第五讲波动理论介绍
物理波动理论
物理波动理论物理波动理论是关于波动现象的一个重要领域，它涉及到光、声、电磁波等各种波动现象的研究。
本文将介绍物理波动理论的基本概念及其应用。
一、波动理论基础1. 波的定义波是一种能量或物质传递的方式，它通过振动在介质中传播。
波有许多种类，包括机械波、电磁波等。
2. 波动现象的特点波动现象具有波长、频率、波速等特征。
其中，频率是波动的振动次数，波速是波动在介质中传播的速度。
3. 波的传播方式波的传播可以通过介质传递，也可以通过真空中的电磁场传递。
不同类型的波有不同的传播方式。
二、光波动理论1. 光的波动性质光是一种电磁波，在特定条件下表现出波动现象。
光波动理论解释了光的干涉、衍射等现象。
2. 光的干涉与衍射光的干涉是指两束或多束光波相遇产生互相干涉而形成明暗相间的干涉条纹。
光的衍射是指光波通过细缝或障碍物后的扩散现象。
3. 光的偏振光的偏振是指光波中的电矢量只在某一平面上振动的现象。
这种现象可以通过偏振片实现。
三、声波动理论1. 声的波动性质声是一种机械波，是由物体振动引起的气体、固体、液体等介质中的压缩与稀疏传递而产生的波动。
声波动理论解释了声音的传播和共鸣现象。
2. 声音的传播声音通过介质中的分子振动传播，不同介质的声速不同。
声音在固体中传播最快，在气体中传播最慢。
3. 声音的共鸣共鸣是指当一个物体的固有频率与外部声波的频率相同时，物体容易发生共振现象，产生较大的幅度。
四、波动理论的应用1. 波动理论在医学中的应用波动理论在医学成像技术中得到广泛应用，如超声波成像、核磁共振成像等。
2. 波动理论在通信中的应用光纤通信是利用光的波动传播特性实现的高速数据传输技术。
3. 波动理论在工程领域的应用波动理论在声学工程、地震勘探等领域中起到重要作用，如声波检测、地震波传播等。
结语物理波动理论是研究波动现象的重要理论体系，涉及到光、声、电磁波等各种波动现象的研究。
对于理解和应用波动现象具有重要意义，对于推动科学技术的发展也起到了至关重要的作用。
第五讲波动理论
f0 U q y yyU 2 LD D
29
2 Rossby波的频散关系
k Uk 2 2 K L D
Rossby波的频率及相速度都依赖于波数，因 此是频散波。 Rossby波是低频波 。 Rossby 波仅当有位涡梯度存在时才能发生， 即位涡梯度是产生Rossby波的必要条件。
19
Kelvin波
c0 k
波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边 界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是 非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上 有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减 。开尔 文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波 转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右 侧，而在南半球，边界位于其左侧。
20
特殊的Kelvin波——赤道Kelvin波
Kelvin波作为一种边界波，需要边界的存在。 科氏参数f在赤道为0，形成了一种特殊的边 界，产生了赤道Kelvin波。
21
惯性振荡 和地转流
f
0
惯性震荡的解代入原式求解，解也为开尔文 波。 等深渠道中波解的完全谱包括Poincare波， kelvin波，地转流 。
浅水重力波
x
0
t=0
0/2 t=t1
0/2 t=t2
t=t3
u=0, =0
wave wake
wave front
14
3 f=C（f平面）下平面无限等深流 体内的波动
{ f c K }
2 2 0 2 1 2
无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同 的波动。在海洋上这种长波称为邦加莱波 （Poincare）。在气象上，这种长波称为惯性重力 波，即在地球旋转影响下的重力波。旋转（地转） 使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一 半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运 15 动频率。
第5章波动学基础
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u + ∆t x+u∆t )+ϕo] = Acos[ω(t
u
上式表明， 时刻x点的振动状态 点的振动状态， 上式表明，t 时刻 点的振动状态，经时间∆t后传播到了 后传播到了 x+u∆t 处。即经时间∆t波沿 轴正方向传播了距离 ∆t，如图所 波沿x轴正方向传播了距离 波沿 轴正方向传播了距离u ， 示。 y
总之, 波动(或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 或行波)是振动状态的传播 总之 波动 或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 而不是质点的传播。 而不是质点的传播。 2 . 纵波和横波 横波——振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 横波 振动方向与传播方向垂直 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。 振动方向与传播方向相同，如声波。 纵波 振动方向与传播方向相同 纵波可在固体、液体、气体中传播。 纵波可在固体、液体、气体中传播。纵波的特征是有稀密相 间的介质区域。 间的介质区域。
