角形的数阵： 则第九行的第二个数为__________．18221891177115653139【答案】见解析【解析】解：观察首尾两数都是1，3，5，7，可以知道第n 行的首尾两数均为21n -， 设第(2)n n ≥行的第2个数构成数列{}n a ， 则有323a a -=，435a a -=，547a a -=，，123n n a a n --=-，相加得232335(23)(2)(2)2n n a a n n n n +--=+++-=⨯-=-23(2)23n a n n n n =+-=-+． 因此，本题正确答案是：223n n -+．16．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】见解析【解析】解：22534475A A 1201A A 9401206==--．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知函数2π()3cos sin 02222f x x x x ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像经过点π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求()f x ．（2）在ABC △中，A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，5a =25ABC S =△，角C 为锐角且π72126C f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求C 边长． 【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()3cos sin 222f x x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31cos(2))2x x ϕϕ-+=++ 311)cos(2)22x x ϕϕ=+-++ π1sin 262x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，∵图象经过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭，∴ππ1sin 21362ϕ⎛⎫⋅+-+= ⎪⎝⎭，即π1sin 22ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2ϕ=，∵π02ϕ<<，∴π3ϕ=， ∴π1()sin 262f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（2）∵π17sin 21226C f C ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，∴2sin 3C =， ∴45cos 19C =-， ∵112sin 525223ABC S ab C b ==⋅=△，∴6b =，∴22252cos 53625621c a b ab C =+-=+-=， ∴21c =18．（12分）已知ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍． （1）求sin sin BC∠∠．（2）若1AD =，2DC =BD 和AC 的长． 【答案】见解析．【解析】（1）1sin 2ABD S AB AD BAD =⋅△∠，1sin 2ADC S AC AD CAD =⋅△∠， 因为2ABD ADC S S =△△，BAD CAD =∠∠，所以2AB AC =， 在ABC △中，由正弦定理得：sin sin AC AB B C =∠∠，所以sin 1sin 2B AC C AB ==∠∠． （2）设ADB θ=∠，则πADC θ=-∠． 由（1）知12AC b AB c ==，所以2c b =①， 由2CD =2BD = 在ACD △中，由余弦定理，2222121π)b θ=+-⨯-⎝⎭， 即2322b θ=+②， 在ABD △中，由余弦定理，21222c θ=+-，即2322c θ=-③， 由①②③得1b =，故1AC =．19．（12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁） [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 510151055赞成人数46 9 6 34（1（2）若从年龄在[15,25)，[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率．（3）在(2)在条件下，再记选中的4人中不．赞成．．“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．频率组距0.010.020.03【答案】见解析．【解析】（1）由表知年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：11122464442222510510C C C C C 424666622(2)C C C C 1025104522575P ξ==⋅+⋅=⋅+⋅==． （2） ξ的所有可能取值为：0，1，2，3，226422510C C 4515(0)C C 22575P ξ==⋅==， 21112646442222510510C C C C C 41562410234(1)C C C C 1045104522575P ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅==， 124422510C C 46124(3)C C 104522575P ξ==⋅=⋅==， 所以ξ的分布列是： ξ0 1 2 3 p1575 3475 2275 475 所以ξ的数学期望65E ξ=．20．（12分）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）． （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程． （2）已知(2,0)A -，(0,2)B ，圆C 上任意一点(,)M x y ，求ABM △面积的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的及坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=．（2）点(,)M x y 到直线:20AB x y -+=的距离2d =，ABM △的面积1π|||2cos 2sin 9|22924S AB d θθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以ABM △的面积的最大值为922+21．（12分）已知函数()|3|f x x =+，()2|11|g x m x =--，若2()(4)f x g x +≥恒成立，实数m 的最大值为t ．（1）求实数t ．（2）已知实数x 、y 、z 满足22236(0)x y x a a 2++=>，且x y z ++的最大值是20t ，求a 的值． 【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可得(4)2|411|2|7|g x m x m x +=-+-=--，若2()(4)f x g x +≥恒成立， ∴2|3|2|7|x m x +--≥，即2(|3||7|)m x x ++-≤．