2021年全国高考文数真题试卷(全国乙卷)(Word版+答案+解析)
2021年高考文科数学真题试卷(全国乙卷)含答案
2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）及答案(时间：120分钟 总分：150分）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u （MUN ）=（ ）A ．{5}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{1,2,3,4}2．设iz=4+3i ，则z 等于（ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i3．已知命题p ： ∃ x∈R ，sinx ＜1；命题q ： ∀ x∈R ， e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p ∧ qB ．¬ p ∧ qC ．p ∧¬ qD ．¬ (pVq)4．函数f （x ）=sin x 3 +cos x3 的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π 和 √2B ．3π 和2C ．6π 和 √2D ．6π 和25．若x ，y 满足约束条件 {x +y ≥4x −y ≤2y ≤3 ,则z=3x+y 的最小值为（ ）A ．18B ．10C ．6D ．46．cos 2π12−cos 25π12= （ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√327．在区间(0, 12 )随机取1个数，则取到的数小于 13的概率为（ ）A ．34B ．23C ．13D ．168．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．y =x 2+2x +4B ．y =|sinx|+4|sinx|C．y=2x+22−x D．y=lnx+4lnx9．设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A．f(x−1)−1B．f(x−1)+1C．f(x+1)−1D．f(x+1)+1 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A．π2B．π3C．π4D．π611．设B是椭圆C：x 25+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．52B．√6C．√5D．2 12．设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若a⃗//b⃗，则λ=.14．双曲线x 24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为.15．记∈ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=.16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文全国乙卷含解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集 1,2,3,4,5U ，集合 1,2,3,4M N ，则()U M N ð（）A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得： 1,2,3,4M N U ，则 5U M N ð.故选：A.2.设i 43i z ，则z （）A.–34iB.34iC.34iD.34i【答案】C 【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得： 2434343341i i i i z i i i .故选：C.3.已知命题:,sin 1p x x R ﹔命题:q x R ﹐||e 1x ，则下列命题中为真命题的是（）A.p qB.p qC.p qD.p q 【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin 0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e 在R 上为增函数，0x ，所以||01x e e ，所以命题q 为真命题；所以p q 为真命题，p q 、p q 、 p q 为假命题.故选：A．4.函数()sin cos 33x xf x 的最小正周期和最大值分别是（）A.3πB.3π和2C.6πD.6π和2【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式化简 f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22()sincos sin co 3s 3323234x x x x f x x，所以 f x 的最小正周期为2613T pp==.故选：C．5.若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y则3z x y 的最小值为（）A.18B.10C.6D.4【答案】C 【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3y x z ，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43x y y 可得点 1,3A ,转换目标函数3z x y 为3y x z ，上下平移直线3y x z ，数形结合可得当直线过点A 时,z 取最小值，此时min 3136z .故选：C.6.22π5πcoscos 1212（）A.12B.33C.22D.32【答案】D 【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212cos26 .故选：D.7.在区间10,2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设 “区间10,2 随机取1个数”，对应集合为：102x x，区间长度为12，A “取到的数小于13”，对应集合为：103x x，区间长度为13，所以 10231302l A P A l．故选：B．8.下列函数中最小值为4的是（）A.224y x x B.4sin sin y x xC.222x x yD.4ln ln y x x【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A， 2224133y x x x ，当且仅当1x 时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B，因为0sin 1x ，4sin 4sin y x x，当且仅当sin 2x 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C，因为函数定义域为R ，而20x ，2422242x x x x y ，当且仅当22x ，即1x 时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D，4ln ln y x x，函数定义域为 0,11, ，而ln x R 且ln 0x ，如当ln 1x ，5y ，D 不符合题意．故选：C．9.设函数1()1xf x x，则下列函数中为奇函数的是（）A. 11f xB. 11f x C. 11f x D. 11f x 【答案】B 【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x，对于A， 2112f x x不是奇函数；对于B， 211f x x是奇函数；对于C， 21122f x x，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D， 2112f x x ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B10.在正方体1111ABCD A B C D 中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D 【解析】【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC 或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB 平面1111D C B A ，所以11BB PC ，又111PC B D ，1111BB B D B ，所以1PC 平面1P B B ，所以1PC PB ，设正方体棱长为2，则111112BC PC D B，1111sin 2PC PBC BC，所以16PBC .故选：D11.设B 是椭圆22:15x C y 的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（）A.52B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】设点 00,P x y ，由依题意可知， 0,1B ，220015x y ，再根据两点间的距离公式得到2PB ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点 00,P x y ，因为 0,1B ，220015x y ，所以222222200000001251511426444PB x y y y y y y，而011y ，所以当014y 时，PB 的最大值为52．故选：A．12.设0a ，若x a 为函数 2f x a x a x b 的极大值点，则（）A.a bB.a bC.2ab a D.2ab a 【答案】D 【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b ，则 3f x a x a 为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.f x 有x a 和x b 两个不同零点，且在x a 左右附近是不变号，在x b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点， 在x a 左右附近都是小于零的.当0a 时，由x b ， 0f x ，画出 f x 的图象如下图所示：由图可知b a ，0a ，故2ab a .当0a 时，由x b 时， 0f x ，画出 f x 的图象如下图所示：由图可知b a ，0a ，故2ab a .综上所述，2ab a 成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量 2,5,,4a b ，若//a b r r，则 _________．【答案】85【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450 ，解方程可得：85.故答案为：85.14.双曲线22145x y 的右焦点到直线280x y 的距离为________．【答案】【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y.15.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B ，223a c ac ，则b ________．【答案】【解析】【分析】由三角形面积公式可得4ac ，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin 24ABC S ac B ac ，所以224,12ac a c ，所以22212cos 122482b ac ac B ，解得b （负值舍去）.故答案为：16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．