圆 多解问题
中考数学圆中无图多解题（含答案）
聚焦圆中无图多解题（含答案） 1、已知⊙O的半径是6cm，⊙O的弦AB＝63，则弦AB所对的圆周角是 。
2、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB＝2，AC＝2，AD＝1，则∠CAD＝ 。
3、在直径为50cm的⊙O中，弦AB＝40cm，弦CD＝48cm，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是 。
4、已知P点到⊙O的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙O的半径为 。
5、相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为32，5，则这两圆的圆心距等于 。
6、点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3cm，在过点P的所有弦中长度为整数的弦一共有 条7、已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8，P为AB上一动点，且OP长为整数，满足条件的P点有 个8、⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B＝9090°°那么∠AO2B的度数是 。
9、从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线交⊙O于B、C，且AB〃 AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径等于 。
10、已知⊙O的半径为5cm，AB是弦，P是直线AB上的一点，PA＝3cmAB＝8cm，则tan∠OPB的值为 。
11、已知PA、PB是⊙O的两条切线，点C是⊙O上异于A、B的一点，过C点切线交PA、PB于D、E两点，若∠APB＝400，则∠DOE＝ 。
12、已知等腰△ABC内接于⊙O，底边BC＝8cm，圆心O到BC的距离等于3cm，则腰长AB＝ . 13、在△ABC中，∠C＝90o，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则R 的取值范围 。
14、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 。
15、在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆的直径是 。
16、已知⊙O 1和⊙O 2仅有一条公切线，⊙O 1半径为3cm ，且O 1O 2＝5cm,则⊙O 2的半径等于 。
17、已知⊙O 上有A 、B 、C 三点，若弦AC 的长恰好等于⊙O 的半径，则∠ABC ＝ 。
专题提优7圆中常见的多解问题
9. 如图，☉ O 的直径为10， A 、 B 、 C 、 D 是☉ O 上四个动点，且 AB ＝6， CD ＝ 8，若点 E 、 F 分别是弦 AB 、 CD 的中点，试求线段 EF 的长度的取值范围. 连接 OE 、 OF 、 OA 、 OC ，如图所示. ∵☉ O 的直径为10，∴ OA ＝ OC ＝5.
当△ ABC 为△ A1 BC 时，连接 OB 、 OC .
类型六 由直线与圆的位置关系引发多解问题（切线、公共点问题）
15. 已知 l1∥ l2， l1、 l2之间的距离是3 cm，圆心 O 到直线 l1的距离是1 cm，如果☉ O 与直线 l1、 l2有三个公共点，那么☉ O 的半径为 2或4 cm. 16. 已知∠ ABC ＝45°，点 O 为 BC 上的一点，且 OB ＝6，若以点 O 为圆心， r 为
.
（第18题）
易错提醒 遇动点问题时注意考虑全面，本题中☉ P 与正方形的边相切，情况不止一种，需分 情况讨论，先画出符合题意的图形，再利用切线的性质解题.
当☉ C 在直线 l 上方与直线 l 相切时，如图①.
设切点为 D1，连接 C1 D1、 C1 A . ∵ C （0，1.5），∴ OC ＝1.5，∴ C1 D1＝1.5.
B. 相交或相离
C. 相离或相切
D. 相交或相切
2. 若☉ O 所在平面内一点 P 到☉ O 上的点的最大距离为 a ，最小距离为 b （ a ＞
b ），则此圆的半径为
.
类型二 由点在弧（或弦）上的位置引发多解问题
3. 已知☉ O 的半径为5，点 O 到直线 l 的距离为3，则☉ O 上到直线 l 的距离为2的点
如图②，当 CD 在圆心上方时， EF ＝ OF ＋ OE ＝120＋50＝170（cm）.故答案为70 或170.
