高数第七章空间解析几何作业答案
第七章 空间解析几何与向量代数
1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。
答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,22a 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,0,22a 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,,22,0a 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,,22,0a 、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛a a ,0,22、 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ,0,22、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ,,22,0、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a a ,,22,0。
2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。
答案：34轴：x ，41轴：y ，5轴：z 。
3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、表示v u 32-。
答案：. 7115+-
4．若4=r ，它与轴u 的夹角为
3
π，求r 在轴u 上的投影。
答案：2.
5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。
答案：)0,3,2(-A
6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角以 及和21M M 方向一致的单位向量。
答案：模:2; 方向余弦:;2
1,22,21-- 方向角:;3,43,32πππ 和21M M 方向一致的单位向量: .21,22,21⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-
-
7. 设a 23--= 、b -+=2 ，求:
（1）b a b a ⨯⋅及 （2）()b a b a 232⨯⋅-及 （3）b a 、 的夹角的余弦。
答案：;75,3).1(++-;14210,18).2(++-.2123cos ).3(=
θ
8. 求{}4,3,4-=a 在{}1,2,2=b 上的投影。
答案：2.
9. 已知)2,1,1(1-M 、)1,3,3(2M 、)3,1,3(3M ，求与21M M 、32M M 同时垂直的单位向量。
答案：).223(17
1--±
10. 已知, 3 , 3+=+=求OAB ∆的面积。
答案：
192
1.
11. 一动点与两定点()1,3,2和()6,5,4等距离，求动点的轨迹方程。
答案：.0631044=-++z y x
12．方程02422
22=++-++z y x z y x 表示什么曲面？
答案：以点(1,-2,-1)为球心,半径等于6的球.
13. 将xoz 坐标面上的双曲线369422=-y x 分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
答案：绕轴：x 36)(94222=+-z y x ;绕轴：y 369)(4222=-+y z x .
14. 求椭圆抛物面2
22y x z +=与抛物柱面22x z -=的交线关于xoy 面的投影柱面和在xoy 面上的投影曲线方程。
答案：关于xoy 面的投影柱面:122=+y x ;
在xoy 面上的投影曲线方程: .0122⎩
⎨⎧==+z y x
15. 求与坐标原点O 及点()4,3,2的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面的方程，它表
示怎样的曲面？ 答案：;911634)1(322
22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x 它表示一球面.
16. 求旋转抛物面)40( 2
2≤≤+=z y x z 在三个坐标面上的投影。
答案：.4;4;4 2222≤≤≤≤≤+z y z x y x
17. 求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程。
答案：04573=-+-z y x .
18. 求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-的平面方程。
答案：023=--z y x
19. 一平面过点)1,0,1(-且平行于向量{}1,1,2=a ，{}0,1,1-=b , 试求此平面方程。
答案：043=--+z y x
20． 求与平面043=+-+z y x 平行，且在z 轴上截距等于2-的平面方程。
答案：023=--+z y x
21．试确定k 的值，使平面0=+++k z y kx 、0=+++k kz ky x ：
（1）互相垂直； （2）互相平行； （3）重合。
答案：.1).3(;1).2(;0).1(=±==k k k
22．求平面0522=++-z y x 与xoy 坐标面的夹角的余弦。
答案：.3
2,32,31
23．求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离。
答案：1.
24． 求过点)4,2,0(且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。
答案：
.14322-=-=-z y x
25． 求过点)2,1,3(-且通过直线
12354z y x =+=-的平面方程。
答案：0592298=---z y x
26． 求直线⎩⎨
⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角ϕ。
答案：0=ϕ.
27． 证明直线 ⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线 ⎩
⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行。
江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)
第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
空间解析几何习题答案解析
一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。
高数答案第七章
第七章空间解析几何与向量代数§7.1向量及其线性运算必作题：P300---301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：1、求点(a,b,c)分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.解：（1）xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）,xoz面（a,-b,c）;(2）ox轴（a,-b,-c）,oy轴（-a,b,-c）,oz轴（-a,-b,c）;(2）关于原点（-a,-b,-c）。
2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征,指出下列各点的位置A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,1,0).解：xoy面：z=0，yoz面：x=0，xoz面：y=0.ox轴：y=0,z=0，oy轴：x=0,z=0，oz轴：x=0,y=0，A在xoy面上，B在yoz面上，C在x轴上，D在y轴上。
3、在z轴上求与点A(4,1,7)和点B(3,5,2)等距离的点的坐标.解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=149 ，所求点为(0,0,149).4、设uab2c,va3bc,试用a,b,c表示2u3v.解：2u3v5a11b7c.5、已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),求向量M1M2的模，方向余弦和方向角.解：M1M21,2,1，M1M22，方向余弦为c o s 12，cos22，cos12，方向角23，34，3.16、设向量a的模a2,方向余弦13cos0,cos,cos,22求a.x 解：设ax,y,z，则02 ，y122，y322，所以x0，y1，z3，a0,1,37、设有向量P1P2,P1P22,它与x轴、y轴的夹角分别为和，如果已34知P1(1,0,3),求P2的坐标.解：设P的坐标为(x,y,z)，P1P2x1,y,z3，2 x11cos232，所以x2；y2cos242，所以y2，又P P，所以122,212(z3)2，解得z2或z4，所以P2的坐标为(2,2,2)或者(2,2,4).8、求平行于向量a6,7,6的单位向量.解：a36493611，与a平行的单位向量为16,7,611 ，即为676,,111111，或者676,,111111.§7.2数量积向量积混合积必作题：P309--310：1，2，3，4，6，7，8，9. 必交题：1、已知向量a1,2,2与b2,3,垂直，向量c1,1,2与d2,2,平行，求和的值.解：ab，ab2620，22ab，11222u，u4.2、已知向量a2i3jk,b ij3k,ci2j,分别计算以下各式.⑴(ab）c(a c）b；⑵(ab)(bc)；⑶(a b)c.解：⑴(ab）c(ac）b8c8b8j24k⑵(a b)(bc)(3i4j4k)(2i3j3k)jk231(a b)c1132.⑶1203、已知OAi3k,OBj3k，求ABO的面积.解：OAOB3i3j kABO的面积119SOAOB.22§7.3曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点A2,3,1和B4,5,6等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设动点P(x,y,z)，因为PAPB，所以222222(x2)(y3)(z1)(x4)(y5)(z6)，解得动点的轨迹方程为632x2y5z. 22、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形.⑴yx1；⑵224xy；⑶221 xy；⑷22xy；⑸220 xy.解：⑴直线；平面⑵圆；援助面⑶双曲线；双曲柱面3⑷抛物线；抛物柱面⑸原点；Oz坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴222xyz4991；⑵222(za)xy.解：⑴xOy坐标面上椭圆22xy491绕Ox轴旋转形成，或者xOz坐标面上椭圆22xz491绕Ox轴旋转形成。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
7空间解析几何与向量代数习题与答案
空间解析几何与向量代数第七章 A 一、)?6(a?6,7,1、平行于向量的单位向量为______________.)0,,)和2M(3M(4,2,1MM.设已知两点的模，方向余弦和方向角，计算向量2、2121pn?4m?3j?5i??4ka?7nim?3?5j?8k,?2i?4j?k,p轴设3、在，求向量x .上的投影，及在y轴上的分向量二、；?b?b?2b及aab2()(?2a)?3及a k?2k,b??2j?iia?3?j(1)的、(3)ab1、设，求 .夹角的余弦1,2),M(3,3,?1),M(3,1,3),(M1MM,MM同时垂直的单位向量.，求与2、知31232211??b?z轴?与a??),4?(2,1?a?(3,5,2),b满足设.3、_________时，，问三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.222?2x?4y??y2?zz?x0表示______________曲面2、方程.2x?y2 __将xOy坐标面上的轴旋转一周，生成的曲面方程为绕x、31)___________________._____________，曲面名称为22xy2x??生成的曲面方程坐标面上的2)将xOyx轴旋转一周，绕___________________._____________，曲面名称为2236??9y4x轴旋转一周，生成的曲面方轴及yxOy坐标面上的绕x3)将_____________________._____________程为，曲面名称为2xy?在空间解析几何中）在平面解析几何中图形。