【答案】③④（答案不唯一）【解析】【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A B C D 中，12,1AB BC BB ，,E F 分别为棱11,BC BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF .故答案为：③④.三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s ，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s .（2）依题意，0.320.15y x ， ，y x ，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，PD 底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ．（1）证明：平面PAM 平面PBD ；（2）若1PD DC ，求四棱锥P ABCD 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）由PD 底面ABCD 可得PD AM ，又PB AM ，由线面垂直的判定定理可得AM 平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM 平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD 的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD 底面ABCD ，AM 平面ABCD ，所以PD AM ，又PB AM ，PB PD P ∩，所以AM 平面PBD ，而AM 平面PAM ，所以平面PAM 平面PBD ．（2）由（1）可知，AM 平面PBD ，所以AM BD ，从而~DAB ABM ，设BM x ，2AD x ，则BM AB AB AD ，即221x ，解得22x ，所以2AD ．因为PD 底面ABCD ，故四棱锥P ABCD 的体积为 1212133V ．19.设 n a 是首项为1的等比数列，数列 n b 满足3n n na b ．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求 n a 和 n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为 n a 和 n b 的前n 项和．证明：2n n S T．【答案】（1）11(3n n a ，3n n n b ；（2）证明见解析.【解析】【分析】利用等差数列的性质及1a 得到29610q q ，解方程即可；利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】因为 n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a ，所以211169a q a a q ，即29610q q ，解得13q ，所以11()3n n a ，所以33n n n na n b .（2）证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S，211213333n n n n n T ，①231112133333n n n n n T ，②① ②得23121111333333n n n n T 1111(1)1133(11323313n n n n n n ，所以31(14323n n nn T ，所以2n n S T 3131(1)(1043234323n n n nn n ，所以2n n S T .20.已知抛物线2:2(0)C y px p 的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF ，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x ；（2）最大值为13.【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设 00,Q x y ，由平面向量的知识可得 00109,10P x y ，进而可得20025910y x ，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p 的焦点,02p F ，准线方程为2p x ，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p，所以该抛物线的方程为24y x ；（2）设 00,Q x y ，则 00999,9PQ QF x y ，所以 00109,10P x y ，由P 在抛物线上可得 200104109y x ，即20025910y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ，当00y 时，0OQ k ；当00y 时，0010925OQ k y y ，当00y时，因为0092530y y ，此时103OQ k ，当且仅当00925y y ，即035y 时，等号成立；当00y 时，0OQ k ；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.21.已知函数32()1f x x x ax ．（1）讨论 f x 的单调性；（2）求曲线 y f x 过坐标原点的切线与曲线 y f x 的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)和 11a ，.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得： 232f x x x a ，导函数的判别式412a ，当14120,3a a 时， 0,f x f x 在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,32x x ，当1,3x时，单调递增；当11,33x 时，单调递减；当1,3x 时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在1,3，1,3上单调递增，在113113,33上单调递减.(2)由题意可得： 3200001f x x x ax ， 200032f x x x a ，则切线方程为： 322000000132y x x ax x x a x x ，切线过坐标原点，则：32200000001320x x ax x x a x ,整理可得：3200210x x ，即：20001210x x x ，解得：，则， 0'()11f x f a切线方程为： 1y a x ,与联立得321(1)x x ax a x ，化简得3210x x x ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，1x 是321x x x 的一个因式，∴该方程可以分解因式为2110,x x 解得121,1x x , 11f a ，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 11a ，.（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为 2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点 4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1）2cos 1sin x y，（ 为参数）；（2）2cos()43 2cos(43 【解析】【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y ，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y，（ 为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x ，即140kx y k ，由圆心到直线的距离等于11 ，解得3k 330y 330y ，将cos x ，sin y 代入化简得2cos()43 2cos()43[选修4—5:不等式选讲]23.已知函数 3f x x a x ．（1）当1a 时，求不等式 6f x 的解集;（2）若 f x a ，求a 的取值范围．【答案】（1） ,42, .（2）3,2.【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简 f x a ，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a 时， 13f x x x ，13x x 表示数轴上的点到1和3 的距离之和，则 6f x 表示数轴上的点到1和3 的距离之和不小于6，当4x 或2x 时所对应的数轴上的点到13 ，所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到13 ，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x 或2x ，所以 6f x 的解集为 ,42, .（2）依题意 f x a ，即3a x a x 恒成立，333x a x x a a x ，当且仅当 30a x x 时取等号， 3min f x a ,故3a a ，所以3a a 或3a a ，解得32a .所以a 的取值范围是3,2 .。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（）A．{5}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3，4} 2．设iz＝4+3i，则z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．已知命题p：∃x∈R，sin x＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）4．函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和B．3π和2C．6π和D．6π和25．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18B．10C．6D．46．cos2﹣cos2＝（）A．B．C．D．7．在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A．B．C．D．8．下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4B．y＝|sin x|+C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+9．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1B．f（x﹣1）+1C．f（x+1）﹣1D．f（x+1）+1 10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A．B．C．D．11．设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．B．C．D．212．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2D．ab＞a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．14．双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分。
2021年全国乙卷文科数学真题与答案解析(含一题多解及特殊解法)
综上， .
