全国卷文科数学历年高考卷含答案
2022年全国甲卷文科数学高考试卷(原卷+答案)
绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合∣⎩⎭⎨⎬=−−=≤<⎧⎫A B xx 2{2,1,0,1,2},05，则=A B （ ） A. 0,1,2}{ B. −−{2,1,0} C. {0,1} D. {1,2}2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 若=+z 1i ．则+=z z |i 3|（ ）A. B. C. D.4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 205. 将函数⎝⎭ ⎪=+>⎛⎫ωωf x x 3()sin (0)π的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A.61 B.41C.31 D.216. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A. 51 B. 31 C. 52 D. 327. 函数=−−y x x x33cos )(在区间⎣⎦⎢⎥−⎡⎤22,ππ的图象大致为（ ）A. B.C. D.8. 当=x 1时，函数=+xf x a x b()ln 取得最大值−2，则='f (2)（ ） A. −1B. −21 C.21 D. 19. 在长方体−ABCD A B C D 1111中，已知B D 1与平面ABCD 和平面AA B B 11所成的角均为°30，则（ ） A. =AB AD 2B. AB 与平面AB C D 11所成的角为°30C. =AC CB 1D. B D 1与平面BB C C 11所成的角为︒4510. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为π2，侧面积分别为甲S 和乙S ，体积分别为甲V 和乙V ．若乙甲S S =2，则乙甲V V=（ ）A. B.C.D.411. 已知椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)2222的离心率为31，A A ,12分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若⋅=−BA BA 112，则C 的方程为（ ）A. +=x y 1816122B. +=x y 98122C. +=x y 32122D. +=y x 212212. 已知==−=−a b m m m 910,1011,89，则（ ） A. >>a b 0 B. >>a b 0 C. >>b a 0D. >>b a 0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量==+a m b m (,3),(1,1)．若⊥a b ，则=m ________________________．14. 设点M 在直线=−+x y 210上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为___________________．15. 记双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222的离心率为e ，写出满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”的e 的一个值________________________．16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ____________________________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：=−K n ad bc ()22，18. 记S n 为数列a n }{的前n 项和．已知+=+nn a S n n212． （1）证明：a n }{是等差数列；（2）若a a a ,,479成等比数列，求S n 的最小值．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA △EAB,△FBC,△GCD,△HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．（1） 证明：EF //平面ABCD ；（2） 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20. 已知函数=−=+f x x x g x a (),()32，曲线=y f x ()在点x f x ,11)()(处的切线也是曲线=y g x ()的切线． （1）若=−x 11，求a ；（2）求a 的取值范围．21. 设抛物线=>C y px p :2(0)2的焦点为F ，点D p ,0)(，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，=MF 3．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ND ,与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线MN AB ,的倾斜角分别为αβ,．当−αβ取得最大值时，求直线AB 的方程．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=⎧+y x t 62（t 为参数），曲线C 2的参数方程为⎩=⎪⎨⎪=−⎧+y x s 62（s 为参数）．（1）写出C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为−=θθ2cos sin 0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 均为正数，且++=a b c 43222，证明： （1）++≤a b c 23；（2）若=b c 2，则+≥a c311．参 考 答 案1.【答案】A 【解析】【详解】因为=−−A 2,1,0,1,2}{，∣⎩⎭⎨⎬=≤<⎧⎫B xx 205，所以=A B 0,1,2}{． 故选：A.2.【答案】B 【解析】【详解】讲座前中位数为>+270%70%75%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为−=100%80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为−=>95%60%35%20%,所以D 错. 故选:B.3.【答案】D 【解析】【详解】因为=+z 1i ，所以+=++−=−z z i 3i 1i 31i 22i )()(，所以+==z z i 3．故选：D.4.【答案】B 【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积=⨯⨯=+V 2221224. 故选：B.5.【答案】C 【解析】【详解】由题意知：曲线C 为⎣⎦⎝⎭⎢⎥ ⎪=++=++⎛⎫⎡⎤ωωππωππy x x 2323sin sin()，又C 关于y 轴对称，则Z +=+∈πωπππk k 232,，解得Z =+∈ωk k 32,1，又ω>0，故当=k 0时，ω的最小值为31. 故选：C.6.【答案】C 【解析】【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有3,5,3,6,4,5,4,6,5,61,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,)()()()()()()()()()()()()()()(15种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6)()()()()()(6种情况，故概率为=15562. 故选：C.7.【答案】A 【解析】【详解】令⎣⎦⎢⎥=−∈−⎡⎤−ππf x x x xx2233cos ,,)()(， 则−=−−=−−=−−−f x x x f x x x x x33cos 33cos )()()()()(，所以f x )(为奇函数，排除BD ； 又当⎝⎭⎪∈⎛⎫πx 20,时，−>>−x x x330,cos 0，所以>f x 0)(，排除C. 故选：A.8.【答案】B 【解析】【详解】因为函数f x )(定义域为+∞0,)(，所以依题可知，=-f 12)(，='f 10)(，而=−'x xf x a b2)(，所以=−−=b a b 2,0，即=−=−a b 2,2，所以=−+'x x f x 222)(，因此函数f x )(在0,1)(上递增，在+∞1,)(上递减，=x 1时取最大值，满足题意，即有=−+=−'f 222111)(．故选：B.9.【答案】D 【解析】【详解】如图所示：不妨设===AB a AD b AA c ,,1，依题以及长方体的结构特征可知，B D 1与平面ABCD 所成角为∠B DB 1，B D 1与平面AA B B 11所成角为∠DB A 1，所以==B D B Dc b sin 3011，即=b c ，==B D c 21得=a ．对于A ，=AB a ，=AD b ，=AB ，A 错误；对于B ，过B 作⊥BE AB 1于E ，易知⊥BE 平面AB C D 11，所以AB 与平面AB C D 11所成角为∠BAE ，因为∠==a BAE c 2tan ，所以∠≠BAE 30，B 错误；对于C ，==AC ，==CB 1，≠AC CB 1，C 错误；对于D ，B D 1与平面BB C C 11所成角为∠DB C 1，∠===B D c DB C CD a 22sin 11，而<∠<DB C 0901，所以145DB C ∠=．D 正确．故选：D ．10.【答案】C 【解析】【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，则乙甲===ππS r l r rl rS 22211， 所以=r r 212， 又+=πππl l r r 22212， 则=+lr r112，所以==r l r l 33,2112，所以甲圆锥的高==h l 31，乙圆锥的高==h l 32，所以乙甲===⨯ππr h V V r h l l 93313142221122. 故选：C.11.【答案】B【详解】解：因为离心率===a e c 31，解得=a b 9822，b a =9822，A A ,12分别为C 的左右顶点，则−a A a ,0,,02)((，B 为上顶点，所以B b (0,).所以BA a b BA a b =−−=−(,),(,)12，因为⋅=−BA BA 112 所以a b −+=−122，将b a =9822代入，解得==a b 9,822， 故椭圆的方程为+=x y 98122. 故选：B.12.【答案】A【详解】由=m910可得==>m lg9log 101lg109，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<=⎛⎫⎛⎫+22lg9lg111lg10lg9lg11lg99222)(，所以>lg9lg10lg10lg11，即>m lg11，所以=−>−=a m 101110110lg11． 又⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪<=<⎛⎫⎛⎫+22lg8lg10lg9lg8lg10lg80222)(，所以>lg8lg9lg9lg10，即>m log 98，所以=−<−=b m 89890log 98．综上，>>a b 0． 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−43= −0.75【详解】由题意知：⋅=++=a b m m 3(1)0，解得=−m 43.故答案为：−43.14.