表示____________ 42x?y图形.表示______________ ）画出下列方程所表示的曲面 5222)(x?y4z? (1)222)??4(xyz (2)四、22?yx1???图形，在空间解1在平面解析几何中表示____________、指出方程组94??3y??图形.析几何中表示______________2229?zx??y1?x?z.面上的投影方程的交线在2、求球面与平面xOy22222?ax(a?0xy?)yxa0?z???的公共部分在、求上半球与圆柱体3xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.33、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1?3zyx???、求过点1(1,2,3)且平行于直线.的直线方程521 2??3zy1?zx?2且与两平面2、求过点(0,2,4)平行的直线方程,.0?7??x?2y4z? .垂直的平面方程(2,0,-3)3、求过点且与直线?0z?5x3?y2?1??x?4y?3z??的平面方程且通过直线. 4、求过点(3,1,-2)152 x?y?3z?0?x?y?z?1?0的夹角5、求直线.与平面?0??zyx??6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x?2y?z?7?x?1y?3z??;与直线1)直线?7??2xy?z?112??? x?2y?2z?3??和平面2)x+y+z=3.直线43?1x?y?z?1?0?到直线、求点7(3,-1,2)的距离.?04????2xyz?5B c,a,b a?c?c?a?b?c?0b?b?a.1、已知（:为非零矢量），试证)ba,},求?(,a?b?{11,13a?b?, .2、a)tb(a?tb|a?|b?t b.取何值时，向量模和为两非零向量，问已知3、最小？并证明此时n)86,(a?3,xan?n? 4、求单位向量，使轴，其中.且?0?y?5z2x?z的平面方程轴，且与平面.的夹角为5、求过3)5()1,2M?3,,?1,(M40?3y?6x2?z7?.的平面，、求过点6，且垂直于2160?1??2y?zx?zxyl??.：、求过直线，且与直线平行的平面7?202?y?z?2x?21?1? 1?y??1?x?y?z：L.垂直相交的直线方程求在平面、上，:且与直线8?1?z??),2M(1,43M(,1,8)kg100，计算重力所做的功的物体从空间点9、设质量为，移动到点21m（长度单位为.）22?02xy?z??xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲在10、求曲线?3z??线？OA?i?3k,OB?j?3k?OAB的面积，求、已知1170??z2x?4y?1??z4x?y.12、.求直线在平面上的投影直线方程?0??9y?2z3x??C?????????,c?0,??a,b,c?a?b?0,不全为零有相同起点,且，1、设向量，其中cb,a,终点共线证明:.?212y?x?)2,?1M(1,??L.且与直线，求过点角的直线方程：相交成2、0112?3z3y?x?1??0)3x?4y?z??10,(?10,4相交的直线方且平行于平面、过又与直线3211程.2z?yzxy1x?LL????.4、求两直线：：与直线的最短距离210?3?160?1xoy}1,1,g?{1，，母线平行于向量5、柱面的准线是面上的圆周（中心在原点，半径为1） .求此柱面方程a?xb?a?lim?)b(?2,a,b.非零，a,b，求6、设向量x30?x x?2y??L:绕y轴旋转一周所围成曲面方程7、求直线. ?1)1y?(?z??2?第七章空间解析几何与向量代数答案习题 A 8?667??,?, 1一、、??111111?????12132?????????,cos,coscos????,,MM ,2、=2,21222334a在x轴上的投影为7j3、，在y轴上的分量为1331)???2)?(?a?b?31?(?1)?2?(二、11）、kijk?7?5i?j3a?b??1?212?1k2j?14(??18a?2b?2a?b)?10i?62(?a)?3b??(a?b)，（2）3ba?^??cos(a,b)（3）ba?212}2?,2,{?2,4,?1},MM?{0MM 2、3122kijk44j???MM?24?1?6iMa?M3221220?4??4a6},,???{a172172217即为所求单位向量。
高等代数与解析几何第七章知识题7答案解析
习题7.4习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。
证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。
（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλO21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。
又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。
证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。
证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。
现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。
高等数学同济第五版第7章答案
习题7-11 设u a b 2c v a 3b c 试用a 、b 、c 表示2u 3v 解 2u 3v 2(a b 2c )3(a 3b c )2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c2 如果平面上一个四边形的对角线互相平分 试用向量证明这是平行四边形 证明 →→→OA OB AB -= →→→OD OC DC -=而→→OAOC -= →→OBOD -=所以→→→→→→AB OA OB OB OA DC -=-=+-=这说明四边形ABCD 的对边AB CD 且AB //CD 从而四边形ABCD 是平行四边形3 把ABC 的BC 边五等分 设分点依次为D 1、D 2、D 3、D4 再把各分点与点A 连接试以→c =AB 、→a =BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→A D 3、→AD 4解 →→→ac 5111--=-=BD BA A D →→→ac 5222--=-=BD BA A D →→→ac 5333--=-=BD BA A D →→→ac 5444--=-=BD BA A D4 已知两点M 1(0 1 2)和M 2(1 1 0) 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→212M M -解 →)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=M M →)4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-M M5 求平行于向量a(6 76)的单位向量解 11)6(76||222=-++=a平行于向量a (6 7 6)的单位向量为)116 ,117 ,116(||1-=a a 或)116 ,117 ,116(||1--=-a a6 在空间直角坐标系中 指出下列各点在哪个卦限？A (1 2 3)B (2 3 4)C (2 3 4)D (2 3 1) 解 A 在第四卦限 B 在第五卦限 C 在第八卦限 D 在第三卦限7 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置 A (3 4 0) B (0 4 3) C (3 0 0) D (0 1 0) 解 在xOy 面上 的点的坐标为(x y 0) 在yOz 面上 的点的坐标为(0 y z ) 在zOx 面上 的点的坐标为(x 0 z ) 在x 轴上 的点的坐标为(x 0 0) 在y 轴上 的点的坐标为(0 y 0) 在z 轴上 的点的坐标为(0 0 z )A 在xOy 面上B 在yOz 面上C 在x 轴上D 在y 轴上8 求点(a b c )关于(1)各坐标面 (2)各坐标轴 (3)坐标原点的对称点的坐标解 (1)点(a b c )关于xOy 面的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于yOz 面的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于zOx 面的对称点为(a b c ) (2)点(a b c )关于x 轴的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于y 轴的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于z 轴的对称点为(a b c ) (3)点(a b c )关于坐标原点的对称点为(a b c )9 自点P 0(x 0 y 0 z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线 写出各垂足的坐标 解 在xOy 面、yOz 面和zOx 面上 垂足的坐标分别为(x 0 y 0 0)、(0 y 0 z 0)和(x 0 0 z 0)在x 轴、y 轴和z 轴上 垂足的坐标分别为(x 0 0 0) (0 y 0 0)和(0 0 z 0)10 过点P 0(x 0 y 0 z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解 在所作的平行于z 轴的直线上 点的坐标为(x 0 y 0 z ) 在所作的平行于xOy 面的平面上 点的坐标为(x y z 0)11 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上 其底面的中心在坐标原点 底面的顶点在x 轴和y 轴上 求它各顶点的坐标 解 因为底面的对角线的长为a 2 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a - )0 ,0 ,22(a )0 ,22 ,0(a - )0 ,22 ,0(a) ,0 ,22(a a - ) ,0 ,22(a a ) ,22 ,0(a a - ) ,22 ,0(a a12 求点M (4 3 5)到各坐标轴的距离解 点M 到x 轴的距离就是点(4 3 5)与点(4 0 0)之间的距离 即345)3(22=+-=x d点M 到y 轴的距离就是点(4 3 5)与点(0 3 0)之间的距离 即 415422=+=y d点M 到z 轴的距离就是点(4 3 5)与点(0 0 5)之间的距离 即5)3(422=-+=z d13 在yOz 面上 求与三点A (3 1 2)、B (4 2 2)和C (0 5 1)等距离的点解 设所求的点为P (0 y z )与A 、B 、C 等距离 则 →2222)2()1(3||-+-+=z y PA →2222)2()2(4||++++=z y PB→222)1()5(||-+-=z y PC由题意 有 →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y 1 z 2 故所求点为(0 1 2)14 试证明以三点A (4 1 9)、B (10 1 6)、C (2 4 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形 解 因为→7)96()11()410(||222=-+--+-=AB →7)93()14()42(||222=-+-+-=AC→27)63()14()102(||222=-+++-=BC所以→→→222||||||AC AB BC += →→||||AC AB =因此ABC 是等腰直角三角形 15 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(30 2) 计算向量→21M M 的模、方向余弦和方向角解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=M M→21)2()1(||22221=++-=M M21cos -=α 22cos =β 21cos =γ32πα= 43 πβ= 3πγ=16 设向量的方向余弦分别满足(1)cos 0 (2)cos 1 (3)cos cos 0 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？ 解 (1)当cos 0时 向量垂直于x 轴 或者说是平行于yOz 面 (2)当cos 1时 向量的方向与y 轴的正向一致 垂直于zOx 面 (3)当cos cos 0时 向量垂直于x 轴和y 轴 平行于z 轴 垂直于xOy 面17 设向量r 的模是4 它与轴u 的夹角是60 求r 在轴u 上的投影 解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u18 一向量的终点在点B (2 1 7) 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为44 7 求这向量的起点A 的坐标解 设点A 的坐标为(x y z ) 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x解得x2 y3 z 0点A 的坐标为A (23 0) 19 设m 3i 5j 8k n 2i 4j 7k 和p5ij 4k 求向量a 4m 3n p在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量 解因为a 4m 3n p 4(3i 5j 8k )3(2i 4j 7k )(5i j 4k )13i 7j 15k 所以a 4m 3n p 在x 轴上的投影为13 在y 轴上的分向量7j习题7-21 设a =3i -j -2k b =i +2j -k 求(1)a ×b 及a b (2)(-2a )×3b 及a 2b(3)a 、b 夹角的余弦解 (1)a ×b =3´1+(-1)´2+(-2)´(-1)=3kj i kj i b a 75121 213++=---=⨯(2)(-2a )×3b =-6a ×b = -63=-18a 2b =2(ab )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a 2 设a 、b 、c 为单位向量 且满足a +b +c =0 求a ×b +b ×c +c ×a 解 因为a +b +c =0 所以(a +b +c )×(a +b +c )=0 即 a ×a +b ×b +c ×c +2a ×b +2a ×c +2c ×a =0于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a3 已知M 1(1-1 2)、M 2(33 1)和M 3(3 1 3) 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量解 →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M→→kj i k j i n 446220 1423221--=--=⨯=M M M M172161636||=++=n)223(171)446(1721k j i k j i e --±=--±=为所求向量4 设质量为100kg 的物体从点M 1(3 1 8)沿直线称动到点M 2(1 4 2) 计算重力所作的功(长度单位为m 重力方向为z 轴负方向) 解F =(0 0 -1009 8)=(0 0 -980) →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21--=---==M M SW =F ×S =(0 0 -980)×(-2 3 -6)=5880(焦耳)5 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处 有一与→1OP 成角1的力F 1作用着 在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处 有一与→2OP 成角1的力F 1作用着问1、2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解 因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零 再注意到对力矩正负的规定可得 使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|×sin 1x 2|F 2|×sin 20 即 x 1|F 1|×sin 1x 2|F 2|×sin 2 6 求向量a =(4 -3 4)在向量b =(2 2 1)上的投影解 2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=⨯+⨯-⨯=⋅-++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b7 设a =(3 5 -2) b =(2 1 4) 问l 与m 有怎样的关系 能使得l a +m b与z 轴垂直?