高等数学第七章

zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
二、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
j
y
a,
az
Pr
jza,
或记作
ax (a)x ,
ay (a)y ,
az (a)z .
向量的投影具有下列性质：
性质1 (投影定理)
向量AB 在轴 l 上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：Pr jl AB | AB | cos
证
B
Pr jl AB Pr jl' AB
A
l'
B
A
C
B
l

B
C
推广：
Pr j( ... ) Pr j Pr j ... Pr j .
性质3
向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴 上的投影与数的乘积，即 Prjlα=λPrjlα
证 设α与l 轴的夹角为 φ，
λα与l轴的夹角为 φ1，
λα
当λ>0时，φ1=φ
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
λα
φ1 = φ φ1=π- φ
Prj(λα)= 0 =λPrjlα；
λ<0
（二） 向量的坐标表示
终点，则终点M的坐标x、y、z也叫做向量α
的坐标.记作α=xi+yj+zk=(x,y,z)，它叫做向量
的坐标形式.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
过点 A 作轴 u 的垂直平面，交点
r 设uA轴'O即上M为的'点投A影在e，，轴记则u作数上P的r称投ju为r影或向.(r量)u
在 .
r
.
O
e
•A A• '
u
设a (a
ax Pr
x,
jx
a
a,
y,
a
y
az
),则
Pr
三、向量的线性运算
（一加）法：向a量的b加 减法c
(1) 平行四边形法则
a
(2) 三角形法则
（（向12）量）交的结换加合律法律：符：aa合下bb列运cb算规(aa律. ：b)
b c
aa
b
a
(b
c).
多个向量相加，可以按照三角形法则.
负向量：大小相等但方向相反的向量.
a a
减法：a
b
a
(b)
A
B
l
| AB | cos
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
γ
α
β
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
性质2 两个向量的和在轴上的投影等于两个
向量在该轴上的投影之和.
Pr j( ) Pr j Pr j .
由下面图形很容易证明该性质.
第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量 第二节 数量积 向量积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面及其方程 第六节 曲线及其方程
第一节 向量
一、空间直角坐标系 二、向量的概念 三、向量的线性运算 四、向量的坐标
一、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
z
在坐标轴ox、oy、
oz上，以O为起点分别
取三个单位向量i、j、k,
Ck M
其方向与三坐标轴的正
B
向相同，称它们为基本 单位向量.
i
o A
j
y
显然， OM =xi+yi+zk，x
其中x,y,z是向径OM在坐标轴上的投影， 也就是终点M的坐标.
定义 设空间直角坐标系中有向量α，把
它平移，使起点移到坐标原点，M为向量α的
a
b
b
a
a
b
特例：a
(a)
0.
b
b c
a
b
c
a
(b)
a
b
（向(二((123量))）)a向与000,,,量实aaa与数与 与数aa0的同 的反乘向乘向法，积，|| 记aa作|||a||,a规| |a定| a是一个向量.
a
2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示:
坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, 坐标原点O(0,0,0) z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
向量表示：a 或 M1M2
M2 M1
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
向量平行 方向相反或者方向相同的向量a
a//b
零向量和任何向量都平行.
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy面
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
设M是空间的一点, 过点M做平行于坐标面的三个平面, 该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标.
（2）分配律：(
(a
)a b)
a
a
a
b
四、向量的坐标
（一） 向量在轴上的投影
设有两个非零向量α，β，任取空间一
点O，作OA=α,OB=β，规定不超过π的
∠AOB(设φ=∠AOB，O≤φ≤π)称为向量
α与β的夹角 .
B
记作 ( , ) ( , ) (0 )
β
o
αA
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面, 形成一个 六面体.
d M1M2 ?
zR
M1•
P
• M2
Q N
在直角M1 NM2 及 直 角 M1PN
中，使用勾股定理
o
y知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,