五尺中学九年级数学竞赛试卷
九年级数学竞赛题(含答案)
初三数学竞赛题（含答案）（全卷满分120分考试时间90分）姓名_________班级________指导教师_________ 得分_________一 .单项选择题（每题6分，共30分）1.22016－22017＝( )A.-22016B.-2C. 22016D.22.若关于x 的多项式x 2-6x+m 2是一个完全平方式，则m=( ) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±93.圆锥的侧面展开是圆心角为90°的扇形，则圆锥的母线与底面半径之比为（） A . 6:1 （B ）. 4:1 （C ）.3:1 （D ）.2:14.如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形AB CD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为（） A.15 B.20 C.25 D.305.如图，矩形ABCD 中，AB AD 2=，E 是AD 边上一点，AD nDE 1=（n 为大于2的整数），连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF和EG .记四边形BFEG 的面积为1S ，矩形ABCD 的面积为2S ，当301721=S S 时，n = （ ）A.3B. 4C.6D.8第4题图第5题图二 .填空题（每题6分，共30分）6.已知2cos 2β+3sin β-3=0,则锐角β＝________. 7.化简：324324--+＝________8.（1+2+3+…+99）（2+3+4+…+100）－（1+2+3+…+100）（2+3+4+…99）＝________. 9.已知关于x 的分式方程111=--++x kx k x 的解为负数，则k 的取值范围是_______. 10.如图，点A 1，A 2依次在的图象上，点B 1，B 2依次在x 轴的正半轴上，若ΔA 1OB 1 ,ΔA 2B 1B 2均 为等边三角形，则点B 2的坐标为 ． 三．解答题（每题20分，共60分）11.为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m 的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a （50＜a ＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？BCAD12. 如图，抛物线y=x2－2x+c的顶点A在直线l：y=x－5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．数学竞赛答案1.A2.B3.D4. D5. C6.3007.28.1009. k＞1/2, 且k≠1 10.(26,0)11. 解：（1）依题意得，=，整理得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100，经检验，m=100是原分式方程的解，所以，m=100；（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式组的解集是95≤x≤105，∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案；（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，所以，当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样；③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，所以，当x=95时，W有最大值，12. 解：（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x－5上，∴当x=1时，y=1－5=－4，∴A（1，－4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，－4）代入y=x2－2x+c，可得，1－2+c=－4，∴c=－3，∴y=x2－2x－3，∴B（0，－3）当y=0时，x2－2x－3=0，x1=－1，x2=3∴C（－1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4－3）2+12=2，AD2=（3－1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x－5交y轴于点A（0，－5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x1－5），则G（1，x1－5）则PC=|1－x1|，AG=|5－x1－4|=|1－x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1－x1）2+（1－x1）2=18，x12－2x1－8=0，x1=－2，4∴P（－2，－7），P（4，－1）存在点P（－2，－7）或P（4，－1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．第12题图第13题图S△AEM =．13.（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B，又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC－EC=6－5=1，当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE =，∴BE=6－=；（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=－+x=－（x－3）2+，∴AM=－5－CM ═（x－3）2+，∴当x=3时，AM 最短为，又∵当BE=x =3=BC时，∴点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE ==4，此时，EF⊥AC，∴EM ==，。
九年级竞赛数学试卷和答案
A BCFEaxAEC (F )D B 图（1）E AGB C (F ) D 图（2）九年级竞赛数学试卷班级___________ 姓名_____________一、填空题（每题3分，共27分）1．用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形．折纸过程如图所示，则α∠等于（ ）． A ．108︒ B ．90︒ C ．72° D ．60°2.下列各式计算正确的是（ ）．(A) x 2‧x 3=x 6 (B) 2x +3x =5x 2 (C) (x 2)3=x 6 (D) x 6÷x 2=x 3 。
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个 B．3个 C ．2个 D ．1个4．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15~20次之间的频率是（）A．0.1 B ．0.17 C ．0.33 D ．0.45．将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（ ）6．若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－77\ 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA =2，∠AOC =45︒，则B 点的坐标是（ ）(A) (2+2，2) (B) (2-2，2) (C) (-2+2，2) (D) (-2-2，2)。
8. 已知反比例函数y = -x7图像上三个点的坐标分别是A (-2，y 1)、B (-1，y 2)、C (2，y 3)，能正确反映y 1、y 2、y 3的大小关系的是（ ）(A) y 1>y 2>y 3 (B) y 1>y 3>y 2 (C) y 2>y 1>y 3 (D) y 2>y 3>y 1 。
