完全平方公式(6)
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解第一部分概念导入1 •问题：根据乘方的定义，我们知道：穿=日・a,那么(a+b) 2应该写成什么样的形式呢？ ( a+b) 2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？(1)_____________________________ (P+1)2=( p+1)( P+1) = ；( m+2)2= ；(2)(P-1)2= ( p-1) ( p-1) = _______ ；( m-2) 2= _____ ；2 •学生计算3 •得到结果：(1) (p+1) 2= (p+1) ( p+1) =p2+2p+12 2(m+2) = (m+2) (m+2) = m +4m+4(2) (p-1) 2= (p-1) (p-1) = p2-2p+12 2(m-2) = ( m-2) ( m-2=m -4m+44•分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 • p • 1, 4m=2- m- 2，恰好是两个数乘积的二倍。
(1) ( 2)之间只差一个符号。
推广：计算(a+b) 2= ______ _______ _(a-b) 2= _________________ 【2］得到公式，分析公式(1) •结论：(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.(2 )公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和.注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号.若这两项同号，则2ab取“ + ”，若这两项异号，则2ab的符号为“―” •(3)公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式.(4 )几何解释图1 — 5图1 —5中最大正方形的面积可用两种形式表示：©( a + b) 2②a2+ 2ab+ b2,由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即( a + b) 2= a2+ 2ab + b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性.【学习方法指导］［例1 ］计算(1) (3a+ 2b) 2(2) (mn —n2) 2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.解：(1) (3a + 2b) 2=( 3a) 2+ 2 • ( 3a) • (2b) + ( 2b) 2= 9a2+ 12ab + 4b2(2) (rnn— iCT ?◎ b—〔机打)z—g(讥”)* 异+( ii)zA + *</ — 2 必+ ¥=z>? if —2 mtf ~\~ »4注意：(2)中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”.［例2 ］计算(1)(- m- n) 2(2) (- 5a—2) ( 5a+ 2)点拨：(1)可直接用完全平方公式•由于一m与一n是同号，所以公式中的2ab取“ + ” .( 2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“一”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算.解：(1) (- m- n) 2=(-m) 2+ 2 •( —m) (- n) + (—n) 2=m2+ 2mn+ n2(2)(- 5a- 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) (5a+ 2)=-(5a+ 2) 2=-(25a2+ 20a + 4)=-25a2- 20a- 4小结：由(2)可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.［例3 ］计算(1)(x-2y) 2-( x- y) (x+ y)(2)(m-n) (m2- n2) ( m+ n)点拨：(1)可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简. (2)可先利用平方差公式将m-n与m + n相乘，再将所得结果m2- n2与中间括号里的m2- n2相乘，可利用完全平方公式.解：(1) (x- 2y) 2-( x - y) (x+ y)=(x2- 4xy+ 4护)-(x2- y2)=x2- 4xy+ 4y2- x2+ y2=-4xy+ 5y2(2) (m-n) (m2- n2) ( m+ n)=(m- n) ( m+ n) ( m^- n2)=(m^-n2) (m2-n2)=(m2) 2- 2 • m2• n2+( n2) 2=m4- 2m2n2+ n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可.［例4］计算：(x+ — ) 2-(x- y ) 22 2a 2—b 2=一、选择题1•下列运算中，正确的是() 2•下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是(点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算:(a + b ) (a — b ),将此题转化为平方差公式进行计算.解法一：(x + y ) 222 (x 2+ xy + 仝)— 42(x 2— xy + L )4 =x 2+ xy + 2 y 2—x 2 + xy — 44=2xy解法二: = ［“+和+仃-和+炉-3-子口u u(出+ tO =* y■加』［例 5］计算：(a — 2b + 1) ( a + 2b — 1)点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同•先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起， 构成(a + b ) ( a — b )的形式，利用平方差公式进行简化运算.