集合与集合之间的关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
集合之间存在着各种关系，而一些基本的关系可以被分类为四种：包含关系、相等关系、交集关系和并集关系。
本文将对这四种基本关系进行全面详细、完整且深入的描述。
1. 包含关系包含关系是集合之间最基本的关系之一。
如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么我们说前一个集合包含在后一个集合中。
数学上用符号“⊆”表示包含关系。
例如，我们有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}。
由于集合B中的所有元素（1、2和3）也都属于集合A，所以可以说集合A包含在集合B中。
用符号表示为A ⊆ B。
包含关系还可以进一步细分为真包含关系和假包含关系。
如果一个集合A包含于另一个集合B，并且它们不相等，我们称A在B之内并且A真包含B。
用符号表示为A ⊂ B。
如果A和B相等，我们称A在B之内但A不真包含B。
用符号表示为A ⊆B。
2. 相等关系相等关系是两个集合拥有完全相同元素的关系。
如果集合A和集合B的所有元素都相同，那么A等于B。
数学上用符号“=”表示相等关系。
例如，我们有两个集合C和D，其中C={1, 2, 3}，D={3, 2, 1}。
尽管它们的元素排列顺序不同，但它们的元素完全相同，所以可以说集合C等于集合D。
用符号表示为C = D。
相等关系是一种非常严格的关系，要求两个集合的元素完全相同，没有任何差异。
3. 交集关系交集关系是指两个集合共有的元素构成的集合。
数学上用符号“∩”表示交集关系。
例如，我们有两个集合E和F，其中E={1, 2, 3, 4}，F={3, 4, 5, 6}。
这两个集合的交集是{3, 4}，因为它们共有的元素是3和4。
用符号表示为E ∩ F = {3, 4}。
交集关系是一种取共有部分的操作，可以用于找到两个集合中共同存在的元素。
4. 并集关系并集关系是指两个集合中所有元素的总和构成的集合。
数学上用符号“∪”表示并集关系。
第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)
第1讲集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系【基础知识】一、集合的意义1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A5.有限集：含有有限个元素的集合。
6.无限集：含有无限个元素的集合。
7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。
二、集合的表示方法1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
通常元素个数较少时用列举法。
2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．闭区间在数轴上表示开区间在数轴上表示半开半闭区间在数轴上表示这里的实数a,b统称为这些区间的端点．三、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。
即：B A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意 记作：A B B A ⊇⊆或；读作：A 包含于B 或B 包含A ；注意:B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合 2、真子集：【考点剖析】考点一：集合的意义例1．下列所给对象不能构成集合的是________． (1)高一数学课本中所有的难题； (2)某一班级16岁以下的学生； (3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生； (5)1，2，3，1．例2.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．B ．C ．M ∉-4D ．M ∈4 例3.用“∈”或“∉”填空(1)－3______N ； (2)3．14______Q ； (3)13______Z ；(4)－12______R ； (5)1______N *； (6)0________N ．例4.已知集合},012{2R x x ax x A ∈=++=，且A 中只有一个元素，求x 的值．例5.已知},0,1{2x x ∈，求实数x 的值．例6.已知集合S 的三个元素a ．、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 例7.设A 为实数集，且满足条件：若a ．∈A ，则a-11∈A (a ．≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集． 证明．例8.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？考点二：集合的表示方法例1．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合例2.用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点 （4）例3.用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈-例4.用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C例5.下列表示同一个集合的是（ ）A ．)}3,2{()},2,3{(==N MB ．}3,2{},2,3{==N MC ．)}3,2{(},2,3{==N MD ．φ==N M },0{ 例6.已知集合，用列举法分别表示集合B A 、例7.设∇是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集，若对任意A b a ∈,，有A b a ∈∇，则称A 对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集例8.（2021·上海曹杨二中高一期末）已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 考点三：集合之间的关系例1．已知A ＝{0，1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 的关系正确的是( )A ．A ⊆B B ．A B =C ．B A ⊆D ．A ∈B例2.已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值例3.已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．例4.定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为例5.设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆例6.设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例7.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．例8.若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |(x －2)(x －a )＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．例9.已知，则A 与B 之间的包含关系为 ；【难度】★★ 【答案】B ≠⊂A例10.已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m 的取值范围是【过关检测】一、单选题1．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈；（4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2021·上海高一期末）已知“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素； ③存在x P ∈且x M ∈；④存在x M ∈且x P ∉； 这四个命题中，真命题的个数为（ ）． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3．（2020·上海高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数4．