信号与系统实验2 线性系统时域分析

实验二 线性系统时域分析一、目的（1）掌握求解连续时间信号时域卷积的方法 （2）掌握线性时不变系统时域分析方法二、连续时间信号卷积连续时间信号)(1t f 和)(2t f 的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即：∑⎰∞-∞=→∆∞∞-∆⋅∆-∆=-==k k t f k f d t f f t f t f t f )()(lim )()()(*)()(2102121τττ 如果只求当为整数）（n n t ∆=时)(t f 的值)(∆n f ，则上式可得：∑∑∞-∞=∞-∞=∆-∆∆=∆⋅∆-∆∆=∆k k k n f k f k n f k f n f ])[()()()()(2121 （2-1）式（2-1）中的∑∞-∞=∆-∆k k n f k f ])[()(21实际上就是连续时间信号)(1t f 和)(2t f 经等时间间隔∆均匀抽样的离散序列)(1∆k f 和)(2∆k f 的卷积和。

当∆足够小时，)(∆n f 就是卷积积分的结果——连续时间信号)(t f 的较好数值近似。

因此，用MATLAB 实现连续信号)(1t f 和)(2t f 卷积的过程如下：1、将连续信号)(1t f 和)(2t f 以时间间隔∆进行取样，得到离散序列)(1∆k f 和)(2∆k f ；2、构造与)(1∆k f 和)(2∆k f 相应的时间向量1k 和2k （注意，1k 和2k 的元素不是整数，而是取样间隔∆的整数倍的时间间隔点）；3、调用MATLAB 命令conv()函数计算积分)(t f 的近似向量)(∆n f ；4、构造)(∆n f 对应的时间向量k 。

下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序sconv()，该程序在计算出卷积积分的数值近似的同时，还绘制出)(t f 的时域波形图。

应注意，程序中是如何构造)(t f 的对应时间向量的？function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)%计算连续信号卷积积分f(t)=f1(t)*f2(t) % f: 卷积积分f(t)对应的非零样值向量 % k ： f(t)的对应时间向量 % f1: f1(t)非零样值向量 % f2: f2(t)的非零样值向量 % k1: f1(t)的对应时间向量% k2: 序列f2(t)的对应时间向量 % p ： 取样时间间隔 f=conv(f1,f2); %计算序列f1与f2的卷积和f f=f*p;k0=k1(1)+k2(1); %计算序列f 非零样值的起点位置 k3=length(f1)+length(f2)-2; %计算卷积和f 的非零样值的宽度 k=k0:p:(k3*p+k0); %确定卷积和f 非零样值的时间向量 subplot(2,2,1) plot(k1,f1) %在子图1绘f1(t)时域波形图 title('f1(t)') xlabel('t') ylabel('f1(t)')subplot(2,2,2) plot(k2,f2) %在子图2绘f2(t)时波形图 title('f2(t)') xlabel('t') ylabel('f2(t)') subplot(2,2,3) plot(k,f); %画卷积f(t)的时域波形 h=get(gca,'position'); h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h) %将第三个子图的横坐标范围扩为原来的2.5倍 title('f(t)=f1(t)*f2(t)') xlabel('t') ylabel('f(t)')下面举例如何使用此程序：已知两信号波形图如下所示，用MATLAB 求解)(*)()(t f t f t f 。

实现卷积的命令如下： p=0.01;k1=0:p:2; f1=0.5*k1; k2=k1; f2=f1;[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p) 程序运行结果如下：图2-1 程序运行结果请同学们利用MATLAB 实现下述两个信号的卷积积分：要求：在实验报告中推导出这两个信号卷积积分运算表达式，并绘出图形；然后，利用MATLAB 进行求解验证。

计算验证：)3(]4)1[(25.0)1()1(25.0)5.1(]4)5.0[(25.0)5.0()5.0(25.0)]2()4(41)(41[*)]1()5.0([])2(5.0)(5.0[*)]1()5.0([})]2()([5.0{*)]1()5.0([)(*)()]2()([5.0)()1()5.0()(222222022121---+-----+-++=-----+=-⋅-⋅--+=----+=--=--+=⎰⎰⎰∞-t u t t u t t u t t u t t u t t u t t t t u d t u d t t d u u t t t f t f t u t u t t f t u t u t f tttδδττττδδττττδδ绘图：t = -0.5:0.01:3; y =0.25*(t+0.5).^2.*(0.5+0.5*sign(t+0.5))-0.25*((t+0.5).^2-4).*(0.5+0.5*sign(t-1.5))-0.25.*(t-1).^2.*(0.5+0.5*sign(t-1))+0.25.*((t-1).^2-4).*(0.5+0.5*sign(t-3)); plot(t,y)使用sconv 函数验证： p=0.01; k1=-0.5:p:1; f1= k1*0+1; k2=0:p:2; f2=0.5*k2;[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p);三、线性系统时域分析1、 连续系统的冲激响应、阶跃响应及MATLAB 实现LTI 系统当输入为冲激信号)(t δ时产生的零状态响应称为系统的冲激响应，用)(t h 表示。