解 l a +m b =(3l +2m , 5l +m , -2l +4m ), l a +m b 与z 轴垂Ûl a +m b ^kÛ(3l +2m , 5l +m , -2l +4m )×(0, 0, 1)=0, 即-2l +4m =0, 所以l =2m . 当l =2m 时, l a +m b 与z 轴垂直. 8 试用向量证明直径所对的圆周角是直角 证明 设AB 是圆O 的直径 C 点在圆周上则→→OAOB -= →→||||OA OC = 因为→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC所以→→BCAC ⊥ ∠C 909 设已知向量a 2i 3j k b i j 3k 和c i 2j 计算 (1)(a ×b )c (a ×c )b (2)(a b )(b c ) (3)(a b )×c解 (1)a ×b 21(3)(1)138 a ×c 21(3)(2)8 (a ×b )c (a ×c )b 8c 8b8(c b )8[(i2j )(ij 3k )]8j24k(2)a b3i4j4kbc 2i 3j 3kkj kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()((3)kj i kj i b a +--=--=⨯58311132(a b )×c81(5)(2)10210 已知→j i 3+=OA →k j 3+=OB , 求D OAB 的面积.解 根据向量积的几何意义 →→||OB OA ⨯表示以→OA 和→OB 为邻边的平行四边形的面积于是D OAB 的面积为→→||21OB OA S ⨯=因为→→kj i kj i +--==⨯33310301OB OA →→191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA所以三角形D OAB 的面积为→→1921||21=⨯=OB OA S 12 试用向量证明不等式||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数 并指出等号成立的条件解 设a (a 1 a 2 a 3) b (b 1 b 2 b 3) 则有||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中当),cos(^b a 1时 即a 与b 平行是等号成立习题7-31 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解 设动点为M (x y z ) 依题意有(x 2)2(y 3)2(z 1)2(x 4)2(y 5)2(z 6)2即 4x 4y 10z 6302 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解 球的半径14)2(31222=-++=R球面方程为(x 1)2(y 3)2(z 2)214即 x 2y 2z 22x 6y 4z 03 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面? 解 由已知方程得(x 22x 1)(y 24y 4)(z 22z 1)141即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x所以此方程表示以(1 21)为球心 以6为半径的球面4 求与坐标原点O 及点(2 3 4)的距离之比为12的点的全体所组成的曲面的方程 它表示怎样曲面？解 设点(x y z )满足题意 依题意有21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x它表示以)34 ,1 ,32(---为球心 以2932为半径的球面 5 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解 将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x6 将zOx 坐标面上的圆x2z 29绕z 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程.解 将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x2y 2z 297 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解 双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 29y 29z 236双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 24z 29y 2368 画出下列方程所表示的曲面: (1)222)2()2(ay a x =+-(2)19422=+-y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2z 0(5)z =2-x 2.9 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形 (1)x 2解在平面解析几何中 x 2表示平行于y 轴的一条直线 在空间解析几何中 x 2表示一平行于yOz 面的平面(2)y x 1解 在平面解析几何中 y x 1表示一条斜率是1 在y 轴上的截距也是1的直线 在空间解析几何中，y x 1表示一平行于z 轴的平面(3)x 2y 24解 在平面解析几何中 x 2y 24表示中心在原点 半径是4的圆 在空间解析几何中 x 2y 24表示母线平行于z 轴 准线为x 2y 24的圆柱面(4)x 2y 21解 在平面解析几何中 x 2y 21表示双曲线 在空间解析几何中 x 2y 21表示母线平行于z 轴的双曲面10 说明下列旋转曲面是怎样形成的:(1)1994222=++z y x ;解 这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的 或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的(2)14222=+-z y x解 这是xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的 或是yOz 面上的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的(3)x 2y 2z 21解 这是xOy 面上的双曲线x 2y 21绕x 轴旋转一周而形成的 或是zOx 面上的双曲线x 2z 21绕x 轴旋转一周而形成的(4)(z a )2x 2y 2解 这是zOx 面上的曲线(z a )2x 2绕z 轴旋转一周而形成的 或是yOz 面上的曲线(z a )2y 2绕z 轴旋转一周而形成的 11 画出下列方程所表示的曲面(1)4x 2y 2z 24(2)x 2y 24z 24(3)94322y x z +=习题7 41 画出下列曲线在第一卦限的图形:(1)⎩⎨⎧==21y x(2)⎩⎨⎧=---=0422y x y x z ;(3) ⎩⎨⎧=+=+222222az x a y x .2 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y解 在平面解析几何中 ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y 5x 1与y 2x 3的交点)317 ,34(-- 在空间解析几何中 ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y 5x1与y 2x3的交线 它表示过点)0 ,317 ,34(-- 并且行于z 轴(2)⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x解 在平面解析几何中⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y3的交点(03)在空间解析几何中 ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y 3的交线 3 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解 把方程组中的x 消去得方程3y 2z 216 这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 22z216 这就是母线平行于y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 4 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.解 由x z 1得z 1x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 22x y 28 这是母线平行于z轴 准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程 于是所求的投影方程为 ⎩⎨⎧==+-082222z y x x5 将下列曲线的一般方程化为参数方程:(1)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222 ;解 将yx 代入x 2y 2z 29得2x 2z 29 即13)23(2222=+z x令tx cos 23= 则z 3sin t故所求参数方程为 tx cos 23= ty cos 23= z 3sin t(2)⎩⎨⎧==+++-04)1()1(222z z y x .解 将z0代入(x 1)2y 2(z 1)24得(x 1)2y 23令t x cos 31+= 则t y sin 3=于是所求参数方程为 tx cos 31+= t y sin 3= z 06 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程解 由前两个方程得x2y 2a 2 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0222z a y x由第三个方程得b z =θ代入第一个方程得bza x cos = 即axb z arccos =于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y axb z由第三个方程得bz=θ代入第二个方程得bz a ysin = 即ayb z arcsin=于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==a yb z x arcsin 07 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2£ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解 圆柱体x 2+y 2£ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2£ax 它含在半球2220y x a z --≤≤在xOy 面上的投影x 2y 2a 2所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2£ax为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影 由圆柱面方程x 2+y 2ax 得y 2ax x 2 代入半球面方程222y x a z --= 得ax a z -=2(0x a ) 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为 ax a z -≤≤20(0x a ) 即z 2ax a 2 0x a z 08. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在三坐标面上的投影.解 令z 4得x 2y 24 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在xOy 面上的投影为x 2y 24令x 0得z y 2 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在yOz 面上的投影为y 2z 4令y 0得z x 2 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在zOx 面上的投影为x 2z 4习题7 51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x -7y +5z -4=02. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n (2, 9, -6) 所求平面的方程为 2(x 2)9(y 9)6(z 6)0 即2x 9y 6z 12103. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1(1, -1, 2)(1, 1, -1)(0 2 3) n 1(1, -1, 2)(-2, -2, 2)(3 1 0) 所求平面的法线向量为 kj i kj i n n n 69301332021++-=-=⨯=所求平面的方程为3(x 1)9(y 1)6(z 1)0 即x 3y 2z 04. 指出下列各平面的特殊位置 并画出各平面 (1)x 0解 x 0是yOz 平面 (2)3y 10解 3y 10是垂直于y 轴的平面 它通过y 轴上的点)0 ,31,0((3)2x 3y 60解 2x 3y 60是平行于z 轴的平面 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和2(4)03=-y x解 03=-y x 是通过z 轴的平面 它在xOy 面上的投影的斜率为33(5)y z 1解 y z 1是平行于x 轴的平面 它在y 轴、z 轴上的截距均为1 (6)x 2z 0解 x 2z 0是通过y 轴的平面 (7)6x 5z 0解 6x 5z 0是通过原点的平面5 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解 此平面的法线向量为n (2 2 1) 此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α此平面与zOx 面的夹角的余弦为 321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解 所求平面的法线向量可取为 kj i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=所求平面的方程为(x 1)(y 0)3(z 1)0 即x y 3z 407 求三平面x 3y z 1 2x y z 0 x 2y 2z 3的交点 解 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x 1 y 1 z 3 三个平面的交点的坐标为(11 3)8 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解 所求平面的法线向量为j (0 1 0) 于是所求的平面为 0×(x 2)5(y 5)0×(z 3)0 即y 5 (2)通过z 轴和点(-3, 1, -2);解 所求平面可设为Ax By 0因为点(-3, 1, -2)在此平面上 所以 3A B 0 将B 3A 代入所设方程得 Ax 3Ay 0 所以所求的平面的方程为 x 3y 0(3)平行于x 轴且经过两点(4 0 2)和(5 1 7) 解 所求平面的法线向量可设为n (0 b c ) 因为点(4 0 2)和(5 1 7)都在所求平面上 所以向量n 1(5 1 7)(4 0 2)(1 1 9)与n 是垂直的 即b 9c 0 b 9c 于是 n (0 9c c )c (0 9 1) 所求平面的方程为9(y 0)(z 2)0 即9y z 20 9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离. 