吉林省名校高考数学一模试卷(文科)
吉林省2021届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(有答案)
吉林省2021届高三第一次模拟考试数学（文）试卷一、选择题1.已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆，则集合M 的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 12.若43i z =+，则zz=( ) A. 1B.1-C.43i 55+D. 43i 55- 3.已知向量1,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()sin ,1b α=，若//a b ，则锐角α为( )A.30︒B.60︒C.45︒D. 75︒4.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.45B.35C.25 D.155.设0.51()2a =，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a b c 、、的大小关系是( )A.a b c >>B.a b c <<C.b a c <<D.a c b <<6.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过长城时， 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说：小钱去过； 小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是( ) A. 小赵B. 小李C. 小孙D. 小钱7.已知函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()2f x f x +=，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A.12-B.14-C.14D.128.已知平面α，直线m n ，满足m α，n α，则“//m n ”是“//m α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则πcos(2)2α+的值为( )A ．45B ．45-C ．35D ．35-10.已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的渐近线于AB ，两点(异于坐标原点O )，AOB △的面积为32，则抛物线的焦点为( ) A.()2,0B.()4,0C.()6,0D. ()8,011.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，若()()124f x f x =-，且12x x -的最小值为π2，则()f x -( )A. 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数B. 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数C. 在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D. 在ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数12.已知12F F ，分别是双曲线2221(0)y x b b =>-的左、右焦点，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.()1,2B.)∞C.(()2,+∞⋃D. ()2,+∞二、填空题13.设x y ，满足约束条件+212+1-0x y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值为_______________.14.已知某民营车企1月份生产了A B C ，，三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，150.现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B 型号的新能源汽车被抽取的概率为________________.15.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_______.16.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； ④外接球的表面积为24π． 其中正确的描述为____．三、解答题17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数, 28a =,34 48a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设4log n n b a =.证明: {}n b 为等差数列,并求{}n b 的前n 项和n S .18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：//PB 平面AEC ；(2)设1AP =，AD =，三棱锥P ABD -的体积V =，求A 到平面PBC 的距离． 19.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；（3）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．20.如图,已知圆()22:14E x y +-=经过椭圆()2222 :10x y C a b a b+=>>的左右焦点1F ,2F ,与椭圆C 在第一象限的交点为A ,且1F ,,E A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程;（2）设与直线 OA (O 为原点)平行的直线交椭圆C 于M ,N 两点.当AMN △的面积取到最大值时,求直线l 的方程。
2025届长春一模数学试卷
吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测（一）数学试卷本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2.答题时请按要求用笔．3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是 A.1B.2C.3D.62.已知向量(3,),(5,2)a m b m ==−，若a b ⊥ ，则m =A.2B.3C.6D.153.已知13sin(),sin()55αβαβ+=−=，则tan tan αβ的值为A.-2B.2C.-3D.34.某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数3log ya xb +来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒 A.15B.16C.18D.205.正四面体ABCD 中，12,33AP AD BQ BC ==，则异面直线PQ 与BD 所成角的正弦值为6.直线240x y +−=与直线390x y +−=所成角是 A.30°B.45°C.60°D.75°7.为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为 A.5B.4C.3D.28.已知定义在(0,)+∞上的函数(),()f x f x ′是()f x 的导函数，满足()2()0xf x f x ′−<，且(2)4f =，则不等式()240x x f −>的解集是 A.(0,1)B.(0,2)C.(1,)+∞D.(,1)−∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数π()sin (0)3f x x ωω=−>的最小正周期为π，则 A.π12x =−是()f x 的一条对称轴 B.()f x 与函数πcos 6yx ω+相等C.()f x 在区间π0,4上单调递减 D.()f x 在区间π0,2上的取值范围是10.已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，设该等比数列的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，下列选项正确的是 A.372a a +B.当1q >时，{}n a 为递增数列C.n S 单调递增的充要条件为0q >D.当1q >时，满足1n T >的n 的最小值为911.2022年卡塔尔世界杯赛徽近似．．“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.xOy 中，把到定点12(,0),(,0)F c F c −距离之积等于定值2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，下列关于双纽线的说法正确的是A.PO 的最大值为B.