高数 第七章题库 微分方程
高等数学-第七章-微分方程
在工程领域中，微分方程组被广泛应用于控制论、信号处理、流体力学等方面。通过求解微分方程组，可以优化工程 设计、提高系统性能等。
经济应用
在经济学中，微分方程组被用来描述经济系统的动态行为，如经济增长模型、金融市场模型等。通过求 解这些微分方程组，可以分析经济现象的发展趋势和内在机制。
05 微分方程的数值解法
常数变易法
对于某些特殊形式的高阶微分方程组，可以通过常 数变易的方法，将其转化为易于求解的方程或方程 组。
幂级数解法
对于某些高阶线性微分方程组，可以通过幂 级数展开的方法，将其转化为无穷级数进行 求解。
微分方程组的应用
物理应用
在物理学中，许多现象可以用微分方程组来描述，如力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。通过求解这些 微分方程组，可以揭示物理现象的本质和规律。
非线性微分方程
不满足线性条件的微分方程，称为非线性微分方 程。
微分方程解的性质
唯一性定理 在一定条件下，微分方程的解是 唯一的。
边值问题 给定边界条件的微分方程求解问 题，称为边值问题。边值问题的 解可能不唯一，也可能不存在。
叠加原理
对于线性微分方程，若$y_1$和 $y_2$分别是方程的两个解，则 它们的线性组合 $c_1y_1+c_2y_2$（其中$c_1$ 和$c_2$是任意常数）也是方程 的解。
首次积分法
利用首次积分的方法，将一阶微 分方程组转化为可分离变量的方 程或可降阶的方程，然后求解得 到原方程组的解。
特征线法
对于一阶偏微分方程组，可以通 过引入特征线的概念，将偏微分 方程转化为常微分方程进行求解 。
高阶微分方程组法
变量代换法
通过适当的变量代换，将高阶微分方程组转 化为一阶微分方程组或可降阶的方程，然后 求解得到原方程组的解。
第七章微分方程练习题
第七章微分方程练习题一、选择题1.下列是微分方程的是 ( ) .A. dx x dy )14(-=；B.12+=x y ；C.0232=+-y y ；D.0sin =⎰xdx .2.微分方程0'3"22=+-xy yy xy 的阶数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.3.方程dt t dw w 2542=-是 ( )阶微分方程.A. 1；B.2；C.3；D.4.4.微分方程02=+'-''y y x y x 的通解中任意常数的个数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.5. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x6. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x7.微分方程xy y ='的一个解是( ) . A.3221+=x e y ； B.2221+=x e y ； C.1221+=x e y ； D.221x e y =.8.下列是齐次的线性微分方程的是（ ）. A.2x y dx dy +=； B.x y dxdy sin =； C.1cos '=+x y y ； D.1cos '=-y y .9.下列是齐次方程的是（ ）. A.y x dx dy +=10； B.x e y dxdy -=+； C.x y y x dx dy +=； D.x x x y dx dy sin =+.10.微分方程23x y ='的通解是（ ）；A.33x y =B. C x y +=33C. 3x y =D. C x y +=3 二、填空题1.微分方程0222=+x k dtx d 通解中任意常数的个数是 ； 2.表示未知函数、未知函数的_______与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；3.满足初值条件50==x y的函数C y x =-22中的C 等于 ；4. 微分方程02'12=++xy y x ）（满足初值条件10==x y 的特解是_______； 5.微分方程12+='x y 的通解是 ；三、判断题1.04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）2.)(])()(2[022x xy dt t y t t y x =++⎰是齐次方程.（ ） 3.0522=++x y y 不是微分方程.（ ）4.微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 可分离变量.（ ）5一阶微分方程1cos '=+x y y 是齐次的.（ ） 四、计算题1.求微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解.2.求微分方程dx dy xy dx dy xy =+22的通解. 3.求微分方程23=+y dxdy 的通解. 五、证明题1.函数kt kt x sin C cos C 21+=是微分方程0222=+x k dxy d 的解.六、综合题1.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A 成正比，比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？ 2.设有联结点O （0，0）和A （1，1）的一段向上凸的曲线弧OA ︵,对于OA ︵上任一点P （x,y ），曲线弧OP ︵与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA ︵的方程。
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