而由绝对值三角不等式可得2(|3||7|)2|(3)(7)|20x x x x ++-+--=≥， ∴20m ≤，故m 的最大值20t =．（2）∵实数x 、y 、z 满足222236(0)x y z a a ++=>，由柯西不等式可得2222222[(2)(3)(6)]236236236x y z x y z ⎡⎤++⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦≥， ∴21)a x y z ⨯++≥(， ∴x y z a ++再根据x y z ++的最大值是120t =， 1a ，∴1a =．22．（12分）已知二次函数2()1f x x ax m =+++，最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +，(0)m ≠，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值．（2）()k k ∈R 如何取值时，函数()()ln(1)x g x k x ϕ=--存在极值点，并求出极值点． （3）若1m =，且0x >，求证：[(1)](1)22(*)n n n g x g x x +-+-∈N ≥．【答案】见解析．【解析】（1）因为最新x 的不等式2()(21)1f x m x m <-+-的解集为(,1)m m +， 即不等式22(12)0x a m x m m ++-++<的解集为(,1)m m +，所以22(12)()(1)x a m x m m x m x m ++-++=---，所以222(12)(21)(1)x a m x m m x m x m m ++-++=-+++，所以12(21)a m m +-=-+，所以2a =-．（2）由（1）得2()21()(1)111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， 所以()()ln(1)(1)(1)1m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为(1,)+∞， 所以222(2)1()1(1)1(1)m k x k x k m x x x x ϕ-++-+'=--=---， 方程2(2)10x k x k m -++-+=（*）的判别式22(2)4(1)4k k m k m ∆=+---=+．①当0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为21241k k m x +-+=<，22241k k m x +++=>， 则2(1,)x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在2(1,)x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以函数()x ϕ有极小值点2x ． ②当0m <时，由0∆>，得2k m <--2k m >-2k m <-， 则21241k k m x +-+<，22241k k m x +++=>，故(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增．所以函数()x ϕ没有极值点， 若2k m >-21241k k m x +-+=>，22241k k m x +++=>， 则1(1,)x x ∈时，()0x ϕ'>；12(,)x x x ∈时，()0x ϕ'<；2(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>， 所以函数()x ϕ在1(1,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增， 所以函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ，综上所述，当0m >时，k 取任意实数，函数()x ϕ有极小值点2x ， 当0m <时，2k m >-()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x ， （其中2124k k m x +-+=2224k k m x +++=． （3）因为1m =， 所以1()(1)1g x x x =-+-， 所以1122122412211C C C C C n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x------=+⋅+⋅=+++， 令122412C C C n n n n n n n T x x x----=+++， 则122412122412C C C C C C nn n n n n n n n n n n n n n T x x x x x x---------=+++=+++， 因为0x >，所以1222441221212C ()C ()C ()2(C C C )n n n n n n n nn n n n n n T x x x x x x --------=++++++=+++12102(C C C +C C C C )2(22)n n n n n n n n n n n -=+++++-=-，所以22n T -≥，即[(1)](1)22n n n g x g x +-+-≥．。
陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷(文科)
A．1：1： 3
B．2：2： 3
C．1：1：2
D．1：1：4
7．（5 分）下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是（ ）
휋 A．y＝sin（2x + 2）
휋 B．y＝cos（2x + 2）
C．y＝sin2x+cos2x
D．y＝sinx+cosx
1 8．（5 分）若 tanθ = 3，则 cos2θ＝（ ）
→
→
→→
4．（5 分）（2014•北京）已知向量a = （2，4），b = （﹣1，1），则 2a ‒ b = （ ）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
【考点】9J：平面向量的坐标运算． 【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
→
→
【解答】解：由a = （2，4），b = （﹣1，1），得：
휋
1
9．（5 分）（2016•新课标Ⅰ）将函数 y＝2sin（2x + 6）的图象向右平移4个周期后，所得图象对应的函数
5
2021-2021 学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文 科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．（5 分）（2007•全国卷Ⅱ）cos330°＝（
1 A．2
1 B． - 2
） 3
C． 2
→→
→→
【解答】解：①若|a|＝|b|，但两向量方向不一定相同，则a = b不一定成立，故错误；
→→
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB = DC⇔AB＝DC 且 AB∥DC⇔四边形 ABCD 为平行四边形，
西安中学202届高三数学上学期期中试题理含解析
故选：
【点睛】本题考查了空间角的求法，面面平行的性质定理,属于基础题.
第Ⅱ卷(90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。把答案填在答题卡上的相应位置.