故选：D
解法2：因为 ，
令 ，得函数f(x)的两个极值点为a, .
要使a为极大值点，当a>0时， ，即a-b<0,有a(a-b)<0,即 ;
当a<0时， ，即a-b>0，有a(a-b)<0,即 ;故答案为D
解法3.利用二阶导数求解。
因为 ，所以因为 .
因为x=a为函数的极大值点，所以 （导函数左增右减），由导数的几何意义，知 ，
即 ，所以
13.答案：
分析：本题主要考查两向量平行的条件。
解析：由已知， ，则 ，故 .
14.答案：
分析：本题主要考查双曲线的几何性质和点到直线的距离公式。
解析：由题意得， ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以双曲线的右焦点为 ，所以点 到直线 的距离为： .故本题正确答案为 .
解析：本题主要考查随机抽样. .故本题正确答案为B.
8.答案：C
分析：本题主要考查二次函数的最值，基本不等式及其使用条件。
解析：本题主要考查函数的概念与性质和均值不等式.
A项， ，则 .故A项不符合题意.
B项， ， ， ，所以 ，当且仅当 时等号成立，而 ，所以等号不成立，所以 .故B项不符合题意.
故本题正确答案为C.
解法2：作出约束条件 下的可行域，求出可行域三角形的三个顶点坐标，代入目标函数，比较可得， 时，z取得最小值，此时 .
6.答案：D
分析：本题主要考查三角倍角公式公式、诱导公式及其变形和运算。
解法1：原式 .故本题正确答案为D.
解法2：原式=
7.答案：B
分析：本题主要考查几何概型概率计算。
2021年全国高考乙卷文数真题试卷(含答案)
A
12.设 ，若 为函数 的极大值点，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量 ，若 ，则 _________．
参考答案：
14.双曲线 右焦点到直线 的距离为________．
参考答案：
15.记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ， ，则 ________．
参考答案：
（1） ；
（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
参考答案：
【分析】（1）由 底面 可得 ，又 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面 平面 ；
参考答案：
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
参考答案：
③④
三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集 ，集合 ，则 （）
A. B. C. D.
参考答案：
A
2.设 ，则 （）
A. B. C. D.
参考答案：
C
3.已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则下列命题中为真命题的是（）
2021年高等学校招生高考文科数学全国乙卷
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国乙卷）（文科）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡.上对应题目洗面的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,2}，N ={3,4}，则∁U (M ∪N )=( ) A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4}2. 设iz =4+3i ，则z 等于( )A.−3−4iB.−3+4iC.3−4iD.3+4i3. 已知命题p:∃x ∈R ，sinx <1，命题q:∀x ∈R ，e |x|≥1，则下列命题中为真命题的是( ) A.p ∧qB.¬p ∧qC.p ∧¬qD.¬(p ∨q )4. 函数f (x )=sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是( ) A.3π和√2B.3π和2C.6π和√2D.6π和25. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥4，x −y ≤2，y ≤3，则z =3x +y 的最小值为( )A.18B.10C.6D.46. cos 2π12−cos 25π12=( ) A.12B.√33C.√22D.√327. 在区间(0,12)随机取1个数，则取到的数小于13的概率为( ) A.34B.23C.13D.168. 下列函数中最小值为4的是( )A.y =x 2+2x +4B.y =|sinx|+4|sinx| C.y =2x +22−xD.y =lnx +4lnx9. 设函数f (x )=1−x1+x ，则下列函数中为奇函数的是( ) A.f (x −1)−1 B.f (x −1)+1 C.f (x +1)−1 D.f (x +1)+110. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π611. 设B 是椭圆C:x 25+y 2=1的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )A.52 B.√6 C.√5 D.2 12. 设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则( )A.a <bB.a >bC.ab <a 2D.ab >a 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知向量a →=(2,5),b →=(λ,4)，若a →//b →，则λ=________． 14. 双曲线x 24−y 25=1的右焦点到直线x +2y −8=0的距离为________.15. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为√3，B =60∘，a 2+c 2=3ac ，则b =________．16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题。
2021年全国乙卷文科数学含答案
⎨ ⎩绝密★启用前2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答 案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合 M = {1, 2}, N = {3, 4}，则 ðU (M ⋃ N) = （ ）A. {5} {1, 2, 3, 4}B. {1, 2}C. {3, 4}D.2. 设 i z = 4 + 3i ，则z = （ ）A. –3 - 4iB. -3 + 4iC. 3 - 4iD. 3 + 4i3. 已知命题 p : ∃x ∈ R ,sin x < 1 ﹔命题 q : ∀x ∈ R ﹐ e |x | ≥ 1，则下列命题中为真命题的是（ ）A. p ∧ q⌝( p ∨ q )B. ⌝p ∧ qC. p ∧ ⌝qD.4. 函数 f (x ) = sin x + cos x的最小正周期和最大值分别是（）33A. 3πB. 3π 和 2C. 6π 和D. 6π 和2⎧x + y ≥ 4,5. 若 x , y 满足约束条件 ⎪x - y ≤ 2, 则 z = 3x + y 的最小值为（ ）⎪ y ≤ 3,A. 18B. 10C. 6D. 4cos 22π5π6. - cos =（ ）12 121 A.B.C.D. 23 22⎛ 7. 在区间 0,⎝3 A.41 ⎤1 2 ⎦⎥ 随机取 1 个数，则取到的数小于 3 2B.3的概率为（ ）1 1 C.D.368. 下列函数中最小值为 4 的是（ ）y = sin x +4A. y = x 2+ 2x + 4B.sin xC. y = 2x + 22-xD. y = ln x +4ln x9. 设函数 f (x ) =1- x1+ x，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. f ( x -1) -1B. f ( x -1) +1C. f ( x +1) -1D.f ( x +1) +110. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，P 为 B 1D 1 的中点，则直线 PB 与AD 1 所成的角为（ ）π π π π A.B.C.D.2346x 2 11. 