5.6三角函数的图像和性质
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
(完整word版)三角函数公式和图像大全,推荐文档
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。
职高数学5.6三角函数的图像和性质 PPT课件
3．已知 sin 3 a , 求 a 的取值范围．
4．求使函数 y sin 4x 取得最大值的 x 的集合，并指
出最大值是多少?
计算器
动脑思考 探索新知
图像关于y轴对称
在 ((2k 1)π, 2kπ) (k Z) 内是增函数
在 (2kπ,(2k 1)π) (k Z) 内是减函数
周期
周期为 2π
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 5 用“五点法”做出函数 y cosx , x 0,2π 上的图像
x
cos x
y cos x
0
π 2
π
3π 2π
2
1
演示
演示
余弦函数 y cos x, x R 的图像—余弦曲线．
三 角 函 数
动脑思考 探索新知
y
y cos x xR
1
－2π －π o
-1
π
2π 3π 4π x
定义域： 实数集R 值 域： [-1,1] 奇偶性：偶函数
单调性
当 x 2kπ(k Z) 时, ymax 1；
当 x (2k 1)π (k Z) 时, ymin 1
1
函－3π －2π －π
O -1
π
2π 3π 4π x
数
正弦函数是R内的有界函数．
动脑思考 探索新知
y
y sin x， xR
三
1
－3π －2π －π O
-1
π
2π 3π 4π x
角
定义域： 实数集R
函 数
三角函数的概念、图像、性质
三角函数的概念、性质和图象【知识网络】一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合（α为第一象限角）： },2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ；与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；任意角的概念弧长公式角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式诱导 公式计算与化简 证明恒等式任意角的 三角函数三角函数的 图像和性质已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
（5）弧长公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αc s c ；=αsec ；=αcot ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
（2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
数学精华课件：三角函数的图象和性质
课堂互动讲练
跟踪训练
5π π π (2)由于区间[－ ， )的长度为 ， 12 12 2 为半个周期． 5π π 又 f(x)在－ ， 分别取到函数的最 12 12 3 3 3 3 小值 －1，最大值 ＋1，所以函数 2 2 5π π 3 3 f(x)在区间[－12，12 )上的值域为[ 2 － 3 3 1， 2 ＋1)．
对称性
π 对称轴l： x＝kπ＋ (k∈Z) 2
对称轴l： x＝ kπ(k∈Z)
基础知识梳理
正弦函数、余弦函数的对称中心是 正弦函数、余弦函数与x轴的交点，所以 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的对称中心就是 该函数与x轴的交点，这种说法对吗？ 【思考· 提示】 不正确，应是函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋B与直线y＝B的交点．
三基能力强化
2．(2009年高考福建卷改编)函数f(x) ＝sinxcosx的最小值是________．
1 1 解析：f(x)＝sinxcosx＝2sin2x≥－2. 1 答案：－2
三基能力强化
3．(2010 年绍兴质检)关于函数 y＝1＋ cos2x 的图象， 下面说法正确的是________． ①关于 x 轴对称 ②关于原点对称 π π ③关于点( ， 0)对称 ④关于直线 x＝ 对称 4 2
课堂互动讲练
考点二 三角函数的单调性
1．准确记忆三角函数的单调区间是求 复合三角函数单调区间的基础． 2．形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的 函数的单调区间， 基本思路是把 ωx＋φ 看作 π π 一 个 整 体 ， 由 － 2 ＋ 2kπ≤ωx ＋ φ≤ 2 ＋ π 2kπ(k∈Z)求得函数的增区间， 2＋2kπ≤ωx 由 3π ＋φ≤ 2 ＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．
5.6余弦三角函数的图像和性质
-1
0
1
0
-1
②描点
y
y = cosx 的图像
1
连线
O
. π
3
2
2
.2π y = - cosx 的图像
X
-1
2021/6/30
请观察：y = cosx与y = -cosx图像的区别与联系？
5
利用y=cosx 的周期为 2
将 y=cosx 图象向左或向右平移
y=cosx x[0,2]
利用图象平移
则y = cos2x 化为 y = cos u 即当u = 2k 时(k∈z)，ymax=1
即 u = 2x = 2k 解之x = k (k∈z)
所以集合{x|x= k , k∈z } 函数y = cos2x取得最大值是1
2021/6/30
9
四、余弦函数的性质
y
y=cosx (xR)
1
x
-3 5 2
5.6 三角函数的图像及性质
2021/6/30
1
5.6.2余弦函数的图像和性质
一、表达式：
1、形如：y = cosx 的函数叫余弦函数.其中x是自变量.