【答案】−++=x y (1)(1)522【详解】解：∵点M 在直线=−+x y 210上，∴设点M 为a a −(,12)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M ⊙M 上，∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ==，a a a a a −++−+=694415222，解得=a 1， ∴−M (1,1)，=R⊙M 的方程为−++=x y (1)(1)522.故答案：−++=x y (1)(1)52215.【答案】2（满足<≤e 1皆可）【详解】解：−=>>a b C a b x y :1(0,0)2222，所以C 的渐近线方程为=±ay x b ,结合渐近线的特点，只需<≤a b 02，即≤ab 422，可满足条件“直线=y x 2与C 无公共点”所以a e c ==≤=又因为>e 1，所以<≤e 1，故答案为：2（满足<≤e 1皆可）16. 已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠=︒==ADB AD CD BD 120,2,2．当ABAC取得最小值时，=BD ________．−1##− 【解析】详解】设==>CD BD m 220，则△ABD 中，=+−⋅∠=++AB BD AD BD AD ADB m m 2cos 422222， 在△ACD 中，=+−⋅∠=+−AC CD AD CD AD ADC m m 2cos 4442222，所以+++++++===−+−++−+m m AB m m m mAC m m m m m 1142423444412442121222222)()()(≥=−44， 当且仅当++=m m 113即=−m 1时，等号成立，所以当ABAC取最小值时，=m 1.−1.为【在17.【答案】（1）A ，B 两家公司长途客车准点的概率分别为1312，87（2）有 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据及公式计算K 2，再利用临界值表比较即可得结论. 小问1详解】根据表中数据，A 共有班次260次，准点班次有240次， 设A 家公司长途客车准点事件为M ，则P M ==26013()24012； B 共有班次240次，准点班次有210次， 设B 家公司长途客车准点事件为N ，则P N ==40872()210. A 家公司长途客车准点的概率为1312； B 家公司长途客车准点的概率为87.【小问2详解】++++=a b c d a c b d K ()()()()2=⨯⨯⨯≈>⨯⨯−⨯260240450503.205 2.706500(2403021020)2，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.【答案】（1）证明见解析； （2）−78． 【解析】【分析】（1）依题意可得+=+S n na n n n 222，根据⎩−≥⎨=⎧=−S S n a S n n n n ,2,111，作差即可得到−=−a a n n 11，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n }{的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为+=+nn a S n n212，即+=+S n na n n n 222①， 当≥n 2时，+−=−+−−−S n n a n n n 21211112)()()(②，①−②得，+−−−=+−−−−−−S n S n na n n a n n n n n 22122111122)()()(， 即+−=−−+−a n na n a n n n 22122111)(，即−−−=−−n a n a n n n 2121211)()()(，所以−=−a a n n 11，≥n 2且∈n N*， 所以a n }{是以1为公差的等差数列．【【小问2详解】解：由（1）可得=+a a 341，=+a a 671，=+a a 891，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以=⋅a a a 7492，即+=+⋅+a a a 6381112)()()(，解得=−a 121，所以=−a n n 13，所以⎝⎭ ⎪=−+=−=−−⎛⎫−S n n n n n n n 22222812125125625122)(， 所以，当=n 12或=n 13时=−S n 78min )(．19.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，由平面知识可知⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，依题从而可证⊥EM 平面ABCD ，⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，即可知四边形EMNF 为平行四边形，于是EF MN //，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍，即可解出． 【小问1详解】如图所示：，分别取AB BC ,的中点M N ,，连接MN ，因为△EAB,△FBC 为全等的正三角形，所以⊥⊥EM AB FN BC ,，=EM FN ，又平面⊥EAB 平面ABCD ，平面⋂EAB 平面=ABCD AB ，⊂EM 平面EAB ，所以⊥EM 平面ABCD ，同理可得⊥FN 平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知EM FN //，而=EM FN ，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以EF MN //，又⊄EF 平面ABCD ，⊂MN 平面ABCD ，所以EF //平面ABCD ．【小问2详解】如图所示：，分别取AD DC ,中点K L ,，由（1）知，EF MN //且=EF MN ，同理有，=HE KM HE KM //,，=HG KL HG KL //,，=GF LN GF LN //,，由平面知识可知，⊥BD MN ，⊥MN MK ，===KM MN NL LK ，所以该几何体的体积等于长方体−KMNL EFGH 的体积加上四棱锥−B MNFE 体积的4倍．因为====MN NL LK KM ，==EM 8sin 6043B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN的距离d ，=d=⨯⨯⨯==V 3412(．20.【答案】（1）3 （2）−+∞1,)[【解析】 【分析】（1）先由f x ()上的切点求出切线方程，设出g x ()上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出g x ()上的切点坐标，分别由f x ()和g x ()及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. 【小问1详解】由题意知，−=−−−=f (1)1(1)0，=−'f x x ()312，−=−='f (1)312，则=y f x ()在点−1,0)(处的切线方程为=+y x 2(1)，即=+y x 22，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则=='g x x ()2222，解得=x 12，则=+=+g a (1)122，解得=a 3；【小问2详解】=−'f x x ()312，则=y f x ()在点x f x ,()11)(处的切线方程为−−=−−y x x x x x 31()111132)()(，整理得=−−y x x x 3121123)(，设该切线与g x ()切于点x g x ,()22)(，='g x x ()2，则='g x x ()222，则切线方程为−+=−y x a x x x 2()2222)(，整理得=−+y x x x a 2222，则⎩−=−+⎨−=⎧x x a x x 23121232122，整理得⎝⎭ ⎪=−=−−=−−+⎛⎫a x x x x x x x 2242422219313211111123343222， 令=−−+h x x x x 424()2931432，则=−−=+−'h x x x x x x x ()9633(31)(1)32，令>'h x ()0，解得−<<x 301或>x 1， 令<'h x ()0，解得<−x1或<<x 01，则x 变化时，'h x h x (),()的变化情况如下表：则h x ()的值域为，故a 的取值范围为.21.【答案】（1）=y x 42；（2）=+AB x :4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得+MF p p2=，即可得解； （2）设点的坐标及直线=+MN x my :1，由韦达定理及斜率公式可得=k k MN AB 2，再由差角的正切公式及基本不等式可得=k AB 2，设直线=+AB x n :，结合韦达定理可解. 【小问1详解】 抛物线准线为=−x p2，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ， 此时+=MF p p2=3，所以=p 2， 所以抛物线C 的方程为=y x 42；【小问2详解】的设⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫M y N y A y B y y y y y 4444,,,,,,,123412432222，直线=+MN x my :1， 由⎩=⎨⎧=+y xx my 412可得−−=y my 4402，∆>=−y y 0,412， 由斜率公式可得−+==−y y y y k y y MN 44412122212，−+==−y y y y k y y AB 44434432234，直线=⋅+−y MD x y x :2211，代入抛物线方程可得−⋅−=−y y y x 8042121)(， ∆>=−y y 0,813，所以=y y 232，同理可得=y y 241，所以++===y y y y k k AB MN 22443412)(又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为αβ,，所以===βαk k AB MN 22tan tan ，若要使−αβ最大，则⎝⎭⎪∈⎛⎫βπ20,，设==>k k k MN AB 220，则+++−===≤=−αβαβαβk k k k21tan tan 1241tan tan tan 12)(， 当且仅当=k k 21即=k 2时，等号成立，所以当−αβ最大时，=k AB，设直线=+AB x n :，代入抛物线方程可得−−=y n 402，∆>=−==−y y n y y 0,44163412，所以=n 4，所以直线=+AB x :4.22.【答案】（1）=−≥y x y 6202)(；（2）C C ,31的交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(，C C ,32的交点坐标为⎝⎭⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线CC ,23的方程化成普通方程，联立求解即解出． 【小问1详解】因为=+x t 62，=y ，所以=+x y 622，即C 1的普通方程为=−≥y x y 6202)(．【小问2详解】因为=−=+x y s6,2，所以=−−x y 622，即C 2的普通方程为=−−≤y x y 6202)(， 由−=⇒−=θθρθρθ2cos sin 02cos sin 0，即C 3的普通方程为−=x y 20．联立⎩−=⎨=−≥⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=⎪⎨⎪=⎧y x 121或⎩=⎨⎧=y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪⎛⎫2,11，1,2)(；联立⎩−=⎨=−−≤⎧x y y x y 206202)(，解得：⎩=−⎪⎨⎪=−⎧y x 121或⎩=−⎨⎧=−y x 21，即交点坐标为⎝⎭ ⎪−−⎛⎫2,11，−−1,2)(．23.【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】【分析】（1）根据++=++a b c a b c 42222222)(，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得<+≤a c 043，即可得到+≥a c 4311，再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明：由柯西不等式有⎣⎦++++≥++⎡⎤a b c a b c 211122222222)()()(，所以++≤a b c 23，当且仅当===a b c 21时，取等号， 所以++≤a b c 23； 【小问2详解】证明：因为=b c 2，>a 0，>b 0，>c 0，由（1）得++=+≤a b c a c 243， 即<+≤a c 043，所以+≥a c 4311，由权方和不等式知+++=+≥=≥+a c a c a c a c44431112912222)(， 当且仅当=a c 412，即=a 1，=c 21时取等号，所以+≥a c311.。