设 B 是椭圆 C :+ y 2 = 1 的上顶点，点P 在 C 上，则 PB 的最大值为（ ）55 A.B.2C.D. 2 12. 设 a ≠ 0 ，若x = a 为函数 f ( x ) = a ( x - a )2( x - b ) 的极大值点，则（）A. a < bB. a > bC. ab < a2D. ab > a2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．r r13. 已知向量 a = (2, 5), b = (λ, 4)，若 a //b ，则λ = ．14. 双曲线 x y 2- = 1的右焦点到直线x + 2 y - 8 = 0 的距离为 ．4521215. 记 V ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，面积为 B = 60︒ ，a 2 + c 2 = 3ac ， 则 b =．16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视 图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题．共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作 答．（一）必考题：共 60 分．17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一 台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为 S 2和S 2 ．（1）求 x ， y ，S 2 ， S 2； 1 2（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y - x ≥认为有显著提高）．18. 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面ABCD ，M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM ．（1）证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ；（2）若 PD = DC = 1 ，求四棱锥 P - ABCD 的体积． na 19. 设{a n }是首项为 1 的等比数列，数列{b n }满足 b =n ．已知a ， 3a ， 9a 成等差数列．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；n 3123S n （2）记S n 和 T n 分别为{a n }和{b n }的前 n 项和．证明： T n < ．220. 已知抛物线 C : y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点F 到准线的距离为 2．（1）求C 的方程;（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足 PQ = 9QF ，求直线 OQ 斜率的最大值. 21. 已知函数 f (x ) = x 3 - x 2 + ax +1．（1）讨论 f (x ) 的单调性； （2）求曲线y = f ( x )过坐标原点的切线与曲线 y = f ( x )的公共点的坐标． （二）选考题:共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做．则按 所做的第一题计分． [选修 4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，e C 的圆心为C (2,1)，半径为1．（1）写出e C 的一个参数方程;（2）过点F (4,1)作e C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4—5:不等式选讲]23. 已知函数f ( x) = x - a + x + 3 ．（1）当a = 1时，求不等式f解集;( x) ≥ 6（2）若f ( x) > -a ，求a 的取值范围．3 4 ⎪2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 答案解析一、选择题:1. A 解析：由题意可得： M U N = {1, 2, 3, 4}，则 ðU (M UN ) = {5} . 故选A.2. C解析：4 + 3i(4 + 3i )i4i - 3由题意可得： z = = = = 3 - 4i .i i 2-1故选C.3. A 解析：由于 -1 ≤ sin x ≤ 1 ，所以命题 p 为真命题； 由于 x ≥ 0 ，所以 e |x | ≥ 1 ，所以命题q 为真命题； 所以 p ∧ q 为真命题， ⌝p ∧ q 、 p ∧ ⌝q 、 ⌝( p ∨ q ) 为假命题. 故选 A ． 4. C解析：由题， f ( x ) =故选 C ．5. C 解析：2 sin ⎛ x + π ⎫，所以 f ( x ) 的最小正周期为 ⎝ ⎭T = 2p 13= 6p2 .由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，⎝ ⎭⎨ ⎬ ，所以⎧x + y = 4 由 ⎨ ⎩ y = 3可得点 A (1, 3) ,转换目标函数z = 3x + y 为 y = -3x + z ，上下平移直线 y = -3x + z ，数形结合可得当直线过点 A 时, z 取最小值， 此时z min = 3⨯1+ 3 = 6 . 故选C.6. D解析：由题意， cos 2π- cos 2 5π = cos 2 π - cos 2 ⎛ π - π ⎫ = cos 2 π- sin 2 π= cos π6 12 12 12= 3 . 22 12 ⎪12 12故选D.7. B解析：⎛ 0, 1 ⎤= ⎧x 0 < x ≤ 1 ⎫ ，设 Ω = “区间 ⎥ 随机取1 个数” ⎨ ⎬ ⎝2 ⎦ ⎩2 ⎭1- 01 A = “取到的数小于 ” = ⎧x 0 < x < 1 ⎫ P ( A ) = l ( A ) = 3 =2 ．3 ⎩ 3 ⎭l (Ω) 1 - 0 324 - ，定故选：B ．8. C 解析：对于 A ， y = x 2+ 2x + 4 = ( x +1)2+ 3 ≥ 3 ，当且仅当 x = -1 时取等号，所以其最小值为 3 ，A 不符合题意；对于B ，因为 0 < sin x ≤ 1 ，y = sin x + 4≥ 2 4 sin x，当且仅当 sin x = 2 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为 4 ，B 不符合题意；对于 C ，因为函数定义域为 R ，而 2x > 0 ， y = 2x + 22-x= 2x + 42x≥ 4 ，当且仅当2x = 2 ，即x = 1 时取等号，所以其最小值为 4 ，C 符合题意；对于D ， y = ln x + ，函数定义域为(0,1)U (1, +∞) ，而ln x ∈ R 且 ln x ≠ 0 ，如当ln xln x = -1 ，y = -5 ，D 不符合题意． 故选 C ． 9. B解析：1 - x 由题意可得 f (x ) = = -1 +1 + x2， 1 + x对于 A ， f ( x -1) -1 = 2 - 2 不是奇函数；x对于 B ， f ( x -1) +1 = 2是奇函数；x对于 C ， f ( x +1) -1 =22 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数； x + 2对于 D ， f ( x +1) +1 =2义域不关于原点对称，不是奇函数. x + 2故选B10. D解析：x 2 0如图，连接BC 1, PC 1, PB ，因为 AD 1 ∥ BC 1 ， 所以 ∠PBC 1 或其补角为直线 PB 与 AD 1 所成的角，因为BB 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1D 1 ，所以 BB 1 ⊥ PC 1 ，又 PC 1 ⊥ B 1D 1 ， BB 1 ⋂ B 1D 1 = B 1 ，所以PC 1 ⊥ 平面 PBB 1 ，所以 PC 1 ⊥ PB ， 1设正方体棱长为 2，则 BC 1 PC 1 = 2 D 1B 1 =sin ∠PBC 1 = PC 1 = 1 π ，所以 ∠PBC 1 = 6 . BC 12故选D11. A 解析：2设点 P ( x 0 , y 0 )，因为 B (0,1)， 0 5+ y 2= 1 ，所以PB = x 2 + ( y -1)2 = 5(1- y 2 ) + ( y -1)2 = -4 y 2 - 2 y + 6 = -4 ⎛ y - 1 ⎫+ 25 ， 0 0 0 0 0 00 2 ⎪ 4 ⎝ ⎭1 5而-1 ≤ y 0 ≤ 1，所以当 y 0 = 时， PB 的最大值为 ． 