(a -W相反-[a-(26-1) J La *^(26 -1).②寿_(2卜・关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化, 随堂练习要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变!A . 3a+2b=5abB . (a — 1) 2=a 2— 2a+1C . a 6心a 2D . (a 4) 5=a 9A . (x+y ) 2=x 2+y 2B . ( x — y ) 2=x 2 — y2C . (- x+y ) 2=x 2-2xy+y 2D . (- x -y ) 2=x 2- 2xy+y 23•下列各式计算结果为 2xy - x 2-y 2的是() A . (x - y ) 2 B . (- x -y ) 2 C .-( x+y ) 2 D .-( x -y )4•若等式(x - 4) 2=x 2 - 8x+m 2成立，则m 的值是()A . 16B . 4C . - 4D . 4 或—4二、 填空题5. (- x -2y ) 2= ______.6. 若(3x+4y ) 2= (3x - 4y ) 2+B ，贝U B= ______ .7. _______________________________ 若 a - b=3, ab=2，则 a 2+b 2= . 19 9 8 . ( --- ---- y ) 2= — x 2— xy+ ______ ; ( ____ ) 2=——a 2- 6ab+ _____ .34 16 三、 解答题 9 .利用完全平方公式计算：(1) 20082； ( 2) 782 .110 .先化简，再求值：(2x - 1) (x+2)-( x -2) 2-( x+2) 2,其中 x=-311利用公式计算：196212某正方形边长a cm ,若把这个正方形的边长减小1 1 分别求a 2+2 , (a - ) 2的值a a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3米，？则它的面积就增加 39平方米，求这个正方3 cm ,则面积减少了多少?13.已知 x+y=1 , 求1 x 2+xy+丄y 2的值. 2 2114.已知 a+ =5 a形花坛的边长.-时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本2 不需要用计算器，而且很快说岀了答案•你知道他是怎么做的吗?17.已知：a + b=- 5，ab = - 6，求a2+ b2.18利用公式计算：992- 119.计算(1) (ab 1)( ab 1) ; (2) ( 2x 3)( 2x 3);(3) 1022; (4) 992.(5)(a b1)(a b 1) ； (6) (m 2n p)2.20. 一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加239cm ,这个正方形的边长是多少？21.当a1,b 1时,求(3a 2b)(3a22b) (a 2b)2的值16.小明在计算2200920082 2 20092007 2009200922.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差2 2(2n 1) (2n 1)是8的倍数23. 观察下列等式:2 2 2 .2 2 2 2 21 0 1 ,2 1 3,3 2 5 ,4 3 7,请用含自然数n的等式表示这种规律为：____________________ .2 224. 已知4x Mxy 9y是一个完全平方式，求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过2005 2天的后一天是星期几？答案1. B2. C 点拨：(x+y) 2=x2+2xy+y2，所以 A 不正确；(x—y2=x2- 2xy+y2,所以 B 不正确；(—x+y) 2= (-x) 2+2 (-x) y+y2=x2—2xy+y2，所以C正确；(—x —y) 2= (x+y) 2=x2+2xy+y2,所以 D 也不正确，故选C.3. D4. D 点拨：因为(x-4) 2=2—8x+16，所以若(x-4) 2=x2-8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D.__ 、5. x2+4xy+4y2点拨：(—x —2y) 2=[ —(x+2y) ] 2= (x+2y ) 2=x2+4xy+4y2.6. 48xy 点拨：B= (3x+4y) 2—( 3x —4y) 2=9x2+24xy+16y2—( 9x2—24xy+16y2) ?=?9x2+?24xy+16y 2—92 +24xy—16y2=48xy .7. 13 点拨：因为a—b=3，ab=2,所以a F+b2= (a—b) 2+2ab=32+2X2=9+4=13.3 1 2 3 28. —x; — y ; —a—4b;16b22 9 4三、9. 解：(1) 20082= (2000+8) 2 =20002+2 X2000 >8+8 2=4000000+32000+64=4032064;(2)782= ( 80—2) 2=802—2X80X2+22=6400 —320+4=6084.10. 解：(2x—1) (x+2 ) — ( x—2) 2—( x+2) 2=2x2+4x —x —2—( x2—4x+4 ) — ( x2+4x+4 )=2x 2+3x —2 —x2+4x —4 —x2—4x —4=3x —10 .1 1当x=—时，原式=3X(—-) —10=—1—10=—11.3 311思路：196接近整数200,故196= 200 —4,则此题可化为(200 —4 ) 2，利用完全平方公式计算.解：1962①(200— 4) 22002-2X 200 X 4 + 42 =40000 — 1600+ 16 = 38416说明：1 .