2022年全国乙卷数学(文科)高考真题卷(含答案)
22.（1）
（2）
[选修4—5：不等式选讲]
23.【小问1详解】
证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
【小问2详解】
证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等
15. 或 或 或 ；
16. ①. ；②. ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（1） ；
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 _______．
14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．
15．过四点 中的三点的一个圆的方程为______．
16．若 是奇函数，则 _____， ______．
2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
（1）求E 方程；
（2）设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷1文科数学高考十年真题汇编(2010-2019)及答案详解
2020年全国卷1文科数学高考十年真题（2010-2019）及2020年高考模拟题汇编含答案详解历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10D．122．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．18304．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．6．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．7．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n}中，a1，公比q．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列，等比数列，满足，，则能取到的最小整数是（ ） A ．B ．C ．D ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．B ．C ．D ．3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321{}n a {}n b 111a b ==53a b =9a 1-023253503507100733⨯21,2,3,,n n n ⨯n n n N 315N =9N4．设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ） A ．290B ．C ．D ．5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A ．1B ．C． D ．7．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）A ．B ．{}n a n n S 11a =2(1)()nn S a n n N n *=+-∈13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭92051110111,1,2,3,5,8,13,21,34,55,()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈{}n a {}n a {}n a {}n b 2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=21039tan1b b a a +-⋅2{}n a 2*123111()23n a a a a n n n N n++++=+∈{}n b 121n n n n b a a ++={}n b n n T *()1nn N T n nλ<∈+λ1[,)4+∞1(,)4+∞3[,)8+∞3(,)8+∞()y f x =R 0x <()1f x >,x y R ∈()()()f x f y f x y =+{}n a ()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈⎪+⎝⎭()10a f =()()20162018f a f a >()()20172020f a f a >C ．D ．9．在数列中，，则的值为______． 10．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为__________． 11．已知数列满足对，都有成立，，函数，记，则数列的前项和为______． 12．已知数列的前项和为，满足，则=_____．13．等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____14．已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为_______．15．设数列的前项和为，且满足，则____．16．已知数列满足，则数列的前项和为___________.17．定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.（1）记数列的前项和为，已知.①求数列的通项公式；()()20182019f a f a >()()20162019f a f a >{}n a 1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+2019a {}n a 5432a a a +=m a na 1a =91m n+{}n a *,m n N ∀∈m n m n a a a ++=72a π=()f x =2sin 24cos 2xx +()n n y f a ={}n y 13{}n a n n S 22()n n S a n n N *=+∈n a {}n a 410a =3a 6a 10a {}n a 20S ={}n a n n S 9362S S S =+631S S +9S {}n a n n S 11222n n a a a n -++⋯+=5S ={}n a 112(1)0,4n n n a na a ++-==(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭n {}n a (,3)m m N m ∈≥{}n a {}n b {}n b {}n a {}n b {}n b {}n a {}n a n n S 21nn S =-{}n a②数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.18．在等差数列中，已知公差，是与的等比中项 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）令，数列的前项和为. {}n a {}n a ()n a n a a Q +=+∈{}n a {}n a 2d =2a 1a 4a {}n a {}n b 3122331313131nn n b b b ba =++++++++{}n b ()*4n nn a b c n N =∈{}n c n n T19．已知等差数列满足，等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，若数列满足，求{}n a 32421,7a a a =-={}n b ()35242b b b b +=+()2*22n n b b n =∈N{}n a {}n b {}n a n n S {}n c ()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N的前项和为.20．等差数列前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和．{}n c n n T{}n a n n S 432S =13221S ={}n a n a {}n b ()*1n n n b b a n N +-=∈13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T21．设是单调递增的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．（1）求及；（2）是否存在常数．使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．{}n a n S {}n a n 313S =13a +23a 35a +n a n S λ{}n S λ+λ22．对于无穷数列，，若，，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.（1）若，求的前项和；{}n a {}n b {}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-1,2,3,k ={}n b {}n a {}12max ,,,k a a a {}12min ,,,k a a a 12,,,k a a a {}n a n n S {}n b {}n a 21n a n =+{}n b n（2）证明：的“收缩数列”仍是；（3）若且，，求所有满足该条件的.答案解析1．【2015年新课标1文科07】已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝（ ）A ．B ．C ．10D ．12【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8＝4S 4，{}n b {}n b 121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=11a =22a ={}n a∴8a11＝4×（4a1），解得a1．则a109×1．故选：B．2．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n【解答】解：由题意可得a n＝1，∴S n33﹣23﹣2a n，故选：D．3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a11+a9＝2，a12+a10＝40，a15+a13＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝1830，故选：D．4．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3，∴q≠1，，整理可得，，解可得，q，则S4．故答案为：5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．