2 2故选 A ．12. D解析：若 a = b ，则 f ( x ) = a ( x - a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故 a ¹ b .2依题意，x=a为函数f(x)=a(x a)2(x b)的极大值点，当a < 0 时，由x > b ，f ( x) ≤ 0 ，画出f ( x) 的图象如下图所示：由图可知b < a ，a < 0 ，故ab > a2 .当a > 0 时，由x > b 时，f ( x) > 0 ，画出f ( x) 的图象如下图所示：由图可知b > a ，a > 0 ，故ab > a2 .综上所述，ab > a2 成立. 故选D二、填空题：13.8答案：5解析：由题意结合向量平行的充分必要条件可得： 2 ⨯ 4 - λ ⨯ 5 = 0 ， 8解方程可得： λ = .58故答案为 .514.解析：由已知，c === 3 ，所以双曲线的右焦点为(3, 0) ，所以右焦点 (3, 0) 到直线 x + 2 y - 8 = 0距离为 | 3 + 2 ⨯ 0 - 8 | = 5 =.15.答案：解析： 由题意， SV ABC= 1ac sin B = 2 4所以 ac = 4, a 2 + c 2 = 12 ，所以 b 2= a 2+ c 2- 2ac cos B = 12 - 2⨯ 4⨯ 1= 8 ，解得 b = .2故答案为 16.③④ 解析：选择侧视图为③，俯视图为④，1 2 222222222 2 2 2 2 2 2 2 2如图所示，长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = BC = 2, BB 1 = 1，E ,F 分别为棱 B 1C 1, B C 的中点， 则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 E - ADF . 故答案为：③④.三、解答题． （一）必考题：17.答案：（1） x = 10, y = 10.3, S 2 = 0.036, S 2= 0.04 ；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备没有显著提高. 解析：9.8 +10.3 +10 +10.2 + 9.9 + 9.8 +10 +10.1+10.2 + 9.7（1） x = = 10 ，10y =10.1 +10.4 +10.1 +10 +10.1 +10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5 = 10.3，10S 2= 0.2 + 0.3 + 0 + 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.036 ，110S 2 = 0.2 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 0.04 .210（2）依题意， y - x = 0.3 = 2 ⨯ 0.15 =+ +y - x <.18.答案：（1）证明见解析；（2）3解析：（1）因为 PD ⊥ 底面 ABCD ， AM ⊂ 平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AM ，又 PB ⊥ AM ，PB I PD = P ，所以 AM ⊥ 平面 PBD ，而 AM ⊂ 平面 PAM ，所以平面PAM ⊥ 平面 PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥ 平面 PBD ，所以 AM ⊥ BD ，从而 V DAB ~V ABM ，设BM = x ，AD = 2x ，则 BM = AB ，即 2x 2 = 1，解得x AD =PD ⊥ 底面 AB AD 2 ABCD ，故四棱锥 P - ABCD 的体积为V =1⨯(1⨯2 )⨯1 = 2．3319.答案：（1） a = (1)n -1， b = n ；（2）证明见解析. n3 解析：n 3n因为{a n }是首项为1 的等比数列且 a 1 ， 3a2 ， 9a3 成等差数列， 所以6a 2 = a 1 + 9a 3 ，所以 6a 1q = a 1 + 9a 1q 即 9q 2 - 6q +1 = 0 ，解得q = 1 ，所以 ， (1)n -1 ， 所以 b =na n = n. a n =3 3 n33n1⨯(1 - 1) 3n 3 1（2）证明：由（1）可得 S n = 1 - 13= (1 - ) ，2 3n T = 1 + 2+L + n -1 + n ，①n 3 323n -1 3n1 T = 1 +2 +L n -1 n ，②3 n 32 333n 3n +12，= (1 - ) - ⎫ 2① - ②得 2 T = 1 + 1+ 1 +L + 1 - n 1(1 - 1 ) = 3 3n - n = 1 (1 - 1 ) - n 3 n 3 32 33 3n 3n +1 1 - 1 3n +1 32 3n3n +1 所以 T n = 3 (1 - 1 ) - 4 3n n ， 2 ⋅ 3n 所以 T - S n 3 1 n 3 1 n - (1 - ) = - < 0 ， n 2 4 3n 2 ⋅ 3n 4 3n 2 ⋅ 3n 所以 T < S n.n220.答案：（1） y 2 = 4x ；（2）最大值为 1.3解析：（1）抛物线 C : y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点F ⎛ p ,0 ，准线方程为 x =- p， ⎪ ⎝ ⎭p ⎛ p ⎫ 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 -- = p = 2 ， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭所以该抛物线的方程为 y 2 = 4x ；（2）设Q ( x 0 , y 0 )，则 PQ = 9QF = (9 - 9x 0 , -9 y 0 )， 所以P (10x 0 - 9,10 y 0 )， 由 P 在抛物线上可得 (10 y )2 = 4(10x - 9)，即x 25 y 2+ 9 = 0 ， 010k = y 0 = y 0= 10 y 0所以直线 OQ 斜率 OQ x 25 y 2 + 9 25 y 2 + 9 ，10当y 0 = 0 时， k OQ = 0 ； 10 k OQ =当y 0 ≠ 0 时， 25 y 0 + 9 ，y 09 当 y 0 > 0 时，因为25y 0 + ≥ = 30 ，y 022 +1 y 3 125 y = 9 3此时0 < k ≤ ，当且仅当 0 ，即 y = 时，等号成立； OQ 0当y 0 < 0 时， k OQ < 0 ； 综上，直线OQ 的斜率的最大值为 1. 321.答案：(1)答案见解析；(2) (1, a +1) . 