《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1,11, 设A,(,,～ ,5),(5～，,)～ B,[,10～ 3)～写出A,B～ A,B～ A\B及A\(A\B)的表达式,2, 设A、B是任意两个集合～证明对偶律: (A,B)C,AC ,BC , ,3, 设映射f : X ,Y～ A,X～ B,X , 证明(1)f(A,B),f(A),f(B),(2)f(A,B),f(A),f(B),g,f,If,g,IXY 4, 设映射f : X,Y～若存在一个映射g: Y,X～使～～其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射～即对于每一个x,X～有IX x,x, 对于每一个y,Y～有IY y,y, 证明: f是双射～且g是f的逆映射: g,f ,1, 5, 设映射f : X,Y～ A,X , 证明:(1)f ,1(f(A)),A,(2)当f是单射时～有f ,1(f(A)),A ,6, 求下列函数的自然定义域:111y,2y,y,,1,x22y,3x，2y,sinx4,xx1,x (1),, (2), (3),(4),(5),1y,3,x，arctanx (6) y,tan(x，1),(7) y,arcsin(x,3), (8),, (9)y,ln(x，1),1xy,e (10),7, 下列各题中～函数f(x)和g(x)是否相同,为什么,(1)f(x),lg x2～ g(x),2lg x,2x (2) f(x),x～ g(x),,3343f(x),x,xg(x),xx,1 (3)～,(4)f(x),1～ g(x),sec2x,tan2x ,,,|sinx| |x|,,3,(x),,,,,,x0 ||,,()()(,),,,3,644 8, 设～求～～～ ,(,2)～并作出函数y,,(x)的图形,, 9, 试证下列函数在指定区间内的单调性:xy,1,x (1)～ (,,～ 1),(2)y,x，ln x～ (0～，,),10, 设f(x)为定义在(,l～l)内的奇函数～若f(x)在(0～l)内单调增加～证明f(x)在(,l～ 0)内也单调增加,11, 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,l～ l)上的～证明:(1)两个偶函数的和是偶函数～两个奇函数的和是奇函数,(2)两个偶函数的乘积是偶函数～两个奇函数的乘积是偶函数～偶函数与奇函数的乘积是奇函数,12, 下列函数中哪些是偶函数～哪些是奇函数～哪些既非奇函数又非偶函数,(1)y,x2(1,x2),(2)y,3x2,x3,21,xy,21，x (3),(4)y,x(x,1)(x，1),(5)y,sin x,cos x，1,x,xa，ay,2 (6)13, 下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数～指出其周期:(1)y,cos(x,2),,(2)y,cos 4x,(3)y,1，sin ,x,(4)y,xcos x,(5)y,sin2x,14, 求下列函数的反函数:3y,x，1 (1)错误～未指定书签。
《高等数学》同济第六版 第7章答案
1 3
1 （5）此级数为等比级数且公比 q = − ，所以该级数收敛，且收敛于 3
（6）此级数为等比级数且公比 q =
1 1 1 − (− ) 3
=
3 ； 4
7 > 1, ，所以该级数发散。. 6
6.将循环小数 0.25252525 " 写成无穷级数形式并用分数表示. 解： 0.25252525 " = 0.25 + 0.0025 + 0.000025 + "
∞ 1 1 1 (−1) n −1 = 1− + − +" = ∑ 3 5 7 n =1 2n − 1
级数
∞ ∞ 1 1 nπ (−1) 2 n −1 发散而级数 收敛，所以级数 条件收敛. sin ∑ ∑ ∑ 2 n =1 2n − 1 n =1 n n =1 2n − 1 ∞
（4） lim
n →∞
∑ (−1)
n+2 6n + 1
解： （1） lim
n →∞
∞ ∞ un 1 1 (2n − 1) 2 1 = lim = ，而级数 ∑ 2 收敛，所以级数 ∑ 收敛； 2 1 1 n →∞ 4 n =1 n n =1 (2n − 1) n2 n2
从而级数
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
1 绝对收敛； (2n − 1) 2
2n + 2 (1) ∑ 2n n =1
∞
n! (2) ∑ n n =1 3
∞
(3)
∑n
n =1
∞
3
sin
π
2n
2n ⋅ n ! (4) ∑ nn n =1
∞
2n + 4 ∞ n +1 2n + 2 a n +1 1 解： （1） lim = lim 2 = < 1 ，所以级数 收敛； n →∞ 2n + 2 n→∞ a 2 2n n n =1 2n
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集精编版
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1−11.设A =(−∞,−5)∪(5,+∞),B =[−10,3),写出A ∪B ,A ∩B ,A \B 及A \(A \B )的表达式.解A ∪B =(−∞,3)∪(5,+∞),A ∩B =[−10,−5),A \B =(−∞,−10)∪(5,+∞),A \(A \B )=[−10,−5).2.设A 、B 是任意两个集合,证明对偶律:(A ∩B )C =A C ∪B C .证明因为x ∈(A ∩B )C ⇔x ∉A ∩B ⇔x ∉A 或x ∉B ⇔x ∈A C 或x ∈B C ⇔x ∈A C ∪B C ,所以(A ∩B )C =A C ∪B C .3.设映射f :X →Y ,A ⊂X ,B ⊂X .证明(1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B );(2)f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).证明因为y ∈f (A ∪B )⇔∃x ∈A ∪B ,使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B )y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔y ∈f (A )∪f (B ),所以f (A ∪B )=f (A )∪f (B ).(2)因为y ∈f (A ∩B )⇒∃x ∈A ∩B ,使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B )y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒y ∈f (A )∩f (B ),所以f (A ∩B )⊂f (A )∩f (B ).4.设映射f :X →Y ,若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g =ο,Y I g f =ο,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f −1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f −1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f −1(f (A ))=A .证明(1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f −1(y )=x ∈f −1(f (A )),所以f −1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f −1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f −1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f −1(y )=x ⇒f (x )=y .因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A .这就证明了f −1(f (A ))⊂A .因此f −1(f (A ))=A .6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32−>x .函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解由1−x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞).(3)211x xy −−=;解由x ≠0且1−x 2≥0得函数的定义域D =[−1,0)∪(0,1].(4)241x y −=;解由4−x 2>0得|x |<2.函数的定义域为(−2,2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6)y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y =arcsin(x −3);解由|x −3|≤1得函数的定义域D =[2,4].(8)xx y 1arctan 3+−=;解由3−x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,3).