（2020·上海高一专题练习）下面每一组的两个集合，相等的是（ ） A ．{(1,2)}M =，{(2,1)}N = B ．{1,2}M =，{(1,2)}N =C ．M =∅，{}N =∅D ．{}2|210M x x x =-+=，{1}N =5．（2020·上海高一专题练习）方程组的解构成的集合是 A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}6．（2020·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对7．（2020·上海高一课时练习）已知非零实数,,a b c ，则代数式a b ca b c++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3} B ．{3}- C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--8．（2020·上海高一课时练习）集合是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点9．（2020·上海高一专题练习）如果{}1A x x =>-，那么错误的结论是（ ） A ．0A ∈B ．C ．A φ∈D ．A φ⊆10．（2020·上海高一专题练习）以下六个关系式：{}00∈，{}0⊇∅，0.3Q ∉， ， ，是空集，错误的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1二、填空题11．（2021·上海高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 12．（2021·上海市实验学校高一期末）集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 13．（2021·上海市西南位育中学高一期末）已知集合(){}21320A x m x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数m =______.14．（2021·上海市南洋模范中学高一期末）已知集合(){}lg 4A x y x =∈=-N ，则A 的子集个数为______． 15．（2021·上海市西南位育中学高一期末）设，，则A ___________B .(填“⊂”､“”､“”或“”) 16．（2020·上海高一课时练习）已知集合A ={1，2，a 2-2a }，若3∈A ，则实数a =______． 17．（2020·上海高一专题练习）用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N ，N ，N （2）12-_____,Q π______Q（3）________{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈18．（2020·上海高一专题练习）集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________ 19．（2020·上海高一专题练习）1∈{a 2−a −1，a ，−1}，则a 的值是_________．20．（2020·上海高一专题练习）已知集合{}2|320M x x x =-+=，集合{}2|220,N x x x k k R=++=∈非空，若M N ⋂=∅，则k 的取值范围是___； 21．（2020·上海高一专题练习）定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合AB 所有元素之和为________22．（2020·上海高一专题练习）集合{1，4，9，16，25}用描述法来表示为________.23．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.24．（2020·上海高一课时练习）定义“×”的运算法则为：集合{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈，设集合{1,23}P =，，{2,4,6,8}Q =，则集合P Q ⨯中的元素个数为________.25．（2020·上海高一课时练习）已知集合{}2|1,||2,A y y x x x Z ==+∈，用列举法表示为________． 26．（2020·上海高一专题练习）满足的集合A 的个数为____________个. 27．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题： ①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A 不包含于B ⇔AB =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B ④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______28．（2020·上海高一专题练习）集合A={x |ax −6=0}，B={x |3x 2−2x=0}，且A ⊆B ，则实数a =____ 29．（2020·上海高一专题练习）满足的集合M 共有___________个.30．（2020·上海高一专题练习）已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数有_____个，真子集有_____个，非空真子集_______个． 三、解答题31．（2020·上海高一课时练习）已知2{1,0,}x x ∈，求实数x 的值.32．（2020·上海高一课时练习）含有3个实数的集合可表示为，也可表示为{}2,,0a a b +，求20092010a b +的值．33．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合.34．（2020·上海高一课时练习）选择适当的方法表示下列集合. （1）Welcome 中的所有字母组成的集合； （2）所有正偶数组成的集合； （3）二元二次方程组的解集； （4）所有正三角形组成的集合.35．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合 （1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A （2）被3除余2的自然数全体组成的集合B （3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C36．（2020·上海高一课时练习）用适当的方法表示下列集合. （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合； （2）由所有非负偶数组成的集合；（3）直角坐标系内第三象限的点组成的集合.37．（2020·上海高一专题练习）A ={x |x <2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且BA ，求m 的范围．38．（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |}，B ={x |25x -≤≤}，若AB ，求实数m 的取值范围．。
数学-高一-第1讲-集合及集合之间的关系
辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题集合及集合之间的关系教学内容1. 理解集合（包括空集和全集）的意义；理解集合与其元素之间的关系及其关系符号；会用“列举法”和“描述法”表示集合；认识常用的数集的表示.2.理解集合的相等和包含关系及其关系符号.（以提问的形式回顾）1、集合的概念（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。