若输入信号为单位阶跃信号)(t u 时系统产生的零状态响应则称为系统的阶跃响应，记为)(t g 。

对于LTI 连续系统，设其输入信号为)(t f ，冲激响应为)(t h ，零状态响应为)(t y ，则有：)(*)()(t h t f t y =即)(t h 包含了连续系统的固有特性，与系统的输入无关。

只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同输入时产生的输出。

因此，求解系统的冲激响应)(t h 对进行连续时间系统的分析具有非常重要的意义。

MATLAB 提供了专门用于求解连续系统冲激响应及阶跃响应，并绘制其时域波形的函数impulse 和step 。

在调用函数impulse()和step()时，需要用向量对连续系统进行表示。

设描述连续系统的微分方程为：∑∑===Mj j j Ni i it f b t ya 0)(0)()()(则可用向量a 和b 表示该系统，即],,,,[011a a a a a N N -= ],,,,[011b b b b b M M -=注意，在用向量表示微分方程描述的系统时，向量a 和b 的元素一定要以微分方程时间求导的降幂次序排列，且确项要用0补齐。

如微分方程)(*)()(t h t f t y =)()()(2)(3)(t f t f t y t y t y +''=+'+''则表示该系统的对应向量为a=[1 3 2]; b=[1 0 1];（1）impulse()函数函数impulse()将绘出由向量a 和b 表示的连续系统在指定时间范围内的冲激响应)(t h 的时域波形图，并能求出指定时间范围内冲激响应的数值解。

函数impulse()有如下几种调用格式： （a ）impulse(b,a)该调用格式以默认方式绘出向量a 和b 定义的连续系统的冲激响应的时域波形。

如， 若描述某连续系统的微分方程为：)(2)(3)(6)(5)(t f t f t y t y t y +'=+'+''运行如下MATLAB 命令：a=[1 5 6]; b=[3 2]; impulse(b,a)绘出的冲激响应波形如下图所示：（b ）impulse(b,a,t)该调用格式将绘出由向量a 和b 定义的连续系统在t~0时间范围内的冲激响应的时域波形。

对上例，如运行如下命令：impulse(b,a,10)则绘出系统在10~0秒范围内冲激响应的时域波形，如图2-3所示。

图2-2 LTI 系统的冲激响应1（c ）impulse(b,a,t1:p:t2)该调用格式将绘出由向量a 和b 定义的连续系统在2~1t t 时间范围内，且以时间间隔p 均匀抽样的冲激响应的时域波形。

对上例，如运行impulse(b,a,1:0.1:2)则绘出系统在1~2秒范围内，并以时间间隔0.1秒取样的冲激响应的时域波形，如图2-4所示。

（d ）y=impulse(b,a,t1:p:t2)该调用格式并不会出系统冲激响应的波形，而是求出向量a 和b 定义的连续系统在2~1t t 时间范围内以时间间隔p 均匀抽样的系统冲激响应数值解。

对上例，若运行命令：y=impulse(b,a,0:0.2:2) 则运行结果为： y =3.0000 1.1604图2-4 LTI 系统的冲激响应30.3110 -0.0477 -0.1726 -0.1928 -0.1716 -0.1383 -0.1054 -0.0777 -0.0559 （2）step()函数函数step()将绘制出由向量a 和b 表示的连续系统的阶跃响应)(t g 在指定时间范围内的波形图，并能求出其数值解。

和impulse()一样，step()函数也有以下四中调用格式：（a ）step(b,a) （b ）step(b,a,t)（c ）step(b,a,t1:p:t2) （d ）y=step(b,a,t1:p:t2)上述调用格式的功能与impulse()函数完全相同，所不同的是命令绘制的是系统的阶跃响应)(t g 的曲线而不是冲激响应)(t h 的曲线。

对上例，若执行命令：step(b,a)则绘制的系统阶跃响应时域波形如图2-5所示。

（3）实验内容求解如下LTI 系统的冲激响应、阶跃响应 要求：（a ）求解出该系统的冲激响应、阶跃响应的数学表达式，画出波形； （b ）利用MATLAB 进行求解验证。

求解：图2-5 LTI 系统的阶跃响应 )()(8)()(2t e t r t r t r =+'+'')(])473sin(1687)473cos(8181[)()473sin(2172)()()()473sin(2172]821[1)]([1)(821)(4141414122t u e t e t t u d e d h t g t u e t s s s H t h s s s H tt t t t ---∞----=⋅===++-=-=++=⎰⎰τττττL L 绘图：syms s t r; x = 0:0.01:25;h = ilaplace(1/(2*s^2+s+8),t); hd = subs(h, t, x); subplot(2,1,1); plot(x, hd); title('h(t)'); g = int(h,t,0,r); gd = subs(g, r, x); subplot(2,1,2); plot(x, gd); title('g(t)');Impulse 和step 函数验证： a=[2 1 8]; b=[1];impulse(b,a);step(b,a);2、LTI 连续系统的求解LTI 连续时间系统可用如下所示的线性常系数微分方程描述∑∑===Mj j j Ni i it f b t ya 0)(0)()()(如果系统的输入信号和初始状态已知，便可用微分方程的经典时域解法，求出系统的相应。