运筹学第五章排队论PPT课件
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运筹学排队论
第十四页，课件共有25页
3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
15
第十五页，课件共有25页
3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量
是否有限。
潜在顾客数量
有限顾客源
无限顾客源
例如：公司只有
三台机器时，需
要维修的数量
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人
收银员
电影院售票窗口人
售票员
第六页，课件共有25页
Where the Time Goes ?
人一生中平均要花费---6个月 停在红灯前
8个月 打开邮寄广告
1年 寻找放置不当的物品
五年排队等
2年 回电话不成功
4年 做家务
待
5年 排队等待
6年 饮食
第七页，课件共有25页
为什么会出现排队现象？
顾客
顾客离开
顾客排队
服务设施
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每
位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间
隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时
间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾
客也根本用不着等待。
在以下情况将出现排队现象：
平均到达率高于平均服务率
顾客到达的间隔时间不一样（随机）
服务时间不一样（随机）
第八页，课件共有25页
8
普通能力
到达数量
时 间
• 排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制
有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客
留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或
3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
15
第十五页，课件共有25页
3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量
是否有限。
潜在顾客数量
有限顾客源
无限顾客源
例如：公司只有
三台机器时，需
要维修的数量
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人
收银员
电影院售票窗口人
售票员
第六页，课件共有25页
Where the Time Goes ?
人一生中平均要花费---6个月 停在红灯前
8个月 打开邮寄广告
1年 寻找放置不当的物品
五年排队等
2年 回电话不成功
4年 做家务
待
5年 排队等待
6年 饮食
第七页，课件共有25页
为什么会出现排队现象？
顾客
顾客离开
顾客排队
服务设施
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每
位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间
隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时
间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾
客也根本用不着等待。
在以下情况将出现排队现象：
平均到达率高于平均服务率
顾客到达的间隔时间不一样（随机）
服务时间不一样（随机）
第八页，课件共有25页
8
普通能力
到达数量
时 间
• 排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制
有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客
留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或
运筹学第五章排队论
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过 程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无 限源，先到先服务的排队系统模型。
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
排队论课件
③服务方式(输出)指同一时刻有多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客， 也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。 服务时间的分布主要有如下几种： • 负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相 同的负指数分布(看病)； • 爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相 同的爱尔朗分布。
• 定长分布：每一顾客的服务时间都相等（发放物品）；
为叙述方便，引用下列符号，令
• M代表泊松分布输入或负指数分布服务；
• D代表定长分布输入或定长分布服务； • Ek代表爱尔朗分布的输入或服务。 于是泊松输入、负指数分布服务，N个服务台的排队系 统可以写成M/M/N； • 泊松输入、定长服务、单个服务台的系统可以写成M/D/1。 • 同样可以理解M/ Ek /N，D/M/N…等符号的含义。 • 如果不附其它说明，则这种符号一般都指先到先服务， 单个服务通道的等待制系统。
