微积分基本公式
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学的一个分支，主要研究函数的极限、导数、积分等基本概念和基本运算法则。
本文将介绍微积分的基本公式和计算方法。
1.极限：极限是微积分的基本概念之一，用来描述函数在特定点处的趋势。
极限的计算有以下几个基本公式：-基本极限公式：- $\lim_{x\to c} x = c$：常数函数的极限是其本身。
- $\lim_{x\to c} k f(x) = k \lim_{x\to c} f(x)$：常数倍法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to c} f(x) +\lim_{x\to c} g(x)$：和法则。
- $\lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to c} f(x)\cdot \lim_{x\to c} g(x)$：积法则。
- $\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)}$（假设$\lim_{x\to c} g(x) \neq 0$）：商法则。
-重要极限：- $\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$：无穷小的定义。
- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$：著名的夹逼定理的应用。
- $\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$：自然对数的底数。
2.导数与微分：导数是函数在其中一点处的变化率，表示函数的斜率。
导数的计算有以下几个基本公式：-基本导数公式：- $\frac{d}{dx} (k f(x)) = k \frac{d}{dx} f(x)$：常数倍法则。
- $\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) +\frac{d}{dx} g(x)$：和法则。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分公式大全
微积分公式大全1.极限与连续1.1 极限的定义：对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果对于任意给定的$\epsilon > 0$，总存在与$a$不相等的$x$使得当$0 < ，x-a，< \delta$时，$，f(x) - L， < \epsilon$，我们就说函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=L$。
1.2基本极限公式：a) $\lim_{x \to a}c = c$，其中$c$为常数；b) $\lim_{x \to a}x = a$；c) $\lim_{x \to a}x^n = a^n$，其中$n$为正整数；d) $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$；e) $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$；f) $\lim_{x \to a} \tan x = \tan a$，其中$a \neq\frac{\pi}{2} + \pi k$，$k$为整数；g) $\lim_{x \to a} \ln x = \ln a$，其中$a > 0$。
1.3极限的运算法则：a) $\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$；b) $\lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a}f(x)$，其中$k$为常数；c) $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot\lim_{x \to a}g(x)$；d) $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$，其中$\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$；e) $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
基本微积分公式
基本微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和极限概念。
微积分公式是微积分中最基本的公式，它包括导数公式和积分公式两部分。
导数公式导数是微积分中最基本的概念之一，它表示函数在某一点处的变化率。
导数公式包括以下几种：1. 常数函数的导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数，即f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数为其自身的常数倍，即f(x)=a^x，则f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数为其自变量的倒数，即f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数为其导数的负数，即f(x)=sinx，则f'(x)=cosx；f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx；f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2x。