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维
巧用圆中的“一题多解”，培养学生发散性思维摘要:在初中数学教学中，习题解答是重要的组成部分，这不仅是由数学学科能用于解决现实问题的特征决定的，更是为了培养学生的逻辑思维、解题能力。
一题多解指的就是学生在解决数学问题的时候，不再局限一道题目一个解题思路和方法的限制，而是学会从不同的角度寻找切入点，使用多种方法解决问题。
本文从初中数学教学“圆”的一题多解教学入手展开研究，进行有效的一题多解训练，带出多种数学知识与方法，培养学生的发散性思维。
关键词：发散性思维；一题多解；初中数学；圆数学本身具有着一定的抽象性和逻辑性，而且解决问题的方式也是多样的。
教师注重转变教学理念和教学方法，引导学生从多角度和多层面进行问题的分析，学会使用一题多解来找到解决问题的多种方式，对发散学生的思维，培养学生的数学能力至关重要。
一、数学课程中的一题多解数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养学生的灵活逻辑思维能力。
在新课改背景下，为了实现数学教学实效性的有效提升，教师也希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式，在提炼数学知识内容过程中也希望培养学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、结论之间的相互转换来彰显学生对于教学内容、方法的不同理解，培养学生思维的广阔性和慎密性。
在该过程中，教师的教学过程不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，要鼓励学生充分的发挥出想象力，能针对一个题目从多角度和多方向进行观察和分析，多角度和多变并且多层次的应用学习过的知识，得出不同类型解决问题的方式方法，同时也养成任何问题都去多方面思考的习惯。
二、圆的一题多解问题探析在学完圆的有关知识后，很多学生会发现有些习题常出现一题多解的特点.这是由于图形的位置及圆的对称性等特性而出现的情况。
本文将课本中的例、习题的改编题及近几年来全国各地的中考题有关圆中一题多解的问题归纳起来，作为培养学生发散思维的有效路径并展开分析。
圆周运动的多解性问题
圆周运动的多解性问题
圆周运动是物体沿着圆形轨道运动的一种运动形式，它是物理学中的一个重要概念，也是许多现实中的运动现象。
圆周运动的多解性问题是指圆周运动的解决方案有多种，可以根据不同的情况来选择最合适的解决方案。
首先，圆周运动的多解性问题可以从物理学的角度来考虑。
圆周运动的物理学解决方案可以分为动力学和动能学两种。
动力学解决方案是指利用力的作用来改变物体的运动状态，从而实现圆周运动；动能学解决方案是指利用物体的动能来改变物体的运动状态，从而实现圆周运动。
其次，圆周运动的多解性问题也可以从数学的角度来考虑。
数学解决方案可以分为几何学和微积分两种。
几何学解决方案是指利用几何学的方法来求解圆周运动的问题；微积分解决方案是指利用微积分的方法来求解圆周运动的问题。
最后，圆周运动的多解性问题还可以从计算机科学的角度来考虑。
计算机科学解决方案可以分为算法学和计算机图形学两种。
算法学解决方案是指利用算法学的方法来求解圆周运动的问题；计算机图形学解决方案是指利用计算机图形学的方法来求解圆周运动的问题。
总之，圆周运动的多解性问题可以从物理学、数学和计算机科
学三个方面来考虑，每个方面都有不同的解决方案，可以根据实际情况选择最合适的解决方案。
圆周运动多解问题
多解问题v ，并沿直线匀速穿过圆筒.若子弹一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？.则圆筒上只的时间内，圆筒转过的角度为ππ+n 2,其中 3,2,1,0=n ，即ωππ+=n v d 2.2所示，周期为T 。
当P 经过图中D 点时，有一质量为m .为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同，即质点P 转过)43(+n 周)3,2,1,0( =n 经历的时间)3,2,1,0()43( =+=n T n t ①质点P 的速率T R v π2=②在同样的时间内，质点Q立以上三式,解得2,1,0()34(82=+=n T n mR F π3. 如图3所示,在同一竖直平面内,A 物体从物体在b 点相遇,求A 的角速度。
解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。
A 从a 匀速转到b 的时间T n t )43(1+=)3,2,1,0(2)43( =+=n n ωπB 从O 自由下落到b 点的时间g R t 22=由21t t =，解得)3,2,1,0(2)43(2 =+=n R g n πω4。
如图，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。
要使球正好落在B 点,则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？解析:要使球正好落在B 点,则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n 圈（ 3,2,1=n )。
对小球221gt h =①t v R 0= ② 对圆盘)3,2,1(2 ==n t n ωπ ③联立以上三式，解得)3,2,1(2 ==n h g n πωh gR v 20=5。
一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，一台发出细光束的激光器装在小转台M 上，到轨道的距离MN 为d=10m ，转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s,光束转动方向如图箭头所示.当光束与MN 的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s 光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）［分析]激光器扫描一周的时间T=60s ，那么光束在△t=2。
第 7 点 圆周运动的多解性