【解答】解：∵a n+1＝2a n，∴，∵a1＝2，∴数列{a n}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：66．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2＝0∴∴q3+3q2﹣4＝0∴（q﹣1）（q+2）2＝0∵q≠1∴q＝﹣2故答案为：﹣27．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S99a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣a1，又由S9＝﹣a5，即S99a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1，a2，由a1+a2＝2，2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n[2+（﹣2）n+1]，则S n+1[2+（﹣2）n+2]，S n+2[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2[2+（﹣2）n+2][2+（﹣2）n+3]，[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，[4+2（﹣2）n+1]＝2×[（2+（﹣2）n+1）]，＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n（1﹣3﹣n）．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d，故a n＝2+（n﹣2）n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n，①S n，②①﹣②得S n，解得S n2．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1＝1，d＝﹣1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）•（﹣1）＝2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．从而数列{}的前n项和S n．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n}中，a1，公比q．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1，q∴a n，S n又∵S n∴S n（II）∵a n∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）∴数列{b n }的通项公式为：b n14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝﹣9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 【解答】解：（1）由a n ＝a 1+（n ﹣1）d 及a 3＝5，a 10＝﹣9得 a 1+9d ＝﹣9，a 1+2d ＝5 解得d ＝﹣2，a 1＝9，数列{a n }的通项公式为a n ＝11﹣2n （2）由（1）知S n ＝na 1d ＝10n ﹣n 2．因为S n ＝﹣（n ﹣5）2+25． 所以n ＝5时，S n 取得最大值． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=， 则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选：B ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．D ．1007【答案】D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==， 故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， 31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(12345678910111213141516171819202122232425)655N =++++++++++++++++++++++++=， …211(12345)n N n n n ∴=+++++⋯+=故299(91)9413692N +==⨯=.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】 由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C 【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...， 所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1 BC．2-D．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列326106a a a a ∴⋅⋅==6a ∴={}n b 是等差数列 1611637b b b b π∴++== 673b π∴=2106239614273tan tan tan tan tan 111333b b b a a a πππ+∴===-=-=-⋅--本题正确选项：D 7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】解：数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n ++++=+，① 当2n ≥时，21231111(1)(1)231n a a a a n n n -+++⋯+=-+--，② ①﹣②得：12n a n n=，故：22n a n =，数列{}n b 满足：22121214(1)n n n n n b a a n n +++==+221114(1)n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 则：2222211111114223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21114(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 由于*()1n n N T n nλ<∈+恒成立， 故：21114(1)1n n n λ⎛⎫-< ⎪++⎝⎭， 整理得：244n n λ+>+，因为211(1)4441n y n n +==+++在*n N ∈上单调递减， 故当1n =时，max 213448n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．()()20162018f a f a >B ．()()20172020f a f a >C ．()()20182019f a f a >D ．()()20162019f a f a >【答案】A 【解析】由()()()f x f y f x y =+，令0x =，1y =-，则()()()011f f f -=-0x <时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则()()()01f x f x f -==，即()()1f x f x =-又()1f x -> ∴当0x >时，()01f x << 令21x x >，则21>0-x x()()()1212f x f x x f x ∴-=，即()()()()22110,1f x f x x f x =-∈ ()f x ∴在R 上单调递减又()()11111011n n n n f a f f a f a a ++⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 111n na a +∴=-+ 令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列201632a a ∴==-，201711a a ==，2018212a a ==-，201932a a ==-，202011a a ==()f x 在R 上单调递减 ()()1212f f f ⎛⎫∴->-> ⎪⎝⎭()()20162018f a f a ∴>，()()20172020f a f a =，()()20182019f a f a <，()()20162019f a f a =本题正确选项：A 9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1 【解析】 因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-,各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =， 存在两项m a ，n a 使得1m n a a =，2221164m n a q a +-∴=， 整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m+=++=++ 19(10)28m n n m+=， 则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足22()n n S a n n N *=+∈， 则1122(1)(2,)n n S a n n n N *--=+-≥∈，两式相减可得11222,(2,)n n n n S S a a n n N *--+≥∈-=-， 即1222,(2,)n n n a a a n n N *-=+≥∈-整理得122,(2)n n a a n -=-≥，即12(2),(22)n n a a n -=-≥-，即12,(2)22n n a n a -=≥--， 当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-，所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列，所以112422n n n a -+-=-⨯=-，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =， 当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=， 故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】3【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥- 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值， 所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．【答案】3116【解析】 解：11222n n a a a n -+++=，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，2121221n n a a a n --++⋯+=-，又11222n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得551131211612S -==-． 故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由12(1)0n n n a na ++-=，得121n n a an n+=⨯+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是11422n n na n-+=⨯=， 所以12n n a n +=⋅，因为12(1)(2)(1)(2)n n a n n n n n +⋅=++++212221n n n n ++=-++， 所以(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和324321222222324321n n n S n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列.