典型方程和定解条件的推导1
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
三类典型的数学物理方程
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数-第一章一些典型方程和定解条件的推导 作业题
题中已给出,即u(x,0) x(l x) 2, 0 x l
考虑边值条件.设温度为零的端点是在x=0处,
则有u(0,t)=0, (t>0)。另一端(x=l)有恒定热流q
进入杆内,由傅立叶定律,在边界曲面S上有
u
k n
qn
其中qn沿边界外法向n的热流强度.在x=l端,边 界外法向就是x轴的正向，而热量流入杆内,
第一章一些典型方程和定 解条件的推导
作业题-习题一
1. 长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另
一端有恒定热流q进入(即单位时间通过单位
截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是
x(l-x)/2,试写出相应的定解问题。
解：该问题是一维热传导方程,
qn
Sn
设温度函数为u(x,t). 初始条件 0
x l
0
x
x l
u(0, t) 0, u(x, t) 0, t 0
x xl
u ( x,0)
e l
x,
u(x, t) 0, 0 x l x t0
ux(l,t)=0.
考虑初始条件。由于弦初始时刻处于静止状 态，即初速度为零，故ut(x,0)=0。而在t=0时 杆沿轴线方向被拉长e，则单位杆长的伸长 为e/l，故在x处的伸长为xe/l，即u(x,0)=ex/l.
综上述，相应的定解问题为
Fn
2u
t
2
a2
2u x 2
,
0 x l, t 0
4. 一均匀杆原长为l, 一端固定,另一端沿杆的
轴线方向被拉长e而静止,突然放手任其振动,
试建立振动方程与定解条件。 0
数理方程
典型方程的推导及其物理背景；二阶偏微分方程分类及典型化；二阶偏微分方程常用解法：分离变量法、达朗贝尔法、积分变换法、点源法；变分法（能量积分）基础1、三类典型方程的背景及推导1）波动方程（力学，牛顿第二定律）（双曲型） 弦微小横振动：),(2t x f u a u xx tt += 薄膜横振动：()),,(2t y x f u u a u yy xx tt ++= 电磁场波动：()),,,(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt +++=2）热传导方程（热学，能量守恒，流入热量-流出热量=热量增加量）（抛物型）),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx t +++= 3）位势方程（电磁学）（椭圆型）0=t u ，0=tt u),,,(2t z y x f u u u u zz yy xx =++=∇（Poisson 方程） 02=∇u （Laplace 方程）定解条件：a 、初始条件，Cauchy 问题；b 、边界条件，第一、二、三类边值问题分别称为Dirichlet 、Neumann 、Robin 问题；c 、混合条件2、二阶偏微分方程的分类及标准化如果微分方程中涉及单因素（一个自变量），这种方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素（多个自变量），方程中出现偏导数，这种方程称为偏微分方程（partial differential equation ，PDE ）。
二阶线性偏微分方程的一般形式有时写成Lu=f ，线性算子L 对应的矩阵为A=［a ij ］n×n ，根据A 的不同情况分类： 1）若A 的特征值同正或同负（正定或负定），则方程在点x 0是椭圆型的； 2）若A 的特征值至少有一个为零（即A 是奇异的），则方程在点x 0是抛物型的； 3）若A 的特征值有m 个同号，其余n-m 个具有相反符号，则方程在点x 0是双曲型的，当m=1时称狭义双曲型，简称双曲型，当m ＞1且n-m ＞1时称超双曲型。
数学物理方程研究生教学大纲(应用人才)-学硕和专博
《数学物理方程》（应用人才）教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Equations of Mathematical Physics2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《高等数学》、《积分变换》、《复变函数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：工学专业的学术型硕士和博士9、大纲执笔：研究生教研室10、大纲审批：理学院学术委员会11、制定(修订)时间：2015年6月、2018年7月二、课程的目的与任务数学物理方程是工科院校相关专业硕士研究生的一门重要的学位课程，数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，算子法等；通过本课程的学习，能够建立一些较为简单的实际问题数学物理模型，学会用数学物理方程理论与方法解决实际问题的初步技能。
三、课程的基本要求1、理解数学物理方程的基本概念。
2、掌握利用微元法建立数学物理方程的思想和方法。
3、理解数学物理方程解的适定性概念。
4、掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤。
5、理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法。
6、会求解非齐次方程的定解问题。
7、掌握非齐次边界条件的处理方法。
8、了解施图姆—刘维尔问题及其性质。
9、掌握Fourier变换的定义和基本性质，会用Fourier变换求解某些简单的数学物理方程定解问题。
10、掌握Laplace变换的定义和基本性质，会用Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。
11、掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
数学物理方程举例和基本概念讲解
① 弦振动方程和定解条件
物理模型（弦的微小横振动问题）
设有一根拉紧的均匀柔软细弦，其长为l，线密度为，且在单位长度上受到
垂直于弦向上的力F初始小扰动后，在平衡位置附近作微小横振动.
