人教A版高中数学必修四 平面向量 复习

量 a，有且只有一对实数 1, 2使,
a 1e1 2 e2
2020/2/7
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七.应用举例
1.a,b均不为零,则 a b a b 是a // b的( A )
( A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
2.向量a,b 满足 a 8, b 12则 a b 的最大值
；
r b
cr

2020/2/7
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四、平面向量之间关系
向量r 平行r (r共线r)充要条r 件的r两种形式:
(1)a / /b(b 0) a b;
r rr
r
rr
(2)a / /b(a (x1, y1),b (x2, y2),b 0)
向量 垂直x1充y2要条x2件y1的两种形式:
于这两个向量相应 坐标的和与差。
a （x1
,
y1）
说明：实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
ab

x1x2

y1 y2
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
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三.向量r 的r 数量积
设向量 a ，b 的夹角为 则 rr r r
ra br | a || b | cos

r
ห้องสมุดไป่ตู้
xr1x2

yr1
y2
r
a , b成锐角的充要条件是 a b 0且a不平行于b
rr
rr r
r
a , b成钝角的充要条件是 a b 0且a不平行于b
rr
rr
a,b rr
垂直的充要条件是
ab rr

0 r
x1
xr2

y1 y2

0
a , b 平行的充要条件是 | a b || a || b |
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平面向量数量积的运算律：
① ② ③交 对 分换 实 配律 数 律成 的 成立 结 立： 合 ：律arar成br br立brcr：arararcrbrbr
cr
ar cr
r b ar

arr b

r b
R
平面向量(复习课)
2020/2/7
上海市向东中学 姜玉文
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一、向量的初步
1.定义：
既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示：
向量的几何表示 : 用有向线段表示 uuur r
向量的符号表示 : AB 或 a
3.特殊向量：零向量 : 单位向量: a0 a |a|
４.向量之间的关系：
平行向量（: 共线向量） 相反向量 : 相等向量：

x

y

x1 x2 1
y1 y2
( 1)
1
特殊的

x
1
y

x1 y1

2
x2 y2

2
定比分点坐标公式 中点坐标公式
2020/2/7
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六、平面向量的基本定理
如果e1, e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
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向量的坐标运算
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2, y1 y2 )
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2, y1 y2 )
A(x1, y1)
2．已知 A(x1, y1)，B(x2, y2) 求 AB
y
B(x2, y2 )
AB (x2 x1, y2 y1)
O
x
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向量的模（长度）
3. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
4. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
④乘法公式成立：
ar

r b

ar

r b

ar 2
r b2

ar
2

r b
2；
ar

r b
2

ar 2

2ar
r b

r b2

ar
2

2ar

r b

r2 b
特别注意：
（ （ （123） ） ）结 消ar 合 去br 律 律=0不 不成 成不立 立能：得ar 到arbrarbr=ar0rcrcr或br不=ar能0rbr得到cr
2020/2/7
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5.向量的加法：
b
a
(a b)
OB OA AB
6.向量的减法：
O
A
a
(a b)
A
D
a
(a b)
b
B
OD OA OB
O2020/2/7
b
B
BA OA OB
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[1] 加法：
a
b

c
b
c
特殊地：若 a‖ b分为同向和反向
a
（平行四边形法则）

b a b
c
|
c||
a|

|
b|
c
a
|
c|
|
a|

|
b|
|| a | | b ||| a b || a | | b |
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7、实数与向量 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b
向量相等的充要条件

x1 x2

y1 y2

0
ab
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x1

x2且y1

y上2页
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五、定比分点的坐标公式、
已知点
P1、P2的坐标分别是（
x1，y1）、（
x2，y
）
2
P是直线P1P2上一点,且P1P PP2，则点P的坐标
是 __2_0__，a b 的最小值是____4_____
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x1 y2 x2 y1 上页 下页 返回
rr
a在b方向上的投r 影r
r
| a | cos
arb
r2 a
|
r a
|2
rr
|b|
a , b 的夹角r 公r式
cos ra br
x1x2 y1 y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
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它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
2020/2/7
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二、向量的坐标表示
y
1.以原点O为起点的 OA a ,
a
A(x, y)
a j
a xi y j 向量的正交分解O i
x
a (x, y)