竞赛5物系相关速
第五讲 关联速度
第五讲关联速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．图5-1 图5-２类型2绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。
类型3直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为：ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得：ω＝(ｖｓｉｎ2θ)/(Ｒｃｏｓθ)．例2如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２)ｖＡ1；ｖ2＝(/２)ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６)ｖ，由此求得ｖB2＝(/６)ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２)（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６)ｖ．两解殊途同归．例3如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心)，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心)的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα)．例4如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO 及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖO sinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14图5-15 ｒω－ｖO ｓｉｎα＝ｖ．① 又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO ＝Ｒω，② 由①、②两式可解得ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)，自行证明．例6如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17 分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn ，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn ＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．例7如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为：ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
物理竞赛课件5：物系相关速度
相对速度的应用
在分析力学问题、运动学 问题以及日常生活中的应 用，如交通工具的速度计 算等。
绝对速度
绝对速度
绝对速度的计算
描述一个物体相对于地面或参考系的 速度。
通过测量和计算得出，不受其他物体 运动状态的影响。
绝对速度的特点
不受参考系选择的影响，是绝对的物 理量。
平均速度与瞬时速度
平均速度
描述一段时间内物体运动的平均速度 。
物理竞赛课件5物系 相关速度
目 录
• 相关速度概念 • 相关速度在生活中的应用 • 相关速度在物理实验中的应用 • 相关速度的物理意义 • 相关速度的物理公式
01
相关速度概念
定义
01
02
03
相关速度
当一个物体在另一个物体 上运动时，另一个物体的 速度。
相对速度
一个物体相对于另一个物 体的速度。
实验原理
牛顿第二定律
物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比。
相对速度
当两个物体以不同的速度运动时，它们之间的相对速度可以通过连接两物体的运 动轨迹的线段与垂直于该线段的直线的交角来计算。
实验步骤
01
02
03
04
1. 将滑轮固定在一个稳定的 平面上，用细线的一端连接滑 轮，另一端悬挂一个砝码。
绝对速度
一个物体相对于地面或静 止参考系的速度。
特点
相关速度与参考系的 选择有关。
相关速度的大小和方 向可以通过几何方法 确定。
相关速度是相对速度 和绝对速度的合成。
计算Байду номын сангаас法
平行四边形法则
用于合成两个速度。
三角形法则
用于合成三个速度。
高中物理竞赛-联赛公式大全
n
lim
n
i
1
Wi
在数学上，确定元功相当于给出数列通项
式，求总功即求数列n项和当n→∞时的极限．
♠方法 C
这种求功方法依据功对能量变化的量度关系， 只须了解初、未能量状态，得到能量的增量便 是相应的功量．
W E
♠功能关系基本认识 功是力的空间积累作用，能是对物体运动的一种量
度．功的作用效应是使物体的能量状态发生变化，做功
E 0 ve
2GM r
v0
a
e
d
bc
轨道与 能量
轨道与
引力势 能
E
1 2
mv02
GMm r
能量
恒量
示例
两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作 用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互 作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互 作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰 撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的 动量守恒而机械能不守恒．
W
0
s
x
♠方法 B
如果在某一位移区间，力随位移变化的关系
为F=f(s) ，求该变力的功通常用微元法，即将位
移区间分成n（n→∞）个小区间s/n，在每个小
区间内将力视为恒定，求其元功Fi·s/n ，由于功 是标量，具有“可加性”，那么总功等于每个
小区间内元功之代数和的极限，即变力在这段
位移中所做的功为：W
质点无引力的作用．
距球心r处所置质点受到引力大小
r3
F
G
R3
M
m
r2
G
更高更妙的物理冲刺全国高中物理竞赛-专题5-物系相关速度
2 1 v
如图，由两个圆环所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外 环半径为R1，在二环之间分布的小圆球（滚珠）半径为r，外环以线速度v1顺时针 方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心围绕圆环的中心顺 时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω，设小球与圆环之间无滑动发生．
2
R co s
如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为 3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶 点Ｂ2的速度vB2． B1 B2 这是杆约束相关速度问题 B3 v 分析顶点A2、A1的速度： A1 A2 A3 A
0
专题5-例2
v1
2 2
v A1
v2
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度． 刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是： 在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2 v0
θ
θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征是： 沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.