我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；①集合的分类：、；②集合中元素的特性：、、；③空集是指：；答案：①有限集、无限集；“确定性”；②“互异性”；“无序性.③不含任何元素的集合.【说明】集合元素的“确定性”往往不是很好理解，可以结合实例来帮助学生理解.（2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A、B、C……表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.图示法：（主要用于描述集合之间的关系）【说明】一般不宜采用列举法表示无限集；描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以结合下面的例题来加深对这种表示方法的理解；对于描述法，一定要引导学生紧紧抓住竖线前面的代表元素x 的含义（常见的有数、点等）.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ； 空集∅（例：方程220x +=的实数解集为∅）.【说明】常用数集之间的关系：*N N Z Q R⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠； 注意∅与{0}的区别.2、集合之间的关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇（读作：A 包含于B 或B 包含A ）（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作：A B Ü或B A Ý，读作A 真包含于B 或B 真包含A .（3）相等的集合：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 等于集合B ，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；【辨析】①空集是任何集合的子集，即A ∅⊆；空集是任何非空集合的真子集.②任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；③子集的传递性：若,,A B B C A C ⊆⊆⊆则；④若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；⑤相等的集合中所含元素完全相同；⑥连接元素与集合的符号有：∈和∉；⑦连接集合与集合的符号有：⊆⊂=≠≠、、、等； ⑧含有n 个元素的集合的子集共有2n .（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式320x +>的解；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线21y x =-上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。
第5讲 集合(PPT)
方法三：在数轴上，分别标出2n＋1和4k〒1所表示的点，可 以看出它们都对应数轴上的奇数， 故A＝B，选C. 方法四：按余数分类，被2除余1的整数是奇数2n＋1(n∈Z)， 被4除余1或3(即－1)的整数也是全体奇数，∴选C. 方法归纳：同一个集合会有多种表示法，需要我们把握本质 属性，相互转换.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号 及数值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集 合中元素所具有的共同特征. 例如：{x|x>0}就表示所有大于0的数构成的集合； 而{(x,y)|x>0,y>0}就表示第一象限所有点的坐标构成的集合.
集合间的基本关系 1.子集的概念 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集 合有包含关系，称集合A是集合B的子集．记作 :AB或 B A ． 读作：A包含于B，或B包含A． 即任取xA都有xB AB ． 2.子集的分类: 集合相等： ⑴两个集合中元素都相同． ⑵ AB且 BA A=B ．
⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了. ⑵互异性：集合中的元素是互不相同的. ⑶无序性：集合中的元素是不需要考虑顺序的.
集合的表示 1.集合一般用大写的字母A，B，C，…，表示集合，用小写的字 母a，b，c，…，表示集合中的元素． 2.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不 是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA． 3．具体的集合一般有三种表示方法： 列举法：把集合里的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法．例如{中国，美国，英国，法国，俄罗斯}.
【解析】:其实｛x｜x＝2m－3，m∈Z｝就是全体奇数组成
集合与集合的4种关系
集合与集合的4种关系在集合论中，集合之间可以有不同类型的关系。
这些关系可以用来描述集合的交集、并集、补集以及包含关系。
下面将依次介绍这4种关系。
1. 交集（Intersection）两个集合的交集表示它们所共有的元素集合。
用符号表示为A∩B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
2. 并集（Union）两个集合的并集表示它们所有的元素集合。
用符号表示为A∪B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
3. 补集（Complement）对于一个给定的全集U和一个集合A，A在U中的补集表示U中所有不属于A的元素的集合。
用符号表示为Ac。
例如，如果全集为U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，则A的补集为Ac={1,4,5}。
4. 包含关系（Inclusion）集合A包含于集合B表示A中的所有元素都属于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
另外，还有两个有关集合的关系：相等关系和真包含关系。
相等关系（Equality）两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。
用符号表示为A=B。
例如，A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A=B。
真包含关系（Proper Inclusion）集合A真包含于集合B，当且仅当A包含于B并且A不等于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
注意，这里的“”符号不同于“”，它表示的是真包含关系。
在实际应用中，理解和使用集合及其关系是很重要的。
例如，在数据库中，可以使用集合的关系来描述表间的关联；在数据分析中，可以使用交集和并集等集合运算来计算数据的交叉和联合等等。
集合与集合之间的关系(动图)
A
B
例1.判断பைடு நூலகம்列各组集合中，哪两个集合之间具有包含 关系？
A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, B 1,2,5,6,C 2,4,6,8
A x x 1, B x x 3,C x x 4
请 判 断 下 列 集 合 之 间 的包 含 关 系 A {1，2} B {1，2，3} C {3，1，2}
如果集合A是集合B的子集， 并且B中至少有一个元素不属于A， 那么集合A叫做集合B的真子集。
记作： A B (或B A )
读作：A真包含于B（或B真包含A)
真子集与子集 有什么不同？
一般地，如果两个集合A与B的元素完 全相同，
那么就说这两个集合相等，记作A=B。
集合之间的关系
观察下列集合，说 说集合A、B之间有
什么关系
1.A={语文，数学，英语}，B={政治，数学，物理， 化学，语文，英语，信息技术}
2.A={-2，2},B={-2，-1，0，1，2} 3.A=N,B=Z
子集
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素， 那么集合A就叫做集合B的子集， 记作A B(或B A), 读作“集合A包含于集合B”（或集合B包含集合A）
高中数学集合的基本关系及运算