15. 2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻,箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有__________种．（用数字作答）
A. B. C。 3D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】
分析】
由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个三棱锥，其直观图如下图：
其底面是底和高分别为5， 的三角形,高为 ，则该三棱锥的体积为V＝ 。从而该不规则几何体的体积为 。
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
12。 平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面 , 平面 ，则 、 所成角的正弦值为( ）
A. B. C。 D。
2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷附答案解析
2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54-C.108D.108-4.已知a =，3log b =2log c =）A .b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<< 5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.2D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且4ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为334C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为4D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A .//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为255C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅= C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a ．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为62，右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E.（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2025届西安市高三数学上学期期中联考试卷1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。
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西安中学高三年级第一学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1．已知M={x|y=x ，x ∈R}，}R x x y |y {N 2∈==，，则M ∩N 等于（ ）A ．{（0，0），（1，1）}B ．{ x|x ∈R }C ．{y|y ≥0}D ．φ2．已知集合A={a ，b ，c}，集合B={m ，n}，设映射f ：A →B 。
如果集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的象，那么这样的映射f 有（ ）A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个3．奇函数y=f(x)（x ∈R ）有反函数)x (f y 1-=，则必在)x (f y 1-=的图象上的点是（ ）A ．（-f(a)，-a ）B ．))a (f a (1--，C ．（-f(a)，a ）D ．))a (f a (1-， 4．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，x )31()x (f =，那么)21(f 的值是（ ）A ．33 B ．3 C ．3- D ．9 5．函数)x x 6(log )x (f 231--=的单调递减区间是（ ）A ．），∞+-21[B ．]21-∞-，（C ．），2 21[- D ．]213--，（ 6．定义在R 上的函数f(x)、g(x)都是奇函数，函数F(x)=af(x)+bg(x)+3在区间（0，+∞）上的最大值为10，那么函数F(x)在（-∞，0）上的最小值为（ ）A ．-10B ．7C ．-7D ．-47．若把函数y=f(x)的图象做平移，可以使图象的点P （1，0）变换成点Q （2，2），则函数y=f(x)的图象经过此变换后所得图象对应的函数为（ ）A ．y=f(x-1)+2B ．y=f(x-1)-2C ．y=f(x+1)+2D ．y=f(x+1)-28．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，那么a 与b 不可能（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 9．圆台上、下底面面积分别为22cm 49cm 1和，平行于底面的截面面积为2cm 25，那么截面到上、下底面距离之比为（ ）A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：310．圆锥的高h=8，它的侧面展开图的圆心角是216°，那么这个圆锥的全面积是（ ）A ．96πB ．24πC ．84πD ．60π11．正四棱台1111D C B A ABCD -下底面为ABCD ，上底边长：侧棱长：下底边长=1：2：3，侧面对角线11BC AD 与所成角的余弦值为（ ）A ．73B ．6524 C ．73- D ．75 12．三棱锥A-BCD 的高a 33AH =，H 为底面△BCD 的垂心，若AB=AC ，二面角A-BC-D 等于60°，G 为△ABC 重心，则HG 的长为（ ）A ．a 10B ．a 7C ．a 6D ．a 5二、填空题（本大题共有4道小题，每小题4分，共16分）13．若2x )1x (f =+（x ≤0），则)x (f 1-=_______________。
14．（如右图）矩形ABCD 边长分别为15，20，PA ⊥平面ABCD ，则点P 到CD 边的距离为_______________；点P 到BD 的距离为_______________。
15．（理科做）球外切圆台的上、下底半径分别为1和3，则球的体积是_______________。
（文科做）二面角内有一点，它到两个面的距离相等，并且等于它到棱的距离的一半，这个二面角的度数为_______________。