A O C α v0 V α
B
v0
V0
vn
VA
V0
v 0 R V 0 cos
由于纯滚动，有
v0 r cos R V0 r r cos R v0
V0 r
图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、 Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M 套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地） M运动的速度大小．
加速度之间关系
v1 v2 v 2 v1 v2 2r
一片胶合板从空中下落，发现在某个时刻板上a 点速度和b点 速度相同：va=vb=v，且方向均沿板面；同时还发现板上 c点速度大小比速度 v大一 倍，c点到a、b两点距离等于a、b两点之间距离．试问板上哪些点的速度等于3v？
本题属刚体各点速度问题
∵板上a、b两点速度相同，故a、 b连线即为板瞬时转动轴!
如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、 B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试 问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
由三位舞者运动的对称性可知， 他们会合点在三角形ABC的中心O
每人的运动均可视做绕O转动的
vn
A
同时向O运动，
B 考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时
A O C V
α v0 α
B
v0
V0
vn
VA
V0
v0 R V0 cos
由于纯滚动，有
V0 r
v0 r cos R
r V0 v0 r cos R
图中的AC、BD两杆以匀角速度ω分别绕相距为l的A、 Ｂ两固定轴在同一竖直面上转动，转动方向已在图上示出．小环M 套在两杆上，t=0时图中α=β=60°，试求而后任意时刻t（M未落地） M运动的速度大小．
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变 套在两杆交点的环M所在圆周半径为
D
C M R θβ B l
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角 A
l l R 2cos 30 3
vM
2θ
60° O
α
高中物理竞赛_话题18：关联速度问题
话题18：关联速度问题一、刚体的力学性质:讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移BC A 'B 'C '动时，交点P 便沿直线a 移动，因交点P 亦是直线b 上一点，故与直线b 具有相同的沿直线a 方向的平移速度．同理，若直线b 固定，直线a 移动，交点P 的移动速度与直线a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线a 、b 各自运动，交点P 的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．二、相关的速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。
速度的关联讲解
所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物理竞赛试题）图5-1 图5-２类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题）类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1 如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得ω＝(ｖｓｉｎ2θ/(Ｒｃｏｓθ．例2 如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２ｖＡ1；ｖ2＝(/２ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６ｖ，由此求得ｖB2＝(/６ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６ｖ．两解殊途同归．例3 如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα．例4 如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5 如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖOsinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14 图5-15ｒω－ｖOｓｉｎα＝ｖ．①又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO＝Ｒω，②由①、②两式可解得ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO＝(Ｒｖ/(ｒ－Ｒｓｉｎα，请读者自行证明．例6 如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα/(Ｒ＋ｒｖ．例7 如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8 如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9 如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
物体运动的相关速度
：
B
α
C
vn
A
v
线轴上C点的速度：它应是C点对轴心
O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度 vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C
点法向速度vn应是 ： vn v0 sin
vCnC
C
α v0 v
vn
r v0
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴
与水平面切点为基点，应有
v v0 Rr R
v0
R R
r
v
1 cos v
Rr
D
R
例7：如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上 以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M 的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
（线状交叉物系交叉点相关速度）
M B
φ
将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解:
O
滑环速度即交叉点速度,方向沿圆圈切向;
根据接触物系触点速度相关特征， 两者沿接触面法向的分速度相同， 即
vA cos v0 sin
vA v0 tan
B
vA
α PA α O
α
v0
v0
例5：如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上，
以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心O的
运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做无滑动 的滚动．
度v拉绳头时，物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物
体A 运动的速度是多大？
D
v
（绳约束相关速度）
绳BD段上各点有与绳端D相同 的沿绳BD段方向的分速度v；
B A
vx
C
设A右移速度为vx，即相对于A，绳上B点是以速度vx从动滑
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
M
由于刚性 曲杆 OBC以 O为 轴 转 动 ， 故 BC 上 与 OA直
O 60°vMB
C vMAAC A
杆交叉点M的速度方向垂
30°
直于转动半径OM、大小是:
B
vBCM
B
vBCM
OB
cos
10cm/s
根据交叉点速度相关特征，该速度沿OA
方向的分量即为小环速度，故将vBCM沿
MA、MB方向分解成两个分速度:
Rr
D
R
专题5-例7 如图所示，水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固
定圆圈上以匀速u竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑 环M的速度，设OM与竖直方向的夹角为φ．
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
将杆的速度u沿杆方向与圆圈切 线方向分解:
M B
φ
滑环速度即交叉点速度,方向沿
O
圆圈切向;
根据交叉点速度是相交双方沿
rω
v
α vn v0
专题5-例6 如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且
线端A点速度为v，方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上， 线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．
考察板、轴接触的切点C速度
板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn,
且v板n 上vn正 B是CC点关于RBc轴ot的2转动速度
考察绳、轴接触的切点B速度
A
轴上B点具有与轴心相同的平动
α
速度v0与对轴心的转动速度rω： 绳上B点沿绳方向速度v和与轴
R r v0
O
B点相同的法向速度vn：
C
由于绳、轴点点相切，有
α
v v0 sin r
线轴沿水平面做纯滚动
v0 R
若线轴逆时针滚动，则
v0
Rv
Rsin r
O
B
v
v0
r
R
R sin
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
在同一时刻必具有相同的沿 杆、绳方向的分速度.