(9)y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(−1,+∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(−∞,0)∪(0,+∞).7.下列各题中,函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2)f (x )=x ,g (x )=2x ;(3)334)(x x x f −=,31)(−=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x −tan 2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=−x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ−,ϕ(−2),并作出函数y =ϕ(x )的图形.解216sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ,0)2(=−ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y −=1,(−∞,1);(2)y =x +ln x ,(0,+∞).证明(1)对于任意的x 1,x 2∈(−∞,1),有1−x 1>0,1−x 2>0.因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<−−−=−−−=−x x x x x x x x y y ,所以函数xx y −=1在区间(−∞,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,有0ln )()ln ()ln (2121221121<+−=+−+=−x x x x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(−l ,l )内的奇函数,若f (x )在(0,l )内单调增加,证明f (x )在(−l ,0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(−l ,0)且x 1<x 2,有−x 1,−x 2∈(0,l )且−x 1>−x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数,所以f (−x 2)<f (−x 1),−f (x 2)<−f (x 1),f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(−l ,0),有f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(−l ,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l ,l )上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F (x )=f (x )+g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )+g (−x )=−f (x )−g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=[−f (x )][−g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数,而g (x )是奇函数,则F (−x )=f (−x )⋅g (−x )=f (x )[−g (x )]=−f (x )⋅g (x )=−F (x ),所以F (x )为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1−x 2);(2)y =3x 2−x 3;(3)2211xxy +−=;(4)y =x (x −1)(x +1);(5)y =sin x −cos x +1;(6)2x x a a y −+=.解(1)因为f (−x )=(−x )2[1−(−x )2]=x 2(1−x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (−x )=3(−x )2−(−x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+−=−+−−=−,所以f (x )是偶函数.(4)因为f (−x )=(−x )(−x −1)(−x +1)=−x (x +1)(x −1)=−f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (−x )=sin(−x )−cos(−x )+1=−sin x −cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=−−−−−,所以f (x )是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y =cos(x −2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数,周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14.求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3−1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3−1.(2)xx y +−=11;解由x x y +−=11得yy x +−=11,所以x x y +−=11的反函数为x x y +−=11.(3)dcx b ax y ++=(ad −bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得acy b dy x −+−=,所以d cx b ax y ++=的反函数为a cx b dx y −+−=.(4)y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5)y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y −1−2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x −1−2.(6)122+=x x y .解由122+=x x y 得y y x −=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为x x y −=1log 2.15.设函数f (x )在数集X 上有定义,试证:函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即−M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界−M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤K 2.取M =max{|K 1|,|K 2|},则−M ≤K 1≤f (x )≤K 2≤M ,即|f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1)y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ;解y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2)y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ;解y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2=2;解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y .(4)y =e u ,u =x 2,x 1=0,x 2=1;解2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5)y =u 2,u =e x ,x 1=1,x 2=−1.解y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2,y 2=e 2⋅(−1)=e −2.17.设f (x )的定义域D =[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[−1,1].(2)f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π(n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π,(2n +1)π](n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得−a ≤x ≤1−a ,所以函数f (x +a )的定义域为[−a ,1−a ].