9. 如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 交AB于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．若S △ABC ＝7，DE ＝2， AB ＝4，则AC ＝（ ）A ．4B ．3C ．6D ．5二、填空（每题4分，共20分）10．方程 1x –2 = 2x 的解是11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3，4)．连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使 △AOP 是等腰三角形．那么所有满足条件的点P 的坐标是12．观察：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a = (n=1，2，3，…). 13. 若不等式组,420x a x >⎧⎨->⎩的解集是12x -<<，则a = ．14．如图，已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B C F D 、、、在同一条直线上，且点C 与点F 重合，将图（1）中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E 在AB 边上，AC 交DE 于点G ，则线段FG 的长为 cm （保留根号）．第1题图A ． Ｂ． Ｃ．三、简答题（共28分）15．（本小题满分6分）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为（1（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由． 16．（本小题满分6分）（1）计算：12012(π3-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭；（2）先化简：再求值：22222a b ab b a a aba ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，其中11a b ==，17．（2010青海， 8分） 如图8,两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字． 小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内数字之和大于9,小红获胜.(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止) (1)请你通过画树形图或列表法求小明获胜的概率;(2)你认为该游戏规则是否公平,若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则．18、如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P 到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒（1）当点P在线段AO上运动时.①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.九年级文理科联赛模拟试卷1答案一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共30分）11、；12、；13、；；14、；三、简答题15、（6分）解：（1）甲的平均成绩为：(857064)373++÷=，乙的平均成绩为：(737172)372++÷=，丙的平均成绩为：(736584)374++÷=，∴候选人丙将被录用．··································································（3分）（2）甲的测试成绩为：(855703642)(532)76.3⨯+⨯+⨯÷++=，乙的测试成绩为：(735713722)(532)72.2⨯+⨯+⨯÷++=，丙的测试成绩为：(735653842)(532)72.8⨯+⨯+⨯÷++=，∴候选人甲将被录用．·····································································（6分）16．（本小题满分6分）（1）计算：12012(π3-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭解：原式=433---······························································3分（一处正确给1分）10=-． ········································································································3分（2）先化简：再求值：22222a b ab baa ab a⎛⎫-+÷+⎪-⎝⎭，其中11a b==，．解：原式=2()()()()a b a b a ba ab a+-+÷-··········································2分（一处正确给1分）=1a b+···········································································································3分C2==··························································································· 3分17、【分析】求概率通常使用的方法有画树形图或列表法，在此题中两者都可，再由概率不相等得到游戏不公平．【答案】解: (1)列表法树形图根据列表或树形图可知,小明获胜的概率为61122P==(2)这个游戏不公平,因为小明获胜的概率为12P=小红获胜的概率为31124P==,1124≠,所以,这个游戏对小红不公平,设计游戏规则:当指针所指区域数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域数字之和不小于9,小红获胜．18. 解：（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD∵AB=2 ∴OB=OD=1，∴-……………2分②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线∴12EH OC==∵DQ=x ∴BQ=2-x∴11(2)(2)22BPQ BEQy S S x x∆∆=+=⨯-+⨯-242x=-+…………………………3分（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴tan30oOPOQ===∴x=25此时PB不平行QE，∴x=25时，四边形PBEQ为梯形. …………………………2分当PE∥BQ时，P为OC中点∴=∴34x=此时，BQ=2-x=54≠PE，∴x=34时，四边形PEQB为梯形. (2)分当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴HE QHOP BO=121x-=C∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形. ………………………………2分综上所述，当x=25或34或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.……………1分。