双纽线是中心对称图形C.022ccy −D.P 到12,F F 距离之和的最小值为2c 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()9243m S a a a =++，则m =______.13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，B 关于点F 的对称点为B ′.若过,,A B F ′三点的圆的半径为a ，则C 的离心率为______.14.若99)i x yi =+，则2x y +=______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数21()ln 2f x x ax b x =−+在1x =处的切线平行于x 轴. （1）求a 与b 的关系；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.16.（15分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是,,,a b c ABC 的面积记为S ，已知3sin ,sin 3sin cos Sc CB C a A==. （1）求A ：（2）若BC 边上的中线长为1，AD 为角A 的平分线，求CD 的长. 17.（15分）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，1112,60AB AD AA A AB A AD BAD °===∠=∠=∠=.（1）求证：直线1AC ⊥平面11BDD B ； （2）求平面1A BD 与平面11BDD B 夹角的余弦值.18.（17分）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性（患病），小于或等于c 的人判定为阴性（未患病）．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率．（1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值97.5c =进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出22×列联表，依据小概率值0.050α=的独立性检验，能否认为误判与性别有关？（2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表： 指标 [95,100] （100,105] （105,110] （110,115] （115,120]（120,125]（125,130] 患病者频率 0.010.060.170.180.20.20.18指标 [70,75] (75,80](80,85](85,90](90,95](95,100](100,105]未患病者频率0.19 0.20.20.180.170.050.01假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． 若漏诊率和误诊率同时控制在2.5%以内（小于等于2.5%），求临界值c 的范围.（3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值0c 及0c 对应的误诊率和漏诊率．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++19.（17分）已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，O 为坐标原点，过焦点F 作一条直线0l 交C 于A ，B 两点，点M 在C 的准线l 上，且直线MF 的斜率为1,OFM − 的面积为1. （1）求抛物线C 的方程；（2）试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过焦点F 且与x 轴垂直的直线1l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，求证：直线AP 与BQ 的交点在一条定直线上.。
吉林省长市普通高中高三数学一模考试卷 文(含解析)
普通高中2018届高三质量监测（一）数学试题卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，所以.故选B.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 设为虚数单位，则（）A. B. C. 2 D. -2【答案】D【解析】. 故选D.3. 已知圆的圆心坐标为，则（）A. 8B. 16C. 12D. 13【答案】D【解析】由圆的标准方程可知圆心为，即. 故选D.4. 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】由题意知，有，所以当时前项和取最小值. 故选C.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A. 92，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】终边落在轴上的角的取值集合为.故选C.7. 右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径 .故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点作的平分线的垂线，垂足为，则（）A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，则与的夹角为__________．【答案】【解析】，所以夹角为.14. 函数的单调增区间是__________．【答案】【解析】由题意可知，有或，从而该函数的单调递增区间为.15. 已知点位于轴、、三条直线所围成的封闭区域内（包含边界），则的最大值为__________．【答案】3【解析】根据可行域，取最大值的最优解为，所以的最大值为3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.16. 在中，三个内角的对边分别为，若，且，，则面积为__________．【答案】【解析】由题意可知，得，由余弦定理，得，从而面积为.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. 已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列前n项和公式及通项公式，结合条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组得，再代入通项公式（2）先求，再根据，利用裂项相消法求和试题解析：(1) 由题可知，从而有.(2) 由(1)知，从而.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给广大学子，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中任意取出2节课进行剪辑，求剪辑时间为40分钟的概率．【答案】（1）选出的6节课中有2节点击量超过3000.（2）【解析】试题分析：（1）根据分层抽样，点击量超过3000得节数为（2）利用枚举法确定6节课中任意取出2节课所有可能为12种，其中剪辑时间为40分钟有5种，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：解：（1）根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.（2）在（Ⅰ）中选出的6节课中，设点击量在区间内的一节课为，点击量在区间内的三节课为，点击量超过3000的两节课为.从中选出两节课的方式有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中剪辑时间为40分钟的情况有，，，，，共5种，则剪辑时间为40分钟的概率为.19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）连接交于点，则由三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得（2）利用等体积法将所求体积转化为，再根据锥体体积公式求，代入即得试题解析：解：（1）连接交于点，连接. 在中，（2）.20. 已知椭圆的两个焦点为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点（点位于轴上方），若，求直线的斜率的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得，再根据勾股数求，（2）得从而，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得及，代入可解得.试题解析：(1) 由椭圆定义，有，从而.(2) 设直线，有，整理得，设，有，，由已知.21. 已知函数．