2020-2021学年济南市商河县第一中学高三阶段性考试数学试卷及答案
商河县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
商河县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a 2． 已知点M 的球坐标为（1，，），则它的直角坐标为（）A ．（1，，）B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）3． f （）=，则f （2）=（ ）A ．3B ．1C ．2D ．4． 设变量x ，y 满足，则2x+3y 的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．555． 如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm ），则此几何体的表面积是（）A ．8cm 2B ． cm 2C ．12 cm 2D ． cm 26． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（）A ．2B ．3C ．4D ．57． 在复平面内，复数Z=+i 2015对应的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限8． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（）A ．B ．C ．D ．9． （）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷的值为（）A ．﹣B ．C ．D ．10．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要11．若圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为，则这个圆的方程是（ ）()2,1-10x y --=A ． B ． ()()22210x y -++=()()22214x y -++=C ． D ．()()22218x y -++=()()222116x y -++=12．已知三棱锥外接球的表面积为32，，三棱锥的三视图如图S ABC -π090ABC ∠=S ABC -所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．8D ．二、填空题13．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．14．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．15．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．16．已知实数x，y满足约束条，则z=的最小值为 ．17．给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）18．设椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是 ．三、解答题19．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=﹣．（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值．20．已知函数f （x ）=x|x ﹣m|，x ∈R ．且f （4）=0（1）求实数m 的值．（2）作出函数f （x ）的图象，并根据图象写出f （x ）的单调区间（3）若方程f （x ）=k 有三个实数解，求实数k 的取值范围．21．设锐角三角形的内角所对的边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c 2sin a b A =（1）求角的大小；B（2）若，，求．a =5c =22．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f （x ）=x+，x ∈[1，3]，利用上述性质，求函数f （x ）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．24．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．（Ⅱ）证明：AM⊥PM．商河县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.2＜0，0＜0.2＜1，，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键．2．【答案】B【解析】解：设点M的直角坐标为（x，y，z），∵点M的球坐标为（1，，），∴x=sin cos=，y=sin sin=，z=cos=∴M的直角坐标为（，，）．故选：B．【点评】假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM 所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影．这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，φ，θ的变化范围为r∈[0，+∞），φ∈[0，2π]，θ∈[0，π]，3．【答案】A【解析】解：∵f（）=，∴f（2）=f（）==3．故选：A．4．【答案】D【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．5．【答案】C【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，侧高和底面的棱长均为2，故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm2，故选：C．【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．6．【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=﹣1，∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．7．【答案】A【解析】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．复数对应点的坐标（），在第四象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．8．【答案】C【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，故选：C．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．9．【答案】D【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣4）×=1﹣（﹣3）×=1+=．故选：D．【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．10．【答案】B【解析】p p q∨p⌝p q∨p⌝p⌝试题分析：因为假真时，真，此时为真，所以，“真”不能得“为假”，而“为p p q∨假”时为真，必有“真”，故选B.考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.11．【答案】B【解析】考点：圆的方程.1111]12．【答案】A【解析】考点:三视图．【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.二、填空题13．【答案】 14 ．【解析】解：有框图知S=a⊗b=∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．14．【答案】【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，则截面为即截去一个三棱锥其体积为：所以该几何体的体积为：故答案为：15．【答案】BC【解析】【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．16．【答案】 ．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z==32x+y，设t=2x+y，则y=﹣2x+t，平移直线y=﹣2x+t，由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，此时t最小．