解析：(1)由函数的解析式可得： f '(x ) = 3x 2- 2x + a ， 导函数的判别式 ∆ = 4 -12a ，当∆ = 4 -12a ≤ 0, a ≥ 时， f '( x ) ≥ 0, f ( x )在 R 上单调递增， 31 当 ∆ = 4 -12a > 0, a < 时， f '( x ) = 0 的解为： x = , x = ，31626⎛ 2 当 x ∈ -∞, ⎫⎪⎪时， f '( x ) > 0, f ( x )单调递增； ⎝ ⎛ 2 当 x ∈ 6 ⎭ ,2 +⎫⎪⎪ 时， f '( x ) < 0, f ( x )单调递减； ⎝ 6 6 ⎭⎛ 2 当 x ∈ ⎝6 1⎫ , +∞ ⎪⎪ 时， f '( x ) > 0, f ( x )单调递增； ⎭ 综上可得：当a ≥ 时， f ( x ) 在 R 上单调递增， 31 ⎛当 a < 时， f ( x ) 在 -∞,⎪ 上单调递增，在 ⎪ 上3⎝ 6 ⎭ ⎫⎝ 6 6 ⎭单调递减，在 ⎝ +∞ ⎪⎪ 上单调递增. ⎭(2)由题意可得： f (x ) = x 3- x 2+ ax +1， f '( x ) = 3x 2- 2x + a ， 00 00 00 0则切线方程为：(32) (2)()，y - x 0 - x 0 + ax 0 +1 = 3x 0 - 2x 0 + a x - x 0切线过坐标原点，则：(32) (2)()0 - x 0 - x 0 + ax 0 +1 = 3x 0 - 2x 0 + a 0 - x 0 ,2 5整理可得： 2x 3 - x 2 -1 = 0 ，即： ()(2)，x 0 -1 2x 0 + x 0 +1 = 0解得：x 0 = 1，则 f ( x 0 ) = f (1) = 1-1+ a +1 = a +1 ， 即曲线y = f ( x )过坐标原点的切线与曲线 y = f ( x )的公共点的坐标为(1, a +1) . （二）选考题:[选修 4-4:坐标系与参数方程]22.答案 ：（ 1 ）⎧x = 2 + cos α ⎨ ⎩ y = 1+ sin α，（ α 为 参 数 ）；（ 2 ） 2ρ cos(θ +π ) = 4 -或3 2ρ cos(θ - π) = 4 3解析：（1）由题意，e C 的普通方程为 (x - 2)2 + ( y -1)2 = 1 ，⎧x = 2 + cos α所以 e C 的参数方程为 ⎨ ⎩ y = 1+ sin α，（α 为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为 y -1 = k (x - 4) ，即 k x - y +1- 4k = 0 ，由圆心到直线的距离等于1= 1，解得 k =±x - 3y + 3 - = 0 + 3y - 3 - 0 ，3将x = ρ cos θ ， y = ρ sin θ 代入化简得2ρ cos(θ + π ) = 4 32ρ cos(θ - π) = 4 +3[选修 4—5:不等式选讲]23.答案：（1） (-∞, -4]U [2, +∞) .（2） ⎛ - 3, +∞ ⎫ .2 ⎪ ⎝ ⎭解析：（1）当a = 1时， f ( x ) =x -1 + x + 3 ， x -1 + x + 3 表示数轴上的点到1和 -3 的距离之和，则f ( x) ≥ 6 表示数轴上的点到1和-3 的距离之和不小于6 ，故x ≤ -4 或x ≥ 2 ，所以f ( x) ≥ 6 的解集为(-∞, -4]U[2, +∞) .（2）依题意f ( x) > -a ，即x - a + x + 3 > -a 恒成立，x - a + x + 3 = a - x + x + 3 ≥ a + 3 ，故a + 3 > -a ，所以a + 3 > -a 或a + 3 < a ，3解得a >-.2所以a 的取值范围是⎛-3, +∞⎫.2 ⎪ ⎝⎭。
2021年全国乙卷文科数学高考试卷(原卷+答案)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）（适用地区：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=ð（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,42．设i 43i z =+，则z =（）A ．–34i-B ．34i-+C ．34i-D ．34i+3．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨4．函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和25．若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．18B ．10C ．6D ．46．22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B ．33C．2D．27．在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A ．34B ．23C ．13D ．168．下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+9．设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π611．设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（）A ．52B C D ．212．设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b<B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知向量()()2,5,,4a b λ== ，若//a b r r，则λ=_________．14．双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．19．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.21．已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．22．在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23．已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．参考答案1．A 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð.故选：A.2．C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.3．A 【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．4．C 【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选：C ．5．C 【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3y x z =-+，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43x y y +=⎧⎨=⎩可得点()1,3A ,转换目标函数3z x y =+为3y x z =-+，上下平移直线3y x z =-+，数形结合可得当直线过点A 时,z 取最小值，此时min 3136z =⨯+=.故选：C.6．D 【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==.故选：D.7．B 【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设Ω=“区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数”102x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，A =“取到的数小于13”103xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以()()()10231302l A P A l -===Ω-．故选：B ．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．8．C 【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．9．B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10．D 【分析】平移直线1AD 至1BC ，将直线PB 与1AD 所成的角转化为PB 与1BC 所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1P B B ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则111112BC PC D B ===，1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=.故选：D 11．A 【分析】设点()00,P x y ，由依题意可知，()0,1B ，220015x y +=，再根据两点间的距离公式得到2PB ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426444PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当014y =-时，PB 的最大值为52．故选：A ．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．12．D 【分析】结合对a 进行分类讨论，画出()f x 图象，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.依题意，x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.13．85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=，解方程可得：85λ=.故答案为：85.14【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15．【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin 24ABC S ac B ac === ，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得b =（负值舍去）.故答案为：16．③④（答案不唯一）【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC BB ===，,E F 分别为棱11,BC BC 的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥E ADF -.故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.17．（1）221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1）9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==，10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==，22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==，222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==.（2）依题意，0.320.15y x -==⨯=，=y x -≥，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥，又PB AM ⊥，PB PD P = ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥平面PBD ，所以AM BD ⊥，从而~DAB ABM ，设BM x =，2AD x =，则BM AB AB AD =，即221x =，解得22x =，所以AD =因为PD ⊥底面ABCD ，故四棱锥P ABCD -的体积为(121133V =⨯⨯=．【点睛】本题第一问解题关键是找到平面PAM 或平面PBD 的垂线，结合题目条件PB AM ⊥，所以垂线可以从,PB AM 中产生，稍加分析即可判断出AM ⊥平面PBD ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出~DAB ABM ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积．19．（1）11()3n n a -=，3n n n b =；（2）证明见解析.【分析】利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na n b ==.（2）证明：由（1）可得11(1313(112313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++ ，①231112133333n n n n n T +-=++++ ，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(11323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nn T =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2n n S T <.【点晴】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.20．（1）24y x =；（2）最大值为13.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得20025910y x +=，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==-- ，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥=，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用平面向量的知识求得点Q 坐标的关系，在求斜率的最值时要注意对0y 取值范围的讨论.21．(1)答案见解析；(2)和()11a ---，.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,32x x -==，当113,3x ⎛⎫-∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33x ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,33⎡⎢⎣⎦-上单调递减.(2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a'==+切线方程为：()1y a x =+,与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，.【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.22．（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos(43πρθ+=-2cos(43πρθ-=+【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得33k =±330y -+-=330y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.23．（1）(][),42,-∞-+∞ .（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ .（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+,故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.。
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2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共51分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}2.设iz=4+3i，则z等于（）A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p qB. p qC. p qD. (pVq)4.函数f（x）=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是（）A. 3 和B. 3 和2C. 和D. 和25.若x，y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为（）A. 18B. 10C. 6D. 46.（）A. B. C. D.7.在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A. B. C. D.8.下列函数中最小值为4的是（）A. B. C. D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. B. C. D.11.设B是椭圆C：的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A. B. C. D. 212.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（）A. a＜bB. a＞bC. ab＜a2D. ab＞a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若，则λ=________.14.双曲线的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（共5题；共50分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22（1）求，，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果- ≥ ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积.19.设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，3 ，9 成等差数列. （1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和.证明：< .20.已知抛物线C：(p>0)的焦点F到准线的距离为2.（1）求C的方程.（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.四、[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1题；共2分）22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1.（1）写出C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.五、[选修4-5：不等式选讲]（共1题；共2分）23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥-a，求a的取值范围.2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共51分）1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}【答案】A【考点】交集及其运算，补集及其运算【解析】【解答】因为U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4} 则MUN ＝{1，2，3，4}，于是C u（MUN）= {5} 。
故答案为：A【分析】先求MUN，再求C u（MUN）。
2.设iz=4+3i，则z等于（）A. -3-4iB. -3+4iC. 3-4iD. 3+4i【答案】C【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为iz=4+3i ，所以Z＝故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p qB. p qC. p qD. (pVq)【答案】A【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.函数f（x）=sin +cos 的最小正周期和最大值分别是（）A. 3 和B. 3 和2C. 和D. 和2【答案】C【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值【解析】【解答】因为f（x）=sin +cos ＝,所以周期值域即最大值是故答案为：C。
【分析】先将f（x）解析式化成的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
5.若x，y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为（）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），当直线z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。
此时zmin=3x1+3=6.故答案为：C【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。
6.（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】二倍角的余弦公式【解析】【解答】因为故选D。
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7.在区间(0, )随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】由几何概型得：P＝.故答案为：B【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8.下列函数中最小值为4的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则y min=3; 故A不符合题意；对于B：因为，设t=|sinx|( ),则y=g(t)=由双沟函数知，函数y＝g(t)=是减函数，所以y min=g(1)=5，所以B选项不符合；对于C：因为当且仅当时“＝”成立，即ymin=4，故C选项正确；对于D：当时，<0，故D选项不符合，故答案为：C.【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。
9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1,则h(-X)h(X),所以h(X)不是奇函数，故A不符合；对于B：因为h(x)= f(x-1)+1,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；对于C：h(x)= f(x+1)－1,则h(-X)h(X)，所以C不符合；对于D：h(x)= f(x+1)+1,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.故答案为：B.【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. B. C. D.【答案】 D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以＝.故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。
11.设B是椭圆C：的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】A【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max＝，故答案为：A【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（）A. a＜bB. a＞bC. ab＜a2D. ab＞a2【答案】 D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a<b,ab<a2.故B,C项错；当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。
故答案为：D.【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）13.已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若，则λ=________.【答案】【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】因为=(2,5),=(λ,4)，且，则，则。