解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d习题7 61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z yx 的直线方程.解 所求直线的方向向量为s (2 1 5) 所求的直线方程为531124-=+=-z y x2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.解 所求直线的方向向量为s (-1, 0, 2)(3, -2, 1)(4 2 1) 所求的直线方程为112243-=+=--x y x3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解 平面x y z 1和2x y z 4的法线向量为n 1(1 1 1) n 2(2 11) 所求直线的方向向量为 kj i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中 令y 0得⎩⎨⎧=+=+421z x z x 解得x 3 z 2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点 所求直线的对称式方程为 32123+==--z yx参数方程为x 32t y t z23t4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解 所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量即kj i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=所平面的方程为16(x 2)14(y0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 6505 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦解 直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的方向向量分别为kj i kj i s -+=--=431233351 kj i kj i s 105101831222+-=-=两直线之间的夹角的余弦为 010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=⋅⨯=s s s s s s6 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行解 直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为kj i kj i s 531121211++=--= kj i kj i s 15391123632---=---=因为s 23s 1 所以这两个直线是平行的7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.解 因为两平面的法线向量n 1(1 0 2)与n 2(0 1 3)不平行 所以两平面相交于一直线 此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s 即kj i kj i s ++-=-=32310201所求直线的方程为 14322-=-=-z y x8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 解 所求平面的法线向量与直线12354zy x =+=-的方向向量s 1(5 2 1)垂直 因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上 所以所求平面的法线向量与向量s 2(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)也是垂直的 因此所求平面的法线向量可取为kj i kj i s s n 229824112521--=-=⨯=所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 5909 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x yz 10的夹角解 直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 的方向向量为)2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i kj i s -+=-+=--=--⨯=平面x y z 10的法线向量为n (1 1 1) 因为s ×n 214(1)(2)(1)0所以s n从而直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x y z 10的夹角为010 试确定下列各组中的直线和平面间的关系(1)37423zy x =-+=-+和4x2y 2z 3解 所给直线的方向向量为s (2 7 3) 所给平面的法线向量为n (42 2)因为s ×n (2)4(7)(2)3(2)0 所以s n 从而所给直线与所给平面平行 又因为直线上的点(3 4 0)不满足平面方程4x 2y 2z 3 所以所给直线不在所给平面上(2)723zy x =-=和3x 2y 7z 8 解 所给直线的方向向量为s (3 2 7) 所给平面的法线向量为n (32 7)因为s n 所以所给直线与所给平面是垂直的 (3)431232--=+=-z y x 和xy z 3解 所给直线的方向向量为s (3 1 4) 所给平面的法线向量为n (1 11)因为s ×n 3111(4)10 所以s n 从而所给直线与所给平面平行 又因为直线上的点(2 2 3)满足平面方程x y z 3 所以所给直线在所给平面上11 求过点(1 2 1)而与两直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x平行的平面的方程解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 的方向向量为kj i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=直线⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 的方向向量为kj kj i s --=--=-⨯-=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1所求平面的法线向量可取为 kj i kj i s s n -+-=----=⨯=11032121所求平面的方程为(x 1)(y 2)(z 1)0 即x y z 0 12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解 平面的法线向量为n (1 2 1) 过点(1 2 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211-=-=+z y x将此方程化为参数方程x 1t y 22t z t 代入平面方程x +2y -z +1=0中得(1t )2(22t )(t )10 解得32-=t 再将32-=t 代入直线的参数方程得35-=x 32=y 32=z 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)32 ,32 ,25(-13 求点P (3 1 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离解 直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的方向向量为kj kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为3(y 1)3(z 2)0 即y z 10 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x 得x 1 21-=y 23=z点P (3 1 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点P (31 2)与点)23,21 ,1(-间的距离 即 223)232()211()13(22=-++-+-=d14 设M 0是直线L 外一点 M 是直线L 上任意一点 且直线的方向向量为s 试证 点M 0到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d解 设点M 0到直线L 的距离为d L 的方向向量→MN =s 根据向量积的几何意义 以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||s ⋅=⋅d MN d 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d →||||0s s ⨯=M M d15 求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4xy z 1上的投影直线的方程解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为(23)x (4)y (12)z 90为在平面束中找出与已知平面垂直的平面 令(4 1 1)×(23 412)0 即4×(23)(1)×(4)1×(12)0解之得1113-=λ 将1113-=λ代入平面束方程中 得17x31y 37z 117故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x16 画出下列各曲面所围成的立体图形(1)x 0 y 0 z 0 x 2 y 1 3x 4y 2z 120(2)x 0 z 0 x 1 y 2 4y z =(3)z 0z 3 x y 0 03=-y x x2y 21(在第一卦限)(4)x 0 y 0 z 0 x2y 2R 2 y 2z 2R 2(在第一卦限)总习题七 1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ]坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量→OM 的坐标为___________. 解 M (x x 0 y y 0 zz 0) →), ,(z y x OM =提示 自由向量与起点无关 它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变(2)设数l 1、l 2、l 3不全为0, 使l 1a +l 2b +l 3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解 共面(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, -1, 10), c =b -l a , 且a ^c , 则l =____________. 解3提示 因为a ^c , 所以a ×c 0 又因为由a ×c a ×b a ×a 241(1)210(221222)279 所以3(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ×b +b ×c +c ×a =____________. 解 23-提示 因为a +b +c =0 所以(a +b +c )×(a +b +c )=0即 a ×a +b ×b +c ×c +2a ×b +2a ×c +2c ×a =0 于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a(5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ´b +b ´c +c ´a |=____________.解36 提示 c (a b )a ´b +b ´c +c ´a a b b (a b )(a b )a a b b a b a 3a b |a ´b +b ´c +c ´a |3|a b |3|a |×|b |3×3×436 2. 在y 轴上求与点A (1, -3, 7)和点B (5, 7, -5)等距离的点. 解 设所求点为M (0 y 0) 则有12(y 3)27252(y 7)2(5)2即 (y 3)2(y 7)2解得y 2 所求的点为M (0 2 0)3. 已知D ABC 的顶点为A (3,2,-1)、B (5,-4,7)和C (-1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度.解 线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(-=+--+ 所求中线的长度为30)23()11()14(222=-+--++=d4. 设D ABC 的三边→a =BC 、→b =CA 、→c =AB , 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示→AD 、→BE 、→CF , 并证明→→→0=++CF BE AD . 解 →→→ac 21+=+=BD AB AD →→→ba 21+=+=CE BC BE →→→cb 21+=+=AF CA CF→→→0=+-=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明 设D E 分别为AB AC 的中点 则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE -=-=→→→→→ABAC AC BA BC -=+=所以 →→BC DE 21=从而DE //BC且||21||BC DE =6. 