多通道服务方式
(1)系统中没有车辆的概率 为： 1 P (0) N 1 k N N !(1 / N ) k 0 k! ( 2)系统中有 k个车辆的概率： k .P (0), k! P（k） k P (0), kN N! N k N k N
1
5 5 10s / 辆
两种系统比较
4个M/M/1
平均车辆数 平均排队长 平均耗时 平均等候时间 20 16.68 30 25
M/M/4
6.6 3.3 10 5
设顾客平均到达率为，则到达的平均时距为1/ 。排队从单通道通过接受 服务的平均服务率为，则平均服务时间为1/ 。比率 / 叫做服务强度 或交通强度，可以确定系统的状态。所谓状态，指的是排队系统的顾客数。 1)在系统中没有顾客的概率为P(0) 1 2)在系统中有n个顾客的概率为P (n) n (1 ) 3)系统中的平均车辆数n 4)系统中的平均方差 2 5)平均排队长度q n 6)非零平均排队长度q w 1 1 n
排队论(脱产)PPT课件
等待制与损失制
等待制
顾客等待时间有限，超过一定时 间仍无法接受服务则离开；或者 顾客可以无限等待，直到获得服 务。
损失制
顾客到达时若无法立即接受服务 ，则离开系统。
稳态与瞬态
稳态
排队系统在长时间后达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔均服从某一概 率分布。
瞬态
排队系统未达到平衡状态，顾客到达和服务的时间间隔不服从概率分布。
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排队论(脱产)ppt课件
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目 录
• 引言 • 排队论的基本概念 • 常见的排队模型 • 排队论中的性能指标 • 排队论的应用实例 • 总结与展望
PART 04
排队论中的性能指标
队长与等待队长
队长
指在任意时刻队列中的顾客数。它通常用来衡量系统的负载状况。队长是描述系 统状态的重要参数，其分布情况决定了系统的性质。
等待队长
指在队列中等候的顾客数。等待队长是衡量系统性能的重要指标，特别是在处理 能力有限的情况下。等待队长的大小直接影响到顾客的等待时间和系统的效率。
交通系统
地铁调度
地铁调度中心需要确保列车按时到达车 站并保持适当的间隔。排队论可用于分 析列车的到达时间和等待时间，优化列 车的调度和运行计划，提高地铁系统的 运输效率和安全性。
VS
机场安检
机场安检是保证乘客安全的重要环节，但 安检队伍过长或等待时间过长会影响乘客 的满意度和机场的运行效率。排队论可用 于分析安检队伍的长度和等待时间，优化 安检流程和资源配置，提高机场的运行效 率和乘客满意度。
“排队论算法含”PPT课件模板
Xn表示一周7天中某一天某计算机的工作时间， n∈{1,2,3,4,5,6,7}。{Xn}是一个离散时间的连续随 机变量。
计数过程
令N(t)表示在时间段[0, t)内的某种事件发生的 次数。N(t)称为该事件的计数过程。计数过程 是一种随机过程。
事件：数据包到达路由器；顾客到达商店
性质：
1. N(0)=0 2. N(t)非负 3. 如果s<t，N(s)≤N(t)，N(t)-N(s)是时间[s,t)内发生的
稳态pn(t)，即limt→∞pn(t)
系统平均规模
L E[N] npn
n0
队列平均规模
Lq E[Nq] (nc)pn
n0
客户在系统内平均耗时 W E[T]
Wq
客户在队列中平均耗时 Wq E[Tq ]
Little等式 (Little’s law)
Little等式（Little’s formula） LW
1. 独立增量过程（即独立时间段上的事件发生的个数是独 立的）
2. 平稳过程（在任意一段时间内发生的事件个数的分布是 不变的）
3. 在一小段时间h内发生一个事件的概率为λh+o(h)。
4. 在一小段时间h内发生多于一个事件的概率为o(h)
λ被称为泊松过程的速率
注意limo(h) 0 h0 h
定理：{N(t)，t≥0}是一个速率为λ的泊松过程。Y表
共c个服务器，平均λ/μ个客户接受服务，平均每个 服务器λ/cμ个客户，或者单位时间中λ/cμ服务器繁 忙
λ/μ很重要。定义ρ= λ/μ为一个排队系统的提交 负载（offered load）：服务器完成一个客户服 务的时间平均到达的客户数量
G/G/c排队系统总结
/c
计数过程
令N(t)表示在时间段[0, t)内的某种事件发生的 次数。N(t)称为该事件的计数过程。计数过程 是一种随机过程。
事件：数据包到达路由器；顾客到达商店
性质：
1. N(0)=0 2. N(t)非负 3. 如果s<t，N(s)≤N(t)，N(t)-N(s)是时间[s,t)内发生的
稳态pn(t)，即limt→∞pn(t)
系统平均规模
L E[N] npn
n0
队列平均规模
Lq E[Nq] (nc)pn
n0
客户在系统内平均耗时 W E[T]
Wq
客户在队列中平均耗时 Wq E[Tq ]
Little等式 (Little’s law)
Little等式（Little’s formula） LW
1. 独立增量过程（即独立时间段上的事件发生的个数是独 立的）
2. 平稳过程（在任意一段时间内发生的事件个数的分布是 不变的）
3. 在一小段时间h内发生一个事件的概率为λh+o(h)。
4. 在一小段时间h内发生多于一个事件的概率为o(h)
λ被称为泊松过程的速率
注意limo(h) 0 h0 h
定理：{N(t)，t≥0}是一个速率为λ的泊松过程。Y表
共c个服务器，平均λ/μ个客户接受服务，平均每个 服务器λ/cμ个客户，或者单位时间中λ/cμ服务器繁 忙
λ/μ很重要。定义ρ= λ/μ为一个排队系统的提交 负载（offered load）：服务器完成一个客户服 务的时间平均到达的客户数量
G/G/c排队系统总结
/c
运筹学课件：排队论总结