高等数学第七章微分方程试题及答案汇编
第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
《高等数学》 第七章
C
；
第三步，求积分的通解： G( y) F(x) C ．
其中 G( y) ， F (x) 分别是 1 ， f (x) 一个原函数． g ( y)
第二节 一阶微分方程
例 1 求微分方程 dy y sin x 0 的通解． dx
解 将方程分离变量，得到 dy sin xdx ， y
两边积分，即得
（*）
例如，以上六个方程中，（1）、（2）、（5）、（6）是一阶常微分方程，（3）是二阶
常微分方程，（4）是二阶偏微分方程．
定义 3 如果微分方程中含的未知函数及其所有导数都是一次多项式，则称该方
程为线性方程，否则称为非线性方程．
一般说来，n 阶线性方程具有如下形状：
a0(x) y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y (x) ．
第二节 一阶微分方程
例 3 求方程 dy y 1 的解． dx x 1
为方便起见，以后在解微分方程的过程中，如果积分后出现对数，理应都需作
类似下述的处理，其结果是一样的．以例 3 为例叙述如下：
分离变量后得
1 dy 1 dx ， y 1 x 1
两边积分得
ln | y 1| ln | x 1| ln C ，
再分离变量，得 du 1 dx ； f (u) u x
第三步，两端分别积分后得
du f (u) u
ln | x | C1
．
求出积分后，再用 y 代替 u ，便可得到方程关于 x 的通解． x
第二节 一阶微分方程
例 4 求微分方程 xy y(1 ln y ln x) 的通解．
解
将方程化为齐次方程的形式
dy dx
y x
1
第七章微分方程练习题
第七章 微分方程一、选择题1. 表示未知函数、未知函数的( )与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.A. 极限B. 连续C. 导数或微分D. 积分2. 微分方程02)(2=+'-'x y y y x 的阶数是 ( ) .A. 1B. 2C. 3D. 43. 方程0)()67(=++-dy y x dx y x 是 ( )阶微分方程.A. 1B. 2C. 3D. 4. 4. 微分方程0222=+-y dx dy x dx y d x 的通解中任意常数的个数是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5. 微分方程y xy ='的一个解是( ) . A. x y 5=； B. 15+=x y C. 25x y = D. 152+=x y 6. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x7. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x8. 下列微分方程是齐次方程的是（ ）.A. 012=+dx xydy B. x e y dx dy -=+ C. xy y x dx dy += D. y x e dx dy += 9. 微分方程23x y ='的通解是（ ），其中C 是任意常数.A. C x y +-=3B. C x y +=3C. C x y +-=33D. C x y +=3310. 下列微分方程可以转化成一阶非齐次线性方程的是（ ）.A. x e xy yy +=2'B. y x e xy y e +=2'C. x y e xy y e +=2'D. xe xy xy +='''2 二、填空题1．微分方程02=+''-'''xy y x y x 的阶数是 .2．微分方程02=+'-''y y x y x 通解中任意常数的个数是 . 3．满足初值条件50==x y 的函数C y x =-22中的=C .4．一阶微分方程x e y 2='的通解是 .5．微分方程02=+ydx xdy 满足初值条件12==x y 的特解是 .三、判断题1．方程022233=-+-xy y x y x 不是微分方程.（ ）2．04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）3．微分方程0=+-dy y x ydx )(有解0=y .（ ）4．方程0)1-22()(=+++dy y x dx y x 是可分离变量的微分方程.（ ）5．0=x 不是微分方程0=-xdy ydx 的解.（ ）6．微分方程的通解中一定含有任意常数C .（ ）7．方程)(xy g dx dy =是一阶齐次微分方程.（ ） 8．方程)()(x Q y x P dxdy +=是一阶非齐次线性微分方程.（ ） 9．方程),(y x f dxdy =不是一阶微分方程.（ ） 10．拉格朗日微分中值定理的结论a b a f b f f --=)()()('ξ不是一阶微分方程.（ ） 四、计算题1．验证函数x C x C y ωωsin cos 21+=（ω,,21C C ＞0都是常数）是微分方程02=+y y ω''的通解,2．求微分方程y x e dxdy -=2满足初值条件00==x y |的特解, 3．求微分方程23=+y dx dy 的通解. 4．方程xdx x y dx dy =++（x y x -≠≠,0）的通解. 5．求微分方程242y x x y +-='与微分方程2422y y x x x y --++='的公共解.五、综合题1．求曲线方程，已知这条曲线通过原点，并且它在点）（y x ,处的切线斜率等于y x +2.2．放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正M随时间t变化的规律.比。