（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 【答案】（1）①12n n a ；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，11211a =-=，当2n ≥时，1121n n S --=-，所以()()1121212nn n n a --=---=.综上可知：12n na .②假设从数列{}n a 中抽3项,,()k l m a a a k l m <<成等差， 则2l k m a a a =+，即1112222l k m ---⨯=+， 化简得：2212l k m k --⨯=+.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以2212l k m k --⨯=+不成立. 因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽(,4)m m N m ∈≥项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比. 设0n a b +=，则b Q +∈，故可设b =（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足()()()2000n a k n a n a l ++=+++，即需满足2()()b k b b l +=+，则需满足2222k pk l k k b q=+=+. 取k q =，则2l k pq =+.此时222222()2q q q b q q q p p p ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，2222()22q q q q b b l q pq q p p pp ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.故此时2()()b k b b l +=+成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比， 所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131nn nb b b ba =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）2(31)nn b =+；（3）()()12133142n n n n n T +-⨯++=+. 【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以21111(2)(6)2a a a a +=+∴=，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）∵()31223131313131n n n b b b ba n =+++++≥++++① ∴311212313131313131n n n n n b b b b ba +++=+++++++++++② ②－①得：111231n n nn b a a +++=-=+，()11231n n b ++=+，故()()*231n n b n N =+∈。
2024全国高考真题 全国甲卷 文科数学+答案
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题第 21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
15. 已知等比数列{ }的前项和为 ，且2 = 3+1 − 3.
（1）求{ }的通项公式；
【12 题答案】2
【13 题答案】64
【14 题答案】(−2,1)
三、解答题：
（一）必考题：共 60 分．
【15 题答案】
−1
（1） = (5)
3ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
3
（2） ( ) −
2 3
2
【16 题答案】
（1）证明见详解；
6√13
（2）
13
【17 题答案】
（1）见解析
（2）见解析
【18 题答案】
）
）
C.
D.
9. 已知
cos
= 3 ，则tan ( + 4 ) =（
cos − sin
A. 2√3 + 1
B. 2√3 − 1
）
C.
√3
2
D. 1 − √3
10. 设、是两个平面，、是两条直线，且 ∩ = .下列四个命题：
.
①若//，则//或//
②若 ⊥ ，则 ⊥ , ⊥
（2）求点到的距离.
17 已知函数() = ( − 1) − + 1．
（1）求() 单调区间；
（2）若 ≤ 2时，证明：当 > 1时， f ( x ) e
18. 设椭圆:
的的
2
2
2
2023年高考全国乙卷文科数学试题(含答案详解)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1. 232i 2i ++=（ ）A. 1B. 2C.D. 52. 设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则M ∪C U N （ ） A. {}0,2,4,6,8B. {}0,1,4,6,8C. {}1,2,4,6,8D. U3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=，则B ∠=（ ）A.10π B.5π C.310π D.25π 5. 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B.16C.14D.128. 函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2−∞−B. (),3−∞−C. ()4,1−−D. ()3,0−9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）A.56B.23C.12D.1310. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A. B. 12−C.12D.11. 已知实数,x y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）A. 1+B. 4C. 1+D. 712. 设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A. ()1,1B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ−=________． 15. 若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.16. 已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________． 三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积． 20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程． （2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）答案详解文科数学（2023·全国乙卷·文·1·★）232i 2i ++=（ ）（A ）1 （B ）2 （C （D 答案：C解析：2322i 2i 212i i 212(1)i 12i ++=−+⨯⨯=−+⨯−⨯=−=.（2023·全国乙卷·文·2·★）设全集{0,1,2,4,6,8}U =，集合{0,4,6}M =，{0,1,6}N =，M ∪C U N 则（ ） （A ）{0,2,4,6,8} （B ）{0,1,4,6,8} （C ）{1,2,4,6,8} （D ）U 答案：A解析：由题意，C U N ={2,4,8}，所以M ∪C U N ={0,2,4,6,8}.（2023·全国乙卷·文·3·★） 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A.24B.26C.28D.30答案：D解析：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D −去掉长方体11ONIC LMHB −之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形， 其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=.（2023·全国乙卷·文·4·★★）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c −=，且5C π=则，在B =（ ） （A ）10π（B ）5π （C ）310π （D ）25π 答案：C解法1：所给边角等式每一项都有齐次的边，要求的是角，故用正弦定理边化角分析， 因为cos cos a B b A c −=，所以sin cos sin cos sin A B B A C −=，故sin()sin A B C −= ①， 已知C ，先将C 代入，再利用A B C π++=将①中的A 换成B 消元， 因为5C π=，所以45A B C ππ+=−=，故45A B π=−，代入①得4sin(2)sin 55B ππ−= ②， 因为45A B π+=，所以405B π<<，故4442555B πππ−<−<，结合②可得4255B ππ−=，所以310B π=.解法2：按解法1得到sin cos sin cos sin A B B A C −=后，观察发现若将右侧sin C 拆开，也能出现左边的两项，故拆开来看，sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=−+=+=+，代入sin cos sin cos sin A B B A C −=得：sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A A B B A −=+，化简得：sin cos 0B A =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故cos 0A =，结合0A π<<可得2A π=，所以43510B A ππ=−=.（2023·全国乙卷·文·5·★★） 已知e ()e 1xax x f x =−是偶函数，则=a （ ）A. 2−B. 1−C. 1D. 2答案：D解析：因为()e e 1x ax x f x =−为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x −−−⎡⎤−−⎣⎦−−=−==−−−， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x −−=，即()1e e a x x −=，则()1x a x =−，即11a =−，解得2a =.（2023·全国乙卷·文·6·★）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（ ） （A（B ）3 （C） （D ）5 答案：B解析：如图，EC ，ED 共起点，且中线、底边长均已知，可用极化恒等式求数量积， 由极化恒等式，223EC ED EF CF ⋅=−=.A BCDE F（2023·全国乙卷·文·7·★★）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（ ） A.18B. 16C.14D.12答案：C 解析：因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=， 结合对称性可得所求概率π2142π4P ⨯==.