可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算. 12. 思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长X 边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.解：原正方形面积：a 2 现正方形面积：(a — 3) 2面积减少了 a 2—( a — 3) 2 = a 2—( a 2 — 6a + 9)= a 2— a 2 + 6a — 9=( 6a — 9) (cm 2) 答：面积减少了( 6a — 9) cm 2. 13. 解：因为 x+y=1，所以(x+y ) 2=1,即 x 2+2xy+y 2=1.11 1 1 1 所以一 x 2+xy+— y 2= — (x 2+2xy+y 2) =— X =— .22 222点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值.1 1 1 所以(a —) 2=a 2+ 2 — 2a- =23 — 2=21.aaa点拨：注意公式的一些变形形式，例如： a F +b 2= (a+b ) 2 — 2ab, a 2+b 2= ( a — b )2+2ab ， (a+b )2=( a — b ) 2+4ab ， ( a — b ) 2=(a+b ) 2 — 4ab 等等.15. 解：设这个正方形花坛的边长为 x 米，依题意列方程得，(x+3 ) 2 — x 2=39, ?即 x 2+6x+9 — x 2=39， 6x=30， x=5. 答：这个正方形花坛的边长为 5米.点拨：适当引进未知数，？根据题中的相等关系得到方程，解方程即可. 16. 解：知道，做法如下：______ 200920082 ______ _________ 200920082 ___________ 200920072200920092 2 (20092008 1)2(20092008 1)2 22_____________________ 20092008 200920082 2 200920081 200920082 ____________2 20092008 1 2200920082 12 20092008^ 2点拨：由 200920072= (20092008 — 1) 2，200920092= ( 20092008+1) 2，运用完全平方公式化简即可.17. 点拨：同时存在a + b ，ab, a 2+ b 2的公式为完全平方公式(a + b ) 2 = a 2 +2ab + b 2,将题目中所给条件分别看作整体，代入公 式即可.注意：1.不要分别求出 a 和b ,运算繁琐.n.若已知a +b (或a — b), ab , a 2+ b 2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者.解：a 2+ b 2 =( a + b ) 2 — 2ab14. 因为 a+^=5，所以 a 2+4 =a1 1(a+ ) 2 — 2 a •=52 —2=23,aa当 a + b = — 5, ab =— 6 时原式=(—5) 2 —2 X(— 6)= 25 + 12 = 37.18. 点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案. 19. 【点拨】(1)符合平方差公式的特征，只要将 ab 看成是a , 1看成是b 来计算.( 2)利用加法交换律将原式变形为 ( 32x)( 3 2x) , 然后运用平方差公式计算 .22(3) 可将 1022改写为 (1002) ,利用两数和的平方公式进行简便运算 .22(4) 可将 99 改写为 (100 1) ，利用两数差的平方公式进行简便运算 . 解：(1) (ab 1)(ab 1) =(ab)2 1 a 2b 21；(2)( 2x 3)(2x 3)= ( 3 2x)( 3 2x) =( 3)2(2x)2 9 4x 2；(3)1022 = (100 2) 2 =100 2 2 100 2 2210000 400 4 10404 ； (4)992 =(100 1) 2=10022 100 1 1 10000 200 1 9801.【点拨】(5,6)两个因式中都含有三项，把三项看成是两项，符号相同的看作是一项，符号相反的看作是一项，运用公式 计算，本题可将 (a b) 看作是一项 .先将三项看成是两项，用完全平方公式，然后再用完全平方公式计算解：(5) (a b 1)(a b 1) =[(a b) 1][( a b) 1] (a b)2 1 a 2 2ab b 21;( 6) (m 2np)2=[(m 2n) p]2 (m 2n)2 2(m2n) p2p 22=m4mn 224n 2mp 4np p .【点评 】 1. 在运用平方差公式时 , 应分清两个因式中是不是有一项完全相同, 有一项互为相反数 , 这样才可以用平方差公式， 否则不能用; 2. 完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个完全平方式，两数和或差的平方，等于这两个数的平方2 2 2 2 2 2和，加上或减去这两个数乘积的 2倍，在计算时不要发生：(a b) a b 或(a b) a b 这样的错误; 3.当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组,看成是两项，用平方差公式或完全平方公式. 20.【点拨】如果设原正方形的边长为 xcm,根据题意和正方形的面积公式可列出方程求解 . 解：设原正方形的边长为xcm,则 (x 3)2 x 239即 x 2 6x 9 x 2 39，解得 X=5.答:这个正方形的边长是 5cm . 21.