山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)
高三数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，1{|0}x B x x +=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（）A. [1,0]-B. [0,3]C. {1,0}-D. {0,1,2,3}【答案】C【解析】【分析】解不等式可得集合{}1,0,1,2,3A =-，()(),11,B =-∞-+∞，即可得到集合C.【详解】由题可得：{}2{|230}1,0,1,2,3A x Z x x =∈--≤=-，()()1{|0},10,x B x x +=>=-∞-+∞，{|C x x A =∈且}x B ∉={1,0}-.故选：C【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解不等式，根据集合的新定义求解.2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ）A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】C【解析】【分析】求出z i ，根据()201950434i i i =即可得解.【详解】由题(1)1z i i -=+()()()112(1)12i i iz i i i ++===-+，()2019201043954i i z i i ==-=.故选：C 【点睛】此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的乘法和乘方运算法则.3.命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12a < B. 12a ≤ C. 2a ≤ D. 3a ≤【答案】D【解析】【分析】根据题意解得命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的充要条件时2a ≤，结合四个选项即可得到其必要不充分条件.【详解】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D【点睛】此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题的真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ）A. 2006B. 2111C. 2113D. 2141【答案】B【解析】【分析】 根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解.【详解】有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x ，除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1，2141不满足除以11余10，2111全都满足故选：B【点睛】此题以中华民族优秀传统文化背景，考查推理，涉及数论相关知识，但此题可通过排除法求解，降低思维难度.5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4后经过点(，则tan α=（ ）A. 3--B. 3-+C. 1-D. 1【答案】A【解析】【分析】 设π,tan 42βαβ=+=-，πtan tan 4αβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】由题：设π,tan 4βαβ=+=，即，tan 2β=- πtan tanπ4tan tan 3π41tan tan 4βαββ-⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭+故选：A【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求三角函数值，根据两角差的正切公式进行三角恒等变换解决给值求值的问题.6.若函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，设0.30.2(2),(log 3),(2)m a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b a c <<【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性求出0m =得出单调性，通过转化0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==即可得到大小关系.【详解】函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，()()f x f x =-恒成立，||||22x m x m +-+=恒成立，即0m =，||()21x f x =-在()0,x ∈+∞单调递增，所以0.30.2(1),(log 3),(2)a f b f c f ===，0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==，0.350log 312<<<所以b a c <<.故选：D【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，根据单调性和奇偶性的综合运用比较函数值的大小. 7.二项式2()n x x -的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）A. 160-B. 80-C. 80D. 160 【答案】A【解析】【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项.【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =， 二项式62()x x -的展开式中，通项6162()r r r r T C xx -+=-， 当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x +=-=-.故选：A【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项. 8.已知函数22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. 1[,0]2-【答案】D【解析】【分析】作出函数图象，结合图象分别讨论即可得解.【详解】作出函数图象：结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立，当x ＞0，必有0a ≤，当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥- 综上所述1[,0]2a ∈-故选：D【点睛】此题考查分段函数，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类与整合，数形结合思想.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ）A. 近三年容易题分值逐年增加B. 近三年难题分值逐年减少C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【答案】AD【解析】【分析】根据对比图可得，近三年容易题分值逐年增加，三年难题分值不是逐年减少，2016年中档题的占比最高，2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上【详解】根据对比图可得容易题这三年分别分值40,55,96，逐年增加，A 正确；难题分值：34,46,12，并不是逐年减少，所以B 不正确；2016年中档题分值76，占比最高，所以C 不正确；2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138100%90%150⨯>，所以D 正确. 故选：AD 【点睛】此题考查对统计图的认识，关键在于认真审题读懂对比图中反映的数据特征，根据所需判断条件计算分析.10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）A. 直线CD 与11B C 是异面直线B. 直线BE 与平面1A CD 平行C. 直线AC 与直线1A D 2D. 直线CD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为104 【答案】BCD【解析】直线CD 与11B C 在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解. 