【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练 提升套餐练02(解析版)

提升套餐练02

一、多选题

1．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）

A ．样本中支出在[)50,60元的频率为0.03

B ．样本中支出不少于40元的人数为132

C ．n 的值为200

D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[)50,60元 【答案】BC 【解析】 【分析】

根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定. 【详解】

样本中支出在[)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3-++?=，故A 错误； 样本中支出不少于40元的人数为

0.036

60601320.03

?+=，故B 正确； 60

2000.3

n =

=，故n 的值为200，故C 正确； 若该校有2000名学生，则可能有0.32000?=600人支出在[50，60）元，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】

此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征. 2．下列有关说法正确的是（ ）

A ．当0x >时，

1

lg 2lg x x +

≥；

B ．当0x >

时，

2≥；

C ．当

0,2

πθ??

∈ ?

?

?时，

2

sin sin θθ+

的最小值为；

D ．当0a >，0b >时，114

a b a b ????++≥ ???????恒成立

【答案】BD 【解析】 【分析】

由基本不等式的条件和结论判断． 【详解】

A. 当01x <<时，lg 0x <，1

lg 2lg x x

+

≥不成立，错误； B. 当0x >

0>

2≥，正确； C. 当0,

2πθ??

∈ ??

?

时，设sin t θ=，则01t <<，2sin sin θθ+

2t t

=+，函数2

y t t =+在(0,1)上递减，无

最小值，C

错，实际上2sin sin θθ+

≥=2sin sin θθ=

，即sin θ=

是不可能的，即

D. 当0a >，0b >时，1

2a a +≥，12b b +≥，∴114a b a b ????++≥ ????

???恒成立，D 正确、

故选：BD ． 【点睛】

本题考查基本不等式，解题时注意基本不等式的条件，特别注意在用基本不等式求最值时，等号成立的条件能否满足．

3．已知函数

2

()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.

A ．函数()f x 的最小正周期是2π

B ．函数()f x 在区间5,88ππ???

???上是减函数

C ．函数()f x 的图象关于直线

8x π=

对称:

D ．函数()f x

的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π

个单位得到

【答案】BC 【解析】 【分析】

先将()2

221f x sin x sin x =-+化简为(

)24f x x π?

?=

+ ??

?，再逐个选项判断即可．

【详解】

2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π?

?=-+=+=+ ??

?

A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；

B 选项，当5,88x ππ??∈?

???时，32,422x πππ??+∈????，则()f x 在区间5,88ππ??

????

上是减函数，结论正确；

C 选项，

因为8f π??

=

???

()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设(

)2g x x =

n

，则

()222442g x x x x f x πππ?????

?+=+=+=≠ ? ? ??????

?n n ，结论错误．

故选：BC ． 【点睛】

本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.

4．如图，正方体

1111

ABCD A B C D -的棱长为1，线段

11

B D 上有两个动点E 、F ，且

1

2EF =

，则下列结

论中正确的是（ ）

A ．AC BE ⊥

B ．//EF 平面ABCD

C ．AEF V 的面积与BEF V

的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】

对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】

可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，111

1224

BEF S =

??=△，三棱锥A BEF -的体积为1122

34?=

D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.

二、解答题

5．（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?的角,,A B C 所对的边，且2c =，3C π

=

．

（Ⅰ）若ABC ?的面积等于3，求,a b ;

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求A 的值． 【答案】（Ⅰ）2a b ==；（Ⅱ）2

A π

=或6

A π

=

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由ABC ?的面积等于3及3

C π

=

可得333-，再由余弦定理可得228a b +=，解得

2a b ==；

（Ⅱ）先对sin sin()2sin 2C B A A +-=进行三角变换，化简得sin cos 2sin cos B A A A =，由此可得cos 0A =或sin 2sin B A =，分别得2

A π

=

或6

A π

=

．

试题解析：（Ⅰ）根据三角形面积公式可知：11sin 222

S ab C ==

=推得333-； 又根据三角形余弦公式可知：2222214

cos 228

a b c a b C ab +-+-===

推得228a b +=．[ 综上可得2a b ==．

（Ⅱ）sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-= sin cos 2sin cos B A A A =当cos 0A =时，2

A π

=

当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，

联立224{2a b ab b a +-==，得a b ==222

b a c

=+，,36C A ππ=∴=Q ， 综上2

A π

=

或6

A π

=

．

解二：sin sin()2sin 2C B A A +-=，sin()sin()4sin cos B A B A A A ∴++-= sin cos 2sin cos B A A A =

当cos 0A =时，2

A π

=

当cos 0A ≠时，2

1

2sin sin sin()sin 322

A B A A A π==-=

+，

3sin 02)0,

6

50,,

6660.

6

6

A A A A A A A Q 即π

ππ

π

πππ∴=-=<<∴-<-<∴-

==

综上2

A π

=

或6

A π

=

．

考点：1正弦定理与余弦定理；2．三角变换；3．三角形面积公式． 6．公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设

2n

n n b a =+，求数列

{}n b 的前n 项和n

T

.

【答案】（1）n a n =；（2）2n

n b n =+，()

()12212

n n n n T +=

+-. 【解析】 【分析】

(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可. 【详解】

(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,

故()()2

22141113a a a a d a a d =??+=?+,化简得1a d =.

又36S =故113362a d a d +=?+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.

(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()

12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++

()()()()122121212

12

2

n n n n n n -+=

+

=

-++-.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.

7．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=?.现沿对角线BD 将ABD ?折起，使点A 到达点P .点M 、N 分别在PC 、PD 上，且A 、B 、M 、N 四点共面.

（1）求证：//,a b ；

（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，平面BMN 与平面BCD 夹角为30°，求PC 与平面BMN 所成角的正弦值.

【答案】(1)见证明；(2) 155

【解析】 【分析】

(1)本题首先可以设2AB =，通过题意即可得出AD 的长，然后根据余弦定理即可计算出BD 的长并根据勾股定理判断出AB BD ⊥，最后根据线面平行的相关性质即可得出//AB MN 并证得MN BD ⊥； (2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出PC 与平面BMN 所成角的正弦值。 【详解】

（1）不妨设2AB =，则4AD =，

在ABD ?中，根据余弦定理可得2222BD AB AD AB AD COSA =++n n ，计算得23BD = 因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥.

因为//CD AB ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以//CD 平面ABMN .

又平面ABMN ?平面PCD MN =，所以//CD MN . 而CD BD ⊥，故MN BD ⊥.

（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥， 因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，

因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30?，所以30DBN ∠=?， 从而在Rt PBD ?中，易知N 为PD 的中点， 如图，建立空间直角坐标系，

则()0,0,0B ，()0,0,2P

，()

C

，()N

，()

M ，

()1,0,0NM =u u u u r

，()BN =u u u r

，()

2PC =-u u u r ，

设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则由00n NM n BN ??=???=??u u u u r r u u u r r ，

得0

x z =??+=，令1y =

，得(0,1,n r =.

设PC 与平面BMN 所成角为θ，则(

)

sin 90n PC cos n PC

θθ?

?=-==?u u u

r r u u u r r

【点睛】

本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。

年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.

（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）

（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布

()

2,N μσ，其

中2

225σ≈，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：

（i ）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；

（ii ）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差.

附：若随机变量X 服从正态分布

()

2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，

(22)0.9554P X μσμσ-<<+=，3309().974P X μσμσ-<<+=.

【答案】（1）29

550

；（2）（i ）1683；（ii ）33,24.

【解析】 【分析】

（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解． （2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解． 【详解】

（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A ，则事件A 包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.

由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，

则由古典概型的概率计算公式可得221111

6126126182

10029

()550

C C C C C C P A C +++==.

所以两人得分之和小于35的概率为

29550

. （2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X 的估计值为：

(0.0061500.0121600.018170X =?+?+?+0.0341800.0161900.008200

?+?+?0.006210)10179+??=（个）.

又由2225σ≈，得标准差15σ≈，

所以高二年级全体学生的跳绳个数X 近似服从正态分布(

)2

179,15N .

（i ）因为17915164μσ-=-=，所以10.6826

(164)10.84132

P X ->=-=， 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为

20000.84131682.61683?=≈（人）.

（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12

， 所以1~3,

2B ξ??

???

，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3. 所以0

3

03

111(0)1228P C ξ????==??-= ? ?????， 2

1

3113(1)1228P C ξ??==??-= ???，

2

123

113

(2)C 1228

P ξ????==??-= ? ?????，

3330

111(3)1228

P C ξ????==??-= ? ?????，

故ξ的分布列为：

所以13

()322

E ξ=?=，113()31224D ξ??=??-= ???.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题．

9．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点（

0,，（

4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx+1与A 交于A ，B 两点. （1）写出C 的方程；

（2）若OA OB ⊥u u u r u u u r

，求k 的值.

【答案】（1）x 2

2

4

y +=1；

（2）±12 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件可判断动点轨迹为椭圆，结合题意写出椭圆方程即可； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及向量垂直，即可求得参数k . 【详解】

（1）设P （x ,y ），由椭圆定义可知，

点P 的轨迹C 是以（

0,），（

2的椭圆. 它的短半轴

b =

=1，

故曲线C 的方程为x 2

2

4

+=y 1.

（2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），

其坐标满足2

214

1y x y kx ?+

=???=+?

， 消去y 并整理得（k 2+4）x 2+2kx ﹣3＝0，

故x 1+x 2224k k =-

+，x 1x 2

23

4

k =-+， 若OA OB ⊥u u u r u u u r

，即x 1x 2+y 1y 2＝0.

而y 1y 2＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1，

则x 1x 2+y 1y 222

222332444

k k k k k =---++++1＝0，

化简得﹣4k 2+1＝0，

解得k ＝±12

. 【点睛】

本题考查根据定义求解椭圆方程，以及直线与椭圆相交时，求参数的值，属综合基础题.

10．已知函数

2

1()ln (0)2f x x a x a =

->．

（1）若2a =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程． （2）求()f x 在区间[1,e]上的最小值．

（3）若()f x 在区间(1,)e 上恰有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2230x y +-=．（2）见解析．（3）21e,e 2?

? ???

【解析】

试题分析：（1）把a=2代入可得()11f '=-，()1

12

f =

，进而可得方程，化为一般式即可； （2）可得

，1

e

e ≥，三种情形来讨论，可得最值；

（3）由（2）可知当0＜a≤1或a≥e 2时，不合题意，当1＜a ＜e 2时，需()()21

10211021(e)=e 02a lna f f a ?-

?

=>??

?->??

，解之可得a

的范围．

试题解析：（1）当2a =时，()212ln 2f x x x =-，()2

f x x x

'=-， ∴()11f '=-，()1

12

f =

， ∴()f x 在()()

1,1f 处的切线方程为()1

12

y x -

=--，即2230x y +-=． （2）()2a x a

f x x x x

='-=-．

由于0a >及定义域为()0,+∞，所以令()0f x '=

得x =

①

1，即01a <≤，则(1,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，

∴()f x 在区间[1,e]上的最小值为()112

f =． ②

若1e <

<，即21e a <<

，则(x ∈时，()0f x '<，()f x

单调递减，当x ∈时，

()0f x '>，()f x 单调递增，

∴()f x 在区间[1,e]

上的最小值为1

(1ln 2

f

a a ）=

-． ③

e ≥，即2e a ≥，则(1,e)x ∈时，()0

f x '<，()f x 在[1,e]上单调递减， ∴()f x 在区间[1,e]上的最小值为2

1(e)=e 2

f a -． 综上所述，当01a <≤时，()min 12

f x =； 当21e a <<时，()()min 1

1ln 2

f x a a =-； 当2e a ≥时，()2

min 1e 2

f x a =

-． （3）由（2）可知当01a <≤或2e a ≥时，()f x 在(

)2

1,e 上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零

点．

当21e a <<，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则

()()21

10211021(e)=e 02a lna f f a ?-?

??

->??

，即2e

1?????，故21e<

???

点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.