【点拨】先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将 a 、b 的值代入计算出结果.2 2 2 2 2解： (3a 2b)(3a 2b) (a 2b)2 9a 2 4b 2 (a 2 4ab 4b 2)=9a 24b 2 a 24ab4b 2 8a 24ab 8b 2；当a 1,b 1时，(3a 2b)(3a 2b) (a 2b)28a 22 24ab 8b =8(-1)4( 1) 18=-4【点拨】运用完全平方公式将 (2n1)2(2n 21)化简，看所得的结果是否是8整数倍.2证明：(2n 1)(2n 1)2=4n 24n 21 (4n 4n 1)= 4n24n 1 4n 24n 1 8n ，又T n 为整数，二8n 也为整数且是8的倍数.23. 【点拨】本题是属于阅读理解，探索规律的题目，认真观察、分析已知的等式的特点，从中总结出规律 .同学们相互研讨交流一下.答案为：n2(n 1)2 2n 1(n 1且n 为整数).24. 【点拨】已知条件是一个二次三项式，且是一个完全平方式， x 2 与 y 2项的系数分别为4和9,所以这个完全平方式应该是2(2x 3y),由完全平方公式就可以求出 M .2 2 2解：根据(2x 3y) =4x 12xy 9y 得： M 12.二M 12答：M 的值是土 12.2 225. 【点拨】因为每个星期都有7天，要求再过2005天的后一天是星期几，可以想办法先求出 2005是7的多少倍数还余几天.解: 20052 = (7 286 3)2 (7 286)22 (7 286)3 9=(7 286)2(6 286) 7 7 2.2显然2005年12月1日是星期四，再过2005 天的后一天实际上要求星期四再过两天后的一天是星期日。
完全平方公式两种推导方法
完全平方公式两种推导方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊完全平方公式的两种推导方法。
这可是数学里相当重要的一块儿呢！咱先来说第一种推导方法，就好像盖房子一样，咱得一步步来。
想象一下有个边长为$(a+b)$的正方形，那它的面积不就是$(a+b)^2$嘛。
然后呢，咱把这个正方形分成四块儿，一块儿是边长为$a$的正方形，一块儿是边长为$b$的正方形，还有两块儿是长为$a$宽为$b$的长方形。
那这四块儿的面积加起来不也得等于整个大正方形的面积嘛，这不就得出$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$啦！你说神奇不神奇？再说说第二种推导方法。
咱可以把$(a+b)^2$展开呀，这不就变成了$a^2+ab+ab+b^2$嘛，然后一加，嘿，还是$a^2+2ab+b^2$。
这就像走一条路，从不同的方向出发，最后都能到达同一个目的地。
这完全平方公式用处可大了去了！在解决好多数学问题的时候，那可真是一把好手。
比如说要求一个长方形的面积，或者计算一些代数式的值，它都能派上大用场。
咱举个例子吧，假如有个题目让你算$(3+4)^2$，那你直接就能用完全平方公式呀，得出$3^2+2\times3\times4+4^2$，这不就能很快算出结果了嘛。
学数学啊，就得像这样一点点去琢磨，去探究。
别觉得公式难，只要你用心去理解，就会发现其中的乐趣。
就像发现了一个神秘的宝藏一样，让人兴奋不已呢！所以啊，大家可别小瞧了这完全平方公式的两种推导方法，它们可是数学世界里的宝贝呢！掌握了它们，就好像有了一把打开数学大门的钥匙，能让你在数学的海洋里畅游无阻。
大家一定要好好学，好好用，让它们为我们的数学学习助力加油！你们说是不是这个理儿？。
完全平方公式
这也是完 全平方公 式哦
2 b
(a –b
2 )
=
2 a
-2ab +
完全平方 公式 (a+b)2 =a2+2ab+b2 (a−b)2 =a2−2ab+b2
你能说出这两个公式的特征吗？
左边是 : 两数和 (差) 的平方 右边是 : 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
例题解析
例 用完全平方公式计算(1)
完全平方公式
回顾旧知———平方差公式 2 - b2 ( a + b )( a – b )=a
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否 也能用一个公式来表示呢？
计算下列各式，你能发现什么？ (1) (p+1)2 =(p+1)(p+1) 2+p+p+1= p2+2p+1 =p (1) (m+2)2= (m+2)(m+2) 2+2m+2m+4= m2+4m+4 =m (1) (p-1)2 =(p-1)(p-1) 2-p-p+1= p2-2p+1 =p (1) (m-2)2 =(m-2)(m-2) 2- 2m-2m+4=m2- 4m+4 =m
用完全平方公式计算：
a )·( 3 )+( 3 )2 a2+6a+9 = (2) (2m+3n)2=(2m )2+2(2m)· 3n )+(3n)2 (
(1) (a+3)2=( a )2+2(
4m2+12mn+9n2 = (3) [x+(-2)]2=( x )2+2( x )· -2 )+( -2 )2 ( = x2－4x＋4
第4讲 平方差公式与完全平方公式
初一数学春季课程秦九韶（约公元1202年至1261年）系南宋普州（安岳）人，字道古，四川安岳人。
父季据，进士出身，曾任工部侍郎、秘书省秘书少监。
秦九韶自己曾任和州(今安徽和县)、琼州(今海南琼县)、薪州(今湖北薪春)、建康(今江苏南京)通判。
1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。
他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。
秦氏成才之路有三：其一是因为他父亲长期从政，他自己也出任地方行政官吏，在行政管理工作中，广泛接触工程技术、农田水利、海运交通、钱粮经济、商品交易、军事后勤等工作，为他著作《数书九章》采集素材提供有利条件。
其二，据《数书九章》秦氏自序说：“早岁侍亲中都，因得访习于太史。
”这当是在他父亲任秘书少监职时事，秦九韶向制订历法官员学习造历知识。
其三，《数书九章》秦氏自序还说：“尝从隐君子受数学”，隐君子是谁，未详姓名，很可能是一位学识渊博的学者，所以秦九韶在数学上的创造发明、其来有自：家学渊源、本人工作实践，刻苦钻研以及良师益友间互相切磋质疑问难。