【详解】直线CD 与11B C 在同一平面11B C CB 内，不是异面直线，所以A 选项错误；取11,A C AC 交点O ，连接,OE OD ，1//,//OE CC OE BD 11=2OE CC BD =， 所以四边形BDOE 是平行四边形，//BE OD ， BE ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以直线BE 与平面1A CD 平行，B 选项正确；11//AC A C 直线AC 与直线1A D 所成角就是11A C 与直线1A D 所成角，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，连接1C D 在11AC D ∆中，11111,2AC C D A D === 由余弦定理可得112cos 4212DAC ∠==⨯⨯ 所以直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为24，所以C 选项正确； 由题可得：平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面11AAC C ，//BE OD ，所以OD ⊥平面11AAC C ，线CD 与平面11AAC C 所成角就是DCO ∠，在直角三角形DCO 中，52,CD CO == 直线CD 与平面11AAC C 10，所以D 选项正确.【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-B. (2019)1f =C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点 【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的奇偶性和周期性判定AB 正确，结合图象可得D 正确，利用反例推翻C 选项，或者作图得C 选项错误.【详解】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4，由题：[0,2]x ∈时，()21xf x =-，当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21x f x f x -=-=-，所以A 选项正确； ()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确；()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到， 函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确.故选：ABD【点睛】此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题.12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）A. C 的离心率为2B. C 的渐近线方程为0x =C. 若F 到C ，则C 的方程为22142x y -=D. 设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则2POF S ∆=【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.【详解】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22P ，所以渐近线方程为2y x =±，所以B 选项错误；所以2b a =，离心率2c e a ====，所以A 选项正确；若F 到C ，即2b a ==则C 的方程为22142x y -=，所以C 选项正确；O 为坐标原点，若||||PO PF =,P ，所以F12POF S ∆==，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.已知单位向量,m n 的夹角为23π，则|3|m n +=________．【解析】【分析】 根据题意22|3|96m n m n m n +=++⋅结合平面向量数量积运算即可得解. 【详解】单位向量,m n 的夹角为23π， 则22|3|9619m n m n m n +=++⋅=+=.【点睛】此题考查求解向量的模长，关键在于熟练掌握平面向量数量积的运算法则，根据基本运算律进行计算化简.14.ABC 的内角,,AB C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．则B =________；若5ac +=，ABC 的面积S =b =________． 【答案】 (1).3π (2).【解析】【分析】①根据正弦定理2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即2sin cos sin A B A =，即可得解； ②根据面积公式求得4ac =，由余弦定理b ==即可得解．【详解】①由题：cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B即2cos cos cos a B b C c B =+，由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即()()sin si n cos n 2si B A B C A π==+-()sin ,0,,si 2cos n 0sin A B A A A π∈=>，所以()1cos ,0,,23B B B ππ=∈=， ②5a c +=，ABC的面积S =1sin 42ac B ac ==则由余弦定理b ====故答案为：①3π【点睛】此题考查正余弦定理的应用，根据正弦定理进行边角互化求角的大小，根据面积公式和余弦定理求解边长.15.已知圆22:4440C x y x y +--+=，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________． 【答案】258【解析】 【分析】根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42:33CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解.【详解】圆22:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2:2(0)E y px p =>过点C ，即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2041322CF k -==- 则直线42:33CF y x =-，联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188x x p ++=+= 所以被抛物线截得的弦长为258. 故答案为：258【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4的球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=，22BC =，则三棱锥S ABC -体积的最大值为________． 【答案】8(63)3+【解析】 【分析】根据外接球的性质求出SA 的长度，将体积最大值转化为求三角形ABC 面积最大值，结合图形求解【详解】设三棱锥S ABC -外接球O ，三角形ABC 所在外接圆O 1， 由正弦定理可得三角形ABC 2222= 根据球的几何性质有1OO ⊥平面ABC ，1//OO AS ， 取AS 中点E ，4OS OA ==，OE AS ⊥， 所以216443AS =-= 所以三棱锥S ABC -体积433S ABC ABC V S -∆=结合图形可得当三角形ABC 面积最大时，A 到BC 距离最大，结合圆的几何性质可得此时AB =AC ，190BO C ∠=︒，1O 到BC 2， A 到BC 距离2，三角形ABC 面积最大值为(122222222⨯=+三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=⨯的最大值为3(2+=3故答案为：3【点睛】此题考查多面体外接球问题，根据几何特征处理几何体的体积，将体积问题转化为求三角形面积问题，涉及数形结合，转化与化归思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在①()f x 的图像关于直线56x πω=对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ≤≤，所以当1k =时，6π=ϕ，()2cos()6f x x πω=+， 当[0,]2x π∈时，[,]6626x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有26πωππ+≤，解得503ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选②，()cos 2cos()3f x x x x πωωω==+，所以3πϕ=，当[0,]2x π∈时，[,]3323x πππωπω+∈+， 若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有23πωππ+≤，解得403ω<≤， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=， 因为02πϕ≤≤，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，当[0,]2x π∈时，[0,]2x πωω∈，若函数()f x 在[0,]2π上单调，则有2πωπ≤，解得02ω<≤，所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2π上是单调的．