假定不允许缺货，订购后供货单位能即时供应，求最优订购量、订 购间隔期和单位时间总费用。
Operation Research
模型二：不允许缺货，生产需一定时间（1）
第八讲
该模型最早用于确定生产批量，因此也称为生产批量模型 （Production lot size）
模型假设条件
缺货费用无穷大，C2→∞
存储量随时间的变化情况
-R
Operation Research
第八讲
模型一：不允许缺货，备货时间很短（2）
问题分析
决策的要素： 确定合适的订货时间间隔；确定合适的订货量；
矛盾所在
1. 订货间隔时间短，可以减少每次的订货量，降低存储费用；但在一 个固定时间段内，必然会增加订购次数，使订购费用增加；
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（2）
存储量随时间的变化情况
Operation Research
解释
第八讲
Operation Research
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（3）
公式推导
Operation Research 求最小值
第八讲
Operation Research
单位时间内单位缺货的损失，C2为常数
当存货降至零时，允许拖一段时间，然后订货就逐步均匀到货， 到货（生产）速率为P为常数
需求是连续的、均匀的，设需求的速率R（单位时间的需求量）为 常数，并且P>R，则t时间的需求量为Rt
每次订货量不变，订购费不变，C3为常数 单位存储费不变，C1为常数
Operation Research
Operation Research
第八讲
Operation Research
模型二：不允许缺货，生产需一定时间（1）
第八讲
该模型最早用于确定生产批量，因此也称为生产批量模型 （Production lot size）
模型假设条件
缺货费用无穷大，C2→∞
存储量随时间的变化情况
-R
Operation Research
第八讲
模型一：不允许缺货，备货时间很短（2）
问题分析
决策的要素： 确定合适的订货时间间隔；确定合适的订货量；
矛盾所在
1. 订货间隔时间短，可以减少每次的订货量，降低存储费用；但在一 个固定时间段内，必然会增加订购次数，使订购费用增加；
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（2）
存储量随时间的变化情况
Operation Research
解释
第八讲
Operation Research
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（3）
公式推导
Operation Research 求最小值
第八讲
Operation Research
单位时间内单位缺货的损失，C2为常数
当存货降至零时，允许拖一段时间，然后订货就逐步均匀到货， 到货（生产）速率为P为常数
需求是连续的、均匀的，设需求的速率R（单位时间的需求量）为 常数，并且P>R，则t时间的需求量为Rt
每次订货量不变，订购费不变，C3为常数 单位存储费不变，C1为常数
Operation Research
Operation Research
第八讲
排队论主要公式 运筹学 课件
排队论主要公式一、状态平衡方程()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=-<≤=++---++--12.10,011.10,010.10,1,01111001111k k k k n n n n n n n p p p p k n p p p μλμλμμλλ当系统状态为可数状态时，将上述第一个式子的k 换成∞，而将第三式去掉。
二、的关系为和q s q s W W L L ,,()()()()00;001;10.20210.2113;10.224.10.23s q q s q s q L W L W W W L L Littie λλμλμ===+=+上述四个式子称为公式。
三、标准的M/M/1模型（1）系统在稳定状态下处于状态n 的概率()()13.10,1,1,1,10<≥-=-=ρρρρn p p n n其中μλρ/=，它是系统的平均到达率与平均服务率之比，称为服务强度或称为话务强度。
（2）系统的运行指标１0系统中的平均顾客数L S 为()14.10;10,10<<-=-==∑∞=ρλμλρρN n S np L02系统中等待的平均顾客数q L 为()()15.10;1121λμρλρρ-=-=-=∑∞=n n q p n L03 顾客在系统中的逗留时间W 的分布及平均逗留时间S W 为()()()[]()1,0,10.161;10.17s F e W E μλωωωωμλ--=-≥==-04 顾客在系统中的等待时间分布及平均等待时间q W 为()()()()()19.10.118.10,0,1λμρλμμλμωρωωλμ-=-=-=≥-=--s q q W W e F//1N M M 四、系统容量有限制（设为）的模型（1）系统在稳态下处于状态n 的概率01系统空闲的概率为()24.10.1,11;1,1110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠--=+ρρρρN p N02 系统中有n 个客户的概率为()()01,1,1,1110.251,1;1nnn n N N p p N ρρρρρρ⎧-≠≤≤⎪⎪-+==⎨⎪=⎪+⎩其中1,/<=p 此处μλρ的条件可以取消。
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第五章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间
隔分布和服务时间分布(可实测)。
2）从队列的空间可分为有容量限制和无容量 限制。
3）从队列数可分为单列和多列。
.