(4)f (x +a )+f (x −a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x −a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1−a ;当21>a 时,无解.因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ,1−a ],当21>a 时函数无意义.18.设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x ,求f [g (x )]和g [f (x )],并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>−=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==−1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=−1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°(图1−37).当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1−37解ο40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅−=ο40cot 0,所以h h S L οο40sin 40cos 20−+=.自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅−h hS ο确定,定义域为ο40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0−100)=90−75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75.当100<x <1600时,p =90−(x −100)×0.01=91−0.01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<−≤≤=−=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3)P =31×1000−0.01×10002=21000(元).习题1−21.观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限:(1)n n x 21=;解当n →∞时,n n x 21=→0,021lim =∞→n n .(2)nx n n 1)1(−=;解当n →∞时,n x n n 1)1(−=→0,01)1(lim =−∞→nn n .(3)212nx n +=;解当n →∞时,212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn .(4)11+−=n n x n ;解当n →∞时,12111+−=+−=n n n x n →0,111lim =+−∞→n n n .(5)x n =n (−1)n .解当n →∞时,x n =n (−1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =?求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N .解0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2cos ||0|≤=−π.∀ε>0,要使|x n −0|<ε,只要ε<n 1,也就是ε1>n .取]1[ε=N ,则∀n >N ,有|x n −0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ;分析要使ε=−221|01|n n ,只须ε12>n ,即ε1>n .证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<−|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=−++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n 41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N ,当n >N 时,有ε<−++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22+∞→na n n ;分析要使ε<<++=−+=−+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >.证明因为∀ε>0,∃][2εa N =,当∀n >N 时,有ε<−+|1|22na n ,所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .分析要使|0.99⋅⋅⋅9−1|ε<=−1101n ,只须1101−n <ε,即ε1lg 1+>n .证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9−1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n .4.a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<−||a u n ,从而||u n |−|a ||≤|u n −a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =−∞→n n ,但n n )1(lim −∞→不存在.5.设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有εε=⋅<≤=−MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n },若x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k −1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0,∃K 1,当2k −1>2K 1−1时,有|x 2k −1−a |<ε;∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k −a |<ε.取N =max{2K 1−1,2K 2},只要n >N ,就有|x n −a |<ε.因此x n →a (n →∞).习题1−31.根据函数极限的定义证明:(1)8)13(lim 3=−→x x ;分析因为|(3x −1)−8|=|3x −9|=3|x −3|,所以要使|(3x −1)−8|<ε,只须ε31|3|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x −3|<δ时,有|(3x −1)−8|<ε,所以8)13(lim 3=−→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)−12|=|5x −10|=5|x −2|,所以要使|(5x +2)−12|<ε,只须51|2|<−x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x −2|<δ时,有|(5x +2)−12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22−=+−−→x x x ;分析因为|)2(||2|244)4(2422−−=+=+++=−−+−x x x x x x x ,所以要使ε<−−+−)4(242x x ,只须ε<−−|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x −(−2)|<δ时,有ε<−−+−)4(242x x ,所以424lim22−=+−−→x x x .(4)21241lim 321=+−−→x x x .分析因为|)21(|2|221|212413−−=−−=−+−x x x x ,所以要使ε<−+−212413x x ,只须ε21|)21(|<−−x .证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<−−<|)21(|0x 时,有ε<−+−212413x x ,所以21241lim 321=+−−→x x x .2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ;分析因为333333||21212121x x x x x x =−+=−+,所以要使ε<+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x .证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<+212133x x ,所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)0sin lim =+∞→x x x .分析因为xx x x x 1|sin |0sin =−.所以要使ε<−0sin x x ,只须ε<x 1,即21ε>x .