1247年（淳佑七年）著成《数书九章》,全书18卷，81题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。
这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对“大衍求一术”和“正负开方术”等有十分深入的研究。
“大衍求一术”和“正负开方术”比欧美国家早600年，代表中世纪数学发展的主流，并将中国古代数学推向了顶峰，是世界最伟大的数学家之一。
1．如果□×（﹣3ab ）=9a 2b 2，则□内应填的代数式是（ ） A ．3abB ．﹣3abC ．3aD ．﹣3a2．在（2x 2﹣3x ）（x 2+ax +b ）的结果中，x 3的系数为﹣5，x 2的系数为﹣6，则a ，b 的值是（ ） A ．a =1，b =﹣15 B ．a =﹣4，b =3 C ．a =﹣1，b =﹣4.5D ．a =﹣2.5，b =63．已知7x 3y 2与一个多项式之积是28x 4y 2+7x 4y 3﹣21x 3y 2，则这个多项式是 ．第 4 讲 平方差公式与完全平方公式4．计算： （1）﹣32+（﹣12）﹣2+（2017﹣π）0﹣|﹣2|； （2）[5x 2•2xy 6+（2xy 2）3]÷（4x 2y 3）．考查角度1：平方差公式（常考点）例1．下列各式：①（﹣a ﹣2b ）（a +2b ）；②（a ﹣2b ）（﹣a +2b ）；③（a ﹣2b ）（2b +a ）；④（a ﹣2b ）（﹣a﹣2b ），其中能用平方差公式计算的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④例2．等式（﹣x 2﹣y 2）（ ）=y 4﹣x 4成立，括号内应填入下式中的（ ） A ．x 2﹣y 2B ．y 2﹣x 2C ．﹣x 2﹣y 2D ．x 2+y 2一、平方差公式1．平方差公式：22()()+-=-a b a b a b ；即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.推导过程：2222()()+-=-+-=-a b a b a ab ab b a b2．平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a )完全相同，另一项(b 和﹣b )互为相反数. （2）右边是乘积中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方） （3）公式中的a 和b 可以为具体数，也可以是单项式或多项式.典例分析初一数学春季课程例3．为了应用平方差公式计算（x+2y﹣1）（x﹣2y+1），下列变形正确的是（）A．[x﹣（2y+1）]2B．[x+（2y+1）]2C．[x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] D．[（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] 例4．整式的乘法计算．（1）103×97 （2）（13x+y）（13x﹣y）（19x2+y2）（3）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）考查角度2：平方差公式的几何背景（重难点）例5．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）例6．乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.3×9.7 ②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）考查角度3：平方差公式的应用（重难点）例7．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a 米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了 平方米．例8．计算：（1）1234567892﹣123456788×123456790．（2）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．（3）1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．（4）（1﹣212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣211004）【点拨迷津】初一数学春季课程考查角度1：完全平方公式（常考点） 例1．下列等式能够成立的是（ ） A ．（2x ﹣y ）2＝4x 2﹣2xy +y 2 B ．（x +y ）2＝x 2+y 2 C ．（12a ﹣b ）2＝14a 2﹣ab +b 2 D ．（1x+x ）2＝21x +x 2例2．计算（﹣2m ﹣1）2等于（ ） A ．﹣4m 2﹣4m +1 B ．4m 2﹣4m +1 C ．4m 2+4m +1D ．﹣（4m 2﹣4m ﹣1）例3．若（x +m ）2＝x 2﹣6x +n ，则m 、n 的值分别为（ ） A ．3，9B ．3，﹣9C ．﹣3，9D ．﹣3，﹣9例4．若x 2﹣2（a ﹣3）x +25是完全平方式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2，8 B ．2 C ．8 D ．±2二、完全平方公式1. 完全平方公式：222()2++a+b =a ab b ，222()2--+a b =a ab b ；即两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，这两个公式称为完全平方公式. 2. 完全平方公式的特点： （1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同.（3）公式中的a 和b 可以为具体数，也可以是单项式或多项式. 3. 常见的变形公式： 222()2+-①a b =a+b ab 222()2+-+②a b =a b ab 2222()()-+③ab=a+b a b2222()()+--④ab=a b a b22()()4-+⑤a+b =a b ab 22()()4-+-⑥a b =a b ab典例分析例5．