积分公式积分是微积分中的另一个重要概念，它表示函数在某一区间内的面积或体积。
积分公式包括以下几种：1. 常数函数的积分为其自身乘以积分区间的长度，即∫c dx=cx。
2. 幂函数的积分为其指数加1后除以指数加1的常数倍，即∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)。
3. 指数函数的积分为其自身除以自然对数的常数倍，即∫a^x dx=a^x/lna。
4. 对数函数的积分为其自变量的对数乘以积分区间的长度，即∫lnx dx=xlnx-x。
5. 三角函数的积分为其导数的相反数，即∫sinx dx=-cosx；∫cosx dx=sinx；∫tanx dx=-ln|cosx|。
总结微积分公式是微积分中最基本的公式，它包括导数公式和积分公式两部分。
导数公式用于求函数在某一点处的变化率，积分公式用于求函数在某一区间内的面积或体积。
掌握微积分公式对于学习微积分和解决实际问题都具有重要意义。
微积分的公式大全
微积分的公式大全一、极限公式1.无穷小量定义：若当x→0时，Δx是x的函数之一，且满足Δx/x→0，则称Δx为x的一个无穷小量。
2.极限的基本性质：-函数f(x)的极限即为f(x)的左极限和右极限存在且相等的值。
-函数的极限与函数的值在有限点无关，只与趋向于该点的方式有关。
-函数有界，且极限存在，则函数必定有极大值和极小值。
3.基本极限：-极限的四则运算规则：设x→x0时有f(x)→A，g(x)→B，则f(x)±g(x)→A±B，f(x)g(x)→AB，f(x)/g(x)→A/B。
- 幂函数极限：若m是正整数，则lim(x→a) (x^m) = a^m。
- e 的指数函数极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
- 自然对数函数极限：lim(x→0) (ln(1+x)/x) = 1-三角函数极限：- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (cosx-1)/x = 0。
四、导数公式1. 基本定义：函数 y=f(x) 在 x0 处可导，当且仅当函数在 x0 处存在极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)，即导数 f'(x0) 存在。
2.基本导数：- 常数函数的导数为 0：d/dx(c) = 0。
- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。
- 对数函数的导数：d/dx(loga(x)) = 1/(xln(a))。
-三角函数的导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)。
- d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
-反三角函数的导数：- d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。
- d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。
- d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。
基本微积分公式
基本微积分公式1微积分公式微积分是数学中的一个分支，是由著名的德国数学家Gottfried Wilhelm Leibniz和英国数学家Isaac Newton发明的，是为了研究连续的函数的变化的方法。
微积分公式中包含着很多实用的公式，可以用来计算函数的最值、极限、导数等。
2一阶导数公式一阶导数是求导中最常见的一种，也是应用最多的一种，它用来表示某个函数在某一点的变化量，一阶导数的公式通过函数的变化量来计算函数的极限值，公式的形式为：y'=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)，其中y'表示函数的一阶导数，x1和x2分别表示两个不同的点，f(x)表示函数的值。
3二阶导数公式二阶导数是比一阶导数更高级的概念，表示函数在某一点处的变化量，二阶导数的公式为：y''=(f'(x2)-f'(x1))/(x2-x1)，其中y''表示函数的二阶导数，x1和x2表示不同的点，f'(x)表示函数的一阶导数。
4梯度公式梯度公式是函数变化率最大的方向，可以被用来描述函数的变化量。
梯度公式可以用来表示以点为中心，函数瞬间变化量最大的方向，通常公式记作∇f，表示函数f的梯度方向。
梯度的计算方法有两种，一种是用数值的方法，另一种是矢量的方法，数值的公式为：grad(f)={(f(x+1)-f(x-1))/2,(f(y+1)-f(y-1))/2}，其中x、y是变量，f(x)、f(y)分别表示x、y的函数值。
5曲线面积公式曲线面积是求面积的一种重要方法，在曲线面积公式中，首先要定义好曲线。
曲线面积的计算方法有多种，如：从数值解求面积；从边界条件求面积；高元分片梯形公式；梯形公式；抛物线面积公式等等，最常见的曲线面积求法是通过抛物线的公式来求，公式为∫abf(x)dx，其中a和b分别表示抛物线两个端点，f(x)表示抛物线函数值，dx表示定积分积分形式。
以上就是基本微积分公式的介绍，仅供参考，具体的解答还要根据函数的具体情况来求解。
微积分基本公式
duv = udv + vdu
duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
Dx
sinh-1(
x a
)=
1 a2 x2
1
pkqx
f(x1, x2, …, xm-1)=
Multinomial
n! x1! x 2 !... x m !
p x1 1
p2
x2
...