证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<−0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x −2|<δ时,|y −4|<0.001？解由于当x →2时,|x −2|→0,故可设|x −2|<1,即1<x <3.要使|x 2−4|=|x +2||x −2|<5|x −2|<0.001,只要0002.05001.0|2|=<−x .取δ=0.0002,则当0<|x −2|<δ时,就有|x 2−4|<0.001.4.当x →∞时,13122→+−=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时,|y −1|<0.01?解要使01.034131222<+=−+−x x x ,只要397301.04||=−>x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零.证明因为|f (x )−0|=||x |−0|=|x |=|x −0|,所以要使|f (x )−0|<ε,只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x −0|<δ,时有|f (x )−0|=||x |−0|<ε,所以0||lim 0=→x x .6.求,)(x x x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===−−−→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 00x f x f x x +→→=−,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000−=−==−−−→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,)(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠−,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7.证明:若x →+∞及x →−∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =−∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0,∃X 1>0,使当x <−X 1时,有|f (x )−A |<ε;∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )−A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε,即A x f x =∞→)(lim .8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有|f (x )−A |<ε.因此当x 0−δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有|f (x )−A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f (x 0−0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0,∃δ1>0,使当x 0−δ1<x <x 0时,有|f (x )−A <ε;∃δ2>0,使当x 0<x <x 0+δ2时,有|f (x )−A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x −x 0|<δ时,有x 0−δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有|f (x )−A |<ε,即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x →∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f (x )当x →∞时的极限存在,则存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞),则对于ε=1,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )−A |<ε=1.所以|f (x )|=|f (x )−A +A |≤|f (x )−A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M ,其中M =1+|A |.习题1−41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小,但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2.根据定义证明:(1)392+−=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2−=+−=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −3|<δ时,有εδ=<−=+−=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+−=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||−≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x −0|<δ时,有εδ=<−≤=|0|1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3.根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||−≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >−2||1,即21||+<M x .证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x −0|<δ时,有M xx >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ.当2101|0|04+<−<x 时,|y |>104.4.求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x −−→11lim 20.解(1)因为x x x 1212+=+,而当x →∞时x 1是无穷小,所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=−−1112(x ≠1),而当x →0时x 为无穷小,所以111lim 20=−−→x x x .5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.x →x 0+x →x 0−x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →−∞解f (x )→A f (x )→∞f (x )→+∞f (x )→−∞x →x 0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<|x −x 0|<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0+∀ε>0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x −x 0<δ时,有恒f (x )<−M .x →x 0−∀ε>0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )−A |<ε.∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒|f (x )|>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )>M .∀M >0,∃δ>0,使当0<x 0−x <δ时,有恒f (x )<−M .x →∞∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当|x |>X 时,有恒f (x )<−M .x →+∞∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x >X 时,有恒f (x )<−M .x →−∞∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )−A |<ε.∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0,使当x <−X 时,有恒f (x )<−M .6.函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(−∞,+∞)内无界.这是因为∀M >0,在(−∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k πcos2k π=2k π(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,就有|y (2k π)|>M .