第 7 点 圆周运动的周期性造成多解匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另 一个做其他形式的运动 . 因匀速圆周运动具有周期性， 使得在一个周期中发生的事件在其他周 期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性 . 一般处理这类 问题时，要把一个物体的运动时间 t ，与圆周运动的周期 T 建立起联系，才会较快地解决问题 .【对点例题1】如图所示，小球 Q 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆周运动，当 Q 球转到图示位 置时，O 点正上方有另一小球 P 在距圆周最高点 h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点 相碰，则 Q 球的角速度 ω 应满足什么条件？解题指导：设P 球自由落体到圆周最高点的时间为t ，由自由落体可得：212h gt =求得 t =Q 球由图示位置转至最高点的时间也是t ，但做匀速圆周运动，周期为T ，有(41)4T t n =+ (n =0，1，2，3……)两式联立再由2T πω=，得 (41)2n πω+所以 ω =(42n π+ (n =0，1，2，3……) 【练习】1 如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴O 匀速转动，其正上方h 处有一个小球，B 为圆盘边缘上的一点，现将小球沿OB 方向水平抛出一小球，使球恰好只与圆盘边缘上的B相碰，则 （1）小球的初速度v 为多少？（2）圆盘转动的角速度ω为多少？解：（1）小球做平抛运动在竖直方向上：212h gt =则运动时间 t =又因为水平位移为R ，所以球的速度v =R t =（2）在时间t 内，盘转过的角度θ=n •2π，又因为θ=ωt ，则转盘角速度：ω=22n n t π=n =1，2，3…） 2 如图所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由静止开始向右运动，B 物体质量为m ，同时A 物体从图中位置开始在竖直面内由M 点开始逆时针做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动.求力F 为多大时可使A 、B 两物体在某些时刻的速度相同 .解析 因为物体 B 在力 F 的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能 .设 A 、 B 运动时间 t 后两者速度相同 ( 大小相等，方向相同 ).对 A 物体有：332()44t T nT n πω=+=+ ( n ＝ 0,1,2 … ) A v r ω= 对 B 物体有：B F F F ma a v at t m m==== 令 v B ＝ v A ， 得 32()4F n r m πωω+= 解得 22(43)mr F n ωπ=+ ( n ＝ 0,1,2 … ).。
圆中多解问题
圆中多解问题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]圆中的多解问题一、根据点与圆的位置分类例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为。
二、三角形与圆心的位置关系例２：已知∆ABC内接于圆O，∠=︒OBC35，则∠A的度数为________。
例3：已知圆内接∆ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。
三、角与圆心的位置关系例4:在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____。
四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例5.圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD cm=8，求AB和CD的距离。
五、弦所对的圆周角有两种情况例6：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
练习：1.AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（）。
2.一条弦分圆为1∶5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（）六、圆与圆的位置关系例7、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。
例8、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。
例9、相交两圆半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______七．弦所对弧的优劣情况不确定例10.已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。
练习：1.平面内有一点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为5，则圆的半径为2．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为_________。
3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM=cm.．4.在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 与x 轴交于A （－2，0）、B （4，0），则圆心点M 坐标为_________.5.若O 为△ABC 的外心，且060=∠BOC ，求BAC ∠的度数 6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为。
04圆【12大考点串讲+25种题型+方法专题圆的切线的证明与圆中的多解问题】九年级数学上(人教版)
经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做 三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂 直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
知识串讲
5.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
知识串讲 题型九：理解圆周角的概念．
【例 9】下列命题中，正确的是( D ) A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边与圆相交的角是圆周角 C．顶点在圆上，一边与圆相交的角是圆周角 D．顶点在圆上，两边都与圆相交的角是圆周角
【思路分析】 圆周角的定义其要点是：①角的顶点在圆上；②角的两边 都与圆相交．在上面的 4 个选项中，只有最后一个选项符合定义．
知识串讲
题型十一：会判断点和圆的位置关系．
【例 12】在△ABC 中，如果∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，CM 为中线， 以 C 为圆心，r＝ 5cm 为半径画圆，试判断 A、B、C、M 各点和该圆的位 置关系．
【思路分析】判断点和圆的位置关系，就应该用该点到圆心的距离与半径 相比较． 【规范解答】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝2cm，BC＝4cm，所 以 AB＝ 22＋42＝2 5(cm)．又因为 CM 是中线，所以 CM＝21AB＝ 5(cm)．因 AC＝2cm＜ 5cm，所以点 A 在⊙C 的内部，点 C 在⊙C 的内部．因为 BC ＝4cm＞ 5cm，所以点 B 在⊙C 的外部，因为 MC＝ 5cm，所以点 M 在⊙ C 上．