pm
xm
npi
Geometric
pqx-1
npq npi(1-pi)
动差母函数 m(t)
q+pet (q+ pet)n
三项 (p1et1+ p2et2+ p3)n
商数关系: tanθ= sin ; cotθ= cos
cos
sin
平方关系: cos2θ+ sin2θ=1; tan2θ+ 1= sec2θ; 1+ cot2θ= csc2θ
順位高 順位低
;
顺位高 d
顺位低
;
0* = 1 * = = 0* 1 = 0
00
顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数
平均差(Average Deviatoin)
变异数(Variance)
n
n
(Xi X)2
(Xi X )2
1
or 1
n
n 1
标准差(Standard Deviation)
16个微积分公式
16个微积分公式微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的极限、导数和积分等概念及其应用。
下面将介绍16个微积分公式，包括导数和积分的基本公式以及一些常用的微积分技巧。
一、导数的基本公式1. 常数函数的导数公式：常数函数的导数为0。
这是因为常数函数在任意点的斜率都是0。
2. 幂函数的导数公式：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。
3. 指数函数的导数公式：指数函数的导数等于该函数自身乘以底数的自然对数。
4. 对数函数的导数公式：对数函数的导数等于该函数自身除以自变量。
5. 三角函数的导数公式：三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系推导得出。
二、积分的基本公式1. 定积分的基本公式：定积分可以看作是函数在给定区间上的面积。
计算定积分可以使用牛顿-莱布尼茨公式，即求导和积分的逆运算。
2. 不定积分的基本公式：不定积分是积分的一种形式，表示函数的原函数。
计算不定积分可以使用导数和积分的基本公式。
三、微积分的常用技巧1. 函数的导数与原函数的关系：函数的导数可以用来求函数的原函数，而函数的原函数可以用来求函数的积分。
2. 导数的链式法则：如果一个函数是两个函数的复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来计算。
3. 积分的换元法：积分的换元法是一种常用的求积法则，可以通过变量代换来简化积分的计算。
4. 积分的分部积分法：分部积分法是积分的一种常用技巧，可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分。
5. 积分的化简技巧：有时候，积分的式子可以通过一些化简技巧来简化，如分子分母的拆分、积分区间的变换等。
6. 导数的极值问题：导数可以用来求函数的极值点，通过判断导数的正负可以确定函数的增减性。
7. 积分的应用：积分在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如求曲线的长度、求物体的质心等。
8. 微分方程的解法：微分方程是微积分的一个重要应用，可以用来描述物理系统的变化规律。
求解微分方程可以通过积分的方法来得到解析解。
9. 隐函数的求导：隐函数是指用一个方程来表示的函数，它的导数可以通过求偏导数来计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
去掉后, 再用 N-L公式.
8
首页
上页
返回
下页
结束
铃
1, 当1 x 0时,
例5
已知函数
f
(x)
x,
当0 x 1时,
x 1, 当1 x 2时.
求积分上限的函数 (x)
x
f (t)dt.
1
解
当x [1,0)时,
(x)
x
f (t)dt
x
1dt x 1.
1
1
当x [0,1]时,
cosx
x2
.
解
lim
x0
1 et
cosx
x2
2
dt
lxxilxlmiimm0001eecoscxxcoo2ess2222tx2xxx(d(t ssiinnxx))
定理1 若 f (x) C[a, b] , 则积分上限的函数
x
y
(x) a f (t) d t
y f (x)
是 f (x)在[a , b]上的一个原函数 .
( x) f ( )
证明 x, x h[a, b] , 有
Oa
x
•
•
xh
b
x
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t)
dt
x
a
f
(t) d
t
d
dx
u2(x) f (t)dt
u1( x)
f [u2(x)]u2 (x) f [u1(x)]u1(x).
例7 设f (x) ex2 tdt, 求f (x). x3
解 f (x) ex2 (x2 ) ex3 (x3) ex2 2x ex3 3x2
1 et2 dt
例87
求 lim x0
第五章
第二节
定积分及其应用
微积分基本公式
主要内容：
一、位置函数与速度函数之间的联系； 二、积分上限的函数及其导数； 三、牛顿莱布尼茨公式.
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、位置函 在t时刻物体所经过的
路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔[T1, T2]内 物体所经过的路程S可表示为
b
a
f
(x)dx
F(b) F(a)
.