当x →+∞时,函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7.证明:函数x x y 11=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0,在(0,1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M .例如当221ππ+=k x k (k =0,1,2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xx y 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ,但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−51.计算下列极限:(1)35lim22−+→x x x ;解9325235lim 222−=−+=−+→x x x .(2)13lim 223+−→x x x ;解01)3(3)3(13lim 22223=+−=+−→x x x .(3)112lim 221−+−→x x x x ;解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+−=+−−=−+−→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim2230++−→;解2123124lim 2324lim 202230=++−=++−→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim −+→;解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim 2xx x +−∞→;解21lim 1lim 2)112(lim 22=+−=+−∞→∞→∞→x x xx x x x .(7)121lim22−−−∞→x x x x ;解2111211lim 121lim2222=−−−=−−−∞→∞→x x x x x x x x .(8)13lim 242−−+∞→x x x x x ;解013lim 242=−−+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零).或012111lim 13lim 4232242=−−+=−−+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+−+−→x x x x x ;解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=−−=−−=−−−−=+−+−→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x −+∞→;解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→x x x x x x x .(11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=−−=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limnn n −+⋅⋅⋅+++∞→;解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=−=−=−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n .(13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x −−−→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++−+−−=++−−++=−−−→→→112lim21−=+++−=→x x x x .2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim −+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+−→x x x x ,所以∞=−+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+−∞→x x x .解∞=+−∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时,x1是无穷小,而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1−71.当x →0时,2x −x 2与x 2−x 3相比,哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=−−=−−→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时,x 2−x 3是高阶无穷小,即x 2−x 3=o (2x −x 2).2.当x →1时,无穷小1−x 和(1)1−x 3,(2))1(212x −是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++−++−=−−→→→x x xx x x x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和1−x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=−−→→x x x x x ,所以当x →1时,1−x 和)1(212x −是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明:当x →0时,有:(1)arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x −.证明(1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y yx x y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0),所以当x →0时,arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===−=−→→→→x xx x x x x x x x x x x ,所以当x →0时,2~1sec 2x x −.4.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)x x x 23tan lim 0→;(2)m n x x x )(sin )sin(lim 0→(n ,m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim −→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320−+−+−→x x x x x .解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00.(3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==−=−=−→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x .(4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x −=⋅−−=−=−(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=−+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=−+(x →0),所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320−=⋅−=−+−+−→→x x x x x x x x x .5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)α~α(自反性);(2)若α~β,则β~α(对称性);(3)若α~β,β~γ,则α~γ(传递性).证明(1)1lim =αα,所以α~α;(2)若α~β,则1lim =βα,从而1lim =αβ.因此β~α;(3)若α~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ.习题1−81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<−≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0,1)和(1,2]内是连续的.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 211==−−→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0,2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤−=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =−1和x =1处的连续性.