设|a b ||a b |, a =(3, -5, 8), b =(-1, 1, z ), 求z .解a b (2 4 8z ) a b (4 6 8z ) 因为|a b ||a b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z -+-+=++-+解得z 17. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a b |2(a b )×(a b )|a |2|b |22a ×b |a |2|b |22|a |×|b |cos(a^b )76cos 3213=++=π|a b |2(a b )×(a b )|a |2|b |22a ×b |a |2|b |22|a |×|b |cos(a^b )16cos 3213=-+=π设向量a +b 与a -b 的夹角为则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ72arccos =θ8. 设a +3b ^7a -5b , a -4b ^7a -2b , 求) ,(^b a .解 因为a +3b ^7a -5b , a -4b ^7a -2b ,所以 (a +3b )×(7a -5b )=0, (a -4b )×(7a -2b )=0,即 7|a |2+16a ×b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ×b +8|b |2=0, 又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a .9. 设a =(2, -1, -2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时) ,(^b a 最小？并求出此最小值.解 2^2321||||) ,cos(z z +-=⋅⋅=b a b a b a .因为当2) ,(0^π<<b a 时, ) ,cos(^b a 为单调减函数. 求) ,(^b a 的最小值也就是求22321)(z z z f +-=的最大值.令0)2(431)(2/32=+--⋅='z z z f , 得z =-4. 当z =-4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10 设|a |4 |b |36) ,(^π=b a , 求以a2b 和a 3b 为边的平行四边形的面积解 (a 2b )(a 3b )3a b 2b a 5b a 以a 2b 和a 3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a11 设a (2 3 1) b (1 2 3) c (2 1 2) 向量r 满足r ^a r ^b Prj c r 14 求r 解 设r (x y z )因为r ^a r ^b 所以r ×a 0 r ×b 0 即 2x 3y z 0 x 2y 3z 0又因为Prj c r14 所以14||1=⋅c c r 即2x y 2z 42 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-4222032032z y x z y x z y x得x 14 y 10 z 2 所以r (14 10 2)另解 因为r ^a r ^b所以r 与k j i kj i b a ---=--=⨯57321132平行故可设r(75 1) 又因为Prj c r14 所以14||1=⋅c c r r ×c 42 即(725112)42 2 所以r (14 10 2)12 设a (1 3 2) b (2 3 4) c (3 12 6) 证明三向量a 、b 、c 共面 并用a 和b 表示c证明 向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a b )×c 0 因为 ki kj i b a 36432231--=---=⨯(a b )×c (6)(3)012(3)6所以向量a 、b 、c 共面 设c a b 则有 (2 33 24)(3 12 6)即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=+-642123332μλμλμλ解之得5 1 所以c 5a b13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解 根据题意 有222)2()1()1(||-+++-=z y x z或 z 2(x 1)2(y 1)2(z 2)2化简得(x 1)2(y 1)24(z 1) 这就是点M 的轨迹方程14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解 旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z 2x2旋转轴为z 轴(2)136936222=++z y x解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x 旋转轴为y 轴(3)z 23(x 2y 2)解 旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3= 旋转轴为z 轴(4)144222=--z y x解 旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=-y x 旋转轴为x 轴15 求通过点A (3 00)和B (0 0 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程 解 设所求平面的法线向量为n (a b c )→)1 ,0 ,3(-=BA xOy 面的法线向量为k(00 1)按要求有→=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2103222c b a c c a解之得c 3a a b 26±= 于是所求的平面的方程为 0326)3(=+±-z y x即 3326=++z y x 或3326=+-z y x16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-01x z y 的垂线, 求此平面方程.解 直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的方向向量为s (0 11)(1 0 0)(0 11) 设点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线交于点(x 0y 0 z 0) 因为点(x 0 y 0 z 0)在直线⎩⎨⎧==+-01x z y 上 所以(x 0 y 0 z 0)(0 y 0 y 01) 于是 垂线的方向向量为s 1(1 y 01 y 0) 显然有s ×s 10 即y 01y 00 210-=y 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001--=+-=y y s所求平面的法线向量可取为 j i k j i k s k n --=-+-⨯=⨯=21)2121(1所求平面的方程为 0)1()1(21=+---y x 即x 2y 1017. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0, 又与直线21311zy x =-=+相交的直线的方程.解 过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0的平面的方程为 3(x 1)4(y 0)(z 4)0 即3x -4y +z -1=0 将直线21311zy x =-=+化为参数方程x 1t y 3t z 2t 代入平面方程3x -4y +z -1=0 得3(1t )4(3t )2t 1解得t 16 于是平面3x -4y +z -1=0与直线21311zy x =-=+的交点的坐标为(15 1932) 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标 所求直线的方向向量为s (15 19 32)(-1, 0, 4)(16 19 28) 所求直线的方程为 28419161-==+z yx18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ABC 的面积最小. 解 设所求的点为C (0 0 z ) 则→) ,0 ,1(z AC -= →)1 ,2 ,0(--=z BC因为 →→kj i kj i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC所以ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS 得51=z 所求点为)51 ,0 ,0(C19. 求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解 在xOy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=--=-+-02)1()1(2222z y x y x , 即⎩⎨⎧=+=+022z yx y x .在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=---±+-=0)12()1(222y z x x z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222y z x z xz x .在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=-+---±=0)1()12(222x y z y z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222x z y z yz y .20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解 锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为 ⎩⎨⎧=+=0222z y x x , 即⎩⎨⎧==+-01)1(22z y x ,所以, 立体在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+-01)1(22z y x . 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+-01)22(222x y z ,所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为 ⎩⎨⎧==0||y x z 和⎩⎨⎧==02y xz所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x 21 画出下列各曲面所围立体的图形(1)抛物柱面2y 2x 平面z 0及1224===zy x(2)抛物柱面x 21z 平面y 0 z 0及x y 1(3)圆锥面22y x z +=及旋转抛物面z 2x 2y 2 (4)旋转抛物面x 2y 2z 柱面y 2x 平面z 0及x 1。
高等数学(本科)第七章课后习题解答
习题7.11.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂足为()2,0,0-；()2,3,1--M 到x 轴的距离为()132322=-+；()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；()2,3,1--M 到z 轴的距离为()103122=+-.3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3； ()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()25534222=+-+；()5,3,4-A 到x 轴的距离为()345322=+-；()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()53422=-+.6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即()()()()=-+-+--22270230y ()()()()22270130--+-+-y解得 23=y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()103321017222=-+-+-==AB c ；AC 边长()()()()3312311222=-+-+--=b ； BC 边长()()()()1173110371222=-+-+--=a .由余弦定理知cos ∠BAC ()010321171032222222<⨯⨯-+=-+=bc a c b ，所以，∠BAC 为钝角.8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等. 【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即()()()()=-+--+-2225011y x ()()()222443-+-+-z y x()()()222164-+-+-=z y x解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D习题7.21.设平行四边形ABCD 的对角线向量b BD a AC ==,，试用a ，b 表示DA CD BC AB ,,,.【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .()b a b a BD AC OD OC DC AB -=-=-=-==2121212121；同理可求出，()b a a b OC BO BC +=+=+=212121；()a b AB CD -=-=21；()b a BC DA +-=-=21.2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()n m n m n m 733232-=+--=.3.设c b a u 2-+=，c b a v +--=3.试用向量c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()()c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示EF DE CD BC ,,,.【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，b a AF AB AO BC +=+==； b AF CD ==；a BA BA AO DE -=-===；().b a BC EF +-=-=5.设向量k a j a i a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：（1）a 垂直于z 轴；（2）a 垂直于xoy 面；（3）a 平行于yoz 面.