（Ⅰ）若函数的图像与直线相切，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）1（2）2【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，即得，再由，解得.（2）先分离：，再利用结论，，可得，所以，即得整数的最大值为2.试题解析：（1）由题意可知，和相切，，则，即，解得.（2）现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，，即时，成立.当时，存在使，即不恒成立.因此整数的最大值为2.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与圆相交于两点，求．【答案】（1）（2）7【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程（2）利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为 .（Ⅱ）把代入，得，，设点对应的参数分别为，则,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明...............试题解析：（1）由已知，令由得.（2）要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，则恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测(一模)试题 文.doc
吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测（一模）试题 文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D. ()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,则n a = ; 1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点到平面的距离.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点.(I)若,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln xf x e a x a =-∈R .(I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l 的参数方程为12x ty t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证22;(Ⅱ)求证:1212223a b +++.长春市2021届高三质量监测()-数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =故选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,故选C. 3.C 【解想思路】令2,26x k πππ+=+则.26k x ππ=+,故选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭故选B.5.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,故选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,故选B. 8.C 由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥故选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,故选C.11.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选B. 12.A 【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ 14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+=【解题思路】设(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=则3V h S ===分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2BC B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,c a b abC c =+==-所以2sin c R R C ====(12分)19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)依据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、 abc 共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 共6 种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分) (2)由(1)可知122163|6231|1 PABSx x k =⨯⨯-⨯=++=3,43所以6331PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分)(2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e <时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭而()10,a f a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y +--=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l 的距离d =圆半径r =所以||AB ==（10分） 23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()2a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。
2020年高考模拟试卷吉林省长春十一中高考(文科)数学(3月份)模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学（3月份）模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（2，4）3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．8πD．16π4．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．485．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是（）A．﹣8B．﹣6C．﹣3D．36．已知A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“tan A＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．7．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016B．2C．D．﹣18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（）A．f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）B．f（log32）＜f（0）＜f（﹣log23）C．f（0）＜f（log32）＜f（﹣log23）D．f（log32）＜f（﹣log23）＜f（0）9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]10．设函数、的零点分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1B．x1x2＝1C．1＜x1x2＜2D．x1x2≥211．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π12．过曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．二、填空题（共4小题）13．已知＝（1，﹣2），+＝（0，2），则||＝．14．函数y＝的图象在x＝1处的切线方程是．15．对于数列{a n}，定义为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列{a n}的前n项和为S n，则＝．16．抛物线C：y2＝2x的焦点坐标是，经过点P（4，1）的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则||+||＝．