v2
v1
v0 θ θ
v1
接触物系接触点速度的相关特征是：
沿接触面法向的分速度必定相 同，沿接触面切向的分速度在 无相对滑动时相同.
物体A沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体A 运动的速度是多大？
这是绳约束相关速度问题
D
v
绳BD段上各点有与绳端D相同
的沿绳BD段方向的分速度v；
B
设A右移速度为vx，即相对于 A
vx
C
A，绳上B点是以速度vx从动
滑轮中抽出的，即 vBA vx
引入中介参照系-物A ，在沿绳BD方向上，绳上B点速度v
3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶
点Ｂ2的速度vB2．
这是杆约束相关速度问题
分析顶点A2、A1的速度：
A0
B1 A1
B2
B3
A2 A3
v
2
2
v1 2 vA1 v2 2 vA2
顶点B2，既是A1B2杆上的点，
v1v2
又是A2B2杆上的点，分别以A1、 A2为基点，分析B2点速度：
：
B
α
C
vn
பைடு நூலகம்
A
v
线轴上C点的速度：它应是C点对轴心 O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度
vCnC
vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C
点法向速度vn应是 ：vn v0 sin
C
α v0 v
vn
r v0
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴
与水R平v面r 切 点vR0 为v基0 点R，R应r 有v
1 cos v
线状相交物系交叉点的速度是:
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.
vt
θ vn v
vn
A
v1
Oαvv2D1dBd v1d
C v2
v0
v2d
专题5-例1 如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一
半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及 杆上与半圆相切点C的速度．
♠研究对象
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略 时,即可将其视作刚体．
具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距 离是恒定不变的; 任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合 而成的.
♠ 刚体运动的速度法则
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相 同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
由图示知 2 2 2
A1
2
B2
v1
v1
vA1 A2
vB2 vA2
vB2 2 vA1 2 vA2
由几何关系
v A1
v 2
,
v
A
2
5v 6
vB2
17 6
专题5-例3 如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D
为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，
小环M的速度即为vMA：
vM vBCM
cot
30o
10
3 cm/s
专题5-例9 如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，
另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交
叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个 轴环紧傍第一个轴环．
根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA cos v0 sin
vA v0 tan
vA
α PA α O
α
v0
v0
专题5-例5 如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光
滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线
轴中心O的运动速度v0．线轴的外径为R、内径为r，线轴沿水平面做 无滑动的滚动．
对方切向运动分速度的矢量和，
φ
滑环速度即为杆沿圆圈切向分速
u
度:
v u
sin
专题5-例8 如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转
动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm，
曲杆的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度．
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆 B
静止,C点速度必沿杆!
C
杆A点速度必沿水平!
以C为基点分解v:
R
由杆约束相关关系: vc v1 v cos
θ
v2 θ
A
v
v2是A点对C点的转动速度,故
v sin R cot
v sin2 R cos
专题5-例2 如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为
是其相对于参照系A的速度vx与参照系A对静止参照系速度
vxcosθ的合成， 即 v vBA vx cos
由上
v
vx 1 cos
专题5-例4 如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面
向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其 顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
这是接触物系接触点相关速度问题 B