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第十二章 微分方程答案一、 选择题1．下列不是全微分方程的是 C 1A.2()(2)0x y dx x y dy ++-=B.2(3)(4)0y x dx y x dy ---= C.32223(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.222(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2A.1122c y c y +是(2)的通解B. 113c y y +是(1)的解C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解D. 23y y +是(1)的解3．下列是方程xdx ydy +=的积分因子的是 D 2A.22x y + B.221x y + 4．方程322321x x d y d y e e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 05．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2(A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x =6．方程322321x xd y d ye e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 07．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2(A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1(A) 312x x c e c e -+ (B) 312*x xc e c e y -++ (C) 312*x x c xe c xe y -++ (D) 312*x xc e c e y -++9．微分方程'cot 0y y x -=的通解为（A ）. 1(A) sin y c x = (B) sin c y x =(C) cos y c x = (D) cos c y x= 10. 方程x y cos =''的通解为( C ) 1(A) c c x x y 21sin ++-= (B) c c x x y 21sin ++= (C)c c x x y 21cos ++-= (D)c c x x y 21cos ++=11. e y x-=''的通解为( C ) 1(A) e x -- (B) e x-(C) c x c e x 21++- (D)c x c e x21++-- 12. 微分方程()()0432=+'''+'y x y y y 的阶是( B ) 1(A) 1 (B) 2(C) 3 (D) 413. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1(A) ()0sin =+ydy dx xy x (B) ()y x y +='ln(C) yx dx dysin = (D) ()y e y x y x 21⋅=+'14.方程 02=-'y y 的通解是（ C ） 1 A.x y 2sin =； B.xey 24=； C.xcey 2=； D.c e y x+=。
15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式 0127=+'-''y y y 的解。
1 A.3x y =； B.2x y =； C.xe y 2=； D.xe y 3=。
16. 以e x 和x e xsin 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（D ） 2（A ）02=+'-''y y y （B ）422=+'-''y y y （C ）0=+''y y （D ）无这样的方程。
17.122+=+'-''x y y y 的特解y *可设为( C ) 2 (A) ()C Bx x A e y x ++=2* (B)D Cx x B x A y +++=23* (C) C Bx x A y ++=2* (D)()C Bx x A e x y x ++=2* 18. 若tty 2cos 4-=是方程t y y 2sin 4=+''的一个特解，则该方程的通解是（ A ）（A ）t t t t y c c 2cos 42cos 2sin 21-+= （B ）ttt y c 2cos 42sin 1-= （C ）()tt e t y t c c 2cos 4221-+=- （D ）t te e y t t c c 2cos 42221-+=-19. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（ B ） 1（A ）x y y x =+'2 （B ）x xy y sin =-'（C ）x y y =' （D ）02=+'xy y 20. 方程x y y y 2sin 52=+'+''的特解可设为（ D ） 2（A ）()x a x y 2sin = （B ）x a y 2sin =（C ）()x b x a x y 2cos 2sin += （D ）x b x a y 2cos 2sin +=二、 填空题1、以()2123t y c c t c t e =++ （123,,c c c 为任意常数）为通解的常微分方程是3232330d y d y dyy dt dt dt-+-= 2 2、若241,,x x -是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是2412(1)(1)1c x c x +++- （12,c c 为任意常数） 13. 微分方程xdx y dy cos 2=的通解: cx y +-=sin 114. 微分方程dy e y ydx xdy y 2=-的通解是:)(ye c y x -= 15.微分方程ydx+(y-x)dy=0的通解是:c y yx=+ln 26．以cos 2sin 2y x x =+为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 ''40y y +=。