三、解答题（6小题）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知a cos2+c cos2＝b （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B＝，S＝4，求b．18．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD ＝DE＝2，AB＝1．（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？20．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．21．已知函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知直线C1：，（t为参数），曲线C2：（β为参数）．（Ⅰ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；当时，求C1与C2的交点的极坐标（其中极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π））；（Ⅱ）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A＝{x|x2≤4，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，2}【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．解：由A中不等式解得：﹣2≤x≤2，即A＝[﹣2，2]，由B中不等式解得：0≤x≤16，x∈Z，即B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，则A∩B＝{0，1，2}，故选：C．2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（2，4）【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：，∴复数z所对应点的坐标是（3，1）．故选：A．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．8πD．16π【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，分别计算柱体和圆锥的体积，相减可得答案．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积S＝4π，圆柱和圆锥的高h＝2，故组合体的体积V＝（1﹣）Sh＝，故选：B．4．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48【分析】利用等比中项的性质求得a3a5＝a2a6，进而根据a3+a5＝20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．5．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值是（）A．﹣8B．﹣6C．﹣3D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z＝x+2y得，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A（1，1），B（﹣2，﹣2），C（﹣5，1），z＝x+2y，则，当直线过点B（﹣2，﹣2）时z取到最小值，所以z＝x+2y的最小值是﹣2+2×（﹣2）＝﹣6，故选：B．6．已知A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“tan A＝”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在三角形中，若sin A＝，则A＝或，若tan A＝，则A＝，则“sin A＝”是“tan A＝”的必要不充分条件，故选：B．7．执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A．2016B．2C．D．﹣1【分析】模拟执行程序框图，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律可知，s 的取值以3为周期，由k等于2015＝3*671+2时，满足条件k＜2016，s＝2，k＝2016时不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．解：模拟执行程序框图，可得s＝2，k＝0满足条件k＜2016，s＝﹣1，k＝1满足条件k＜2016，s＝，k＝2满足条件k＜2016，s＝2．k＝3满足条件k＜2016，s＝﹣1，k＝4满足条件k＜2016，s＝，k＝5…观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015＝3*671+2，有满足条件k＜2016，s＝2，k＝2016不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．故选：B．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，则（）A．f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）B．f（log32）＜f（0）＜f（﹣log23）C．f（0）＜f（log32）＜f（﹣log23）D．f（log32）＜f（﹣log23）＜f（0）【分析】由f（﹣log23）＝f（log23），且log23＞log32＞0，结合函数的单调性可判断．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）内单调递减，∵f（﹣log23）＝f（log23），且log23＞log32＞0∴f（﹣log23）＜f（log32）＜f（0）故选：A．9．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．g（x）在[]上是增函数B．g（x）的图象关于直线x＝﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，画出其图象，则答案可求．解：∵f（x）＝sinωx+cosωx＝＝，由题意知，则T＝π，∴ω＝，∴，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得g（x）＝f（x+）＝2＝2cos2x．其图象如图：由图可知，函数在[，]上是减函数，A错误；其图象的对称中心为（），B错误；函数为偶函数，C错误；，，∴当x∈[，π]时，函数g（x）的值域是[﹣2，1]，D正确．故选：D．10．设函数、的零点分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1B．x1x2＝1C．1＜x1x2＜2D．x1x2≥2【分析】根据函数、的零点分别为x1、x2，由图象知0＜x2＜1＜x1，根据对数的运算法则将进行化简可得，根据指数函数的单调性可得，利用对数函数的单调性可求得结果．解：∵函数、的零点分别为x1、x2，∴0＜x2＜1＜x1，∴＝0，＝＝＝0，而，∴，即，∴0＜x1x2＜1，故选：A．11．在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S﹣ABC外接球表面积为（）A．6πB．12πC．32πD．36π【分析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．解：取AC中点，连接BN、SN∵N为AC中点，SA＝SC∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，∵SN∩BN＝N∴AC⊥平面SBN∵SB⊂平面SBN∴AC⊥SB∵SB⊥AM且AC∩AM＝A∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC∵三棱锥S﹣ABC是正三棱锥∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长AB＝2，∴侧棱SA＝2，∴正三棱锥S﹣ABC的外接球的直径为：2R＝外接球的半径为R＝∴正三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是S＝4πR2＝12π故选：B．12．过曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2＝a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2＝2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|＝|MN|，则曲线C1的离心率为（）A．B．﹣1C．+1D．