（2023·全国乙卷·文·8·★★★）函数3()2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2)−∞− （B ）(,3)−∞− （C ）(4,1)−− （D ）(3,0)− 答案：B解法1：观察发现由320x ax ++=容易分离出a ，故用全分离，先分析0x =是否为零点， 因为(0)20f =≠，所以0不是()f x 的零点；当0x ≠时，3322()0202f x x ax ax x a x x=⇔++=⇔=−−⇔=−−， 所以直线y a =与函数22(0)y x x x =−−≠的图象有3个交点，要画此函数的图象，需求导分析，令22()(0)g x x x x =−−≠，则3222222(1)2(1)(1)()2x x x x g x x x x x −−++'=−+==， 因为22131()024x x x ++=++>，所以()00g x x '>⇔<或01x <<，()01g x x '<⇔>，故()g x 在(,0)−∞上，在(0,1)上，在(1,)+∞上，又lim ()x g x →−∞=−∞，当x 分别从y 轴左、右两侧趋近于0时，()g x 分别趋于+∞，−∞，(1)3g =−，lim ()x g x →+∞=−∞，所以()g x 的大致图象如图1，由图可知要使y a =与()y g x =有3个交点，应有3a <−.解法2：如图2，三次函数有3个零点等价于两个极值异号，故也可直接求导分析极值，由题意，2()3f x x a '=+，要使()f x 有2个极值点，则()f x '有两个零点，所以120a ∆=−>，故0a <， 令()0f x '=可得x =322f =+=，3(((22f a =++=，故34(2)(2)4027a f f =+=+<，解得：3a <−.a=1图2图（2023·全国乙卷·文·9·★）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A.56B.23C.12D.13答案：A解析：甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6636⨯=种， 若甲、乙抽到的主题不同，则共有26A 30=种， 则其概率为305366=，（2023·全国乙卷·文·10·★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭（） A. B. 12−C.12D.2答案：D解析：因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 所以2πππ2362T =−=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==， 当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=−，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=−，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则5π5πsin 1232f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2023·全国乙卷·文·11·★★★）已知实数x ，y 满足224240x y x y +−−−=，则x y −的最大值是（ ）（A ）1 （B ）4 （C ）1+ （D ）7 答案：C解法1：所给等式可配方化为平方和结构，故考虑三角换元，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−=，令23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则23cos 13sin 1)4x y πθθθ−=+−−=−−，θ∈R ，所以当sin()14πθ−=−时，x y −取得最大值1+解法2：所给方程表示圆，故要求x y −的最大值，也可设其为t ，看成直线，用直线与圆的位置关系处理，22224240(2)(1)9x y x y x y +−−−=⇒−+−= ①，设t x y =−，则0x y t −−=，因为x ，y 还满足①，所以直线0x y t −−=与该圆有交点，从而圆心(2,1)到直线的距离3d =≤，解得：11t −≤≤+max ()1x y −=+（2023·全国乙卷·文·12·★★★★）设A ，B 为双曲线2219y x −=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ） A. ()1,1 B. ()1,2-C. ()1,3D. ()1,4−−答案：D解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +−+===+−+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x −−−=， 所以221222129AB y y k k x x −⋅==−. 对于选项A ： 可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =−，联立方程229819y x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得272272730x x −⨯+=，此时()2272472732880∆=−⨯−⨯⨯=−<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误； 对于选项B ：可得92,2AB k k =−=−，则95:22AB y x =−−， 联立方程22952219y x y x ⎧=−−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=， 此时()224544561445160∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误； 对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x =由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线， 所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误； 对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =−，联立方程22974419y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +−=， 此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；（2023·全国乙卷·文·13·★）已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______. 答案：94解析：由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =−，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫−−= ⎪⎝⎭.（2023·全国乙卷·文·14·★）若(0,)2πθ∈，1tan 3θ=，则sin cos θθ−=_____.答案： 解析：已知tan θ，可先求出sin θ和cos θ， 由题意，sin 1tan cos 3θθθ==，所以cos 3sin θθ=，代入22cos sin 1θθ+=可得210sin 1θ=， 又(0,)2πθ∈，所以sin θ=，cos θ=，故sin cos θθ−=（2023·全国乙卷·文·15·★★）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y −≤−⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =−的最大值为______.答案：8解析：作出可行域如下图所示：z =2x −y ，移项得y =2x −z ， 联立有3129x y x y −=−⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距−z 最小，则z 最大，代入得z =8，（2023·全国乙卷·文·16·★★★）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，ABC ∆是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =_____. 答案：2解析：有线面垂直，且ABC ∆是等边三角形，属外接球的圆柱模型，核心方程是222()2hr R +=，如图，圆柱的高h SA =，底面半径r 即为ABC ∆的外接圆半径，所以233r ==， 由题意，球的半径2R =，因为222()2hr R +=，所以23()42h +=，解得：2h =，故2SA =.（2023·全国乙卷·文·17·★★★）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：记()1,2,,10i i i z x y i =−=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ． （1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 答案：（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 解析：（1）545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =−=−=，i i i z x y =− 的值分别为: 9,6,8,8,15,11,19,18,20,12−，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s −+−+−+−−+−++−+−+−+−==（2）由（1）知:11z =，==z ≥ 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.（2023·全国乙卷·文·18·★★★）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知211a =，1040S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .解：（1）（已知条件都容易代公式，故直接用公式翻译，求出1a 和d ） 设{}n a 的公差为d ，则2111a a d =+= ①， 101104540S a d =+= ②，联立①②解得：113a =，2d =−，所以1(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+−=+−⨯−=−.（2）（通项含绝对值，要求和，先去绝对值，观察发现{}n a 前7项为正，从第8项起为负，故据此讨论） 当7n ≤时，0n a >，所以12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 2112()(13152)1422n n n a a n n a a a n n ++−=++⋅⋅⋅+===−； 当8n ≥时，12n n T a a a =++⋅⋅⋅+ 12789n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−−−⋅⋅⋅− 127122()()n a a a a a a =++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+ 27(131)(13152)2149822n n n n ⨯++−=⨯−=−+； 综上所述，2214,71498,8n n n n T n n n ⎧−≤⎪=⎨−+≥⎪⎩.