当x是角度制时可取一切角度，当x代表弧度制是可取一切实数，x∈R
二、余弦函数的图像及画法：
1、因为cos(α+2kπ) = cosα, 所以 y = cosx 是周期函数， 且周期是2π。
三、余弦弦函数的性质
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
3 2
2
5 2
3 7 2
4
-1
1 定义域: ___________
5.6三角函数的图像和性质
【课题】5.6三角函数的图像和性质
【教学目标】
知识目标：
(1) 理解正弦函数的图像和性质；
(2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；
(3) 了解余弦函数的图像和性质．
能力目标：
(1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；
(2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；
(3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．
【教学重点】
（1）正弦函数的图像及性质；
（2）用“五点法”作出函数y=sin x在[]
0,2π上的简图．
【教学难点】
周期性的理解．
【教学设计】
（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；
（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；
（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；
（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；
（5）观察类比得到余弦函数的性质．
【教学备品】
课件，实物投影仪，三角板，常规教具．
【课时安排】
1
2课时．(90分钟)
【教学过程】
2
及
3
，
一般地，设函数y=
，对任意的
．如果这样的M
无界函数．
4。
三角函数的图像和性质
当0<A<1时，图像在y轴方向压缩。
02
周期变换
ω表示周期变换的系数，周期T=2π/|ω|。当ω>1时，周期减小，图像
在x轴方向压缩；当0<ω<1时，周期增大，图像在x轴方向拉伸。
03
相位变换
φ表示相位变换的角度，当φ>0时，图像左移；当φ<0时，图像右移。
正弦型曲线应用举例
振动问题
在物理学中，正弦函数常用来描述简谐振动，如弹簧振子 、单摆等。通过正弦函数的振幅、周期和相位等参数，可 以描述振动的幅度、频率和初始状态。
三角函数的图像和性 质
汇报人：XX 2024-01-28
contents
目录
• 三角函数基本概念 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角函数复合与变换 • 三角函数在解决实际问题中的应用
01
三角函数基本概念
角度与弧度制
角度制
01
将圆周分为360等份，每份称为1度，用度（°）作为单位来度量
角的大小。
弧度制
02
以弧长等于半径所对应的圆心角为1弧度，用符号rad表示，是
国际通用的角度度量单位。
角度与弧度的换算
03
1° = (π/180)rad，1rad = (180/π)°。
三角函数定义及关系
正弦函数
sinθ = y/r，表示单位圆上任意 一点P(x,y)与x轴正方向形成的 角θ的正弦值。
光学
在光的反射、折射等现象中，三角函数可以 帮助计算入射角、折射角等角度问题。
在工程问题中的应用
1 2
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可以帮助计算建筑物的 角度、高度、距离等参数，确保设计的准确性和 安全性。
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【课题】5.6三角函数的图像和性质
【教学目标】
知识目标：
(1) 理解正弦函数的图像和性质；
(2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；
(3) 了解余弦函数的图像和性质．
能力目标：
(1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；
(2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；
(3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．
情感目标：
（1）经历利用“图像法”分析三角函数的性质的探究过程，体验“数形结合”的探究方法，享受成功的喜悦。
（2）体验三角函数的性质，特别经历对周期现象的研究，感受科学思维方法。
（3）结识正弦、余弦曲线，感受数学图形的曲线美、对称美、和谐美
【教学重点】
（1）正弦函数的图像及性质；
（2）用“五点法”作出函数y=sin x在[]
0,2π上的简图．
【教学难点】
周期性的理解．
【教学设计】
（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；
（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；
（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；
【教学备品】
课件，实物投影仪，三角板，常规教具．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
过 程
行为 行为 意图 间
观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：(0,0), ,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭, (),0π, 3,12π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
, ()2,0π．
描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”．
质疑 引领 总结
观察 思考 体会
五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结
35
*巩固知识 典型例题
例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2
π
，π，23π
，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值，
从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像． 解 列表
x
0 π
2 π
3π2 2π
x sin 0
1 0 −1 0 x y sin 1+= 1
2
1
1
以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数
x y sin 1+=在[]0,2π上的图像．
例2 已知sin 4x a =-, 求a 的取值范围． 解 因为x sin ≤1，所以4a -≤1，即
141a --剟，
解得 35a
剟．
说明
讲解
引领 质疑
分析 归纳
观察 思考 主动 求解 理解 讨论 求解 思考
安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等 式的 求解 过程 可以 教给
过 程
行为 行为 意图 间
x y cos -=
−1 0
1
−1
以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，然后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数x y cos -=[]0,2π在上的图像
汇总 总结
理解 领悟
75
*运用知识 强化练习 教材练习5.6.2
用“五点作图法”作出函数x y cos 1-=在 []0,2π上的图像．
提问
巡视 指导 动手 求解 交流 纠错 答疑
80 *归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？ 你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 引导 提问
回忆 反思 交流
培养 学生 总结 反思 学习 过程 能力
85 *继续探索 活动探究
(1)读书部分： 教材章节5.6； (2)书面作业： 学习与训练习题5.6； (3)实践调查： 探究其他作图的方法． 说明
记录
90。