【分析】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2＝4cx因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，所以OM∥NF2，因为|OM|＝a，所以|NF2|＝2a又NF2⊥NF1，|FF2|＝2c所以|NF1|＝2b设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c＝2a，∴x＝2a﹣c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a由勾股定理y2+4a2＝4b2，即4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2）得e2﹣e﹣1＝0，∴e＝．故选：D．二、填空题：（共4小题，每小题5分）13．已知＝（1，﹣2），+＝（0，2），则||＝．【分析】首先利用向量的减法运算得到向量的坐标，然后求模．解：因为＝（1，﹣2），+＝（0，2），所以＝（﹣1，4），所以；故答案为：14．函数y＝的图象在x＝1处的切线方程是x﹣y﹣1＝0．【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．解：函数y＝的导数为y′＝，可得图象在x＝1处的切线斜率为k＝1，切点为（1，0），则图象在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．15．对于数列{a n}，定义为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列{a n}的前n项和为S n，则＝1011．【分析】依题意可得：，，两式相减可得a n＝n+1，即可求解．解：依题意可得＝2n．∴．∴2n•a n+1＝（n+1）•2n+1﹣n•2n∴a n＝n+1，∴，故答案为：1011．16．抛物线C：y2＝2x的焦点坐标是（，0），经过点P（4，1）的直线l与抛物线C 相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则||+||＝9．【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点坐标，利用抛物线的定义把|AF|+|BF|进行转化求解．解：由抛物线C：y2＝2x，得2p＝2，p＝1，则，∴抛物线的焦点F（，0）．过A作AM⊥准线，BN⊥准线，PK⊥准线，M、N、K分别为垂足，则由抛物线的定义可得|AM|+|BN|＝|AF|+|BF|．再根据P为线段AB的中点，有（|AM|+|BN|）＝|PK|＝，∴|AF|+|BF|＝9，故答案为：（），9．三、解答题（6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知a cos2+c cos2＝b （1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B＝，S＝4，求b．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sin B与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．解：（1）由正弦定理得：sin A cos2+sin C cos2＝sin B，即sin A•+sin C•＝sin B，∴sin A+sin C+sin A cos C+cos A sin C＝3sin B，即sin A+sin C+sin（A+C）＝3sin B，∵sin（A+C）＝sin B，∴sin A+sin C＝2sin B，由正弦定理化简得：a+c＝2b，∴a，b，c成等差数列；（2）∵S＝ac sin B＝ac＝4，∴ac＝16，又b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c＝2b，∴b2＝4b2﹣48，即b2＝16，解得：b＝4．18．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD ＝DE＝2，AB＝1．（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．【分析】（Ⅰ）因为AB、DE均垂直于底面，可以断定两线段平行，且AB＝DE，可设想取CE、CD的中点，这样可证得BF平行于平面ACD内的直线，从而证得BF平行于平面ACD；（Ⅱ）多面体实则是以C为顶点的四棱锥，底面ABED面积易求，可取AD的中点，与C连接后能证明为四棱锥的高，从而可求四棱锥的体积．解：（Ⅰ）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH∥DE，且FH＝DE．∴FH AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD；（Ⅱ）取AD中点G，连接CG，CG⊥AD．∵AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB又CG⊥AD，AB∩AD＝A，∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C﹣ABED的高，在等边三角形ACD中，CG＝，S ABED＝＝3．∴V C﹣ABED＝S△ABED•＝．19．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解方程可得x＝0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是＝230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）＝0.5可得a＝224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100＝25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100＝15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100＝10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100＝5，∴抽取比例为＝，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×＝5户．20．椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题设可得c2﹣c+＝0①，又点P在椭圆C上，可得⇒a2＝2②，又b2+c2＝a2＝2③，①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0（﹡），由△＝0，得m2＝2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由＝||＝1对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知，得c2﹣c+＝0①…（1分）又点P在椭圆C上，∴⇒a2＝2②b2+c2＝a2＝2③…①③联立解得，c＝1，b2＝1…故所求椭圆的方程为+y2＝1…（2）设动直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，所以△＝0，得m2＝2k2+1…假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由＝||＝1对任意的实数k恒成立．所以，解得，或，所以，存在两个定点M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…21．已知函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：．【分析】法一：（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解；（2）结合（1）的讨论，可求函数的单调区间，进而可求函数的最大值，结合题意，要证，只有证明f（x）max，即证．法一：令，即证lnt+t+1≤0在t＞0上成立，构造函数g（t）＝lnt﹣t+1，即证g（t）≤0，结合导数与函数的性质证明；法二：即证．构造函数g（a）＝ln（﹣）++1，求导后结合函数的单调性可证．【解答】解法一：（1）因为，定义域为（0，+∞），所以f′（x）＝＝．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．所以．要证，只要证，即证．令，即证lnt+t+1≤0在t＞0上成立．令g（t）＝lnt﹣t+1，即证g（t）≤0．因为，所以g（t）在（0，1）．上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．所以g（t）≤g（1）＝0，命题得证．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在单调递增，在单调递减，所以．要证，只要证，即证．