【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和． 【答案】（1）12n n a += （2）22224n n ++-【解析】 【分析】（1）原式变形11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，结合各项都为正数，即可得到等比数列，求得通项公式；（2）结合（1）写出通项公式11252,21,22-5,2,n n n n n k n N b n n k n N++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩，利用分组求和即可得解. 【详解】（1）由211(21)20n n n n a a a a ++---=得11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，11110,2,2n n n n na a a a a ++++>∴=∴=． 所以{}n a 为首项为4,2q =的等比数列，11422n n n a -+∴=⋅=．（2）由题意11252,21,22-5,2,n n n n n k n Nb n n k n N++*⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩ 则{}n b 的前2n 项和2321222 (2)2[(21)(43)...(221)]n n S n n +=++++-+-++-+ 222242222412n n n n ++-=+=+--．【点睛】此题考查根据数列递推关系求通项公式，利用分组求和进行数列求和，需要熟练掌握常见递推数列处理办法，熟记相关公式.19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，D 为AC 的中点．（1）当112AE EA =时，求证：1DE BC ⊥； （2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明ED ⊥平面1BDC 得证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决.【详解】（1）证明：连结1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥． 因为112AE EA =,2AB =，13AA =3AE=31AD =， 所以在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC 中，160C DC ∠=︒， 所以190EDC ∠︒＝，即1ED DC ⊥，所以ED ⊥平面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．（也可以利用建系的方法证明） （2）假设存在点E 满足条件，设AE h =．取11A C 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，分别以DA 、DB 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)?，B(0,3,0) ，E(1,0,)h ，所以(0,3,0) DB = (1,0,) DE h = (-1,3,0) AB =(0,0,)AE h =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒11130x hz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，得1,0,1()n h -=，同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒222300x hz ⎧-=⎪⎨=⎪⎩∴2(3,1,0)n =． 所以122|3|3cos ,21h n n h -==+， 所以2||1h h + 所以h 无解．故不存在点E ，使二面角A BE D --等于30．【点睛】此题考查线面垂直的证明，利用线面垂直证明线线垂直，利用空间直角坐标系解决空间角的问题，需要熟练掌握法向量法在解决空间角问题中的应用.20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司20112018-年的相关数据如下表所示：年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018注：=年返修台数年返修率年生产台数．（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．参考公式：回归方程y bx a =+，其中1121221(ˆ()())n niii ii i nniii i x y x x y x y n x ybx x xn ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，81148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，81()18.045i i y y =-=∑，821()72ii x x =-=∑．【答案】（1）分布列见解析，() 2.5E ξ=； （2）0.48 1.27y x =+ 【解析】 【分析】（1）ξ可能取1,2,3,4，分别求出其概率，写出分布列，根据公式求得期望；（2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值，根据新数据求出样本点的中心，即可得到回归直线方程.【详解】（1）由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀．ξ可能取1,2,3,4．所以3135481(1)14C C P C ξ===,2235483(2)7C C P C ξ===，1335483(3)7C C P C ξ===，0435481(4)7C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为故数学期望13315()1234 2.51477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==（万元）． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb的值， 所以121(34.5ˆ0.4872()())niii nii bx x x x y y ==--==≈-∑∑． 去掉2015年的数据后，68667x ⨯-'==，4832977y ⨯-'==， 所以2934.5ˆˆ6 1.27772ay bx =-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.48 1.27y x =+．【点睛】此题考查求离散型随机变量分布列和期望，根据数据求解回归直线方程，关键在于熟练掌握回归方程相关数据的求解方法，准确计算概率.21.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点在抛物线2y =的准线上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过右焦点2F 做斜率存在的直线l ，交椭圆于A B 、两点．（i ）已知点1(0,)2M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABOS的取值范围．【答案】（1）2212x y +=； （2）（i ）存在，0y =；（ii）(0,2【解析】 【分析】（1）根据焦距和顶点坐标求解椭圆的标准方程；（2）（i ）设出直线方程，联立直线和椭圆方程结合韦达定理，利用斜率关系求解；（ii ）求出弦长和点到直线距离表示出三角形面积，利用函数关系求解三角形面积取值范围. 