（2023·全国乙卷·文·19·★★★）如图，在三棱锥−P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥−P ABC 的体积．答案：（1）证明见解析 （2解析：（1）连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=−+，12AO BA BC =−+，BF AO ⊥， 则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=−+⋅−+=−+=−+=， 解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ， 因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===2PO ===， 因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ， 所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O =，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥−P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM −=⋅=⨯=△.（2023·全国乙卷·文·20·★）已知函数1()()ln(1)f x a x x=++.（1）当1a =−时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围. 答案：（1）()ln 2ln 20x y +−=； （2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 解析：（1）当1a =−时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=−+>−⎪⎝⎭， 则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=−⨯++−⨯ ⎪+⎝⎭， 据此可得()()10,1ln 2f f '==−，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x −=−−，即()ln 2ln 20x y +−=. （2）由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'−+++⨯>− ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立. 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫−+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax −++++≥， 令()()()2=1ln 1g x ax x x x +−++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立， 则()()2ln 1g x ax x '=−+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==−+，则()121h x a x −'=+， 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增， 即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意. 当102a <<时，由()1201h x a x =−=+'可得1=12x a−， 当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减， 由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2023·全国乙卷·文·21·★★★）已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A −在C 上．（1）求C 的方程； （2）过点()2,3−的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．答案：（1）22194y x += （2）证明见详解解析：（1）由题意可得22223b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.（2）由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+−++=−>，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=−=++， 因为()2,0A −，则直线()11:22y AP y x x =++， 令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++−++++===++−+++，所以线段PQ 的中点是定点()0,3.【选修4-4】（10分）（2023·全国乙卷·文·22·★★★）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围． 答案：（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +−=∈∈ （2）()(),022,−∞+∞解析：（1）因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=， 整理得()2211x y +−=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======−ρθθθθρθθθ， 且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=−∈θθ， 故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +−=∈∈.（2）因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m −+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <， 即实数m 的取值范围()(),022,−∞+∞.【选修4-5】（10分）（2023·全国乙卷·文·23·★★）已知()22f x x x =+− （1）求不等式()6x f x ≤−的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+−≤⎩所确定的平面区域的面积．答案：（1）[2,2]−； （2）8.解析：（1）依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x −>⎧⎪=+≤≤⎨⎪−+<⎩，不等式()6f x x ≤−化为：2326x x x >⎧⎨−≤−⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩或0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，解2326x x x >⎧⎨−≤−⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤−⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨−+≤−⎩，得20x −≤<，因此22x −≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]−（2）作出不等式组()60f x yx y ≤⎧⎨+−≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y xx y=−+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A−，由26y xx y=+⎧⎨+=⎩, 解得(2,4)C，又(0,2),(0,6)B D，所以ABC的面积11|||62||2(2)|822ABC C AS BD x x=⨯−=−⨯−−=.。
(完整word版)高考数学试卷全国卷1文科真题附答案解析
2019 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．（ 5 分）设 z 3 i，则 | z | ( )1 2iA ．2B ． 3 C． 2 D． 12．（ 5 分）已知会合U { 1 ，2，3，4， 5，6， 7} ， A {2 ，3，4， 5} ， B {2 ，3，6， 7} ，则 B I e U A ( )A ． {1 ， 6}B ． {1 ， 7} C． {6 ， 7} D． {1 ， 6， 7} 3．（ 5 分）已知 a log2 0.2 ， b 2 ， c ，则 ( )A ． a b cB ． a c b C． c a b D． b c a4．（ 5 分）古希腊期间，人们以为最佳人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 1 5 12 (20.618 ，称为黄金切割比率），有名的“断臂维纳斯”即是这样．别的，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1 ．若某人知足上述两个黄金分2割比率，且腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 ()A ． 165cmB ． 175cm C． 185cm D． 190cm 5．（ 5 分）函数 f ( x) sin x x 的图象在 [ ，] 的大概为 ( )cos x x2A．B．C．D ．6．（ 5 分）某学校为认识1000 名重生的身体素质，将这些学生编号1， 2，，1000，从这些重生顶用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测试．若46 号学生被抽到，则下边4 名学生中被抽到的是( )A ．8 号学生B ．200 号学生C． 616 号学生D． 815 号学生7．（ 5 分） tan 255 ( )A ． 2 3B ． 23 C． 23 D． 2 38．（ 5 分）已知非零向量r r r r r r r r ra ，b 知足 | a | 2| b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为 ()A ．B ．3 C．2D．56 3 69．（ 5 分）如图是求1的程序框图，图中空白框中应填入( ) 121221 1 1 1A ． AB ． A 2 C． A D． A 12 A A 1 2 A 2 Ax 2y2130 C 10．（ 5 分）双曲线C :a2 b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为 ( )A ． 2sin40B ． 2cos401D．1C．cos50sin50bbsin B 4c sin C ，11．（ 5 分） ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，，c，已知 a sin Acos A 1 ，则 b ( )4 cA ．6B ．5 C． 4 D． 312．（ 5 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0) ， F2 (1,0) ，过 F2的直线与 C 交于A，B两点．若| AF2 | 2 | F2 B | ， | AB | | BF1 | ，则 C 的方程为 ( )A． x2 y2 1 B． x2 y2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y2 12 3 2 4 3 5 4二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共20 分。