那么它的坐标有什么有何特征？ 【解】（1）因为a 垂直于z 轴，故0.=k a ，即0=z a ；（2）因为a 垂直于xoy 面，故a 平行于z 轴，从而a ∥{}1,0,0=k ，所以，0==y x a a . （3）a 平行于yoz 面，故垂直于x 轴，从而.a 0=i ，所以，0=x a . 6.已知向量{}7,4,4-=AB ，它的终点坐标为()7,1,2-B ，求它的起点坐标. 【解】设起点()z y x A ,,，则{}z y x AB ----=7,1,2，根据已知条件，有77,41,42=--=--=-z y x ，解得 .0,3,2==-=z y x 所以，起点坐标为 ()0,3,2-A .7.已知向量{}1,1,6-=a ，{}0,2,1=b .求 （1）向量b a c 2-=； （2）向量c 的方向余弦； （3）向量c 的单位向量. 【解】（1）c {}{}{}{}{}{}1,3,401,41,260,4,21,1,60,2,121,1,6--=----=--=--=.（2()()26134222=-+-+=.故，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==261,263,2640c c ，所以，向量c 的方向余弦为.261cos ,263cos ,264cos -=-==γβα（3）.向量c 的单位向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--±261,263,264.8.试确定m 和n 的值，使向量k n j i a ++-=32和k j i m b 26+-=平行. 【解】因为a ∥b ，所以2632nm =-=-，解得 .1,4-==n m9.已知向量{}12,9,8-=b 及点()7,1,2-=A ，由点A 作向量AM 34=， 且AM 与b 的方向相同.求向量AM 的坐标表达式及点M 的坐标.【解】设()z y x M ,,，则{}7,1,2-+-=z y x AM .据题意知AM ∥b 且与b 同向，因此有λ=--=+=-1279182z y x ，① 且 0>λ. ② 由①式得 λλλ127,91,82=-++=-z y x . 又已知34=，故有 ()()()341298222=++λλλ. ③③式化简得4115628922=⇒=λλ，解得 2=λ或2-=λ（舍）.所以，.17,17,18-===z y x因此AM {}24,18,16-=，()17,17,18-=M . 10.已知点()4,2,1--A 和点()z B ,2,6-9=，求z 的值. 【解】()(){}{}4,4,74,22,16+-=------=z z AB .9=，得()()9447222=++-+z ，化简得082=+z z ，解之，得 0=z 或.8-=z11.已知点()1,2,41M 和点()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 【解】{}{}1,2,112,20,4321--=---=M M ；()()2121222=+-+-=. 因为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=--==21,22,211,2,12121021M M M M .所以21M M 的方向余弦是.21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα 方向角为.3cos ,43,32πγπβπα===12.求与下列向量a 同方向的单位向量0a . （1）{}1,4,2-=a ；（2）k j i a ++-=32.【解】（1()21142222=+-+=，所以{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-==211,214,2121,4,22110a a .（2()14132222=++-=，所以.141,143,1421410⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==a a 习题7.31.设向量k j i a 23--=，k j i b -+=2.求：（1）b a .；（2）b a ⨯；（3）()()b a 32⨯-；（4）()b a 2⨯；（5）向量b a ,的夹角. 【解】（1）()()()3122113.=-⨯-+⨯-+⨯=b a ；（2）k j i j b a 7521++=-=⨯；（3）()()()1836.63.2-=⨯-=-=-b a b a ；（4）()()k j i b a b a 1421022++=⨯=⨯；（5）()()14213222=-+-+=()6121222=-++=，故21236143.,cos =⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a b a ，所以向量b a ,的夹角为 .2123arccos ,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧b a 2.设向量a ，b ，c 为单位向量，且满足0=++c b a ①.求：a c c b b a ...++. 【解】由①式得()0.=++c b a a ；()0.=++c b a b ；()0.=++c b a c .即 0..=++c a b a ； ②0..=+c b a b ； ③0..=++b c a c ； ④ 将②、③、④相加得()03...2=+++a c c b b a所以，.23...-=++a c c b b a3.已知点()2,1,1-A ，()2,6,5-B ，()1,3,1-C 求： （1）同时与AB 及AC 垂直的单位向量； （2）ABC ∆的面积. 【解】（1）AB AC ⨯{}16,12,151612153405=++=--=k j i kj .25161215222=++=. 所以，同时与AB 及AC 垂直的单位向量为 {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=⨯±2516,2512,25116,12,15251AC AB .（2）ABC ∆的面积225==. 4.设{}2,5,3-=a ，{}4,1,2=b ，则当实数λ与μ有什么关系时，能使b a μλ+与z 轴垂直？【解】{}μλμλμλμλ42,5,23+-++=+b a .要使b a μλ+与z 轴垂直，只须b a μλ+与{}1,0,0=k 垂直，于是有()042.=+-=+μλμλk b a ，即 .2μλ=5.设质量为100kg 的物体从点()8,1,31M 沿直线移动到点()2,4,1M ，计算重力所做的功.【解】{}6,3,21--==M M s ，{}{}980,0,01008.9,0,0=⨯-=F .所以，{}{}58806,3,2.980,0,0.=---==s F W （焦耳）.6.已知{}3,2,1-=a ，{}1,4,2-=b ，{}0,2,4=c ，b a ⨯是否与c 平行？【解】{}0,5,1005104221--=+--=--=⨯k j i j i b a ；因为c b a 52-=⨯，所以，b a ⨯与c 平行.7.求一个单位向量使其同时垂直向量{}0,1,1=a 和{}1,1,0=b .【解】{}1,1,111-=+-==⨯k j i j b a .()3111222=+-+=. 所以同时垂直向量a 和b 向量的单位向量为 {}1,1,131-±=⨯±b .习题7.41.求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程.【解】已经平面的法向量为{}5,7,3-=n .据题意知，所求平面的法向量可也取作n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0150733=--+---z y x . 化简得 04573=-+-z y x .2.求过点()6,9,20-M 且与连接坐标原点O 及0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 【解】据题意知，所求平面的法向量可也取作{}6,9,20-==OM n .所以据平面的点法式方程，所求平面即为 ()()()()0669922=----+-z y x . 化简得 0121692=--+z y x .3.求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-三点的平面方程. 【解】据平面的三点式方程，所求平面为()()()0121111121212111=---------------z y x . 即 ()()()0161913=++-+--z y x . 化简得 023=--z y x .4.求平面0522:=++-z y x π与坐标面xoy 、yoz 及zox 的夹角的余弦. 【解】平面π的法向量为{}1,2,2-=n ；xoy 面的法向量为{}1,0,0=k .由公式，平面π与xoy31=； 同理， 平面π与yoz32=； 平面π与zox32-=.5.求点()1,2,1平面01022:=-++z y x π的距离. 【解】12211012221222=++-⨯+⨯+=d .6.求两平行平面0:11=+++D Cz By Ax π与0:22=+++D Cz By Ax π之间的距离.【解】在1π上任取一点()1111,,z y x M ，则1M 到2π的距离d 就是所求1π与2π之间的距离.由点到平面的距离公式得 2222111CB A D Cz By Ax d +++++=. ①又11π∈M ，故有 0:11111=+++D Cz By Ax π，即1D Cz By Ax -=++. ②将②代入①，立得 22212CB A D D d ++-=.7.一平面通过()1,1,11M 和()11,02-M 两点，且垂直于平面0=++z y x .求该平面方程.【解】已知平面0=++z y x 的法向量为{}1,1,1=n ，{}2,0,121--=M M .据题意，可取所求平面的法向量为{}1,1,2211120121--=--=--=⨯k j i kj i n M M . 所以，所求平面方程为()()()011.11.2=-----z y x ，即 02=--z y x . 8.求满足下列条件的平面方程： （1）过点()2,1,3--和z 轴；（2）过点()2,0,4-及()7,1,5且平行于x 轴； （3）过点()3,5,2-，且平行于zox 面；（4）过点()1,0,1-且同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=. 【解】（1）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=+By Ax π. ① 又将点()2,1,3--的坐标代入①，得03=+-B A ，即 A B 3=. 因此，所求平面π为.03=+Ay Ax ②注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以A ，得到 03:=+y x π.（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=++D Cz By π. ①又将点()2,0,4-及()7,1,5的坐标分别代入①，得⎩⎨⎧=++=+-.07,02D C B D C ，故⎩⎨⎧-==.9,2C B C D . 因此，所求平面π为.029=++-C Cz Cy ②注意到0≠C （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以C ，得到 029:=++-z y π.（3）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 0:=+D By π. ① 又将点()3,5,2-的坐标代入①，得05=+-D B ，即 B D 5=. 因此，所求平面π为.05=+B By ②注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以②两边除以B ，得到 05:=+y π.（4）根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=. 将点()1,0,1-的坐标代入①，得0=+-D C A . ② 又因为π同时平行于向量k j i a ++=2，j i b -=，故n 同时垂直于向量k j i a ++=2，j i b -=，于是有.02=++C B A ③ .0=-B A ④ ②、③、④联立得到A D A C AB 4,3,-=-== 因此①成为043:=--+A Az Ay Ax π . ⑤注意到0≠A （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以A ，得到 043:=--+z y x π.9.平面在y 、z 轴上的截距分别为30，10，且与{}3,1,2=r 平行，求该平面方程. 【解】根据题意，可设所求平面的一般式方程为0:=+++D Cz By Ax π. ① 其法向量为{}C B A n ,,=.因为π在y 、z 轴上的截距分别为30，10，故π过点()0,30,0及(),10,0,0.将此两点坐标代入①得030=+D B . ② 及 010=+D C . ③ 又已知π与{}3,1,2=r 平行，故n 垂直于向量r ，于是有 032=++C B A . ④ ②、③、④联立得到B A BC BD 5,3,30-==-=. 因此①成为03035:=-++-B Bz By Bx π. ⑤注意到0≠B （否则π的法向量为零向量），所以⑤两边除以B ，得到 03035:=-++-z y x π. 10.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面. （1）013=-x ； （2）012=-+z y ； （3）02=+z x ； （4）135=-+z y x .【解】（1）因方程中z y ,前面的系数为零，故平面013=-x 平行于yoz 面； （2）因方程中x 前面的系数为零，故平面012=-+z y 平行于x 轴；（3）因方程中没有常数项，且y 前面的系数为零，故平面02=+z x 通过y 轴；012=-+z y 02=+z x ；（4）135=-+z y x 可化为113151=-++z y x ，故135=-+z y x 是在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为51、31和1-的平面.习题7.51.用点向式方程及参数式方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-.42,1:z y x z y x L【解】任取方程组的一组解⎪⎩⎪⎨⎧===.1,1,1z y x 则有，L 过点()1,,1,10M .可取直线的方向为{}3,1,232121121-=++-=-=⨯k j i j in n . 所以，所求直线L 的点向式方程为311121-=-=--z y x . 