λ y = Acos(ωt kx + ϕo )
) + ϕ0 ]
λ
的传播方向一致。 的传播方向一致。
13
2.平面简谐波运动学方程的物理意义 平面简谐波运动学方程的物理意义
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u
运动学方程中含有两个变量x和 ， 运动学方程中含有两个变量 和t，它即反映了媒质中各质点 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 (1)当x=xo(确定值 时，位移 只是时间 的余弦函数 当 确定值)时 位移y只是时间 的余弦函数: 只是时间t的余弦函数 确定值
第5章-2-波动
由 得
3
0.5
y x0.5 t2
2 即
0.5cos为2什 42么不02.取5 y(t=2,
x=0)
求？
2 所以波函数为
y
0.5
2 cos
2
t
x
2
(m)
O
点的振动函数为
yO
0.5
cos
2
t
2
(m)
例3 平面简谐波以 u = 20m/s 向右传播，已知点 A 振动
y = 3cos(4 t – ) m，已知 D 在 A 右 9m 处，分别对以
波是振动状态和能量的传播。对于机械波，介质 不随波一起迁移。
二、横波与纵波： 横波：质元的运动方向与波的传播方向垂直。产
生机械横波需要与传播方向垂直的切向力，因此只能 在固体中传播。
纵波：质元的运动方向与波传播方向一致。产生 机械纵波需要介质的压缩和伸张，因此可以在固体、 液体和气体中传播。
三、波动的几何描述： 波传播方向的直线形象地称为波线。波线上各点
面就是这些子波的包迹 (包络面)。
平面波在某一时刻的波前是平面，
在下一时刻的波前仍是平面。
球(柱) 面波 在某一时刻的波 前是球(柱) 面， 在下一时刻的波 前仍是球(柱)面。
新
新
的
的
波
波
前
前
利用惠更斯原理解释波传播的一些现象： 1. 衍射：波遇到障碍物而改变传播方向。
障碍物
2. 波的反射定律：入射角等于 反射角，i = i 。
Acost 2
x1
Acos t
2
x1
yx1
可知，在 x 轴上相距为波长整数倍的两个点处的振动
波动理论
波振动状态的传播就是波动,简称波.激发波动的振动系统称为波源机械波的产生和传播1. 机械波产生的条件(1)要有作机械振动的物体,亦即波源.(2)要有能够传播这种振动的介质波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。
波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。
◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波.◆质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波.2.波阵面和波射线● 在波动过程中,振动相位相同的点连成的面称为波阵面（wave surface）● 波面中最前面的那个波面称为波前（wave front）● 波的传播方向称为波线（wave line）或波射线波面波线平面波球面波3. 波的传播速度由媒质的性质决定与波源情况无关● 液体和气体中纵波传播速度B－介质体变弹性模量ρ－介质密度● 在固体中G－介质切变模量Y－介质杨氏模量4.波长和频率● 一个完整波的长度,称为波长.●波传过一个波长的时间,叫作波的周期●周期的倒数称为频率.2 平面简谐波 波动方程● 前进中的波动,称为行波.● 描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波动方程)设坐标原点的振动为：O 点运动传到 p 点需用时相位落后所以 p 点的运动方程：1.平面简谐波的波动表式定义 k 为角波数又因此下述表达式等价：为波的相位● 波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”，所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻x处的相位经 dt 传到（x +dx）处，则有于是得到——相速度（相速）简谐波的波速就是相速2.行波动力学方程将平面波的波函数对空间和时间求导，可得——波动方程。
各种平面波所必须满足的线性偏微分方程若 y1，y2 分别是它的解，则（y1＋y2）也是它的解，即上述波动方程遵从叠加原理。
3.波动方程推导（以一维纵波为例）取棒中任一小质元原长 dx，质量为 dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和f+df质元的运动学方程为：根据弹性模量的定义：代入运动方程得：结论：任何物理量只要满足上述方程，则它一定按波的形式传播。
波动理论
波面 波 线
平面波
球面波
●在 固体中
G－介质切变模量 Y－介质杨氏模量
4.波长和频率 ● 一个完整波的长度,称为波长.
● 波传过一个波长的时间,叫作波的周期 ● 周期的倒数称为频率.