27．解形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程，求解时可作的变量代换 ux y =,u x u y '+=' 18．微分方程0y 3y 4y =+'-''的通解y=312x xC e C e +19．微分方程y"+2y ˊ+2y=0的通解是 ()12cos sin x y x x e C C -=+ 。
110、微分方程03410=+'+''y y y 的通解是 )3sin 3cos (215x c x c e y x+⋅=- 1三、 计算题1．解方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx ++-=+，这里n 为常数。
2 解：将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++。
首先求齐次方程01dy ny dx x -=+的通解为(1)n y c x =+再设()(1)ny c x x =+，于是1()(1)(1)()n n dy dc x x n x c x dx dx-=+++，带入原方程，得()x dc x e dx=，即()x c x e C =+，C 为任意常数。
于是原方程通解为()(1)xny e C x =++。
5 ＃2．解方程330d xx dt+= 2解：特征方程为310λ+=，它的根为11,22i -±。
于是原方程解为12123(cos sin )22t tz c e e c t c -=++。
123,,c c c 为任意常数 4＃ 3．解方程dy y ytg dx x x=+ 2 解：作变量代换,y dy du u x u x dx dx ==+，则原方程变为dux u u tgu dx+=+。
即du dx tgu x=，解得sin cu e x =±，此外还有解0tgu =，即sin 0u =。
于是方程通解为sin u cx =，这里c 为任意常数。
代回原来变量，得原方程通解sinycx x= 5＃ 4．解方程22dy y dx x y =- 2 解：将原方程改写为22dx x y dy y -=，即2dx x y dy y=-。
先求出齐次方程2dx x dy y=的通解为2x cy =。
再设2()x c y y =，2()2()dx dc y y c y y dy dy =+，代入原方程得()1dc y dy y=- 解得()ln c y y C =-+，C 为任意常数。
所以原方程通解为2(ln )x y C y =- 5 ＃5．解方程：(0)dyxy x dx+=< 2解：将方程改写为(0)dy y x dx x =<，作代换,y dy du u x u x dx dx==+，则原方程变为 duxdx =dx x =。
于是得此方程通解为ln()x c =-+，即2[ln()]u x c =-+，(ln()0)x c -+>，这里c 为任意常数。
此外方程还有解0u =。
代回原来的变量，得原方程通解2[ln()]y x x c =-+(ln()0)x c -+>与0y = 5 ＃6．解方程424220d x d xx dt dt++= 2解：特征方程为22(1)0λ+=，有两个二重根i ±，原方程的四个实值解分别是cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t 。
故通解为1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++，1234,,,c c c c 为任意常数 4＃7. 设二阶可微函数y 满足方程 464x y y e '''-=，y(0)=21, 1)0('=y , 求y 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为062=-r r解得 01=r ， 62=r 于是对应齐次方程的通解为x e c c y 621+= 设非齐次方程的特解为：x ke Y4*=把它代入所给方程，得 21-=k 所以：x e Y4*21-=故已知方程的通解为xx e e c c y 462121-+=又1)0('=f ，f (0)=21 故==21c c 21即：)1(2146xx e e y -+= 7 ＃8. 求微分方程x e y y y -=++234'''的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0342=++r r解得 11-=r ， 32-=r 于是对应齐次方程的通解为x x e c e c y 321--+= 因1-=λ是特征根，故设非齐次方程的特解为：x axe Y -=*把它代入所给方程，得 1=a , 所以：x xe Y-=*故已知方程的通解为x x x xe e c e c y ---++=321 7＃ 9. 求微分方程x xe y y y =+-'''2的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0122=+-r r ，解得 =1r 12=r 。