4
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
n
多队多服务台（并列)
1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]
.
6
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic，
Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随 机分布(General Independent)， G —一般随机分布。
话)：
lt i mpn(t)pn
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态
(Statistical Equilibrium State)的解。
稳态的物理意义见右图， pn 系统的稳态一般很快都
能达到，但实际中达不
到稳态的现象也存在。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的
过渡状态
极限,而只需求Pn’(t)=0 .
.
1
§1 排队系统的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。现分别说 明：
顾客源
顾客到达 排队结构 服务规则 服务机构
离去
排队规则
图1 排队系统示意图
.
2
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。
服务的顾客数c
(2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。
平均等待时间(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。
(3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空 闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数 都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）
4.排队系统指标优化
Y——填写服务时间分布（与上同）
Z——填写并列的服务台数
A——排队系统的最大容量
B——顾客源数量
C——排队规则
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过
程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限
源，先到先服务的排队系统模型。
.
7
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
2）顾客是成批到达或是单个到达。
3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。
4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓 独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。
5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说
是对时间齐次的（Homogeneous in time），也可以
是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达
稳定状态
t
10
即可。
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系
统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时 刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
.
9
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由
于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也
很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的
含优化设计与优化运营。 问题1 系统中顾客数=平. 均队列长（Lq）+1？ 11
§2.3 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征
• 排队系统的模型分类
• 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布
• 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])
• 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]
的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；
非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。
.
3
2. 排队规则
1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制） 和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将 会形成队列，顾客可以按下规则接收服务： （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率 规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙 期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，
• 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
1
2
... n
单队多服务台（串列）
.
1
1
2
3
2
混合形式
5
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： • 顾客相继到达的间隔时间分布 • 服务时间的分布 • 服务台数
最优运营（动态优化）。
.
8
§2.2 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过
研究排队系统运行的效率指标，估计服务质
量，确定系统的合理结构和系统参数的合理
值，以便实现对计等。
排队问题的一般步骤：
1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间
隔分布和服务时间分布(可实测)。
2）从队列的空间可分为有容量限制和无容量 限制。
3）从队列数可分为单列和多列。
.
4
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
n
多队多服务台（并列)
1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall 记号(适用于并列服务台)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]
.
6
式中：X——顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov，D—确定型分布Deterministic，
Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， GI— 一般相互独立随 机分布(General Independent)， G —一般随机分布。
话)：
lt i mpn(t)pn
称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态
(Statistical Equilibrium State)的解。
稳态的物理意义见右图， pn 系统的稳态一般很快都
能达到，但实际中达不
到稳态的现象也存在。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的
过渡状态
极限,而只需求Pn’(t)=0 .
.
1
§1 排队系统的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输 入过程；2.排队规则；3.服务机构。现分别说 明：
顾客源
顾客到达 排队结构 服务规则 服务机构
离去
排队规则
图1 排队系统示意图
.
2
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列情况：
1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。
服务的顾客数c
(2)平均逗留时间(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。
平均等待时间(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。
(3)忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空 闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数 都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）
4.排队系统指标优化
Y——填写服务时间分布（与上同）
Z——填写并列的服务台数
A——排队系统的最大容量
B——顾客源数量
C——排队规则
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过
程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限
源，先到先服务的排队系统模型。
.
7
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
2）顾客是成批到达或是单个到达。
3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。
4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓 独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。
5）输入过程可以是平稳的（stationary）或说
是对时间齐次的（Homogeneous in time），也可以
是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达
稳定状态
t
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即可。
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系
统中顾客数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时 刻系统中有n个顾客的概率，也称瞬态概率。
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求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差 分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由
于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也
很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的
含优化设计与优化运营。 问题1 系统中顾客数=平. 均队列长（Lq）+1？ 11
§2.3 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征
• 排队系统的模型分类
• 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布
• 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])
• 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]
的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；
非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。
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2. 排队规则
1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制） 和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将 会形成队列，顾客可以按下规则接收服务： （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。