历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版.doc
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P AB P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
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三产业收建设前经济收入构成比其它收入种植收入建设后经济收入构成养植收入2018年全国卷1文科数学高考试卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A ∩B=（ ）A.{0,2} B={1,2} C ={0} D={-2,-1,0,1,2}2.设Z=11ii-++2i ，则z =（ ） A .0 B . 12C .1 D.3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则如下结论不正确的是（ ） A.新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其它收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养植收入增加了一倍D. 新农村建设后，养植收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.4.已知椭圆C: 22214x y a +=的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）B A.13B.12C.2D.35.已知圆柱的上下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.B. 12πC.D. 10π6.设函数()()321f x x a x ax=+-+，若()f x为奇函数，则()y f x=在点（0，0）处的切线方程为（）A . 2y x=- B. y x=- C. 2y x= D. y x=7.在⊿ABC中，AD为BC边上中线。
E为AD的中点，则EB=( )A.3144AB AC- B.1344AB AC-C.3144AB AC+ D.1344AB AC+8.已知函数()222cos sin2f x x x=-+，则A. ()f x的最小正周期为π，最大值为3 B. ()f x的最小正周期为π，最大值为4 C. ()f x的最小正周期为2π，最大值为3 D. ()f x的最小正周期为2π，最大值为49.某圆柱的高为2,底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为点B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A.B.C. 3D. 210.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,与平面BB1C1C所成的角为300，则长方体的体积为（）A. 8B.C.D. 11.已知角∂的项点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ）B （2，b ），且cos2∂=23,则a b -=（ ） A.15 B.C.D. 1 12.设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A. ](,1-∞-B. ()0,+∞C. (1,0)-D. (,0)-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数()()22log f x x a =+，若()3f =1，则a=___________.14.若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为__________.15.直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则AB =_________16.⊿ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,2228b c a +-=,则⊿ABC 的面积为_________.三 解答题:共70分.解答题应写出文字说明证明过程或不演算步骤.17～21题为必做题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.17.（12分）已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n=。
（1）求123,,b b b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列{}n a 的通项公式。
18.如图,在平行四边形ABCM 中,AB=AC=3,∠ACM=900,以AC 为折痕将 ⊿ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA.MABPQDC(1) 证明:平面ACD ⊥平面ABC;(2) Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且 BP=DQ=23DA,求三棱锥Q —ABP 的体积.19.(12分)某家庭记录了末使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：M 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：末使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用节水龙头50天的日用水量频数分布表（1） 在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.0.10.30.20.40.50.6 日用水量/m 30.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.4 3.2 3.0 2.8 2.4 2.2 2.6 频率/（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）20.（12分）设抛物线C:y 2=2x ，点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点，（1） 当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程： （2） 求证;∠ABM=∠ABN21.(12分)已知函数f(x)=ae x-lnx-1(1)设x=2是函数f(x)的级值点，求a 的值 ，并求f(x)的单调区间； （2）当a ≥e -1时，f(x) ≥0.（二）选考题：共10分。
请考生在第22题、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（共10分）在直角坐标系xoy中，曲线 C1的方程为y=k︱x︱+2，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+2pcosθ-3=0.（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.23.【选修4-4：不等式选讲】（共10分已知f(x)= ︱x+1︱-︱ax-1︱.(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式, f(x)>x成立，求a的取值范围。
答案：1.A2. C 因为 z=-i+2i=i，所以︱z︱=13. A 由题意可知，建设后经济收入增长了一倍。
设建设前总收入为100，则建设后总收入为200.A.种植收入：建设前为60，建设后为74，所以A错；B.其他收入：建设前为4，建设后为10，所以B正确；C.养殖收入：建设前为30，建设后为60，所以C正确；D.建设后，养殖收入与第三产业收入总和占总收入的58℅>50℅,所以D正确.。
4. C. 由题意可知，c=2, b=2.所以a=e=25. B. 因为截面为正方形,可知h=，所以s=4π+8π=12π.6. D. 因为函数为奇函数，所以可得a=0，f(x)=x 3+x, ()1f x =231x +,k=f(0)=1所以切线方程为y=x.7. A. 由题意得，EB =AB -AE =AB -12AD =AB -14()AB AC +=3144AB AC -. 8. B. 因为f(x)=2cos 2x-sin 2x+2=3 cos 2x+1=35cos 222x +.所以T=π，()min 4f x =.9. B. 由题意得,从M 到N 的最短路径为侧面展开矩形对角线的四分之一,高为2,矩形底边长的四分之一为4,=10. C. 连接BC1,故∠BC 1A=300, AC 1=4, AB=2, 由BC 1=1=所以体积V=2×2×11. B. 因为,所以22cos 22cos 13∂=∂-=,2cos ∂=56,cos ∂=,sin ∂=tan ∂=,因为点AB 为角∂终边上两点,所以tan 12a b -∂=-,a b -=.12.D. 分类讨论;当x ≥0,不合题意，当-1≤x<0时，22x ->1,得x<0,所以-1≤x<0，当x<-1时，1222x x ---<，解得x<1，所以x<-1，综上得x<0.13. 由f(3)=1得：9+a=2，a=-7.14.由可行域可知交点坐标为A(-3,-4) ,B(2,0) ,C(-1,0),由几何意义得Z 在B 处取得最在值，z=6.15. 圆的圆心为（0，1），半径为2，所以弦长为 16.由bsinC+csinB=4asinBsinC 得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,所以sinA=12,又2228b c a +-=，所以82bc =1217. (1).∵11a =, 由递推公式()121n n na n a +=+∴234,12a a ==，∴111b a ==，232,4b b ==.(2) ∵()121n n na n a +=+ ∴121n n a an n+=+，∴数列{}n b 是首项为1公比为2为等比数列（3）∵12n n b -=，∴12n n a n -=.18. (1).证明:平面四边形ABCM 中∵CM ⊥AC,AB ∥CM ∴AB ⊥AC. 又∵AB ⊥DA,DA ∩AC=A,∴AB ⊥平面ACD,又AB ⊂平面 ABC, ∴平面ACD ⊥平面 ABC.(2)由(1)知; DC ⊥AB, 又DC ⊥CA,AB ∩CA=A, ∴DC ⊥平面 ABC,则D ABC V -=1932ABC SDC ⋅=∵DQ=23DA ,AQ=13DA ,∴1332Q ABC D ABC V V --==,∴213Q ABP Q ABC V V --==. 19. (1).如图：（2）()15130.350.3850p x ++<==（3） 末使用节水龙头的日均用水量为/m 30.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.4 3.2 3.0 2.8 2.4 2.2 2.6 频率/()0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.65550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=0.48使用节水龙头的日均用水量为()0.0510.1550.25130.35100.45160.55550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=0.35∴节水量为（0.48-0.35）×365=47.45 m 320.（1）∵点M(2,2), B(-2,0), ∴2012(2)2BMk -==--, ∴BM 的方程为x-2y+2=0.（2）当K 不存在时：，12Bn k =-，∴∠ABM=∠ABN 。