16．若f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x-2)=-f(x)，给出下列四个结论：①f(2)=0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于直线x=0对称；④f(x+2)=f(-x)。
其中所有正确结论的序号是_______________。
三、解答题（本大题共有6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．已知函数f(x)是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，那么f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数？写出你的推理过程。
18．如图，三棱锥P-ABC 的底面△ABC 内接于圆O ，PA 垂直于圆O 所在的平面。
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC 。
（2）若PA ：PB=4：3，65ABC cos =∠，求直线PB 和PAC 所成角的大小。
19．已知关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有实数解，求实数a 的取值范围。
20．已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为4的正方形，PD ⊥底面ABCD ，若PD=6，M ，N 分别是PB ，AB 的中点。
（1）求证：MN ⊥CD ；（2）求三棱锥P-DMN 的体积；（3）求二面角M-DN-C 的平面角。
（文科不做第（3）问）21．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获的利润依次是P 万元和Q 万元，它们与投入资金x 万元的关系可由经验公式给出：x 53Q x 51P ==，，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应为多少才能获得最大利润？22．（理科做）已知函数)ka a (log )x (f y x a -==（0<a ≠1，k ∈R ）。
（1）当0<a<1时，若f(x)在[1，+∞]内有意义，求k 的取值范围；（2）当a>1时，若f(x)的反函数就是它本身，求k 的值；（3）在（2）的条件下，解方程)x (f )2x (f 21=--。
（文科做）设函数y=f(x)满足lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x)，（1）求f(x)的表达式；（2）求f(x)的值域；（3）求f(x)的单调区间。
参考答案：一、选择题（每小题5分，共60分）1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A 10．A 11．D12．B 二、填空题（每小题4分，共16分）13．014．343；1515．π34；60°16．①②④三、解答题（共6道小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分）17．解：设0x x 21<<<∞-，则+∞<-<-<12x x 0∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴)x (f )x (f 12-<-又f(x)是奇函数，∴)x (f )x (f 12-<-∴)x (f )x (f 21<故f(x)在（-∞，0）上是增函数18．证（1）∵PA⊥平面ABC，ABCBC平面⊂∴PA⊥BC又∵AB是⊙O的直径∴BC⊥AC∴BC⊥平面PAC又PBCBC平面⊂∴平面PAC⊥平面PBC（2）∵BC⊥平面PAC∴∠BPC为PB和平面PAC所成的角设PA=4k，AB=3k，则PB=5k∵65ABCcos=∠，∴2k5ABCcosABBC=∠⋅=在Rt△PCB中，21PBBCBPCsin==∠∴∠BPC=30°为所求19．解：原方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+--=<<413)25x(a3x12由其图象易得当]4131(a，∈时，原方程有解20．（1）∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD又CD⊥DA，∴CD ⊥平面PDA∴CD ⊥PA又∵M 、N 分别是PB 、AB 的中点∵MN ∥PA∴MN ∥CD（2）设AC ∩BD=0，连MO 、PN∵MO ∥PO∴MO ⊥平面ABCD 且3PD 21MO == ∵N 是AB 的中点，∴4821S 21S ADB NDB =⨯==∆∆ ∴4)36(431)MO PD (S 31V V V DNB DNB M DNB P DMN P =-⨯⨯=-=-=∆--- （3）过O 作DN 作垂线OK ，垂足为K ，连ON ，MK则MK ⊥ND ∴∠MKO 是二面角M-DN-C 的平面角∵2421S 21S DNB ODB =⨯==∆∆ 又52AN AD DN 22=+= ∴525222DN S 2OK DNO =⨯==∆ ∴253OK MO OKM tg ==∠ ∴253arctg OKM =∠为所求。
21．解：设投入乙种商品的资金为x 万元，则投入甲种商品的资金为（3-x ）万元。
依题意，甲种商品可获利)x 3(51P -=万元，乙种商品可获利x 53Q =万元，共获利为 )3x 3x (51x 53)x 3(51Q P y ++-=+-=+= ]421)23x ([512+--= 当23x =，即49x =时 2021y max =（万元） 43x 3=- 答：甲种商品投入万元，乙种商品投入万元，可获得最大利润万元。
22．（理科）解：f(x)在[1，+∞）内有意义， 即0ka a x >-时x ∈[1，+∞）均成立，即1x x )a 1(aa k -=<时x ∈[1，+∞）均成立 ∵0<a<1，∴1a1> ∴1x )a1(-在[1，+∞）上是增函数， 当x=1时，其最小值为1，∴当k<1时，f(x)在[1，+∞）内有意义（2）显然k ≠0， 从而ka a lg x k a a a ka a a )ka a (lg y ya y xx y x a -=⇒-=⇒-=⇒-= ∴k a a lg )x (f x a 1-=- 为使)x (f )x (f 1=-对f(x)定义域内的一切x 都成立，则k a a ka a xx-=-， 整理得0a ak a )1k (x 2=+--对定义域中的一切x 都成立∴1k 0a ak 01k 2=⇒⎩⎨⎧=+-=- 此时)a a (lg )x (f )x (f x a 1-==-（x<1）（3）由a>1，12x 2<-<∞-及x<1得1x 3<<- )a a (lg )a a (lg )x (f )2x (f x a a xa 212-=-⇔=---1x 1x 302x x 2-=⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--⇔ ∴原方程有唯一解x=-1（文科）解：（1）x 9x3210)x (f +-=（0<x<3） （2）令427)23x (3u 2+--=，当x ∈（0，3）时，]427 0(，∈ ∴42710)x (f 1≤<（3）f(x)在]230(，上递增，在]3 23(，上递减。