【详解】（1）由题意可得22,1c c =∴=抛物线2y =的准线为x a =∴=解得222211b a c ∴=-=-=所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）（i ）已知2(1,0)F ，设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y 22(,)B x y联立直线与椭圆方程22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222)202142(-=+-+x k x k k 所以22121222422,1212k k x x x x k k-+==++，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+ 所以AB 的中点坐标为2222(,)1212k kG k k-++ ①当0k ≠时，2222212121122||||,24012MGk k k k MA MB k k k kk ------+=∴===-+， 整理得22210,k k -+=方程无解②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意． 所以存在直线0y =满足题意．（ii ）由（i）知||AB ==22)12k k +=+而原点O 到直线l的距离d =所以1||2ABOSAB d ===221,0,4()1,02ABOk R k k S∈≠∴+>∴<< 综上，ABOS的取值范围为(0,2． 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系结合韦达定理解决是否存在满足条件的探索问题，求解面积最值问题. 22.已知函数()2ln f x x x x =+．（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值． 【答案】（1）32y x =- （2）4 【解析】 【分析】（1）设切点坐标，写出切线方程，建立等量关系求解； （2）将问题转化为1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立，利用函数求解最值，即可得解.【详解】（1）因为点(0,2)-不在直线l 上， 设切点坐标为00(,)x y ，则00002ln y x x x =+． 因为()12ln 232ln f x x x '=++=+． 所以00000000222ln ()32ln l y x x x k f x x x x +++'==+==，解得01x =． 所以3l k =，所以直线l 的方程为32y x =-． （2）由题意知，1x ∀>，2ln 1x x xk x +>-恒成立min 2ln ()1x x xk x +>-令2ln ()1x x xg x x +=-，22(32ln )(1)(2ln )22ln 3()(1)(1)x x x x x x x g x x x +--+--'∴==--．设()22ln 3h x x x =--，所以2(1)()0x h x x-'=>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又55(2)12ln 20,()2(1ln )022h h =--<=->， 所以存在05(2,)2x ∈，在005(2,),()0,(,),()02x x h x x x h x ∈<∈>，所以()g x 在0(2,)x 上单调递减，在05(,)2x 上单调递增． 所以000min 002ln ()()1x x x g x g x x +==-， 而000()22ln 30,h x x x =--= 所以200min 0022()21x x g x x x -==-． 所以0max 2(4,5),4k x k <∈∴=．【点睛】此题考查导数的综合应用，利用导数的几何意义解决切线问题，等价转化，分离参数，利用导数求解最值问题，涉及隐零点问题的处理.。
山东省威海市实验中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析
山东省威海市实验中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为A、B、C、D、参考答案：B知识点：直线与圆的位置关系解析：圆的标准方程为：圆心为（3,4），半径为5．过点的最长弦为直径，即过点的最短弦BD垂直于AC，点与圆心的距离为1．所以所以四边形的面积为：故答案为：B2. 若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣1参考答案：B【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为： =，所求表达式的最小值为： =，故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，注意约束条件表示的可行域，以及所求表达式的几何意义是解题的关键．3. 已知函数（）的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度参考答案：D4. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D略5. 已知，，则（）A. B.或 C. D.参考答案：C【知识点】三角函数的求值解析：因为，所以或，得，则，所以选C.【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键.6. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）参考答案：A【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A．甲、丙、乙B．乙、甲、丙C．乙、丙、甲D．丙、乙、甲参考答案：C8. 若实数x，y满足，则的值为（）A．128 B．256 C．512 D．4参考答案：B实数，满足，化简得到联立第一个和第三个式子得到故答案为：B.9. 定义：如果函数在上存在，（），满足，，则称数，为上的“对望数”，函数为上的“对望函数”．已知函数是上的“对望函数”，则实数的取值范围是.. ..参考答案：.由题意可知，在上存在，（），满足，因为，所以方程在上有两个不同的根.令（），则，解得，所以实数的取值范围是．故选．【解题探究】本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数所满足的条件，解之即得所求.10. 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是(A) (B) (C) (D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为．参考答案：112. 已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．参考答案：﹣略13. 已知直线与圆相切，则的值为________.参考答案：14. 函数的递减区间是 .参考答案：（0，1）15. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．参考答案：8﹣2π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，且正方体的棱长为2，圆柱体的底面圆半径为2，高为2；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V圆柱体=23﹣×π×22×2=8﹣2π．故答案为：8﹣2π．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．16. 已知数列{a n}中，，，且．则数列的前n项和为____________参考答案：17. 不等式的解集是______________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省威海市2019届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