因为，所以g（a）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．所以g（a）≤g（﹣1）＝0，命题得证．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知直线C1：，（t为参数），曲线C2：（β为参数）．（Ⅰ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；当时，求C1与C2的交点的极坐标（其中极径ρ≥0，极角θ∈[0，2π））；（Ⅱ）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把方程进行转换，进一步联立方程组求出交点的坐标，进一步转换为极坐标的形式．（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用整理出点P的参数方程，最后利用三角函数关系式的恒等变换转换成直角坐标方程．解：（Ⅰ）直线C1：，（t为参数），当时，直线C1的普通方程为，曲线C2：（β为参数）．整理得曲线C2的普通方程为x2+y2＝1，联立方程组，解得直线C1与曲线C2的交点坐标为A（1，0），B．所以两点的极坐标为A（1，0），B（Ⅱ）直线C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0，A点坐标为（sin2α，﹣sinαcosα），故当α变化时，点P轨迹的参数方程为（α为参数），整理得：点P轨迹的普通方程为．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出的最小值，问题转化为|x﹣1|+|x+1|≥3，解出即可．解：（1）由f（x）≤x+2有…解得0≤x≤2，∴所求解集为[0，2]…（2）…当且仅当时取等号，由不等式对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，解得。
2020年吉林省高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年吉林省高考文科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝( )A ．{－1，0，1，2}B ．{－1，0，1}C ．{－1，0，2}D ．{0，1} 2．“sin A ＝12”是“A ＝30°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.21y x =+ C.y=sinx D.y=cosx 4．已知命题p ：∀x>2，x 3－8>0，那么¬p 是( ) A ．∀x≤2，x 3－8≤0 B ．∃x>2，x 3－8≤0 C ．∀x>2，x 3－8≤0 D ．∃x≤2，x 3－8≤05. 若函数22,0()(),0x x f x g x x -⎧-<=⎨>⎩为奇函数，则f （g （2））＝（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 26. 从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A.23B.12C.25D.137. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3+B. 3+C. 2D. 2+8. 已知直线2y kx =-与抛物线24x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率等于( )A.2B.29. 已知球O 与棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ）B.18C.27D. 5410. 已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0ω>），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A. 2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B. 27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C. [,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D. 7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1(2,)2-B. 1100,32（-，）（）C. 1(0,)2D. 11(,)32-12. 若函数212[]22(xf x a x e ax ax a R =---+∈（）（）（））在1,12（）上有极大值，则a 的取值范围为 （ ）A. )eB.)C. (2,eD. (),e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学_2014年吉林省长春市高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 复数Z =1−i 的虚部是（ ） A i B −i C −1 D 12. 已知集合M ＝{x|x 2−4x +3<0}，集合N ＝{x|lg(3−x)>0}，则M ∩N ＝（ ） A {x|2<x <3} B {x|1<x <3} C {x|1<x <2} D ⌀3. 函数f(x)=(sinx +cosx)2的一条对称轴的方程是（ ） A x =π4 B x =π3 C x =π2 D x =π 4. 抛物线x 2=12y 的焦点到准线的距离是（ ）A 2B 1C 12D 145. 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）A 92+14πB 82+14πC 92+24πD 82+24π6. 等比数列{a n }中，a 3=9，前三项和为S 3=27，则公比q 的值是（ ） A .1 B −12 C 1或−12 D −1或−127. 定义某种运算S =a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子(2tan5π4)⊗lne +(lg100)⊗(13)−1的值为（ ）A 13B 11C 8D 48. 实数x ，y 满足{x ≥1y ≤a(a >1)x −y ≤0若目标函数z =x +y 取得最大值4，则实数a 的值为（ ）A 4B 3C 2D 329. 已知三条不重合的直线m ，n ，l 和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（ ） A 若m // n ，n ⊂α，则m // α B 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α C 若l ⊥n ，m ⊥n ，则l // m D 若l ⊥α，m ⊥β，且l ⊥m ，则α⊥β10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B(0, −b)，|BA →+BF →|=|BA →−BF →|，则双曲线的离心率值为（ ） A√3+12 B √5+12 C √5−12 D √2 11. 若函数y =f(x)图象上的任意一点P 的坐标(x, y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是（ ）A f(x)=e x −1B f(x)=ln(x +1)C f(x)=sinxD f(x)=tanx 12. 已知函数f(x)=1+x −x 22+x 33−x 44+⋯+x 20132013，设F(x)=f(x +4)，且函数F(x)的零点均在区间[a, b](a <b, a, b ∈Z)内，圆x 2+y 2=b −a 的面积的最小值是（ ） A π B 2π C 3π D 4π二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =2，则AB →⋅AD →________．14. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1底面是边长为√6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．15. 若圆C:x 2+y 2+2x −4y +3=0，关于直线2ax +by +6=0对称，则由点(a, b)向圆所作的切线长的最小值为________．16. 定义[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[1.5]=1，[−1.5]=−2，若f(x)=sin(x −[x])，则下列结论中：正确的序号为________ ①y =f(x)是奇函数；②y =f(x)是周期函数，周期为2π； ③y =f(x)的最小值为0，无最大值； ④y =f(x)无最小值，最大值为sin1．