多项式4a2+1加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这个单项式不能是（）A．4a B．﹣4a C．4a4D．﹣4a4例6．化简（1）[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷（2x）（2）（a+2b﹣1）2考查角度2：完全平方公式的几何背景（重难点）例7．如图对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列等式（）A．（x+y）2＝x2+2xy+y2B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）C．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2例8．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+abD．a（a﹣b）＝a2﹣ab例9．图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．方法一：；方法二：；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．初一数学春季课程考查角度3：完全平方公式的应用（重难点）例10．用简便方法计算（1）992．（2）20172﹣2017×4032+20162．例11．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝81，求x2+y2和xy的值．例12．已知a，b是有理数，试说明a2+b2﹣2a﹣4b+8的值是正数．扫码答疑解惑例13．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．1．计算（a ﹣b ）（﹣a +b ）的结果等于（ ） A ．﹣a 2﹣b 2B ．a2+2ab +b 2C ．a 2﹣b 2D ．﹣a 2+2ab ﹣b 22．计算：1252﹣50×125+252＝（ ） A ．10000B ．100C ．22500D ．1503．若（2a ﹣3b ）2＝（2a +3b ）2+N ，则表示N 的代数式是（ ） A ．12abB ．﹣12abC ．24abD ．﹣24ab4．若a +b ＝10，ab ＝11，则代数式a 2﹣ab +b 2的值是（ ） A ．89 B ．﹣89C ．67D ．﹣675．（14m 3+2n ）（14m 3﹣2n ）+（2n ﹣4）（4+2n ）的值为（ ） A ．与m 无关 B ．与n 无关 C ．与m ，n 无关 D ．与m ，n 有关6．化简（a +b +c ）2﹣（a ﹣b +c ）2的结果为（ ） A ．4ab +4bcB ．4acC ．2acD ．4ab ﹣4bc7．如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a +2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（ ） A ．a 2+4 B ．2a 2+4aC ．3a 2﹣4a ﹣4D ．4a 2﹣a ﹣2举一反三【点拨迷津】初一数学春季课程8．已知a+b+c＝6，ab+ac+bc＝11，则a2+b2+c2的值为（）A．13 B．14 C．15 D．169．如果（x+y﹣3）2+（x﹣y+5）2＝0，则x2﹣y2＝．10．一个正方形的面积是（a2+8a+16）cm2，则此正方形的边长是cm．11．2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）﹣364的值是．12．若（7x﹣a）2＝49x2﹣bx+9，则|a+b|＝．13．计算（1）a3•a4•a+（a2）4+（﹣2a4）2（2）（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b214．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：（1）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数；（2）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？正确请证明，不正确请举反例．【总结回顾】初一数学春季课程421．计算20172﹣2016×2018的结果是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．12．计算（x ﹣1）（﹣x ﹣1）的结果是（ ）A ．﹣x 2+1B ．x 2﹣1C ．﹣x 2﹣1D ．x 2+13．若关于x 的二次三项式x 2﹣ax +36是一个完全平方式，那么a 的值是（ ）A ．12B ．±12C ．6D ．±64．若代数式x 2﹣10x +k 2是一个完全平方式，则k ＝（ ）A ．25B ．25或﹣25C ．10D ．5或﹣55．若M •（3x ﹣y 2）＝y 4﹣9x 2，则多项式M 为（ ）A ．﹣（3x +y 2）B ．﹣y 2+3xC ．3x +y 2D ．3x ﹣y 26．（a ﹣b +c ）（a ﹣b ﹣c ）的计算结果是（ ）A ．a 2﹣b 2+c 2B ．a 2+b 2﹣c 2C ．a 2﹣2ab +b 2﹣c 2D ．a 2﹣2ac +c 2﹣b 27．计算（x +2）2（x ﹣2）2的结果是（ ）A ．x 2﹣16B ．x 4+8x 2+16C ．x 4﹣8x 2+16D ．x 4+16 8．如果a ，b ，c 满足a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣6c +9＝0，则abc 等于（ ）A ．9B ．27C ．54D ．819．若a ﹣b ＝13，a 2﹣b 2＝39，则（a +b ）2＝ ．10．18908999＝ ． 11．若a ﹣b ＝1，ab ＝6，则a 2+b 2＝ ．12．