● 正常人耳的听觉范围： 20 < ν < 20000 Hz I下 < I < I上
人的耳朵对空气中 1 kHz 的声音：
声阈
------闻阈 ------痛阈
3. 声强级(sound intensity level) 由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。规定声强 I0=10-12 瓦/米 2 作为测定声强的标准
一维驻
二维驻
· 驻波的特点
①振幅：各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。相邻波节间距 λ/2，测波节间距可得行 波波长。
波腹的位置：
波节的位置为： ②相位：相位中没有 x 坐标，故没有了相位的传播。驻波是分段的振动。相邻段振动相位相反
· 驻波的能量
讨论：· 在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。
· 当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。 · 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。它是媒质的一种特殊的运动状态， 稳定态。
8 多普勒效应（Doppler effect）
观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。
约定：
(1)波源不动,观察者以速度相对于介质运动
vS = 0 ， vR ≠ 0，
第5章-波动
x 可理解为 x 点振动相位比 y = Acos ω t − + ϕ 原点振动相位落后 / u 原点振动相位落后 ωx/u
沿 –x 方向传播的平面简谐波的波函数为
x 可理解为 x 点振动相位比 y = Acos ω t + + ϕ 原点振动相位超前 / u 原点振动相位超前 ωx/u
传播） （沿 –x 传播）
2. 惠更斯原理 (Huygens’ principle) (1) 波线和波面 (wave line and surface) 波传播方向的直线形象地称为波线。 波传播方向的直线形象地称为波线。 波传播过程中相位相同的点组成的平面叫波面。 波传播过程中相位相同的点组成的平面叫波面。 波传播时最前面的波面称为波阵面或波前。 波传播时最前面的波面称为波阵面或波前。 一般情况下，波线垂直于波面。 一般情况下，波线垂直于波面。 u 波面是平面的波叫做平面波。 波面是平面的波叫做平面波。 波面是球面的波叫做球面波。 波面是球面的波叫做球面波。 S2 S1 r1 O r2 波面 波线 波线 S1 S2 波面
例3 平面简谐波以 u = 20m/s 向右传播，已知点 A 振动 / 向右传播， y = 3cos(4πt – π) m，已知 D 在 A 右 9m 处，分别对以 π ， 下两种情况写出波函数和 D 点振动函数：(1) x 轴向左, 点振动函数： 轴向左 A 为原点；(2) x 轴向右，以 A 左方 5m 处 O 点为原点 为原点； 轴向右， x 0 –9 0 5 14 x u x x O A A D D 解：(1) x 点相位比 A 点领先 (2) x 点相位比 A 点落后 x x π x−5 π ω ω = 4π = x = ( x − 5) u 20 5 u 5 所以 x 点振动函数即波函数为 y = 3cos [4πt − π( x − 5) 5 − π] π π y = 3cos4πt + x − π (m) = 3cos4πt − x (m) 5 5 4 D 点振 yD = 3cos 4πt − π (m) yD = 3cos 4πt − 4 π (m) 动函数 5 5
浅谈物理学中的波动理论
浅谈物理学中的波动理论波动理论是物理学中的重要学科之一，它以分析波动现象的本质和特征为主，常被应用于声波、光波、电磁波和海浪等领域。
波动现象在自然界中十分广泛，任何物质都有可能发生波动。
本文将从波的基本概念、波的分类、波的传播特性以及波的应用等方面进行详细讨论，以便更好地了解物理学中的波动理论。
一、波的基本概念波是由连续的物理量在空间中逐点地传播而产生的现象。
波动通常与某种运动或振动相联系，如弹性波和电磁波等。
波动需要介质的存在，介质可以是空气、水、固体等，介质是波传播的载体。
波的特点是具有波动性、传播性和干涉性。
波动的本质是连续物理量的传递，它的传递过程是以能量的形式进行的。
波的传播速度与介质有关，如空气中的声速、铜中的电流速度等。
波还具有相位差的概念，即在空间一点上同一时刻内的同一物理量的变化量不同。
二、波的分类波可以分为机械波和电磁波两大类。
机械波需要介质的存在，包括横波和纵波。
横波垂直于波传播方向振动的波，如水波。
纵波平行于波传播方向振动的波，如声波。
而电磁波不需要介质，以电磁场的形式传播，是由振荡电荷和振荡电流产生的波动，如光波、无线电波等。
波的分类还可以细分为长波、中波、短波等等，其区间的划分依据于波的频率及波长。
三、波的传播特性波的传播特性主要涉及干涉、衍射、共振、反射等。
干涉是指两个或多个波在空间中和谐共处，产生相互作用的现象，会出现消长、反馈、共振等现象。
例如光的干涉在实际中应用非常广泛，如干涉仪、双缝干涉等。
衍射是指波产生阻碍物等障碍物时，波可以往后辐射的现象。
衍射的大小与波长相比与障碍物大小的比值有关。
衍射在光学领域也有很多应用，如杨氏双缝干涉、衍射仪等。
共振是指某个物体受外力作用而发生振动时，如果外力的频率与该物体本身的谐振频率相等，就会产生共振现象。
共振的基本原理应用于许多科学技术领域，如桥的结构设计、发动机的振动控制等。
反射是指波遇到障碍物时，部分能量被反射回去，受到影响发生波动的物质的信号可以通过反射波对信号进行采集和定位。
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特殊的Kelvin波——赤道Kelvin波
Kelvin波作为一种边界波，需要边界的存在。 科氏参数f在赤道为0，形成了一种特殊的边 界，产生了赤道Kelvin波。
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惯性振荡 和地转流
f
0
惯性震荡的解代入原式求解，解也为开尔文 波。 等深渠道中波解的完全谱包括Poincare波， kelvin波，地转流 。