知识串讲
交点个数 两个公共点
位置关系 相交
只有一个公共点
相切
没有公共点
相离
数量关系 d＜r d＝r
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圆中多解问题的分类讨论
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。
解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。
这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。
本文就近年中考题举例说明如下。
一、点和圆的位置
凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。
例1.过不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径R 为___________。
解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种： （1）点A 在⊙O 内，如图1，延长AO 交⊙O 于F ，则
AE R AF R =-=+1010，
由相交弦定理得：()()R R -+=101064
所以R =241（负值已舍去）
（2）点A 在⊙O 外，如图2，此时AE R AF R =-=+1010， 由割线定理得：()()101064-+=R R 所以R =6（负值已舍去） 故⊙O 的半径R 为241或6。
二、点与弦的相对位置
例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。
解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°
（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°
三、弦所对的圆周角
例 3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
解：弦所对的圆周角有两种情况：
（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°；
（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。
故应填60°或120°。
四、平行弦与圆心的位置
例4.在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB ＝6cm ，弦CD ＝8cm ，且AB ∥CD ，求AB 与CD 之间的距离。
分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。
解：过O 作AB 、CD 的垂线，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接OA 、OC 在Rt △OAE 中，OE OA AE cm =
-=-=2222534() 在Rt △OCF 中，OF OC CF cm =
-=-=2222543()
（1）当AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图5，AB 和CD 之间的距离为
EF cm =-=431()
（2）当AB 、CD 在圆心O 的异侧时，如图6，AB 和CD 之间的距离为
EF cm =+=437()
所以AB 和CD 之间的距离为1cm 或7cm 。
五、圆心与角的位置
例 5.在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是
____________。
解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE AE ==11
2
所以∠BAE ＝30°
同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ，所以 ∠EAC ＝45°，∠BAC =︒+︒=︒304575
当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：
∠BAC '=︒-︒=︒453015
所以∠BAC 为75°或15°
六、点在弧上的位置
例6.如图8，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OAB ＝_________度，∠OPB ＝_________度。
图8
解：依题意可知△AOB 是等腰直角三角形，所以∠OAB ＝45°
当动点P 在OAB ⌒
上时，∠OPB ＝∠OAB ＝45°
当动点P 在OB ⌒
上时，∠OPB ＝180°－45°＝135° 故∠OPB 为45°或135°。
七、相交两圆的圆心与公共弦的位置
例7.已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。
分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。
解：如图9、图10， 在Rt O AC ∆1中，O C O A AC 1122224223=-=-=
在Rt O AC ∆2中，(
)
O C O A AC 22222
222
22=
-=
-=
（1）当圆心O O 12、在公共弦AB 的同侧时，如图9
O O O C O C 1212232=-=-
（2）当圆心O O 12、在公共弦AB 的异侧时，如图10
O O O C O C 1212232=+=+
八、直线与圆的位置
例8.两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。
分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。
解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB 切⊙O 1于A ，切⊙O 2于B ，EF 切⊙O 1于E ，切⊙O 2于F ，AB ⊥EF 于D 。
由切线定理，得：
∠∠∠∠O DA O DE O DB O DF 11224545==︒==︒
所以∠，，O DO O D O D 1212904222=︒== 故有O O O D O D 121222210=
+=
（2）当内公切线垂直时，如图12，作O E l O D l 1221⊥，⊥，交点为E ，则
()()O O O E O E 12122222
424262=+=
+++=
（3）当外公切线垂直时，如图13，作O E l O F l O G O E 122221⊥，⊥，⊥于G ，则
()()O O O G O G O E GE EF 121222122
22
42222=+=
-+=
-+=。