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知数列{a n }是公差大于0的等差数列，a 1=2，且a 2，a 3，a 4+1成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n(an +2)，求数列{b n }的前n 项和S n ．18. 已知向量m →=(cosx,−1)，向量n →=(√3sinx,−12)，函数f(x)=(m →+n →)⋅m →． （1）求f(x)的最小正周期T ；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a =1，c =√3，且f(A)恰是f(x)在[0, π2]上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积．19.如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．(1)求证：EA⊥EC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．①试证：EF // AB；②若EF=1，求三棱锥E−ADF的体积．20. 已知平面上的动点P(x, y)及两个定点A(−2, 0)，B(2, 0)，直线PA，PB的斜率分别为K1，K2且K1K2=−14（1）求动点P的轨迹C方程；（2）设直线L:y=kx+m与曲线C交于不同两点，M，N，当OM⊥ON时，求O点到直线L的距离（O为坐标原点）．21. 已知函数f(x)=(3x2−6x+6)e x−x3．（1）求函数f(x)的单调区间及极值；（2）若x1≠x2满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2<0．四、选做题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．23. 选修4−4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1, −5)，点C的极坐标为(4,π2)，若直线l经过点P，且倾斜角为π3，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．24. （选做题）已知f(x)＝|x+1|+|x−1|，不等式f(x)<4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|<|4+ab|．2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. C3. A4. D5. A6. C7. A8. C9. D10. B11. C12. A13. 614. 3√315. 416. ③17. 解：(1)设数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列，得(2+2d)2=(2+d)(3+3d)，解得d=2，或d=−1(舍去)，∴ 当d=2时，∴ a n=a1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n，即数列{a n}的通项公式a n=2n；(2)由a n=2n，得b n=2n⋅(a n+2)=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n−1n+1，∴ S n=b1+b2+b3+...+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=nn+1．18. 解：（1）∵ m→+n→=(cosx+√3sinx, −32)∴ (m→+n→)⋅m→=cosx(cosx+√3sinx)+32=12(1+cos2x)+√32sin2x+32…∴ f(x)=12(1+cos2x)+√32sin2x+32=√32sin2x+12cos2x+2=sin(2x+π6)+2…．∴ f(x)的最小正周期T=2π2=π．…（2）由（1）知：f(A)=sin(2A+π6)+2∵ A为锐角，π6<2A+π6<7π6∴ 当2A+π6=π2时，即A=π6时，f(x)有最大值3，…由余弦定理，a2=b2+c2−2bccosA，∴ 1=b2+3−2×√3×b×cosπ6，∴ b=1或b=2，…∵ △ABC的面积S=12bcsinA∴ 当b=1时，S=12×1×√3×sinπ6=√34；当当b=2时，S=12×2×√3×sinπ6=√32．…综上所述，得A=π6，b=1，S△ABC=√34或A=π6，b=2，S△ABC=√32．19. 证明：(1)∵ 平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，∴ BC⊥平面ABE，∵ AE⊂平面ABE，∴ BC⊥AE.∵ E在以AB为直径的半圆上，∴ AE⊥BE.∵ BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE，∴ AE⊥面BCE.∵ CE⊂面BCE，∴ EA⊥EC.(2)①由题知面ABE∩面CED=EF，∵ AB // CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，∴ AB // 面CED，∵ AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF∴ AB // EF；②取AB中点O，EF的中点O′，在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=12，∴ OO′=√32.∵ BC⊥面ABE，AD // BC∴ AD⊥平面ABE∴ V E−ADF=V D−AEF=13S△AEF⋅AD=13⋅12⋅EF⋅OO′⋅AD=√312.20. 解：（1）设P(x, y)，由已知得yx+2⋅yx−2=−14，整理得x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1(x ≠±2)；（2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0． 由△=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，得4k 2+1−m 2>0． x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∵ OM ⊥ON ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1⋅x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0， ∴ (1+k 2)⋅4m 2−44k 2+1+km ⋅(−8km4k 2+1)+m 2=0．∴ m 2=45(k 2+1)，满足4k 2+1−m 2>0． ∴ O 点到l 的距离为d =√1+k2，即d 2=m 21+k2=45．∴ d =2√55．21. 解：（1）由于函数f(x)=(3x 2−6x +6)e x −x 3．则f′(x)=(3x 2−6x +6+6x +6)e x −3x 2=3x 2(e x −1)， ∴ 当x >0时，f′(x)>0；当x <0时，f′(x)<0．则函数f(x)的单调增区间是(0, +∞)，减区间是(−∞, 0)． 所以f(x)在x =0处取得极小值f(0)=6，无极大值；（2）∵ f(x 1)=f(x 2)，且满足x 1≠x 2，由（1）可知x 1，x 2异号． 不妨设x 1<0<x 2，则−x 1>0．令g(x)=f(x)−f(−x)=(3x 2−6x +6)e x −x 3−[(3x 2+6x +6)e −x +x 3] =(3x 2−6x +6)e x −(3x 2+6x +6)e −x −2x 3，则g′(x)=3x 2e x +3x 2e −x −6x 2=3x 2(e x +e −x −2)≥0， 所以g(x)在R 上是增函数，又g(x 1)=f(x 1)−f(−x 1)<g(0)=0，∴ f(x 2)=f(x 1)<f(−x 1)， 又∵ f(x)在(0, +∞)上是增函数， ∴ x 2<−x 1，即x 1+x 2<0．22. （1）证明：连接DF ，DO ，则∠CDO =∠FDO ，因为BC 是的切线，且CF 是圆D 的弦， 所以∠BCE =12∠CDF ，即∠CDO =∠BCE ， 故Rt △CDO ≅Rt △BCE ，所以EB =OC =12AB ．…所以E 是AB 的中点． （2）解：连接BF ，∵ ∠BEF =∠CEB ，∠ABC =∠EFB ∴ △FEB ∽△BEC ， 得BF BE=CB CE，∵ ABCD 是边长为a 的正方形， 所以BF =√55a ．… 23. 解：（1）直线l 的参数方程 {x =1+tcos π3y =−5+tsin π3，即 {x =1+12ty =−5+√32t（t 为参数）．由题知C 点的直角坐标为(0, 4)，圆C 半径为4，∴ 圆C 方程为x 2+(y −4)2=16，将 {x =ρcosθy =ρsinθ 代入，求得圆C 极坐标方程ρ=8sinθ．（2）由题意得，直线l 的普通方程为 √3x −y −5−√3=0， 圆心CC 到l 的距离为d =|−4−5−√3|2=9+√32>4，∴ 直线l 与圆C 相离．24. f(x)＝|x +1|+|x −1|={−2x,x <−12,−1≤x ≤12x,x >1当x <−1时，由−2x <4，得−2<x <−1； 当−1≤x ≤1时，f(x)＝2<4；当x >1时，由2x <4，得1<x <2． 所以M ＝(−2, 2)．证明：当a ，b ∈M ，即−2<a ，b <2，∵ 4(a +b)2−(4+ab)2＝4(a 2+2ab +b 2)−(16+8ab +a 2b 2)＝(a 2−4)(4−b 2)<0， ∴ 4(a +b)2<(4+ab)2， ∴ 2|a +b|<|4+ab|．。