由，解得，即B（﹣3，3），代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．17．【答案】 ③⑤ 【解析】解：①函数y=|x|，（x∈R）与函数，（x≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；错；②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；正确；④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域由0≤2x≤2，⇒0≤x≤1，它的定义域为：[0，1]；故错；⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．故正确；故答案为：③⑤18．【答案】 ．【解析】解：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且==，即=可得e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），∴f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=（1﹣cos2x）+sin2x﹣=﹣cos2x+sin2x﹣=sin（2x﹣），∴函数的周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）解得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣），当x∈[π，]时，2x﹣∈[，]，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣．【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）∵f （4）=0，∴4|4﹣m|=0∴m=4，（2）f （x ）=x|x ﹣4|=图象如图所示：由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．（3）方程f （x ）=k 的解的个数等价于函数y=f （x ）与函数y=k 的图象交点的个数，由图可知k ∈（0，4）．21．【答案】（1）；（2）．6B π=b =【解析】1111]（2）根据余弦定理，得，2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=所以.b =考点：正弦定理与余弦定理．22．【答案】【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f （x ）在x ∈[1，2]上单调递减，在x ∈[2，3]上单调递增，f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．（2）y=g（x）==2x+1+﹣8设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，从而有，所以a=．23．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．24．【答案】【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，所以CM平行且相等于DN，所以四边形MCNA为矩形，所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点所以PE⊥平面ABCD，CM=，所以PE⊥AM，在△AME中，AE==3，ME==，AM==，所以AE2=AM2+ME2，所以AM⊥ME，所以AM⊥平面PME所以AM⊥PM．【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．。
2020济南市高三期中数学试题参考答案
济南市高三期中考试数学试题答案与评分标准填空题13. -25 ; 14.4; 15.1312； 16. 323π。
三、解答题17. 解答:若选①，由题意()()()a b a b a c c +-=-，化简得222122a cb ac +-=，-2分 即1cos ,02B B π=<<，得3B π=。
------------------------3分（1）由余弦定理22()22cos b a c ac ac B =+--，得21124222ac ac =--⋅，解得43ac = 114sin sin 22333S ac B π==⨯⨯=。
----------------------6分（2）由正弦定理4sin sin sin a c b A C B ====，又因为23A C π+=， 所以4(sin sin )a c A C +=+-------------------------------8分24(sin sin())3A A π=+-=1cos )2A A +=)6A π+，-----------10分 因为220,3663A A ππππ<<<+<，1sin()(,1]62A π+∈。
4]a c +∈----------------------------------------------12分若选②，由22cos a c b C -=，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =，得1cos ,02B B π=<<，得3B π=。
以下与选①同。
若选③，由3(cos )sin a b C c B -=得3(sin sin cos )sin sin A B C C B -=，即3[sin()sin cos ]sin sin B C B C C B +-=，化简得tan 3B =，0B π<<，得3B π=。
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试题
，则点 的轨迹是（ ） C．椭圆
D．不存在
11. 点 ， 为椭圆 的两个焦点，椭圆 上存在点 ，使得
A．
B．
，则椭圆 的方程可以是（ ）
C．
D．
12. 已知圆
，直线
A．对任意实数 和 ，直线和圆相切
B．对任意实数 和 ，直线和圆有公共点
C．对任意实数 ，必存在实数 ，使得直线与圆相切
D．对任意实数 ，必存在实数 使得直线与圆相切
A．
的左焦点为 ，点 在椭圆上，且在 轴上方，若线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线
B．
C．
D．
7. 椭圆
上的点到直线
距离最近的点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
8. 已知椭圆 ：
的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ， ， 分别是 的左、右焦点，且
，点 为 上的任意一点，则
的取值范围为（ ）
，下列四个命题为真命题的是（ ）
三、填空题
13. 已知：如图，在 的二面角的棱上有 两点，直线
，则
__________．
分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直 ，已知
14. 直线
与圆C:
相交于 、 两点，则弦长 的最小值为______．
15. 已知 是椭圆： ，设左焦点为 ，则
的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作 的垂线，依次交椭圆的上半部分于 ______．
（Ⅰ）若
,
（Ⅱ）若直线 过点
，求
的面积；
山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考数学试题
，证明：
为定值，并求此定值．
21. 如图，四棱锥
2021届山东省商河县一中高三上学期12月联考数学试卷及答案
选择①当 n 1 时， b1 B1 20 ，
当 n 2 时， bn Bn Bn1 22 2n ， ………………………………………………5 分
bn 22 2n ，
………………………………………………………………………6 分
选择② Bn1 Bn bn 2 ，
即 bn1 bn 2 ， 所以bn 是首项为 20，公差 2 的等差数列， …………………5 分
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 B
D
A
C
D
D
B
A
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）
题号
9
10 11 12
答案
BD
BC ACD AB
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
4
13.
3
14． 2 3
15． ,12,
16.
1，
13 6
,
19 6
四、解答题（17 题 10 分；18、19、20、21、22 每题 12 分）
(3
t)
(1
cos t)
t
cos t
4，1
t
3 2
…………………………………2 分
关于曲线 E2 ，可知抛物线的方程为 x2
9 4
y ,
…………………………………………3 分
则由
nn
AE AG
0 0
，得
2 y 4z 0
2x
z
0
，即
y x
2z z 2
，
令 z 2 ，所以 n (1, 4, 2) ，
山东省商河县第一中学2020届高三12月月考数学(文)试题Word版含答案
山东省商河县第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题一．选择题（共12小题，每题5分）1．已知集合P={x|﹣1＜x ＜1}，Q={x|0＜x ＜2}，那么P ∪Q=（ ） A ．（﹣1，2）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（1，2）2．若复数（1﹣i ）（a+i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，﹣1） C ．（1，+∞）D ．（﹣1，+∞）3．已知命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2，下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q B ．p ∧￢q C ．￢p ∧q D ．￢p ∧￢q 4．已知奇函数f （x ）在R 上是增函数．若a=﹣f （），b=f （log 24.1），c=f （20.8），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b5．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．﹣24 B ．﹣3 C ．3D ．86．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）A.85-B.81 C. 41 D.8117．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．38．执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．图（1）是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1截去三棱锥A 1﹣AB 1D 1后的几何体，将其绕着棱DD 1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数f （x ）=cos （x+），则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y=f （x ）的图象关于直线x=对称C ．f （x+π）的一个零点为x=D ．f （x ）在（，π）单调递减11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．π B ．C ．D ．12．若0＜x 1＜x 2＜1，则（ ） A ．21ln ln 12x x e ex x ->- B ．12ln ln 12x x e e x x ->-C ．2112x x e x ex ⋅>⋅ D ．2112x x e x e x ⋅<⋅二．选择题（共4小题，每题5分）13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．14．曲线y=x 2+在点（1，2）处的切线方程为 ．15．设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2﹣2ay ﹣2=0相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则圆C 的面积为 ．6．已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣，③y=x 3，④y=x ，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．三．解答题（共6小题，共70分）17．(12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．18．（12分）在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．19．（12分）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．21．（12分）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (1)令)()(x f x g '=，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.22．（10分）已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ． （1）当a=2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围．山东省商河县第一中学2020届高三12月月考数学（文）试题参考答案1．A．2．B．3．B．4．C．5． A．6．B 7．D．8．B．9．B 10．D 11．B．12．C 13．．14．x﹣y+1=0．15．4π 16．．17．【解答】解：（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0（3分）（5分）所以直线恒过定点（3，1）（6分）（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短，直线l的斜率为由解得此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离所以最短弦长是（12分）18．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6．19．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1==，a2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，a n=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n=（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n ===﹣（2+（﹣2）n+1），则S n+1=﹣（2+（﹣2）n+2），S n+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由S n+1+S n+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1] =﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]=2S n ， 即S n+1+S n+2=2S n ，∴S n+1，S n ，S n+2成等差数列．20．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，又AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ，∵PA ∩PD=P ，∴AB ⊥平面PAD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ． 解：（2）设PA=PD=AB=DC=a ，取AD 中点O ，连结PO ， ∵PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，平面PAB ⊥平面PAD ， ∴PO ⊥底面ABCD ，且AD==，PO=，∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为，∴V P ﹣ABCD =====， 解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S 侧=S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC=+++==6+2．21．【解析】 (Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2axg x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0, 1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >. 22.【解答】解：（1）当a=2时，f （x ）=|2x ﹣2|+2， ∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6，|2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2，解得﹣1≤x ≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。
2020-2021济南市高三数学上期中一模试题带答案
（2）若 ， ，求 .
25． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， ．
求C；
若 ，求， 的面积
26．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
化为(m＋n)·(m2＋n2－mn＋2 016)＝0，
∵ ，
∴m＋n＝a4－1＋a2 013－1＝0，
∴a4＋a2 013＝2，
∴ .
很明显a4－1>0，a2 013－1<0，∴a4>1>a2 013，
本题选择D选项.
12．D
解析：D
【解析】
分析：由正弦定理可将 化简得 ，由余弦定理可得 ，从而得解.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简 ，得到 ，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．
【详解】
由题意知， ，
结合正弦定理，化简可得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 或 ，
所以三角形是等腰或直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，验证 是否为非零常数，由此可得出正确选项.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 .
对于①中的函数 ， ，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数 ， 不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
2021-2022学年山东省济南市商河县第一中学高三数学文期末试卷含解析
2021-2022学年山东省济南市商河县第一中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则a的取值范围是A． B． C． D．参考答案：答案：A2. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是A． B． C． D．参考答案：答案：D3. 则a，b，c的大小关系是()．A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a参考答案：C4. 函数f（x）=（﹣1）?sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证．【解答】解：∵f（x）=（﹣1）?sinx，∴f（﹣x）=（﹣1）?sin（﹣x）=﹣（﹣1）sinx=（﹣1）?sinx=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x=2时，f（2）=（﹣1）?sin2＜0，故排除B，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题．5. 已知正整数a、b满足，则使得取最小值时，实数对(a、b)是A．(5，10) B．(6，6) C．(10，5) D．(7，2)参考答案：答案：A6. 函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由得，在同一坐标系中做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有1个，即函数的零点个数为1，选B.7. 函数的定义域是 ( )A. B. C. D.参考答案：C略8. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度参考答案：D9. 函数的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题．【解答】解由已知得=cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|，在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象，如图所示，两函数图象有两个不同的交点，故函数f（x）的零点个数为2，故选B．10. 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x、y满足关系，则|x﹣y|的最大值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后分＞0和分别求出其最小值和最大值，则|﹣y|的最大值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （1，1），联立，解得B （﹣3，1）， 当时，t=过A 时有最大值为；当时，t=过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．12. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 在边BC 上，若?=2，则?= ．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y轴，建立直角坐标系，可得A 、B 、C 、D 、E 点的坐标，设 F （2，b ），由?=2，故b 的值，可得F 的坐标，从而求得?的值．解答： 解：如图所示：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系， 则由题意可得A （0，0）、B （2，0）、C （2，2）、D （0，2）、E （1，2）， 设 F （2，b ）． 由于?=（0，2）?（2，b ）=2b=2，故b=1，故F （2，1），=（﹣1，2），则?=（2，1）?（﹣1，2）=﹣2+2=0，故答案为：0．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．13. 已知（2x ﹣）n 展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．参考答案：60【考点】二项式定理． 【分析】根据题意，（2x ﹣）n 的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案． 【解答】解：由二项式系数的性质，可得2n =64，解可得，n=6； （2x ﹣）6的展开式为为T r+1=C 66﹣r ?（2x ）6﹣r ?（﹣）r =（﹣1）r ?26﹣r ?C 66﹣r ?，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60． 故答案为：60． 14. 由曲线所围成图形的面积是________ 。
2020-2021学年济南一中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年济南一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.复数1+ii(i为虚数单位)的模等于()A. √2B. 2C. √22D. 122.已知集合A={(x,y)|x=1}，B={(x,y)|y=x+1}，则A∩B=()A. (1,2)B. {(1,2)}C. [1,+∞)D. {1}3.若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4.为了保证信息安全，传输必须加密，有一种加密、解密方式，其原理如下：明文→加密密文→发送密文→解密明文，已知加密函数为y=xα−1(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“26”，再发送，接受方通过加密得到明文“3”，若接受方接到密文为“7”，则原发的明文是()A. 7B. 4C. 3D. 25.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，并满足：f(x)=a x⋅g(x)(a>0，且a≠1)和f′(x)⋅g(x)>f(x)⋅g′(x)(g(x)≠0)，且f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，当数列{f(n)g(n)}的前n项和大于62时，n的最小值是()A. 9B. 8C. 7D. 66.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：根据上表可得回归直线方程ŷ=0.6x+â，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为()A. 70.9kgB. 71.2kgC. 70.55kgD. 71.05kg7. 已知函数y=f′(x)的图象如图所示，那么下列结论正确的是()A. f(a)=0B. f′(x)没有极大值C. x=b时，f(x)有极大值D. x=c时，f(x)有极小值8. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 479. 4、已知两个单位向量与的夹角为135°，则的充要条件是A. B.C. D.10. 已知函数y=f(x)是定义在(−2,2)的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=2x−1，则f(log213)的值为()A. 32−1B. −23C. 2D. −2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）11. 如图是函数(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象，则()A. f(x)=sin(2x−π6) B. f(x)=cos(2x+π3)C. f(5π6+x)=f(5π6−x) D. f(π12+x)=−f(π12−x)12. 17世纪初，约翰⋅纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN=n+lga，现给出部分常用对数值(如表)，则下列说法中正确的有()A. 310在区间(104,105)内B. 250是15位数C. 若2−50=a×10m(1≤a<10,m∈Z)，则m=−16D. 若m32(m∈N∗)是一个35位正整数，则m=1213.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a2=20，S7=98，则()A. a1+a5=34B. |a8|<|a9|C. S n≤S9D. 满足S n<0的n的最小值为1714.下列说法中正确的是()A. 函数y=sin(x+π2)是偶函数B. 存在实数α，使sinαcosα=1C. 直线x=π8是函数y=sin(2x+5π4)图象的一条对称轴D. 若α，β都是第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）15.某次数学考试满分150分，某班同学的成绩服从正态分布N(90,σ2)(σ>0)，若ξ在区间(70,110)的概率为0.8，则任取三名同学的成绩仅一名同学的成绩不低于110分的概率为______ ．16.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若log2a2+log2a8=1，则a3⋅a7=______．17.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A，B，C三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A城市恰好只有医生甲去支援的概率为______．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）18. 设函数f(x)=e x +ae −x (a 为常数)，若f(x)为奇函数，则a = ；若f(x)是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．五、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边长，若(a +b +c)(sinA +sinB −sinC)=3asinB ． (1)求C 角大小．(2)若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =92且a +b =6，判断△ABC 的形状．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =12n(n +1) (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1=1，2b n −b n−1=0，c n =a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．21. 如图(1)所示，已知等边△ABC 的边长为2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使AD ⊥DB ，连接AB ，AC 得到如图(2)所示得四棱锥A −BCED ． (1)求证：AC ⊥平面ABD ； (2)求四棱锥A −BCED 的体积．22. 2020年5月22日晚，国际权威医学杂志《柳叶刀》在线发表了全球首个新冠疫苗临床试验结果，该试验结果来自我国的陈薇院士和朱凤才教授团队．由于非人灵长类动物解剖生理、组织器官功能和免疫应答反应等性状与人类非常接近，所以常选择恒河猴进行科研和临床实验．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在恒河猴身上进行科研和临床实验，得到部分数据如表．现从注射疫苗的恒河猴中任取1只，取到感染病毒的恒河猴的概率为25．未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20注射疫苗30总计5050100 (Ⅰ)补全2×2列联表中的数据：并通过计算判断能否有95%把握认为注射此种疫苗有效？(Ⅱ)在感染病毒的恒河猴中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只恒河猴中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求恰好抽到2只未注射疫苗的恒河猴的概率．，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥K0)0.050.010.0050.001 K0 3.841 6.6357.87910.82823.(本小题满分16分)已知，，且直线与曲线相切．(1)若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)当时，求最大的正整数，使得对(是自然对数的底数)内的任意个实数都有成立；(3)求证：．。
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数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}
1y y x =-，集合B ＝{}
2log (1)0x x ->，则A
B ＝
A ．∅
B ．(0，+∞)
C ．(1，2)
D ．(2，+∞) 2．已知命题p ：∀x ∈[0，2]，2
320x x -+>，则⌝p 是 A ．∃x ∈[0，2]，2
320x x -+< B ．∃x ∈[0，2]，2320x x -+≤ C ．∃x ∈(-∞，0)
(2，+∞)，2
320x x -+≤
D ．∀x ∈[0，2]，2320x x -+≤ 3．已知复数34i z =+，则2
3z z -＝
A ．5
B ．5
C ．20
D ．25
4．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有
A ．20种
B ．30种
C ．90种
D ．120种 5．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，则ω＝2是()f x 的最小正周期是π的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 A ．2()ln f x x x =- B ．()ln f x x x =- C ．2()2ln f x x x =- D ．()2ln f x x x =-
7．已知1＜m ＜
43，则23
143m m
+--的最小值是 第6题
A ．329+
B ．36+
C ．629+
D ．12
8．已知函数221
()log (1)f x x x
=+-
，则不等式(21)0f x ->的解集是 A ．(0，1) B ．(1，+∞) C ．(-∞，0) D ．(-∞，0)
(1，+∞)
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞1＞c ＞0，则下列结论正确的是
A ．a b
c c > B ．log log a b c c > C ．1313
log a a < D ．2233
a b <
10．已知复数13i 22
z =
-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅= B ．2
z z = C ．3
1z =- D ．2020
13i 22
z
=-+
11．在如图所示的三棱锥V —ABC 中，已知AB ＝BC ，∠V AB
＝∠V AC ＝∠ABC ＝90°，P 为线段VC 的中点，则 A ．PB 与AC 垂直 B ．PB 与V A 平行
C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等
D ．PB 与平面ABC 所成的角大于∠VBA 第11题
12．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且(1)f x -是奇函数，则下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数 C ．(1)0f = D ．(1)f x +是奇函数
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．2
6
2
(1)()x x x
+-展开式中的常数项为 ．
14．已知x ＞0，若关于x 的不等式
222
1
x x a x ++<+恒成立，则a 的取值范围是 ． 15．函数2
()log (412)3a f x x x =+-+(a ＞0且a ≠1)，若(ln(lg e))f ＝2，则(ln(ln10))f
＝ ．
16．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝30°，AA 1＝5，则其外接球体积是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
如图，在四棱锥M —ABCD
中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝BC ＝1，MD ＝1，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：
①二面角A —MD —C 的大小是
23π；②∠BAD ＝2
π． 若 ，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
新能源汽车对环保、节能减排、绿色生活以及可持续发展起到积极作用．下表给出了我国2015—2019年新能源汽车保有量y （单位：万辆）的数据：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x
1 2 3 4 5 年份代码平方X(X ＝x 2) 1 4 9 16 25 新能源汽车保有量y
42
91
153
261
381
（1（2）求y 关于X 的线性回归方程（精确到0.01），并预测我国2025年新能源汽车保有量（结果保留整数）．
附：参考公式：1
1
2
2
21
1
()()()
n n
i
i
i
i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y
nx y b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-．
已知函数()e x
f x a x =-． （1）求()f x 的极值；
（2）求()f x 在[0，1]上的最大值．
20．（本小题满分12分）
如图，三棱锥S —ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．
（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；
（2）若二面角P —BC —A 的大小为60°，求
PA
SA
的值．
为了研究全年国内旅游人均消费情况与性别的关系，某互联网旅游公司从其网络平台数
（1）请完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为
（2）在庆祝公司成立15周年的系列活动中，董事会决定在其平台数据库的所有“酷爱旅游者”中随机抽取4名用户，担任网站的“形象大使”，每位“形象大使”可获得30000元奖金．另外，为了进一步刺激旅游消费，提升网站的知名度，公司将在其平台数据库的所有用户中抽取100名幸运用户给予现金奖励，规则如下：幸运用户在网页上点击“抽奖”按钮，屏幕上会随机显示两个数字，每个数字出现0~9的可能性是相等的．两个数字中，若同时有数字1和5，则获得一等奖，奖励1000元；若只有数字1和5中的一个，则获得二等奖，奖励500元；若数字1和5都没有，则获得三等奖，奖励200元．每位“酷爱旅游者”可进行两次抽奖；每位“非酷爱旅游者”可进行一次抽奖．
①视频率为概率，求抽取的4名“形象大使”中，既有男“酷爱旅游者”，又有女“酷爱旅游者”的概率；
②如果所有的“形象大使”和幸运用户都不放弃奖励，记移动支付平台支出的奖金总额为X ，求X 的数学期望．
附：
参考公式：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
22．（本小题满分12分）
已知函数2
()ln f x ax bx c x =+-，其中a ，b ，c ∈R ． （1）当a ≥0，c ＝1时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）已知a ＞0，b ＝﹣2，c ＝2，且函数()f x 有两个零点1x ，2x （1x ＜2x ），求证：对任意的正实数M ，都存在满足条件的实数a ，使得2x ﹣1x ＞M 成立．
答案。