在x =−1处,因为f (−1)=−1,并且)1(11lim )(lim 11−≠==−−−→−→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11−=−==++−→−→f x x f x x ,所以函数在x =−1处间断,但右连续.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==−−→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(−∞,−1)和(−1,+∞)内连续,在x =−1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+−−=x x x y ,x =1,x =2;解)1)(2()1)(1(23122−−−+=+−−=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+−−=→→231lim lim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11−=−+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =−2,则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义,所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在,所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>−≤−=1 31 1x x x x y ,x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=−=−−→→x x f x x ,2)3(lim )(lim 11=−=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数x xx x f n nn 2211lim )(+−=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型.解⎪⎩⎪⎨⎧<=>−=+−=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =−1处,因为1)(lim )(lim 11=−=−−−→−→x x f x x ,1lim )(lim 11−==++−→−→x x f x x ,所以x =−1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==−−→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11−=−=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο,使当x ∈)(0x U ο时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈−=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉−∈=Q Q x x x x x f )(在R上处处有定义,它只在x =0处连续.习题1−91.求函数633)(223−+−−+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x −→及)(lim 2x f x →.解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−++−+=−+−−+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(−∞,+∞)内除点x =2和x =−3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(−∞,−3)、(−3,2)、(2,+∞).在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =−3处,∞=−++−+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim)(lim 33−=−+−=−→−→x x x x f x x .2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x −−+=ψ.因此] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −++=ϕ,] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x −−+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x −++=→→ϕ]|)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→−++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f −++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限:(1)52lim20+−→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim0−+→;(5)145lim 1−−−→x x x x ;(6)a x a x a x −−→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x −−++∞→.解(1)因为函数52)(2+−=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以55020)0(52lim220=+⋅−==+−→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数,f (x )在点6π=x 有定义,所以0)62cos 2ln(6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x .(4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim000++=++++−+=−+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x .(5))45)(1()45)(45(lim 145lim11x x x x x x x x x x x x +−−+−−−=−−−→→)45)(1(44lim1x x x x x +−−−=→214154454lim 1=+−⋅=+−=→x x x .(6)ax a x a x a x a x a x a x −−+=−−→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=−−+=→→.(7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x −++−++−−+=−−++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim22=−++=−++=+∞→+∞→xx x x x x x x x .4.求下列极限:(1)xx e 1lim∞→;(2)xx x sin ln lim 0→;(3)2)11(lim xx x+∞→;(4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim −∞→++x x xx ;(6)xx x x x x −++−+→20sin 1sin 1tan 1lim.解(1)1lim 01lim1===∞→∞→e ee x xx x .(2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x x x x x .(3)[]e e xx x x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .。
《高数(同济六版)》第七章 微分方程--参考答案