2024学年吉林省吉林市高三上学期一模数学试题
试题吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第一次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知全集}54321{,,,,U =，{1,3,4}=A ，4}{2,B =，则=)(B C A U A ．{1,3}B ．}4{2,C ．}5{1,3,D ．}54{2,,2．若复数iiz 212+=，则z 的虚部是A ．54B ．i54C ．52D ．i 523．“n m ≥”是“lnn lnm ≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知102010320310310....c ,.b ,.a ===，则A ．cb a >>B ．ca b >>C ．ab c >>D ．ba c >>5．在等比数列}{n a 中，41154321-=++++a a a a a ，413-=a ，则=++++5432111111a a a a a A ．44-B ．1164-C ．1116D ．11★保密·启用前★试题6．已知函数)()(x g ,x f 的定义域均为R ，4)01()(=-+x f x f ，2)1(=g 且2)2()(=++x g x g ，则[]=+∑=91)()(i i g i f A ．24B ．26C ．28D ．307．在直角三角形ABC 中，︒=90A ，ABC ∆的重心、外心、垂心、内心分别为4321,,,G G G G ，若AC AB AG i i i μλ+=（其中4,3,2,1=i ），当i i μλ+取最大值时，=i A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数4(2)(πω+=x sin x f 在区间) , (0π上有且仅有4个极大值点，则正实数ω的取值范围为A ．]417413(,B ．417413[,C ．]433425(,D ．)433425[,二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数=)(x f x log a 0(>a ，且)1≠a 的反函数为)(x g ，则A ．xa x g =)(0(>a ，且)1≠a 且定义域是)0(∞+，B ．若2)9(=f ，则72)3(=g C ．函数)(x f 与)(x g 的图象关于直线x y =对称D ．函数)(x f 与)(x g 的图象的交点个数可能为3210,,,10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件=A “取出的两球同色”，事件=B “第一次取出的是白球”，事件=C “第二次取出的是白球”，事件=D “取出的两球不同色”，则A ．1()2P B =B ．B 与C 互斥C ．A 与B 相互独立D ．A 与D 互为对立试题11．等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别是n S 与n T ，且52254--=n n T S n n )(*∈N n ，则A ．1333-=b a B ．9543-=b a C ．nnT S 的最大值是17D ．nnT S 最小值是712．中华人民共和国国旗是五星红旗．国旗上每个五角星之所以看上去比较美观，是因其图形中隐藏着黄金分割数．连接正五边形的所有对角线能够形成一个标准的正五角星，正五角星中每个等腰三角形都是黄金三角形．黄金三角形分两种：一种是顶角为︒36的等腰三角形，其底边与一腰的长度之比为黄金比215-；一种是顶角为︒108的等腰三角形，其一腰与底边的长度之比为黄金比215-．如图，正五角星ABCDE 中，2=AG ，记θ>=<AF AG ,，则A ．FI AG =B ．15+=⋅AF AG C ．AG 在AF 上的投影向量为AF215+D ．212024642-=++++θθθθcos cos cos cos 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．已知1>x ，则14-+x x 的最小值为.14．已知2=θtan ，则=θθcos sin .15．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15.结合上述数据估计该校学生每天读书时间的平均值为分钟，方差为．A BCD EG HIJF16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≠<--≠>-=,x x ,x f ,x x ,x e x f x10)(101)(且且若函数42)()()(e x mf x f x g --=有4个零点，则实数m 的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量)()3(cosx cosx,b ,cosx sinx,a ==．（Ⅰ）若b //a 且)0(π,x ∈，求x ；（Ⅱ）若函数21)(-⋅=b a x f ，求)(x f 的单调递增区间．18．（本小题满分12分）已知函数x ln x x f +-=2)(．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在))1(1(f ,处的切线方程；（Ⅱ）若对)0(+∞∈∀,x ，x ax x f 2)(2-≤恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，21=a ，1+=n n a S .（Ⅰ）请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列}{n a 的通项公式；②求n S ；（Ⅱ）令)1)(1(21--=++n n nn a a S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ，并证明1n <T ．20．（本小题满分12分）近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的Q 型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示：Ⅰ级品Ⅱ级品若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的产品应用于A 型手机，小于或等于c 的产品应用于B 型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（Ⅰ）求Q 型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；（Ⅱ）当临界值65=c 时，求Q 型芯片Ⅱ级品应用于A 型手机的概率；（Ⅲ）已知[50,60]∈c ，现有足够多的Q 型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产：方案一：直接将Q 型芯片Ⅰ级品应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值c 的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将Q 型芯片Ⅱ级品应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元；方案二：重新检测Q 型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．21．（本小题满分12分）已知ABC Δ的三个角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，a b sinA cosA c 2)3(-=-，2=c ．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若BC AB =，在ABC Δ的边AC 和BC 上分别取点E D ,，将CDE Δ沿线段DE折叠到平面ABE 后，顶点C 恰好落在边AB 上（设为点P ），设x CE =，当CE 取最小值时，求PBE Δ的面积．22．（本小题满分12分）已知函数x sin m e x f x +=)(．（Ⅰ）若函数)(x f 在)(0,π上单调递增，求正实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：当1=m 时，)(x f 在)(∞+-，π上存在唯一极小值点0x ，且0)(10<<-x f ．ABCEDP。