试确定该弦上各点的运动规律.
分析. 如图选择坐标系，设u x,t 表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移.
利用微元法建立方程.
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定解问题的适定性
1923年，阿达马（J.S. Hadamard，法国）提出
定解问题是否能够反映实际， 或者，定解问题的提法是否适合？ 从数学的 角度看主要从下面三个方面来验证：
解的存在性： 即在给定的定解条件下，定解问题是否有解存在?
解的唯一性： 即在给定的定解条件下，定解问题的解若存在，是否唯一？若 能确定问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻找它。
超星数字图书馆（注: 网络图书馆）
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㈡ 方程的几个基本概念 ⑴ 数学物理方程：
① 定义：
主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所产生的偏微分方程，有 时也包括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分积分方程等。 例如：
1 描绘振动和波振动波，电磁波动特征的波动方程:
utt a2uxx f .
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
线性偏微分方 程可分为
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v
j dj
v dv
x
x dx
j dv Rdxj Ldx t dj Gdxv (Cdxv) t
v (R L ) j 0 x t 亦即 j (G C )v 0 t x
j j j LC 0 t t x
2
x dx
3、忽略与近似
T cos T cos 0 T sin T sin ds g ds u
于是（1）式变为：
(1) (2)
tt
对于小振动：
0 ; 0
所以有：
T T
（2）式变为：
cos 1 ; cos 1
Hamilton operator :
i j k x y z
D 由 rotH J t J E 代入上式，得 将 D E E rotH E t
目标: 利用上述关系,分别解出 H 、E 。
i v C Gv 0 t 穷小量得： x
i v v v C C dx Gv G dx 0 x t tx x
，略去高阶无
i x, t
v -x , t
+
v v dx x Cdx t
＋
+ i
v i L Ri 0 x t
流入
v v i ( x, t ) (Cdx) (v dx) (Gdx)(v dx) t x x i i ( x, t ) dx 流出 x
电感上的电压：
i x, t
+ v x, t v v dx x Cdx t
2 2
2 2 2 2
亦即
v j Rj L x t j v Gv C x t
将 G C
作用于第一式, 作用于第二式,两结果相减,就消去了 v 而得 j 的方程 t t 2 2
RGj ( LG RC )
同理,消去
j
,得到 v 的方程
v v v RGv ( LG RC ) LC 0 t t x
sin tg u tg 1 tg x
2 x
tg u sin tg 1 tg x
2
T sin T sin ds(u g) u u T T ds(u g ) x x
tt
x dx x t t
所以有：
T’
ds
M
M'
'
2
cos 1 ; cos 1
2
1 tg sec
T
o N x
ds.g
N’ x+dx
1 1 cos
2
x
tg u sin tg 1 tg x
2
tg u sin tg 1 tg x
第一章
§
一些典型方程和定解条件的推导
不含初始条件 不含边界条件
1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （偏微分方程并求解）
目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。
步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；
（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律， 分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿 直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影 响，在铅直平面内作横向、微小振动。 任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 数学物理方程与特殊函数 极具启发性。