集合的基本关系及运算要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集.记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）．真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、集合的运算 1.并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作：UU A A={x|x U x A}∈∉；即且；补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A 表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ）．4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅， 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}； (2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【变式1】已知{},a b A⊆{},,,,a b c d e ，则这样的集合A 有 个.【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅ 例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【变式1】设a ，b ∈R ，集合b{1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( )类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M={y|y=x 2-4x+3，x ∈R }，N={y|y=-x 2+2x+8，x ∈R }，则M ∩N 等于( )．A. ∅B. RC. {-1，9}D. {y|-1≤y ≤9} （2）设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x ∈Z}，M ∩N={1}，则M ∪N 为( )． A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A ∩B={21}，求A ∪B.【变式2】设集合A={2，a 2-2a ，6}，B={2，2a 2，3a-6}，若A ∩B={2，3}，求A ∪B.例6. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.类型三：集合运算综合应用例7．已知全集A={x|-2≤x ≤4}， B={x|x>a}. （1）若A ∩B ≠∅，求实数 a 的取值范围； （2）若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；（3）若A ∩B ≠∅且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．【变式1】已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（ ） A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. （1）若A B B =，求a 的值； （2）若A B B =，求a 的值.【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=，若A B B =,求实数a 的取值范围.课后练习一、选择题1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UA B =（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >2．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）3．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A = 5．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题7．用适当的符号填空：（1）m {},m n ；（2）{}m {},m n ；（3）∅ {},m n . 8. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则C 的非空子集的个数为 .9．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 10．设集合{32}A x x =-≤≤，{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 .11．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________. 三、解答题12．已知集合{}{}1,2,1,2,3,4,5A B ==，若A M B ⊆，请写出满足上述条件得集合M .13．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围.14．已知集合{}{}22|20,|0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B =-,求实数,p q 的值．15．设全集U R=，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0,N n x x n =-+=方程有实数根()U C M N 求.巩固训练一、选择题1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ） A 、BA B 、AB C 、A=B D 、A ∩B=∅2. 集合M={y| y=x 2-1, x ∈R}， N={x| y=23x -}，则M ∩N 等于（ ） A 、{(-2, 1), (2, 1)} B 、{}|03x x ≤≤ C 、{}|13x x -≤≤ D 、∅3．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 （ ）4．已知集合,A B 满足A B A =,那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B B ． B A C ． A B B = D ． A B A =5．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．1或-1 D ．1或-1或0 6．设集合},412|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则( )A ．N M =B ．M NC ．N MD ．M N =∅二、填空题 7．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________==b a . 8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9．若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = . 10．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = .11．设全集{}(,),U x y x y R =∈，集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-，那么()()U U C M C N 等于________________.12．设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S ⋅⋅⋅都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{},j j j S a b =（{},,1,2,3,,i j i j k ≠∈⋅⋅⋅），都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（{}min ,x y 表示两个数,x y 中的较小者）则k 的最大值是 .三、解答题13．设222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，求实数a 的取值范围.14．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若()U C A B =∅，求m 的值.15．设1234,,,a a a a N +∈，集合{}{}222212341234,,,,,,,A a a a a B a a a a ==.满足以下两个条件：（1）{}1414,,10;A B a a a a =+=（2）集合A B 中的所有元素的和为124，其中1234a a a a <<<. 求1234,,,a a a a 的值.。
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N
⑹ {0} Ý ；
⑺ {1,1} Ý {x | x2 1 0} .
高教社
强化练习
练 习
用适当的符号填空： （1） 2.5 （3） 2, 2
.
Z；
（2） 1
x | x 1 ；
3
x | x2 2 ；
（6）
（4） a
a, b, c ；
（5） Z （7）
高教社
理论升华 整体建构
元素与集合
关系
.
集合与集合
首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
高教社
典型例题
例5 用适当的符号填空：
⑴ {1，3，5}
Ü
{1，2，3，4，5，6}； {3，-3}； ⑷ 2
⑵ {x | x2 9} = ⑶ {2} ⑸ a
Ü
.
