【初二数学】《平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

北京四中内部教案初二数学最新讲义《平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.掌握三角形的中位线定理.3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.4.积累数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD 记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn-⋅°；多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定1、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF•∥AB，•通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵等腰△ABC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE2、完成下列各题：（1）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6，AB＝3，求四边形ABCD 的周长．（2）已知：如图2，在△ABC中，D为边BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC．求证：AB＝AC．【思路点拨】（1）首先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质和周长公式计算即可；（2）由已知条件证明△ADE≌△ADC可得到∠E＝∠C，又∠E＝∠B，所以∠B＝∠C，进而证明AB＝AC．【答案与解析】（1）解：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，又∵∠B＝∠D，∴∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC，∴ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝6，∴四边形ABCD的周长＝2×6＋2×3＝18；（2）证明：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ADC，又DE＝DC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴∠E＝∠C，又∠E＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．【总结升华】（1）本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的性质以及求平行四边形的周长；（2）本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的性质以及等腰三角形的证明．举一反三：【变式】如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．【答案】证明：∵F是BC边的中点，∴BF＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，∵在△CD F和△BEF中C FBECDF ECF BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF≌△BEF（AAS），∴BE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝BE．3、（2015•哈尔滨）如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△OAE与△OCF中，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，同理OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，GH∥BC，∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，∵EF过点O，GH过点O，∵OE=OF，OG=OH，∴口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积，∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．4、如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA＝MC．（1）求证：CD＝AN；（2）若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．【思路点拨】（1）利用“平行四边形ADCN的对边相等”的性质可以证得CD＝AN；（2）根据“直角△AMN中的30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AN＝2MN＝2，然后由勾股定理得到AM＝3，则S四边形ADCN＝4S△AMN＝23．【答案与解析】（1）证明：∵CN∥AB，∴∠1＝∠2．在△AMD和△CMN中，12MA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN．又AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；（2）解：∵AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，∴AN＝2MN＝2，∴AM＝223AN MN-=，∴S△AMN ＝12AM•MN＝12×3×1＝3．∵四边形ADCN是平行四边形，∴S四边形ADCN ＝4S△AMN＝23．【总结升华】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，还利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．类型二、三角形的中位线5、如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A．6 B．8 C．10 D．12【思路点拨】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．【答案与解析】解：设三角形的三边分别是a b c、、，令a＝4，b＝6，则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，故6＜中点三角形周长＜10．故选B．【总结升华】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．举一反三：【变式】（2014春•太仓市期中）△ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD 与点D，求证：DE=（BC﹣AC）．【答案】解：延长AD交BC于F，∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，∴∠ACD=∠BCD，∠ADC=∠FDC=90°，又CD=CD，∴△ADC≌△FDC（ASA）∴AC=CF，AD=FD又∵△ABC中E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=（BC﹣CF）=（BC﹣AC）．类型三、多边形内角和与外角和6、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【思路点拨】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A；【解析】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n－2）＝360，解得：n＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n－2）．举一反三：【变式】若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A；解：设边数为n，根据题意得（n－2）•180°＜360°解之得n＜4．∵n为正整数，且n≥3，∴n＝3．故选A．。