证证明明
设
(x)
x
a
f
(t)dt
,
则也是 f(x)的原函数.
因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数, 所以存在常数C, 使
F(x)(x)C. 由F(a)(a)C及(a)0, 得CF(a), F(x)(x)F(a).
由F(b)(b)F(a), 得(b)F(b)F(a), 即
F (b)
F(a)
.
牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数
或不定积分之间的联系.
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
若 F(x)是 f(x)的原函数,
则
b
a
f
(x)dx [F(x)]ba
F(b) F(a)
.
例例31
计算
11
2 x
dx
.
解解
1
2
1 x
dx
[ln
|
x|]12
ln1
ln
2
ln
2
.
例2 计算正弦曲线ysin x在[0, p]上与x轴所围成的平面
铃
例6 设f(x)连续, u1(x), u2(x)可导, 则有
d
dx
u2(x) f (t)dt
u1( x)
f [u2(x)]u2 (x) f [u1(x)]u1(x).
证明 设F(x)为f(x)的一个原函数, 则有
u2 ( x) u1 ( x)
f
(t )dt
F[u2 (
x)]
F[u1( x)]
S (T2 )
S (T1)
及
T2v(t)dt
T1
,
即
即
T2v(t)dt
T1
S(T2) S(T1)
.
上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1, T2]上的定积分等于v(t) 的原函数S(t)在区间[T1, T2]上的增量.
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、积分上限的函数及其导数
解 汽车刹车时的初速度为
v0
36km/h
361000 3600
m/s
10m/s
.
刹车后 t 时刻汽车的速度为
v(t)v0at105t. 当汽车停止时, 有
v(t)105t 0, t2(s).
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
ss020v2v(t(t))ddtt0202(1(10055tt))ddtt [1[100tt551212tt22]]02021100((mm))..
1 xh f (t) d t f ( ) (x x h)
hx
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
h0
h
h0
3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、牛顿莱布尼茨公式
定理2(牛顿莱布尼茨公式)
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
b
a
f
(x)dx
F (b)
F (a)
.
4
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、牛顿莱布尼茨公式
定理2(牛顿莱布尼茨公式)
若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
b
a
f
(x)dx
F(b) F(a)
.
为了方便起见, 可把 F(b)F(a)记成[F(x)]ba , 于是
b
a
f
(x)dx
[F (x)]ba
图形的面积A.
解
A
p
0
sin
xdx
[
cos
x]p0
(y1)
(y1) s2in.
x
A
p
0
sin
xdx
[ cos
x]p0
(1)
(1)
2
.
xdx [cos x]p0 (1)(1)2 .
o
px
6
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例3 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速 停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到 停车, 汽车走了多少距离？
于是
d u2 ( x) f (t )dt
dx u1 ( x)
F (u2 ) |u2 u2 ( x) u2 ( x) F (u1 ) |u1 u1 ( x) u1 ( x)
f [u2( x)] u2( x) f [u1( x)] u1( x).
10
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例6 设f(x)连续, u1(x), u2(x)可导, 则有
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例4
求
1
x(2x 1) dx
0
解 令x(2x 1) 0 x 0, x 1 . 2
当0 x 1 时, x(2x 1) 0; 2
当 1 x 1时, x(2x 1) 0.
2
1
原式 2x(2x 1)dx 0
1
1 x(2x 1)dx
1 4
2
注: 如被积函数有绝对值, 应分区间将绝对值
(x)
x
f (t)dt
1
0
1dt
1
x
t
0
dt
1
x2 2
.
当x (1,2]时,
(x)
x
f (t)dt
1
0
1dt
1
1
t
dt
0
x
(t
1
1)
dt
x
x2 2
.
x 1,
(x)
1
1 2
x2
,
x
1 2
x2,
当1 x 0时, 当0 x 1时, 当1 x 2时.
9
首页
上页
返回
下页
结束