初三数学竞赛试卷带答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数中，不是有理数的是（）A. -√2B. 0.5C. 3D. 2/32. 若a，b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 4B. -4C. 3D. 13. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = |x|D. y = x^34. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S9 = 90，则公差d为（）A. 2C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共20分）6. 若一个数的平方等于它本身，则这个数是_______。
7. 二项式定理中，(x + y)^n展开式中，x的系数是_______。
8. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = _______。
9. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 - 5x的值为_______。
10. 一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则这个三角形的周长为_______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：3x^2 - 5x + 2 = 0。
12. 已知函数y = 2x - 3，求证：对于任意实数x1，x2，都有y1 + y2 ≥ 2y。
13. 在△ABC中，AB = AC，点D是边BC上的一点，且BD = DC。
若∠ADB = 40°，求∠A的度数。
答案一、选择题1. A2. A3. D4. A5. A二、填空题6. 07. C_n^1 x^(n-1) y9. -510. 28三、解答题11. 解：分解因式得 (3x - 2)(x - 1) = 0，所以 x = 2/3 或 x = 1。
12. 证明：设x1 < x2，则y1 = 2x1 - 3，y2 = 2x2 - 3。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
九年级数学竞赛试题及答案
九年数学竞赛试题一、选择题(每小题7分，共42分)1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k 为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中，正确结论的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D) 44.设，那么S与2的大小关系是( )(A)S=2 (B)S＜2(C)S＞2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为( )(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6.已知x，y，z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx( )(A)只有最大值 (B)只有最小值(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值二、填空题(每小题7分，共56分)7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.8.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.10.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____11.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A( , )；C( , ).13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.三、解答题(每题13分，共52分)15.九年(1)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.17.某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x.(1)试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.377 8.1:39.，30 10.11.12.(,0)，(,1) 13.0，1或7 14.2815.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得xy=(x+12)(y-2)，①且整数x满足38＜x＜50.②由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.③由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.此时相应的y为9或10.但m＜400，∴x=42，y=9.答：(略).16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0①有实数根，故△=42-4(3k-1)≥0，解之，得k≤.②设x1，x2为①的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1·x2=3k-1，因≥x1x2，故(x1+x2)2-3x1x2≥0，即(-4)2-3(3k-1)≥0，∴k≤.③又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知1+5k＞0，即k＞-.④综合②③④，得-＜k≤.∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.18.(1)由题意知：BP=x，0＜x＜6，且有，故AD=·BP=x=x.过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N点，则PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x2；又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，故S1=S△ABP=BP·AN=2x；S3=S△CDP=CD·PM=(AC-AD)·PM=(4-x)·(6-x)=(6-x)2.(2)因为S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当x=3时，S2取最大值S2=3，此时S1=6，S3=3，因此，S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2，S1=2S3.(以上4个关系只要写出3个即可)。
九年级数学竞赛选拔测试卷(05、9)
九年级数学竞赛选拔测试卷班 号 姓名 一、选择题（每小题4分，共28分）1、方程9865=+y x 的正整数解的个数是（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个 2、两个相似三角形的面积分别是3和5，那么它们的相似比是（ ）A 、3：5B 、5:3C 、9：25D 、不能确定 3、若0<x ，化简332x x x x +++的结果是（ ）A 、4xB 、2xC 、0D 、－2x4、用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）； ②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A 、①②⑤ B 、②③⑤ C 、①④⑤ D 、①②③5、某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计 如图所示。