1、建立坐标系 3、忽略与近似
Rdx
+ - v ( x, t )
Ldx
i ( x, t )
P
＋ ● －
i + di
C L
i i di
1、建立坐标系
Cdx
●
Gdx C
– v dv
L
时刻 t 电路中的瞬时电流
选定微元
2、微元的电路方程
x
数学物理方程与特殊函数
x dx
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以R，L，C，G。于是
C
C
q Cu dq d (Cu) du i C dt dt dt q idt
电感元件：
di L uL L dt
dL uL dt L Li di uL L dt 1 i udt L
换路定理:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不ຫໍສະໝຸດ 突变。数学物理方程与特殊函数
二. 传输线方程(电报方程)的建立 设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和 电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元 件无论布局如何，均认为其长度为 dx. 设某时刻 t ，对应关系如下： 左端：x v x , t i x , t ；
u T( x
x dx
u ) dx u x
x
t t
上式实际上可以明确表示为：
u( x dx , t ) u( x , t ) T dx u x x
t t
u T dx dx u x x
这里表示：自变量由 x 增加 到 x+dx 时，函数的增量。 既然 dx 很小，这个这个增量 不妨用微分带代替。
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T、T ’——微元两端所受张力
g
——细弦的线密度（单
4、整理化简
位长度内的质量
——重力加速度
u
T’
ds
M
M'
'
T
o N x
ds.g
N’ x+dx X
数学物理方程与特殊函数
1、建立坐标系
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T cos T cos 0 T sin T sin ds g ds u
D E B H J E
: 介质的介电常数 : 导磁率 : 导电率
Laplace operator :
2
J : 传导电流的面密度
: 电荷的体密度
2 2 2 2 2 2 x y z
Vector difference operator
u T ds(u g ) x
x t t
一般说来，
u g
t t
x
将 g 略去，得
x dx
u T ds u x
t t
于是左下角式变为：
考虑到角度很小， 近似地与 u 无关：
ds dx
u T( x
x dx
u ) dx u x
x
t t
3、忽略与近似
Rdx
+
Ldx
i ( x, t )
P
＋ ● －
i + di
C L
i i di
L
时刻 t 电路中的瞬时电流
1、建立坐标系 选定微元
P——电路的节点
v( x.t )
Cdx
– Gdx C v dv
x
数学物理方程与特殊函数
●
2、微元的电路方程
x dx
电路准备知识
电容元件：
du i C dt
u M'
(1) (2)
tt
T’
ds
M
'
T
o N x
ds.g
N’ x+dx X
数学物理方程与特殊函数
3、忽略与近似
T cos T cos 0 T sin T sin ds g ds u
(1) (2)
tt
对于小振动：
u
0 ; 0
i v v v C C ( dx ) Gv G dx 0 x t t x x
2
v v (v dx) (Gdx)(v dx) t x x i i ( x, t ) dx ，整理后得到： x i ( x, t ) (Cdx)
(1.4)
i v C Gv 0 x t
(1.5)
联立上述两个方程（代入消元法），注意假定
v与i
都对 x , t 是二次
连续可微的，即可得到：
i i a 2 2 x t
2 2 2
a i xx i t t
2
a 2 2 x t
2 2 2
数学物理方程与特殊函数
a xx t t
2
1 其中 a LC
2
例3. 电磁场方程 基本电磁场量 场的物质方程 Maxwell方程 B rotE t D rotH J t divD
divB 0
电场强度 E 磁场强度 H 电感应强度 D 磁感应强度 B
duC iC C dt
x
数学物理方程与特殊函数
Gdx v dx x
输出端
x dx
di u L dt
L
由基尔霍夫电压定律: