原函数与不定积分的概念
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(完整版)不定积分的概念与存在定理
ch x ex ex 2
(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
不定积分的概念及其线性法则
2 x4 ) dx . 5. ( 2 sin x 3 x e x ) dx . 6. ( 2 2 1 x 1 x
cos 2 x 7. dx . cos x sin x
x 9. sin dx . 2
2
1 8. dx . 2 2 cos x sin x
10. e x 1 d x .
例 2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的 切线斜率为 sec x sin x ，且此曲线与 y 轴
2
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
例2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴 切线斜率为
1 cos 2 x sin2 x dx .
1 cos 2 x sin2 x dx
cos 2 x sin2 x dx 2 2 cos x sin x
[sec 2 x csc 2 x ]dx
tan x cot x C .
9. 求积分 解
2
x sin 2 dx .
二、 基本积分表 P172 (1) kdx kx C ( k 是常数) ;
( 2)
( 3) ( 4)
( 5)
( 6) (7)
x 1 x dx C ( 1) ; 1 dx x ln | x | C ; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C 1 1 x 2 dx arcsin x C arccos x C cos x dx sin x C ;
y x2 C ,
原函数与不定积分的概念
1.5.1原函数与不定积分 的概念
内容提要：
一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
二、为什么要学习不定积分
定积分的定义的解法
（3）求和
21dx
1x
Sn
n i 1
f
1
i
n
1
x
n
1
1
i 1 1
i
1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
n
1
i1 n i 1
11
1
1
n n 1 n 2 2n 1
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '
1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
三、原函数的概念
五、不定积分的概念
六、不定积分的应用简介
展示结束， 谢谢！
导数：函数的平均变化率的极限
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。
内容提要：
一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
二、为什么要学习不定积分
定积分的定义的解法
（3）求和
21dx
1x
Sn
n i 1
f
1
i
n
1
x
n
1
1
i 1 1
i
1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
n
1
i1 n i 1
11
1
1
n n 1 n 2 2n 1
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '
1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
三、原函数的概念
五、不定积分的概念
六、不定积分的应用简介
展示结束， 谢谢！
导数：函数的平均变化率的极限
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。
原函数和不定积分
原函数和不定积分不定积分是微积分中的重要概念之一，与原函数密切相关。
在本文中，我们将深入探讨原函数和不定积分的概念、性质以及它们之间的关系。
一、原函数的定义和性质原函数是函数微积分中的一个概念，也被称为反导函数。
设函数F(x)在区间[a, b]上是连续函数，如果对于区间[a, b]上的任意点x，有F'(x) = f(x)，则函数F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
原函数具有以下性质：1. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
2. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)在[a, b]上的任意两点A、B，有F(B) - F(A) = ∫[A, B]f(x)dx，即F(x)的值在[a, b]上的任意两点之差等于f(x)在[a, b]上的定积分。
二、不定积分的定义和性质不定积分是原函数的一种记法，用符号∫f(x)dx表示。
具体地说，如果F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数，那么f(x)在区间[a, b]上的不定积分记作∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
不定积分具有以下性质：1. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
2. 若f(x)和g(x)都是连续函数且具有原函数F(x)和G(x)，则∫[a,b](f(x) + g(x))dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx，即不定积分有线性性质。
3. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则：a) 若a > b，则∫[a, b]f(x)dx = -(∫[b, a]f(x)dx)；b) 若a = b，则∫[a, b]f(x)dx = 0。
三、原函数与不定积分的关系原函数与不定积分密切相关，它们可以互相转换。
具体地说：1. 如果f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上的不定积分∫f(x)dx存在。
不定积分的概念与性质
(sec x ) sec x tan x
( 11 ) csc x cot x d x csc x C (csc x ) csc x cot x
10
( 12 )
( 13 )
dx 1 x
2
arcsin
xC
(arcsin
x )
x )
1 1 x
问题: (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
,则
结论：(1) 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 (C为任意常数).
(2) 若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数,
则 F ( x ) G ( x ) C , （C 为任意常数）
熟记基本积分公式 分项积分
常用恒等变形方法
加项减项 利用三角公式, 代数公式 ,
22
g ( x )] d x
2
f ( x )d x
g ( x )d x
( x )d x k f ( x )d x （ k 是 常 数 ， k 0 )
3 1 x
2
例 求积分 (
解
1 x )d x
2
)d x .
2
(1
3
3 x
2
2 1 x2Βιβλιοθήκη 1 1 xdx 2
1 1 x
2
dx
3 arctan x 2 arcsin x C
12
例 求积分
解
2
x x x
2 e 5 2 dx
不定积分的概念和公式表
例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx
高三数学原函数与不定积分的概念
【5-1-1】
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C
二、不定积分
1、概念
若F (x)是f (x)在I上的一个原函数,则称其原函数全体是f (x)的不定积分,
记作
f (x)dx F (x) C
2、理解
（1）积分号、积分变量、被积函数、积分表达式、积分常数
（2）不定积分的结果是一个函数集，而不是一个函数，也不是 一个数。
3、求法
找出被积函数f (x)的无穷个原函数中的任意一个F (x), 然后加上一个
(F (x) C) F(x) f (x)
(2) f (x)的任意一个原函数都可以表示成F (x) C的形式
即一个函数的任意两个原函数之间仅仅相差一个常数
(F (x) G(x)) F(x) G(x) f (x) f (x), F (x) G(x) C（常数）
因此f (x)的所有原函数全体为： {F (x) C C R}
§5.1 原函数与不定积分的概念
一、原函数 1、概念
设F (x)与f (x)在区间I上有定义, 若有F(x) f (x)或dF (x) f (x)dx, x I , 则称F (x)为f (x)在I上的一个原函数。 2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
(1)F(x) C也是f (x)在I 上的一个原函数, C为任意常数
x2
4
4 x2
原式
x2dx
4 dx
4
dx x2
x3 3
4x
4 x
C
【5-1-6】
3、利用性质计算简单不定积分 例：求下列不定积分：
(2) (x 1)3 dx
解：(2) d (x 1)4 4(x 1)3 dx
原式 1 d (x 1)4 1 (x 1)4 C
4-1不定积分的概念与性质
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问题： (1) 原函数的存在性。 (2) 原函数是否唯一？不唯一它们之间有什么关系？ (3) 如何求原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么 在 区 间 I 内 存 在 可 导 函 数 F ( x) ， 使 ∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 简言之：连续函数一定有原函数.
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
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(2)不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的任一原函数的图形称为 f ( x ) 的一条积分曲线。全体原函数的图形称为 f ( x ) 积分曲线族。
积分曲线族的切线互相平行。这是因为
[∫ f ( x )dx ] ′= [F ( x ) + C ] ′= F ′( x ) = f ( x )
dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数。 ′ 例 (sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数. ′ 1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ )内的原函数. x
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1 dx . 例6 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
解
1 1 1 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ ( x 2 − 1 + x 2 )dx 1 = − − arctan x + C x
tan 2 xdx 例7 求积分 ∫
解
sin 2 x 1 − cos 2 x ∫ tan xdx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx 1 = ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x
问题： (1) 原函数的存在性。 (2) 原函数是否唯一？不唯一它们之间有什么关系？ (3) 如何求原函数。 原函数存在定理： 如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，那么 在 区 间 I 内 存 在 可 导 函 数 F ( x) ， 使 ∀x ∈ I ，都有 F ′( x ) = f ( x ) 简言之：连续函数一定有原函数.
∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
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(2)不定积分的几何意义
函数 f ( x ) 的任一原函数的图形称为 f ( x ) 的一条积分曲线。全体原函数的图形称为 f ( x ) 积分曲线族。
积分曲线族的切线互相平行。这是因为
[∫ f ( x )dx ] ′= [F ( x ) + C ] ′= F ′( x ) = f ( x )
dF ( x ) = f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数。 ′ 例 (sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数. ′ 1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间( 0,+∞ )内的原函数. x
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1 dx . 例6 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
解
1 1 1 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ ( x 2 − 1 + x 2 )dx 1 = − − arctan x + C x
tan 2 xdx 例7 求积分 ∫
解
sin 2 x 1 − cos 2 x ∫ tan xdx = ∫ cos 2 x dx = ∫ cos 2 x dx 1 = ∫ ( 2 − 1)dx = tan x − x + C cos x
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导数：函数的平均变化率的极限
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。
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1.5.1原函数与不定积分 的概念
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Байду номын сангаас
1
内容提要：
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2
一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
3
二、为什么要学习不定积分
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4
定积分的定义的解法
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5
（3）求和
21dx
1x
Sn
n i 1
f
1
i
n
1
x
n
1
1
i 1 1
i
1
n
n
n
1
i1 n i 1
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1
n
n
1 1
n
1
2
1
2n 1
6
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '
1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
编辑ppt
7
三、原函数的概念
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8
编辑ppt
9
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10
五、不定积分的概念
编辑ppt
11
六、不定积分的应用简介
编辑ppt
12
展示结束， 谢谢！
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13
微分：德尔塔X的线性倍数，即德尔塔Y的主要部分
不定积分概念是由牛顿和莱布尼兹针对黎曼所提出的定积分概 念而提出的，二者尽管只有一字之差，并且在运算的方法上也无 较大差异，却在含义上有本质的差别。今天，我们主要学习的是 不定积分，至于积分的内容，我们将在以后深入学习。
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1.5.1原函数与不定积分 的概念
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Байду номын сангаас
1
内容提要：
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2
一、不定积分的引入
在前面的学习过程中，我们已经基本了解了有关导数和微分的 相关知识，初步的感受了高等数学和初等数学的不同，今天，我 们将学习一个全新的内容-------不定积分
正如加法与减法，乘法与除法互为逆运算，微分与积分也互为 逆运算。在此，作为比较我们先回顾一下导数和微分的定义：
3
二、为什么要学习不定积分
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4
定积分的定义的解法
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5
（3）求和
21dx
1x
Sn
n i 1
f
1
i
n
1
x
n
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1
i 1 1
i
1
n
n
n
1
i1 n i 1
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1
n
n
1 1
n
1
2
1
2n 1
6
微积分基本原理的解法
解
因为 ln x '
1
x
,
所以 2 1dx
1x
ln x|12ln 2 ln 1 ln 2.
由此我们可以看出，不定积分对于定积分求解的重要作用， 这也是我们为什么要学习不定积分的原因。
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三、原函数的概念
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8
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10
五、不定积分的概念
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六、不定积分的应用简介
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展示结束， 谢谢！
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13