{ x| |x|=2 }；
{ a }；
；
（4） 2,3 a, b, c ；
； （6） x |1 x „ 2
2 ；
4． x | 1 x
高教社
探索新知
集合之间的真包含关系
如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元 素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集.
A 蒈B A真包含B ； B
A B真包含于A
集合B的元素（我班的男学生）、（2,3,0）、（自然数）肯定
集合 与集合B之间存在什么关系呢？ 是集合 AA 的元素（我班的学生）、（ −1,2,4,1,0,3）、（整数）．
高教社
探索新知
集合之间的包含关系
如果集合B的元素都是集合A的元素，那么称集合A 包含集合B，并把集合B叫做集合A的子集.
A B A包含B ； B A B包含于A
.
分析：集合中有3个元素，可以分别列出空集：
含1个元素的集合：
含2个元素的集合： 含3个元素的集合：
.
. .
其中的子集和真子集分别有多少个？ 子集和真子集两个概念有什么区别和联系？
高教社
强化练习
教材练习1.2.2
1.设集合 A c, d ，试写出 A 的所有子集， 并指出其中的真子集． 2.设集合 A {x | x 6} ，集合 B {x | x 0} ，
Z； (5) 1 { −3,2}； (8)2
{1,2,3}； (6) 2
{x |x=2k+1, k Z} ．
元素a不是集合A的元素，
a
元素a是集合A的元素，
a∈A，属于
A，不属于
高教社
创设情景
问题1 设A表示我班全体同学的集合，B表示我班全体男同 学的集合； 问题2 设集合A ={−1,2,4,1,0,3}，集合B ={2,3,0}； 问题3 设集合A =Z，集合B =N.
高教社
探索新知
集合之间的相等关系
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这 两个集合相等．
A B
A等于B
如果 A B ，同时 B A ，那么集合 A = B
高教社
典型例题
例4 4 判断集合 A x x 2 与集合 B x x2 4 0 的关系 例
分析：要通过研究两个集合的元素之间的关系来判断两个集 合之间的关系. 集合A含有的元素是： 集合B含有的元素是：
.
指出集合 A 与集合 B 之间的关系．
高教社
创设情景
问题 设集合A={x|x2-1=0}，B ={−1,1}，这两个集合有什么关系？
方程x2-1=0的解是x1= 是 、
，x2=
，集合A中的元素就 .
，可以看出集合A与集合B中的元素
集合A与集合B中的元素完全相同，只是表示方法不同， 那么集合A与集合B 相等.
.
x | 3 x 5 x |
“ ” 与“ ”用来表示集合与集合之间关系的符号
“”与“”用来表示元素与集合之间关系的符号
高教社
强化练习
教材练习1.2.1
用符号“ ” 、 “ ” 、 “ ”或“ ”填空： （1） N （3） a （5） 0
.
Q ； （2） 0
.
. .
于是，集合A与集合B
.
集合与集合相等的实质是它 习
判断集合 A 与 B 是否相等？ (1) A={0}，B= ； (2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m Z} ；
.
(3) A={x| x=2m-1 ,m Z}，B={x| x=2m+1 ,m Z}．
A
高教社
B
A A
A
典型例题
例 1 用符号“ ” 、 “” 、 “ ”或“ ”填空： (1)
a, b, c, d a, b ；(2)
1 , 2 , 3 ；
(3) N (5) d
Q；
(4) 0 (6)
R；
0„ x 6．
a, b, c ；
N；
{x |x 4 0； }
Q ；
（8） 1,3,5
5． 3 ,
高教社
归纳小结
集合关系
子集
真子集
相等
高教社
作 业
书写
学习与训练 习题1.2
实践 寻找集合关系的生活事例
再 见
高教社
1.2 集合之间的关系
高教社
问题1 什么是集合？什么是元素？ 问题2 常用的数集有哪些？用什么字母表示？ 问题3 集合的表示方法有哪些？
问题4 元素与集合有什么关系？
高教社
用适当的符号 “ ”或“ ”填空： (1) 0 (4) 0.5 (7)2 ； (2) 0 N； (3)
3
R； {x|x <1}；
Ü A （A非空）
高教社
典型例题
例 2 选用适当的符号“ Ü ”或“ Ý ”填空：
(1) 1,3,5
Ü 1, 2,3, 4,5；
(2) 2
(3) 1
Ü
x
；
x 2 ；
Ý
分析集合中元素的关系
高教社
典型例题
例3 设集合 M 0,1, 2 ，试写出 M 的所有子集， 并指出其中的真子集．