第七章 微分方程—练习题参考答案一、填空题1. 三阶；2. 023=+'-''y y y ；3. 1-='xy y ； 4. x e 22ln ⋅ ； 5. x x e c e c 221-+；6. 错误 、错误、错误、正确.二、选择题1-5:ACDCB; 6-8: CCB;三、计算与应用题1、（1）解：变量分离得，1122-=+x xdx y ydy ， 两边积分得，c x y ln 21)1ln(21)1ln(2122+-=+， 从而方程通解为 )1(122-=+x c y .（2）解：整理得，xy x y dx dy ln =，可见该方程是齐次方程， 令u x y =，即xu y =，则dx du x u dx dy +=，代入方程得，u u dxdu x u ln =+， 变量分离得，xdx u u du =-)1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-， 所以原方程的通解为cx x y =-1ln，或写为1+=cx xe y . （3）解：整理得，x e y x y =+'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 )(1)(1)(11c e xe x c dx xe x c dx e e e y x x x dx x x dx x +-=+=+⎰⎰=⎰⎰-. （4）解：整理得，x y x x dx dy 1ln 1=+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 )2ln (ln 1)ln (ln 1)1(2ln 1ln 1c x x c dx x x x c dx e x e y dx x x dx x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-， 代入初始条件1==e x y 得21=c ，从而所求特解为)ln 1(ln 21x x y +=. （5）解：将方程两边逐次积分得，12arctan 11c x dx xy +=+='⎰， 2121)1ln(21arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=⎰，即原方程通解为212)1ln(21arctan c x c x x x y +++-=. （6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得， x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为x x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰， 从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 21221c e c x x y x ++--=.2、解：将⎰+=x du u f x x f 0)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，所以 )()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，又由⎰+=xdu u f x x f 0)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，所以所求1)(-=x e x f .3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因3221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关， 从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=，所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=，即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。
同济高等数学第六版-D7_7常系数齐次线性微分方程-精选文档
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小结:
y p y q y 0( p , q 为常数 )
2 特征方程: r p r q 0 , 特征根 :r ,r 1 2
特征根
通
解
r 1 r 2 实根
p r r 1 2 2
r i 1 , 2
r x r x 1 2 y C e C e 1 2 r x 1 y ( C C x ) e 1 2 x y e ( C cos x C sin x ) 1 2
x x ( t) . 速度为 v 0, 求物体的运动规律
解: 由第六节例1 (P323) 知, 位移满足 因此定解问题为
dx 2 2 n k x 0 2 dt dt d x x t 0 x 0, t 0 v0 dt
d x
2
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
k 1 ( D D x D x sin x ] 1 2 k )
பைடு நூலகம்
(以上 C ) i, D i 均为任意常数
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例1. 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 1 , r 3 , 解: 特征方程 r 2 r 3 0 ,特征根: r 1 2
2
1 x y ( y y ) e cosx 1 2 1 2 1 x e sinx y ( y y ) 2 2 2 i 1
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
因此原方程的通解为 y p y q y 0( p , q 为常数 ) x 2( y e C cos x C sin x ) 1 2 特征方程 r p r q 0
同济大学第六版高等数学课后答案详解全集
同济六版高等数学课后答案全集第一章 习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
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第七章 微分方程—练习题参考答案
一、填空题
1. 三阶；
2. 023=+'-''y y y ；
3. 1-='
x
y y ；
4. x e 22ln ⋅ ；
5. x x e c e c 221-+；
6. 错误 、错误、错误、正确. 二、选择题
1-5:ACDCB; 6-8: CCB;
三、计算与应用题 1、（1）解：变量分离得，
1
1
2
2
-=
+x xdx y ydy ，
两边积分得，
c x y ln 2
1)1ln(2
1)1ln(2
12
2
+-=+，
从而方程通解为 )1(122-=+x c y . （2）解：整理得，
x y x y dx
dy ln =，可见该方程是齐次方程，
令
u x
y =，即xu y =，则dx
du x
u dx
dy +=，代入方程得，u u dx
du x
u ln =+，
变量分离得，
x
dx u u du =
-)
1(ln ，积分得，c x u ln ln )1ln(ln +=-，
所以原方程的通解为cx x
y =-1ln ，或写为1
+=cx xe
y .
（3）解：整理得，x
e y x
y =+
'1，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为
)(1)(1)(1
1
c e xe x
c dx xe x
c dx e
e e
y x
x x
dx
x x
dx
x +-=
+=+⎰⎰=⎰⎰-
.
（4）解：整理得，
x
y x
x dx
dy 1ln 1=
+，这是一阶线性方程，利用公式得通解为
)2
ln (ln 1)ln (ln 1)1(2
ln 1
ln 1
c x
x c dx x x x c dx e x e
y dx x x dx
x x +=+=+⎰⎰=⎰⎰-
， 代入初始条件1==e
x y
得2
1=
c ，从而所求特解为)ln 1(ln 2
1x
x y +
=
.
（5）解：将方程两边逐次积分得，12
arctan 11c x dx x y +=+=
'⎰
，
212
1)1ln(2
1arctan )(arctan c x c x x x dx c x y +++-=+=
⎰
，
即原方程通解为212
)1ln(2
1arctan c x c x x x y +++-
=.
（6）解：方程中不显含未知函数y ，所以可令)(x p y ='，则)(x p y '=''，代入方程得，
x p p =-'，这是一阶线性方程，其通解为
x
x x x x x dx dx e c x c e xe e c dx e x e c dx e x e p 111111)()()(+--=+--=+=+⎰⎰=----⎰⎰，
从而x e c x y 11+--='，两边积分得原方程通解为 2122
1c e c x x y x
++--=.
2、解：将⎰
+=x
du u f x x f 0
)()(两边对x 求导并整理得，1)()(=-'x f x f ，这是一阶线性微分方程，
所以
)()()()(1c e e c dx e e c dx e e x f x x x x dx dx +-=+=+⎰⎰=---⎰⎰，
又由⎰
+
=x
du u f x x f 0
)()(可知0)0(=f ，从而1=c ，
所以所求1)(-=x e x f .
3、证明：因为)(),(),(321x y x y x y 都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的特解，
所以21y y -和32y y -都是方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''对应齐次方程的解， 又因
3
221y y y y --不恒等于常数，所以21y y -和32y y -线性无关，
从而对应齐次方程的通解为)()(322211y y c y y c Y -+-=， 所以原方程的通解为1y Y y +=1322211)()(y y y c y y c +-+-=， 即3221211)()1(y c y c c y c y --++=.。