山东省威海市2019届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i2．若集合，B={x||x|＜3}，则集合 A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}3．命题p：若λ=0，则=0；命题q：∃x0＞0，使得x﹣1﹣lnx=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣25．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．6．已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．47．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④8．已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．710．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B． C．3 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数y=的定义域是．12．已知=（2，m），=（1，1），•=|+|则实数m的值为．13．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．15．观察下列等式，按此规律，第n 个等式的右边等于 ．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC 的面积为，求sinB 的值．17．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．18．已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列{b n }前n 项和T n ．19．空间几何体ABCDEF 如图所示．已知面ABCD ⊥面ADEF ，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=4，AB=AD=2，G 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．20．已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年山东省威海市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足（1+i）z=2i，则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1+i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2i，得=，则z的虚部是：1．故选：A．2．若集合，B={x||x|＜3}，则集合 A∪B为（）A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|﹣3＜x＜2} C．{x|﹣5≤x＜3} D．{x|﹣3＜x≤2}【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．3．命题p：若λ=0，则=0；命题q：∃x0＞0，使得x﹣1﹣lnx=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：若λ=0，则=，故命题p为假命题；当x0=1时，x﹣1﹣lnx=0，故命题q为真命题，故p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题；（￢p）∧q为真命题，故选：D4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B．C．﹣1 D．﹣2【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=11时，满足条件，计算即可得解．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1第一圈 2 是第二圈﹣1 3 是第三圈 2 4 是…第9圈 2 10 是第10圈 11 是故最后输出的a值为．故选：B．5．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】弧长公式；二倍角的余弦．【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x﹣）+，由2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程，k取值为﹣1即可得出．【解答】解：∵==cos（2x﹣）+，∴令2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程为：x=+，k∈Z，∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣．故选：D．6．已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在z=3x﹣y，解得z=3，故选：C．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α；②，若α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥β，则n⊥m；③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α、β不一定垂直；④，若n⊥β，m∥n⇒m⊥β，又∵m∥α，则α⊥β．【解答】解：对于①，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n⊂α，故错；对于②，若α∥β，n⊥α⇒n⊥β，又∵m∥β，则n⊥m，故正确；对于③，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α、β不一定垂直，故错；对于④，若n⊥β，m∥n⇒m⊥β，又∵m∥α，则α⊥β，故正确．故选：C8．已知双曲线与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．9．偶函数f（x）满足f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，则函数g（x）=f（x）﹣lgx在x∈（0，10）上的零点个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【分析】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【解答】解：∵f（x﹣1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），∴原函数的周期T=2．又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x，∴x∈[0，1]时，f（x）=x，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（﹣x）=f（x+2）．设 y1=f（x），y2=lgx，x=10，y2=1函数g（x）=f（x）﹣lgx在（0，10）上的零点的个数如图：即为函数y1=f（x），y2=lgx的图象交点的个数为9个．函数g（x）=f（x）﹣lgx有9个零点故选：B．10．已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B． C．3 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则=．故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数y=的定义域是（﹣1，2）．【考点】对数函数的定义域．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，分母不等于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义，须解得﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）12．已知=（2，m），=（1，1），•=|+|则实数m的值为 3 ．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据向量的数量积公式和向量的模得到关于m的方程，解得即可．【解答】解：∵=（2，m），=（1，1），•=|+|，∴•=2+m，|+|=，∴2+m=，解得m=3，故答案为：3．13．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱，底面面积为：S=2×2=4，底面周长为：C=2×（2+）=4+4，高h=4，故几何体的表面积为：2S+Ch=；故答案为：．15．观察下列等式，按此规律，第n个等式的右边等于3n2﹣2n ．【考点】归纳推理．【分析】由图知，第n个等式左边是n个奇数的和，第一个奇数是2n﹣1，由等差数列的求和公式计算出第n个等式的和，即可得结果．【解答】解：由图知，第n个等式的等式左边第一个奇数是2n﹣1，故n个连续奇数的和故有n×=n×（3n﹣2）=3n2﹣2n．故答案为3n2﹣2n．