进一步，L 的参数式方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=.31,1,21t z t y t x2.求过()1,2,31-P 、()2,0,12-P 两点的直线方程. 【解】可取直线的方向为 {}1,2,421-==P P s . 故所求直线为.112243-=+=--z y x 3.求过点()3,1,4-且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}5,1,2=s .故所求直线为.531124-=+=-z y x 4.求过()1,32-且垂直于平面0132=+++z y x 的直线方程.【解】可取直线的方向为 {}1,3,2=s . 故所求直线为.113322-=+=-z y x 5.求过点()2,1,00M 且与直线21111zy x =--=-垂直相交的直线方程.【解】 过点()2,1,0且与直线21111zy x =--=-垂直的平面π为()()()02210.1:=-+---z y x π.即 032:=-+-z y x π . ① 化直线21111zy x =--=-为参数式得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=.2,1,1t z t y t x ②将②代入①，有()()()032211=-+--+t t t . ③ 解得 21=t . 故直线21111z y x =--=-与平面π的交点为⎪⎭⎫⎝⎛1,21,231M . 因此所求直线的方向为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==1,21,2310M M s ∥{}2,1,3-.故所求直线为.221130-=-=--z y x 6. 过点()0,2,10-M 向平面012=+-+z y x 作垂线，求垂足坐标. 【解】 过点()0,2,10-M 且与平面012=+-+z y x 垂直的直线L 为.12211:--=-=+z y x L ① 化直线L 为参数式得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=.,22,1t z t y t x ②将②代入平面012=+-+z y x 方程中，得()()()012221=+--+++-t t t . ③解得 32-=t .故垂足坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-32,32,351M .7.求直线⎩⎨⎧=-+-=-+-,0123,09335:1z y x z y x L 与⎩⎨⎧=-++=+-+.01383,02322:2z y x z y x L 的夹角θ.【解】1L 的方向为{}1,4,34323351-=-+=--=k j i j is ； 2L 的方向为{}10,5,101051083222-=+-==k j i j is ∥{}2,1,2-. 因为()()0211423.21=⨯-+-⨯+⨯=s s ，所以1L 与2L 垂直，从而2πθ=.8.求直线21121:+=-=-z y x L 与平面02:=+-z y x π的夹角θ. 【解】1L 的方向为{}2,1,2-=s ，平面π的法向量为{}2,1,1-=n . ()()7221112.=⨯+-⨯-+⨯=n s .()3212222=+-+=.()6211222=+-+=.故637sin ⨯==θ，所以，637arcsin⨯=θ.9.求过点()2,0,10-M 且垂直于平面032:=+-z y x π的直线方程. 【解】根据题意知，所求直线L 的方向向量即为平面π之法向量，即 {}3,12-=s .所以，由点向式方程知，所求直线为321021:+=--=-z y x L . 10.设平面π过直线130211:1--=-=-z y x L ，且平行于直线11122:2zy x L =-=+，求平面π的方程.【解】显然面π过点()3,,2,10M .可取面π的法向量为{}1,3,13120121-=+-==⨯=k j i j is s n . 所以，平面π的方程为()()()03.12.31.1=-+---z y x . 化简得023:=++-z y x π.11.求过点()1,2,10P 和直线⎩⎨⎧=--=-.032,6:z y x z x L 的平面π的方程.【解】直线L 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==.6,9,:x z x y x x L显然L 过点()6,9,01-P ，且L 的方向为{}1,11-=s . 根据题意，可取平面π的法向量为{}6,6,0660117110--=--=--=⨯=k j i j i s P P n ∥{}1,1,0. 所以，平面π的方程为()()()01.12.11.0=-+-+-z y x . 化简得03:=-+z y π.习题7.61.指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示何种几何图形.（1）1=-y x ；（2）x y 22=；（3）122=-y x ；（4）1222=+y x . 【解】（1）1=-y x 在平面解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示一张平行于z 轴的平面；（2）x y 22=在平面解析几何中表示一条抛物线，在空间解析几何中表示一张抛物柱面；（3）122=-y x 在平面解析几何中表示一条双曲线，在空间解析几何中表示一张双曲柱面；（4）1222=+y x 在平面解析几何中表示一条椭圆曲线，在空间解析几何中表示一张椭圆柱面.2.写出下列曲线绕指定坐标轴旋转一周而得到的旋转曲面的方程. （1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周； （2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周； （3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周. 【解】（1）zox 面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周得到的曲面是 ()x zy 5222=+±，即x z y 522=+.（2）xoy 面上的双曲线369422=-y x 绕y 轴旋转一周得到的曲面是 ()36942222=-+±yz x ，即36494222=+-z y x .（3）yoz 面上的直线0132=+-z y 绕z 轴旋转一周而得到的曲面是 ()013222=+-+±z y x ，即()()222134-=+z y x .3.说明下列旋转曲面是怎样形成的.（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x ；（3）1222=--z y x ； 【解】（1）1994222=++z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,19422y z x 绕x 轴旋转一周而形成. （2）14222=+-z y x 由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422z y x 绕y 轴旋转一周而形成；或由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-,0,1422x y z 绕y 轴旋转一周而形成. （3）1222=--z y x 由曲线⎩⎨⎧==-,0,122z y x 绕x 轴旋转一周而形成；或由曲线⎩⎨⎧==-,0,122y z x 绕x 轴旋转一周而形成. 4.指出下列各方程所表示的曲面.（1）14416916222=++z y x ；（2）144944222=+-z y x ；（3）z y x 729422=-； （4）16922=+z y ；（5）22z y x --=；（6）224y z x =+； （7）36249222=++z y x ；（8）444222=-+x y z . 【解】（1）原方程可化为()1169222=++y z x. 所以，原方程表示的是旋转椭球面.（2）原方程可化为1163838222=+-z y x . 所以，原方程表示的是双叶双曲面.（3）原方程可化为81822y x z -= 所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面.（4）原方程可化为11691622=+z y . 所以，原方程表示的是椭圆柱面. （5）原方程可化为()22z y x +-=. 所以，原方程表示的是旋转抛物面. （6）原方程可化为4122z y x -=.所以，原方程表示的是双曲抛物面，即马鞍面. （7）原方程可化为11894222=++z y x . 所以，原方程表示的是椭球面.（8）原方程可化为1141222=-+x z y . 所以，原方程表示的是单叶双曲面.习题7.71.求球心在()3,2,1，半径为3的球面与平面5=z 的交线方程（写出一般式方程和参数式方程），并求出该曲线绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程.【解】（一）球心在()23,1，半径为3的球面方程为 ()()()9321222=-+-+-z y x .故球面与平面5=z 的交线的一般式方程为()()()⎩⎨⎧==-+-+-Γ.5,9321:222z z y x即()()⎩⎨⎧==-+-Γ.5,521:22z y x化为参数式方程为[]π2,0.5,sin 52,cos 51:∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=Γt z t y t x .（二）利用公式()()()()()[][]()πθβαθθ2,0,,.,sin ,cos 2222∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=t t z z t y t x y t y t x x . Γ绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 [][]()πθπθθ2,0,2,0.5,sin sin 54cos 5210,cos sin 54cos 5210∈∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=t z t t y t t x .2.分别求出母线平行于x 轴、y 轴且通过曲线()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++Γ2,01,162:222222z y x z y x 的柱面方程.【解】 （一）（1）、（2）联立消去x ，得 16322=-z y .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为16322=-z y . （二）（1）、（2）联立消去y ，得 162322=+z x .所以，母线平行于x 轴且通过曲线Γ的柱面为162322=+z x . 3.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+. 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=. 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21=.所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧== 5.画出下列各曲面所围立体的图形. （1）0,22==z x y 及1224=++zy x ；（2）0,,222==+=z y x y x z 及1=x . 【解】略.6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 7.写出圆锥面22:y x z S +=的参数方程.【解】().20,0.,sin ,cos πθθθ≤≤+∞<<⎪⎩⎪⎨⎧===r r z r y r x习题7.81.设向量值函数()k t j t i t t r ++=sin cos ，求()t r t 4lim π→. 【解】()t r t 4lim π→k j i k t j t i t t t t 42222lim sin lim cos lim 444ππππ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→. 2.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-='t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±='r 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 ()()(){}|1,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x s '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须s 与n 垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,sin cos 2,cos |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .6.已知(){}t t t t r 2,1,12-+=表示空间一质点在时刻t 的位置，求质点在时刻t 的速度和加速度向量，并求质点在指定时刻1=t 的速率和运动方向.【解】（一）时刻t 的速度向量为()()()()(){}2,2,12,1,12t t t t t r t v =⎭⎬⎫⎩⎨⎧''-'+='=； 时刻t 的加速度向量为()()()()(){}{}0,2,02,2,1='''=''=t t r t a .（二）1=t 的速度为(){}2,2,11=v )32211222=++=. 1=t 的速度为(){}2,2,11=v()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=32,32,311.复习题71.填空题（1）设b a ,为非零向量，若0.=b a ，则必有a ⊥b .（2）设b a ,为非零向量，若0=⨯b a ，则必有a ∥b .（3）若直线l 的方向向量s 与平面π的法向量n 互相平行，则直线l 与平面π必 垂直.（4）点()1,5,3P 到平面07623=+++z y x 的距离732.（5）若动()z y x M ,,到定点()5,0,0的距离等于它到x 轴的距离，则该动点的轨迹方程为25102-=-z x .（6）直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+=.31,1,2t z t y t x 与平面0765=-+-z y x 的位置关系是相交但不垂直.【解】直线l 的方向向量为{}3,1,1-=s .