如果改用扇形统计图表示这些信息，那么，表示“道路交通”的扇形的圆心角为（ ） A 、18° B 、36° C 、72° D 、108°6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝90°，AB ＝6， CD ＝8，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则MN 等于（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、77、一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚 （如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度为（ ） A 、23π B 、34π C 、4 D 、232π+二、填空题（每小题4分，28分） 8、已知：754z y x ==，则=--+xy z y x 2 9、012=-+x x ，那么1223++x x 的值为10、扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； 第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
九年级数学竞赛题
九年级数学竞赛题一、代数部分1. 一元二次方程竞赛题题目：已知关于公式的一元二次方程公式有两个实数根公式和公式。
（1）求实数公式的取值范围；（2）当公式时，求公式的值。
解析：（1）对于一元二次方程公式，判别式公式。
在方程公式中，公式，公式，公式，因为方程有两个实数根，所以公式。
展开公式得公式，即公式，解得公式。
（2）由公式可得公式。
根据韦达定理，在一元二次方程公式中，公式，公式。
对于方程公式，公式，公式。
当公式时，即公式，解得公式，但公式不满足公式（由（1）得），舍去。
当公式时，即公式，那么公式，由（1）中公式，解得公式。
2. 二次函数竞赛题题目：二次函数公式的图象经过点公式，且与公式轴交点的横坐标分别为公式、公式，其中公式，公式，求公式的取值范围。
解析：因为二次函数公式的图象经过点公式，所以公式，则公式。
二次函数与公式轴交点的横坐标是方程公式的根，由韦达定理公式，公式。
设公式，因为公式，公式，当公式时，公式；当公式时，公式；当公式时，公式。
将公式代入公式，公式中：由公式得公式，化简得公式，即公式。
由公式得公式，化简得公式，即公式，公式。
所以公式，则公式，解得公式。
二、几何部分1. 圆的竞赛题题目：在公式中，弦公式与弦公式相交于点公式，公式、公式分别是弦公式、公式的中点，连接公式、公式，若公式，公式的半径为公式。
（1）求证：公式是等边三角形；（2）求公式的长（用公式表示）。
解析：（1）连接公式、公式。
因为公式、公式分别是弦公式、公式的中点，根据垂径定理，公式，公式。
在四边形公式中，公式，公式，根据四边形内角和为公式，可得公式。
又因为公式（半径），公式、公式分别是弦公式、公式的中点，所以公式，公式。
在公式中，公式，公式（同圆中，弦心距相等则弦相等的一半也相等），所以公式是等边三角形。
（2）设公式与公式交于点公式，公式与公式交于点公式。
在公式中，公式，公式，公式，则公式。
同理，在公式中，公式。
因为公式是等边三角形，公式，在公式中，公式，公式，则公式，所以公式。
九上数学竞赛试题及答案
九上数学竞赛试题及答案九年级上学期数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. √2C. 0.33333D. π2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的立方根等于它本身，这个数可能是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都是4. 一个二次方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式是？A. b² - 4acB. b² + 4acC. a² + b² + c²D. a² - b² - c²5. 以下哪个代数式不是同类项？A. x³ + 2xB. 5x² - 3xC. 2x² - 3xD. x² + 5x二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个数的平方等于81，那么这个数是________。
7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是________或________。
9. 一个多项式P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6，P(1)的值是________。
10. 如果一个圆的半径是r，那么它的面积是________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求它的体积。
解：长方体的体积公式是V = abc，所以体积为abc。
12. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
证明：设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，a² + b² = c²。
可以通过构造一个边长为a+b的正方形，将其分割成两个直角三角形和一个边长为c的正方形，从而证明a² +b² = c²。
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五尺中学九年级数学竞赛试卷2013.12姓名 得分一 选择题（每小题3分，共36分）1.对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是 （ ） （A ） 顶点坐标为(－3，2) （B ） 对称轴为直线x=3（C ） 当x=3时，y 有最大值2 （D ） 当3≥x 时y 随x 增大而减小 2.在同一直角坐标平面内，如果直线1y x k =与双曲线2k y x=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是 （ ）（A ）1k <0，2k >0（B ）1k >0，2k <0 （C ）1k 、2k 同号 （D ）1k 、2k 异号 3.一个点到圆的最小距离为3cm ，最大距离为11cm ，则该圆的半径是（ ） （A ）7 cm 或4 cm （B ）4cm （C ）7cm （D ）14 cm 或8cm4. 如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC//AB 交⊙O 于E ，则图中与12∠BOC 相等的角共有 （ ）（A ）2个 （B ） 3个 （C ） 4个 （D ）5个21F E(第7题图)PCBAD5.一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程 0862=+-x x 的根，则这个三角形的周长是 （ ） （A ）11 （B ）11或13 （C ）13 （D ）11和16． 6.两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：这个反比例函数图象任意一点到坐标轴的距离的积都是3；乙同学说：这个反比例函数的图象与直线y=x 有两个交点。