多项式x 2+y 2﹣6x +8y +7的最小值为 ．13．用乘法公式进行简便运算：（1）10032；（2）20102﹣2011×2009．基础巩固高效课堂 源于优教4314．已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米，分别求出大正方形和小正方形的边长．15．因为a •1a ＝1，所以（a +1a ）2＝a 2+2a •1a +（1a ）2＝a 2+21a +2，① （a ﹣1a ）2＝a 2﹣2a •1a +（1a）2＝a 2+21a ﹣2 ② 所以由①得：a 2+21a ＝（a +1a ）2﹣2或由②得：a 2+21a ＝（a ﹣1a ）2+2 那么a 4+41a ＝（a 2+21a）2﹣2 试根据上面公式的变形解答下列问题： （1）已知a +1a ＝2，则下列等式成立的是 ①a 2+21a ＝2；②a 4+41a ＝2；③a ﹣1a ＝0；④（a ﹣1a）2＝2； A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④（2）已知a +1a ＝﹣2，求下列代数式的值： ①a 2+21a ；②（a ﹣1a）2；③a 4+41a16．已知a =2016，b =2017，c =2018，求a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc 的值．拓展训练初一数学春季课程44限，毕竟一群恐龙好端端突然死掉并形成化石的事儿也没那么容易出现恐龙当年真实的生活方式呢？答案是龙足迹，就能够破解出“当事龙学（北京）的邢立达副教授带领考察团队，在中国山东郯城对一大批恐龙足迹进行了研究和鉴定。
(完整)完全平方公式知识点分解,推荐文档
乘法公式知识点分解 李锦扬整理一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a －b ）2=（a ＋b ）2 ，（－a ＋b ）2=（a －b ）2 1、（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2（3） ()252ba --（4）（2a ＋3b ）2（5）[x +（-y ）] 2 （6） ()22y x +-2．(1)(2a 1)(2a 1)-+=____________．(2) ()()=+-⋅--y x y x 464622______________． (3)21(b)2a -=____________．(4)2(2)x y -+=__________．(5)21()x x+=__________．二、 知识点2：重复套用公式（1）()()()22y x y x y x -+- （2）22)2()2(y x y x -+（3）24(2)(2)(4)(16)x x x x -+++（4）．某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： 255116)14)(14()14)(14)(14()14)(14(322222=-=+-=++-=++．三、 知识点3：三项1．若(1)(1)3x y x y -+--=，则y x -= ．2. 2()a b c +-3. 2(23)x y z --4.（a +2b ﹣3）（a ﹣2b +3）；5. (3)(3)a b c a b c +---四、知识点4：完全四公式1．已知实数a 、b 满足ab=1，a +b=3．（1）求代数式a 2+b 2的值； （2）求a ﹣b 的值．（3）求代数式a 2-b 2的值； （4）求a 4﹣b 4的值．（5）求a 4+b 4的值． （6）|x ﹣y |2.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值3．已知a +b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ）A ．4 B ．3 C ．12 D ．14．若A y x y x +-=+22)2()2(成立，则A =5．已知2()13x y +=，2()1x y -=，求xy ，22x y +和44x y +的值。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
北师大版七年级(下)数学第6讲：完全平方公式(教师版)——王琪
完全平方公式一、完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
用字母表示为222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-二、完全平方公式变形（知二求一）：a+b,a-b,ab222()2a b a b ab +=-+222()2a b a b ab +=+- 222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+ 2214[()()]ab a b a b =+-- 三、完全平方公式几何证明1．已知x+y=﹣5，xy=3，则x 2+y 2=（ ）A ．25B ．﹣25C ．19D ．﹣19解：∵x+y=﹣5，xy=3，∴x 2+y 2=（x+y ）2﹣2xy=25﹣6=19．故选：C ．2．在下列运算中，计算正确的是（ ）A ．（x 5）2=x 7B ．（x ﹣y ）2=x 2﹣y 2C ．x 13÷x 3=x 10D ．x 3+x 3=x 6 解：A 、（x 5）2=x 10，故选项错误；B 、（x ﹣y ）2=x 2﹣2xy+y 2，故选项错误； C 、正确；D 、x 3+x 3=2x 3，故选项错误．故选C ．3．下列运算正确的是（ ）A ．2a 2+3a 3=5a 5B ．a 6÷a 3=a 2C ．（﹣a 3）2=a 6D ．（x+y ）2=x 2+y 2 解：A 、原式不能合并，本选项错误；B 、a 6÷a 3=a 3，本选项错误； C 、（﹣a 3）2=a 6，本选项正确；D 、（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，本选项错误，故选C 。
完全平方公式ppt课件
=-5x+7.