平面的法向量为{}6,5,1-=n .因为024.≠=n s ，且s 与n s .的坐标分量不成比例， 所以直线l 与平面π相交. 2.判断题.（1）若c a b a ..=，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （2）若c a b a ⨯=⨯，则必有c b =.（⨯）【解】取i a =，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 . （3）若c a b a ..= ① 且c a b a ⨯=⨯ ② ，则必有c b =.（⨯）【解】取0=a ，j b =，k c =，即知上述命题是错误的 .【书后答案有误】. 【注意：如果假定c b a ,,均为非零向量，则上述命题是正确的，其理由如下：由①式得 ()0.=-c b a ，说明a 与c b -垂直； 由②式得 ()0=-⨯c b a ，说明a 与c b -平行.因为a 为非零向量，故c b -必为零向量，从而c b =. （4）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ..=.（√） （5）设b a ,为非零向量，则必有a b b a ⨯=⨯..（⨯）3.已知直线⎩⎨⎧=+--=+++.03102,0123:z y x z y x l 平面024:=+-z y x π，则直线l 与平面π的位置关系为（B ）A. 平行于平面π C. 在平面π上B. 垂直于平面π D. 与平面π斜交.【解】在直线l 上任取一点⎪⎭⎫⎝⎛-0,71,7100M .直线l 的方向向量为k j i j i n n s 71428123121-+-=-=⨯=∥{}1,2,4-. 平面的法向量为{}1,2,4-=n .因为s ∥n ，所以直线l 与平面π垂直.4.设c b a u 2+-=，c b a v ---=3，试用c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()c b a 22+-=()c b a ----33c b a 775++=.5.设点C 为线段AB 上一点，且AC CB 2=，O 为AB 外一点，记OA a =，OB b =，OC c =，试用b a ,来表示c .【解】由题意知，a b OA OB AB -=-=，a b AB AC 313131-==. 所以，a b a a b OA AC AO AC c 32313131+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=.6.已知k j i a +-=32，k j i b 3+-=，j i c 2-=.计算： （1）()()b c a c b a ..-； （2）()()c b b a +⨯+. 【解】（1）()()8311312.=⨯+-⨯-+⨯=b a ； ()()8302312.=⨯+-⨯-+⨯=c a .所以，()()()()k j k j b c b c b c a c b a 24838888..--=--=-=-=-.（2）k j i j ib a +--=--=⨯581132；k j i j ic a -+=--=⨯22132；k j i j ic b -+=--=⨯362111. 所以，()()c b b b c a b a c b b a ⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯+()k j i +--=58 ()k j i -++2 ()k j i -++36 k j --=. 【或者这样做：k j i b a 443+-=+，k j i c b 332+-=+. 所以()()c b b a +⨯+.3243k j j i--=--=】 7.已知{}2,1,2=a ，{}10,1,4-=b ，a b c λ-=，且a ⊥c ，求实数λ. 【解】{}λλλλ210,1,24----=-=a b c .因为a ⊥c ，所以 ()()()λλλ210211242.0-⨯+--⨯+-⨯==c a ，即 0927=-λ .解之得 .3=λ8.设{}1,2,3-=a ，{}2,1,1-=b ，求：（1）()()b a 72⨯；（2）i a ⨯. 【解】（1） k j i j i b a 5731123--=-=⨯{}5,7,3--=. 所以，()()b a 72⨯()b a ⨯=14{}{}70,98,425,7,314--=--=.（2）{}2,1,020001123--=--=-=⨯k j i kji i a .9.3=1=，6π=，计算：（1）b a +与b a -之间的夹角；（2）以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积.【解】232313,.cos .=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧b a b a . ①（1+()71232322=+⨯+===；-()11232322=+⨯-===； ()()().213 (2)2=-=-=-+b b a a b a b a设b a +与b a -之间的夹角为θ，则有()(72172cos =⨯==θ，所以72arccos =θ.（2+()1314234322=⨯+⨯+===；-()319236322=⨯+⨯-===； ()()().2916233.6..3.222-=⨯--=--=-+b b b a a a b a b a设b a 2+与b a 3-之间的夹角为θ，则有()(39293132932cos -=⨯-==b a b a θ，故 2613539291cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=θθ. 所以由三角形的面积公式知，以b a 2+与b a 3-为邻边的平行四边形的面积为.32526135313sin 2=⨯⨯=⎥⎦⎤⨯-+=θS10.已知点()0,0,1A 及()1,2,0B ，试在z 轴上求一点C ，使ABC ∆的面积最小. 【解】过点()0,0,1A 及()1,2,0B 直线l 的方向即为{}1,2,1-==AB s .l 的方程为 1211:zy x l ==--. 设点()z C ,0,0，则{}2,1,22101---=--=⨯z z ji s AC . 点C 距l 的距离为()()()6212222-+-+-==z z d 65245152+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z明显地，当51=z 时，d 取到最小值55254=. 所以，ABC ∆的面积最小值为 53055262155221=⨯⨯==∆S ABC . 所求点.51,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛C11.求过点()2,1,3--且与平面01235=-+-z y x 平行的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量与已知平面相同，即为{}3,5,1-=n . 所以，所求平面方程为()()()0231.53.1=+++--z y x ，即 .0235=-+-z y x12.求过点()1,2,1且垂直于平面0=+y x 和05=+z y 的平面方程. 【解】可取所求平面的法向量为k j i j in n n 5501121+-==⨯=. 所以，所求平面方程为()()()0152.11.1=-+---z y x ，即 .045=-+-z y x 13.求满足下列条件的平面方程.（1）过点()2,1,1--M 和()1,1,3N 且垂直于平面0532:=-+-z y x π； （2）过点()3,3,2-M 且平行于xoy 面. 【解】（1）可取所求平面的法向量为k j i j is MN n 63122122--=-=⨯=∥{}2,1,4--. 所以，所求平面方程为()()()02.21.11.4=+-+--z y x ，即 .0924=---z y x（2）根据题意，可设所求平面的一般式方程为 .0=+D Cz将点()3,3,2-M 的坐标代入平面方程得.03=+D C 即 ()03≠-=C C D . 所以，所求平面为.03=-C Cz 化简得.03=-z14.求过点()3,0,2-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-.01253,0742:z y x z y x l 垂直的平面方程.【解】直线l 的方向为k j i j in n s 111416532121++-=-=⨯=. 所以，所求平面方程为()()()03.110142.16=++-+--z y x ，即.065111416=+++-z y x15.求过点()1,3,20-M 和直线⎩⎨⎧=+-=--.062,0165:z y y x l 的平面方程. 【解】化直线l 的为参数式方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+=.62,,165:y z y y y x l .因此直线l 过点()6,0,161M .可取所求平面的法向量为{}1,3,131531410--=--==⨯=k j i j is M M n . 所以，所求平面方程为 ()()()01.13.32.1=--+--z y x ，即.0103=---z y x 【书后答案有误】.16.求过点()1,1,1M 且与直线42135:-=+=-z y x l 平行的直线方程. 【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}4,2,3-=s .所以，所求直线为412131--=-=-z y x . 17.求过点()4,2,00M 且与两平面12:1=+z x π和23:2=-z y π都平行的直线方程.【解】根据题意知，可取所求直线的方向为{}1,3,232100121-=++-==⨯=k j i j in n s . 所以，所求直线为143220-=-=--z y x . 18.求下列旋转曲面方程.（1）⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周； （2）⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周.【解】（1）由公式，知⎩⎨⎧==.0,22x y z 绕y 轴旋转一周生成曲面 ()y z x 2222=+±，即 222z x y += ，为椭圆抛物面.（2）由公式，知⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,1422y z x 绕z 轴旋转一周生成曲面 ()142222=++±z y x ，即 14222=++z y x ，为椭球面. 19.指出下列各方程所表示的是何种曲面.（1）11694222=++z y x ； （2）94322y x z +=； （3）64416222=-+z y x ； （4）3694222-=+-z y x .【解】（1）表示椭球面； （2）表示椭圆抛物面；（3）可化为164164222=-+z y x ，故（3）表示单叶双曲面； （4）可化为14369222-=-+z y x ，故（4）表示双叶双曲面. 20.求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=Γ.,1,1:2t z t t y t t x ① 对应于1=t 处的切线方程. 【解】将1=t 代入① ，得切点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2,21. 又切向量为()|12,1,1=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎪⎭⎫ ⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t s ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==2,1,412,1,11|122t t t t ∥{}8,4,1-.所以，曲线Γ对应于1=t 处的切线方程为8142121-=--=-z y x .。
(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。
在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量， 问 t 取何值时， 向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线 ：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成 角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题7.4习题7.4.1设A是一个n阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素aii a(i,j1,2,,n)，则A必可对角化；jj（2）如果A的对角线元素a1122，且A不是对角阵，则aannA不可对角化。
证明：（1）因为A是一个n阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为|E|()()()，又因a ii a jj(i,j1,2,,n)，所以A有Aa11aa nn22n个不同的特征值，即A有n个线性无关的特征向量，以这n个线性无1为对角阵，故A必关的特征向量为列构成一个可逆阵P，则有PAP可对角化。
1（2）假设A可对角化，即存在对角阵2，使得ABn与B相似，进而A与B有相同的特征值1,2,,。
又因为矩阵A的特n征多项式为n|EA|(a11)，所以12na11，从而a 11Ba22 aE11，于是对于任意非退化矩阵X，都有ann1，而A不是对角阵，必有X1BXBA，与1XBXXa11EXa11EB假设矛盾，所以A不可对角化。
习题7.4.2设n维线性空间V的线性变换有s个不同的特征值1，V i是i的特征子空间(i1,2,,s)。
证明：s,2,,（1）V1VV是直和；2s（2）可对角化的充要条件是 V 12。
VVVs证明：（1）取VV1V 的零向量0，写成分解式有2s1s0，其中iV i ，i1,2,,s 。
现用2, 2,,s1分别作用分解式两边，可得012s 01122ss。
s 1 1 1s 2 1 2s s 1 s 0写成矩阵形式为 11 s 1 1( , 1 , 2,s11 22s )。
(0,0,,0)1ss s11 1s 11 由于1,2,,是互不相同的，所以矩阵ss1122B 的行列式不1 ss s1 为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 (11 1s BBB ，(1,2,,s )(0,0,,0)。
,,,)(0,0,,0)(0,0,,0) 2这说明V 1V 2V s 的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 V 12是直和。