你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是 （ ） （A ）xy 3=（B ）x y 3-= （C ）x y 3-= （D ）x y 3=7．如图，在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,过C 作CE ∥AB,P 为梯形ABCD 内一点,连接BP 并延长交CD 于F ，CD 于E,再连接PC,已知BP=PC,则下列结论中错误的是 （ ）（A ）∠1=∠2 （B ）∠2=∠E （C ）△PFC ∽△PCE （D ）△EFC ∽△EC8.如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 等于 （ ）（A ）75 （B ）125（C ）135 （D ）145 第8题ADBCEFPD A9．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如上（右）图 ，并设M ＝|a ＋b ＋c|－|a －b ＋c|＋|2a ＋b|－|2a －b|，则 （ ） （A ）M ＞0. （B ）M ＝0. （C ）M ＜0. （D ）M 的符号不确定.10．学校大门（如图）是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地4米高处各有一挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则该校门的高度（精确到0.1米）为（ ）. （A ）9.2米 （B ）9.1米 （C ）9米 （D ）5.1米11．如图，某海关缉私艇巡逻到达A 处时，接到情报，在A 处北偏西60°方向的B 处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C 处截住可疑船只，则该艇的速度约为)1.414≈≈≈ （ ）（A ）44 （B ）45 （C ）46 （D ）4712．如图，已知直角坐标系中四点A (– 2，4)，B (– 2，0)，C (2，–3)，D (2，0)．设P 是x 轴上的点，且P A 、PB 、AB 所围成的三角形与PC 、PD 、CD 所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P 的个数是 （ ）（A ）1个 (B)2个 (C)3 个 (D)4个二 填空题（每小题3分，共24分） 13、若反比例函数xky =经过点（1，2），请写出另一个在该函数图象的点的坐标____________。
14、若22(1)m m y m y-+=-是二次函数，则m= 。
15、当0x <时，函数43m y x-=随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是 。
16.平面内，已知⊙O ，OP =32，则点P 与⊙O 的位置是：P 在⊙O 。
17．如图，张敏同学的狼狗“赛赛”的狗窝是8×8的正方形，用长为12的皮带将狗拴在A 点，在狗窝外面狗所能活动的面积为 .18．如下图：有两条公路OM,ON 相交成30º角，沿公路OM 方向80米A 处有一所小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响．已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么拖拉机沿ON 方向行驶将给小学来噪音影响时间为__________秒．第10 A B C 第11题O19．王宏身高1.7米，为了测出路灯的高度，他从路灯出发沿平直道路以1米/秒的速度向东匀速走开，某时他的影子长1.3米，再过2秒，他的影子长为1.8米，则路灯高度为 米 20．如图：已知反比例函数xy x y 2,6-==，当0>x 的图象如图 所示)2,(11x Q ，)4,(22x Q ，)6,(33x Q ……Q 2007在x y 6=图象上，过Q 1作y 轴的平行线交xy 2-=的图象于P 1，依次类推，点P 2007的纵坐标为_____________ ．三解答题（60分）21、（6分）已知二次函数2y ax bx c =++当x=2时，y 有最小值3，且该函数的图象经过点（1，4），求该函数解析式。
22、（6分）如图,直线122y x =+分别交x 轴y 轴于A 、C 点，点P 是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点,PB ⊥x 轴于B,且9ABP S ∆=.（1）求点P 的坐标.（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上,且点R 在直线PB 的右侧,作RTAOC 相似时,求点R 的坐标.23、（8分）梯形ABCD 中，DC 、AB 分别为上、下底，它的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，且23=CO AO ，求两条对角线将梯形分成四个小三角形面积之比AOB COB COD AOD S S S S ∆∆∆∆:::24. （10分）如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：第22题图25． （10分）如图，夜晚在路灯下，一支2m 长的标杆AB 垂直于地面，它的影子BC=4m 把标杆向左平移到B A ''的位置，此时它的影子刚好是B B '，且B B '=3m 。
（1）通过画图，在图上找出路灯的位置。
（2）求路灯离地面的高度。
26. （10分）做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A ，B 两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A 款式和B 款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。
某日王老板进货A 款式服装35件，B 款式服装25件。
怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？ 最大的总毛利润是多少？27. (10) 如图.△ABC 是圆的内接正三角形，D 是BC 弧上任意一点，试探求线段BD 、DC 、DE 之间的关系并予证明。
数学参考答案一 选择题：1、B2、D3、A4、 C5、C6、A7、D8、B9、C 10、B 11、C 12、D 二 填空题： 13.如（-1，-2），（答案不惟一） 14. m=0 15. 43〈m 16. 圆外 17. 116π 18. 12秒 19. 8.5米 20. -1338 三 解答题： 21.3)2(2+-=x y22. （1）P （2，3） （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2113,113R ，R （3，2） 23. 6:4:6:924.解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求． 25、解：(1)∴点P 就是路灯的位置。
(2). 过点P 作PD ⊥直线BC 于点D11A B ∥PD 11BA B ⇒ ∽△BPD 11123BB A B PD BD BD PD ⇒=⇒= AB ∥PD CAB ⇒ ∽△CPD 12CB AB PD CD CD PD ⇒=⇒= ∴ 2132BD CD = ∴21(4)32BD BD =+ ∴BD=12 ∴PD ＝8答：路灯离地面有8m 高。
26. 解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件（x 取整数，且5≤x ≤30），则分配给甲店铺B 款装（30-x ）件，分配给乙店铺A 款服装（35-x ）件，分配给乙店铺B 款式服装[25-(30-x)]=(x-5)件，总毛利润（设为y 总）为： Y 总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965 乙店铺的毛利润（设为y 乙）应满足： Y 乙=27(35-x)+36(x-5)≥950，得x ≥9520对于y 总=-x+1965,y 随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9520,故取x=21，即分配给甲店铺A 、B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取 的总毛利润最大， 最大的总毛利润为y 总最大=－21+1965=1944（元）27.DEDC BD 111=+证：延长CD 至H ，使DH=BD ，△ABC 为正三角形， ∴∠BDC=120°，∴△DBH 为正三角形， ∴BD+DC=HC又可证：△ABD ≌△CBH ， ∴BD+DC=HC=AD又∵可证：△ABD ∽△CED∴DE DCBD AD =∴DEDCBD DC BD =+∴DEDC BD DC BD 1·=+ ∴DEDC BD 111=+。