2
5.(2023 凉山)先化简,再求值:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中
x=( )
2 023
,y=2
2 022
.
2
解:(2x+y) -(2x+y)(2x-y)-2y(x+y)
2
2
2
2
2
=4x +4xy+y -4x +y -2xy-2y
解:因为a-b=-4,ab=3,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=16+2×3=22.
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=22+6=28,
所以a2+b2的值为22,(a+b)2的值为28.
.
完全平方公式的实际应用
[例3] 如图所示,在边长为m+4的正方形纸片上剪出一个边长为m的小
正方形后,将剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),若这个长方
灵活应用完全平方公式的变形,可求相关代数式的值,主要的变形有
(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;
2
2
2
(2)ab= [(a+b) -(a +b )];
(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab.
新知应用
1.若(x+2y)2=(x-2y)2+A,则A表示的式子为 8xy
2.已知a-b=-4,ab=3.求a2+b2与(a+b)2的值.
=x2-(y+1)2
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完全平方公式
一、教学目标
1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．
2．熟练使用公式实行计算．
3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的水平．
4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．
5．渗透数学公式的结构美、和谐美．
二、学法引导
1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．
2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，使用完全平方公式计算时，要注意：
（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．
（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式实行计算；若不能变为符合条件的形式，则应使用乘法法则实行计算．
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，准确使用公式实行计算．（二）难点
综合使用平方差公式与完全平方公式实行计算．
（三）解决办法
增强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．
2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维水平．
3．举例分析如何准确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．
4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课重点学习完全平方公式及其应用．
（二）整体感知
掌握好完全平方公式的关键在于能准确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．
（三）教学过程
1．计算导入；求得公式
（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；
（2）用简便方法计算
①103×97
②103× 103
（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．
学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．
要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，准确使用公式，这节课我们继续学习“乘
法公式”．
引例：计算，
学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．
或合并为：
教师引导学生用文字概括公式．
方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
【教法说明】
①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提升兴趣．
②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的理解方法，所以推导完全平方公式能够由计算直接得出．
2．结合图形，理解公式
根据图形完成下列问题：
如图：A、B两图均为正方形，
（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
（2）图B中，正方形的面积为____________________，
Ⅲ的面积为______________，
Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，
用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论：
学生活动：在教师引导下回答问题．
【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。
3．探索新知，讲授新课
（1）引例：计算
教师讲解：在中，把x看成a，把2y看成b，在中把2x
看成a，把3y看成b，则、，就可用完全平方公式来计算，即
【教法说明】引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为使用公式打好基础．
（2）例1 使用完全平方公式计算：
①②③
学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．
【教法说明】让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练水准上存有的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成
，然后再实行计算，同时也可训练学生灵活使用学过的知识的水平．
4．尝试反馈，巩固知识
练习一
使用完全平方公式计算：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（l0）
学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存有的共性问题要集中解决．
5．变式训练，培养水平
练习二
使用完全平方公式计算：
（l）（2）（3）（4）
学生活动：学生分组讨论，选代表解答．
练习三
（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否准确，不准确的请指出错在哪里．
甲的计算过程是：原式
乙的计算过程是：原式
丙的计算过程是：原式
丁的计算过程是：原式
（2）想一想，与相等吗？为什么？
与相等吗？为什么？
学生活动：观察、思考后，回答问题．
【教法说明】练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也能够激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合使用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生实行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使
学生进一步理解与之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义．
练习四
使用乘法公式计算：
（l）（2）
（3）（4）
学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．
【教法说明】这样做的目的是训练学生的快速反应水平及综合使用知识的水平，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．
（四）总结、扩展
这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．
引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和使用公式时应该注意的问题．
八、布置作业
P133 1，2．（3）（4）．。