Re ( y)e
i ( kxt )
考虑一个平行于x轴的宽度为L的通道。 引入边界条件：y=0，l时，v=0 ，代入动力 方程。
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频散关系
离散的邦加莱波 Kelvin波 惯性震荡 地转流
18
离散的邦加莱波
n 2 2 1 2 n { f c0 (k 2 )} L
5
频散波和非频散波的特点
非频散波
频散波
6
二 浅水运动中的小振幅波动
运动方程 f=0（无旋转）下平面无限等深流体内的波动 ——浅水重力波 f=C（f平面）下平面无限等深流体内的波动 ——Poincare（邦加莱）波 f=C（f平面）下水平有界等深流体内的波动 ——Kelvin（开尔文）波 f不为常数下的波动——Rossby（罗斯贝）波
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1 运动方程
u fv g t x
v fu g t y (uH0 ) (vH 0 ) 0 t x y
浅水中的线性化方程，非线性平流项已经去 掉，由上述方程组消去u，v，就可以Hale Waihona Puke 到水 位方程8水位方程
2 2 [( 2 f 2 ) (c0 )] gfJ ( H 0 , ) 0 t t
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Kelvin波
c0 k
波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边 界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是 非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上 有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减 。开尔 文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波 转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右 侧，而在南半球，边界位于其左侧。
波动理论（浅水运动中的平面波）
1
一 平面波的基本概念
频散关系 相速度和群速度 频散波和非频散波
Re0 ei (kxlyt ) Re0 ei ( )
2
频散关系
频散关系是指波动的频率和波数之间的关系， 它代表了某种波动的特征，任何一种特定的 波动都有其特定的频散关系，因而频散关系 也是确定波动性质的非常有效的工具。
2 c0 gH0
9
定常运动
g u f y g v f x
如果运动为定常的浅水小振幅运动即为 地转流
10
非定常运动——波动
对波动而言波动的主控动力学方程是相同的， 不同主要是边界条件的不同，不同的边界条 件（强迫）决定了不同的波动的频散关系 （频散关系即频率和波数之间的关系，它决 定波动的特性），也就决定了不同性质的波 动．下面我们就在不同的边界条件下讨论不 同性质的波动
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1 Rossby波的动力方程——准地 转位涡方程
2 f02 f f 2 2 0 0 ( ) 0 y hB t Hg H Hg x y y x 2 f f g y 2 0 hB 0 H Hg g J ( , g ) 0 t
3
相速度和群速度
Cg
C
4
频散波和非频散波
c
k
k2 l2
cx
c gx
k
cy
c gy
l
l
cg cgx i cgy j
k
如果一种波动的相速度和群速度一样，就称 为非频散波；如果一种波动的相速度和群速 度不一样，就称为频散波。
浅水重力波
x
0
t=0
0/2 t=t1
0/2 t=t2
t=t3
u=0, =0
wave wake
wave front
14
3 f=C（f平面）下平面无限等深流 体内的波动
{ f c K }
2 2 0 2 1 2
无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同 的波动。在海洋上这种长波称为邦加莱波 （Poincare）。在气象上，这种长波称为惯性重力 波，即在地球旋转影响下的重力波。旋转（地转） 使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一 半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运 15 动频率。
2 2 2
此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波， 亦是向正，反两个方向传播的，不同之处在于y方向 的波数l只是特定的值，l不可能任意取值，这恰恰 是由边界条件的特性决定波动的特性，只有特定频 率的波才满足一定的边界条件。此波也是Poincare 波，是一种特定条件下离散的Poincare波。
22
5 f不为常数下的波动——Rossby （罗斯贝）波
如果绝对涡度的梯度不为0，即存在行星涡度 梯度和环境涡度梯度，就会产生一种特殊的 波动Rossby波，这是一种低频的缓慢的波动， 与前述的快波不同。
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三 准地转Rossby波
Rossby波是大洋调整中最重要的波动，是大 洋中信息的携带者。本节将重点讲解有关 Rossby波的知识。
邦加莱波特点
其中R为Rossby变形半径=C0/f RK RK 1 短波： f 旋转的影响相对于重力的影响是次要的 长波： RK 1 f 惯性振荡，重力的影响是次要的
( )2 1 R2 K 2 f
16
4 f=C（f平面）下水平有界等深流 体内的波动
11
2 f=0（无旋转）下平面无限等深 流体内的波动
tt c 2 xx 0,
c gH
c c0
c 0 K
浅水重力波是二列方向相反，频率大小相同 的波动 ，这是一种非频散波。
12
浅水重力波
x 0 t=0
t=t1
t=t2
Cot
u=(g/H)1/2 =0
13