三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为，求sinB的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合sinB≠0，可得：，进而可求C的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求b，由余弦定理得c，进而利用正弦定理可求sinB的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，，可整理变形为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由A=π﹣（B+C），可得：sinA=sin（B+C）所以：，整理得：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为sinB≠0，所以，可得：，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由已知a=5，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，故，…可得：．…17．为监测全市小学生身体形态生理机能的指标情况，体检中心从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据分成如下5个组：[100，110），[110，120），…，[140，150），并绘制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若该校共有学生1000名，试估计身高在[100，130）之间的人数；（Ⅱ）在抽取的100名学生中，按分层抽样的方法从身高为：[100，110），[130，140），[140，150）3个组的学生中选取7人参加一项身体机能测试活动，并从这7人中任意抽取2人进行定期跟踪测试，求这2人取自不同组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布图中小矩形面积之和为1的性质，先求出a=0.030，从而求出身高在[110，130）之间的频率，由此能求出身高在[110，130）之间的人数．（Ⅱ）该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人，这三个组分别为A组，B组，C 组．从A组抽取人数1人，B组抽取4人，C组抽取2人，利用列举法能求出任意抽取2人，这2人取自不同身高组的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由（0.005+0.035+a+0.020+0.010）×10=1，解得a=0.030．所以身高在[110，130）之间的频率为：（0.035+0.030）×10=0.65， 所以身高在[110，130）之间的人数为：0.65×100=65人．（Ⅱ）估计该学校学生身高在[100，110），[130，140），[140，150）内的频率分别是0.05，0.2，0.1，所以这三个组的人数分别为5人，20人，10人，共35人． 记这三个组分别为A 组，B 组，C 组．则A 组抽取人数为；B 组抽取人数为；C 组抽取人数为， 设“任意抽取2人，这2人取自不同身高组”为事件M ， 则所有的基本事件空间为：共21个元素，事件M 包含的基本事件有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 1，C 1），（A 1，C 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2）， （B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 3，C 1），（B 3，C 2），（B 4，C 1），（B 4，C 2），共14个，所以这2人取自不同组的概率．18．已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列，求数列{b n }前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ） 由数列的递推公式，可得所以数列{a n }为等比数列，且公比，首项a 1=1，（Ⅱ）根据错位相减法，即可求出数列的数列{b n }前n 项和T n ．【解答】解：（ I ），因为数列{an }各项均为正数，所以an+1≠0，所以an=2an+1，所以数列{an }为等比数列，且公比，首项a1=1所以；（Ⅱ），，①②①﹣②得，所以．19．空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，推导出AHGB为平行四边形，从而AH∥BG，由此能证明BG∥面ADEF．（Ⅱ）推导出BD⊥BC，ED⊥AD，ED⊥BC，由此能证明BC⊥面BDE．（Ⅲ）三棱锥E﹣BDG的体积VE﹣BDG =VE﹣BDC﹣V_G﹣BDC，由此能求出结果．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，因为G、H分别为EC、ED的中点，所以HG∥CD且；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为AB∥CD且所以AB∥HG，且AB=HG，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以AHGB为平行四边形，所以AH∥BG；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为BG⊄面PBC，AH⊂面PBC，所以BG∥面ADEF；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，由题意得，在Rt△ABD中，由题意得所以△BDC中，由勾股定理可得BD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由ADEF为正方形，可得ED⊥AD由面ABCD⊥面ADEF，得ED⊥面ABCDBC⊂面ABCD，所以ED⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以BC⊥面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）因为DE⊥平面BDC，DE=2，G到到平面BDC的距离d==1，S△BDC===4，所以三棱锥E﹣BDG的体积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率及△PF1F2的周长求出a、b即可；（Ⅱ）由已知求出MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m，k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，k的值，从而得到直线l的方程．【解答】解：（ I）设椭圆的方程为，由题可知，﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ II）令，解得，所以|MN|=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线l与圆x2+y2=1相切可得，即k2+1=m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以﹣﹣﹣﹣将k2+1=m2代入可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当且仅当，即时，等号成立，此时．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，当时，四边形MANB的面积具有最大值，直线l方程是或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a（1）当△=1﹣8a≤0，即时，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当△＞0，即时，由2x2﹣x+a=0解得或i）当时，0＜x1＜x2，所以当或时f′（x）＞0当时f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）当a≤0时，所以当时f′（x）＞0，当时f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述：当时，函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．当时，函数f（x）的单增区间为和，单减区间为．当a≤0时，函数f（x）的单增区间为，单减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max ﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上单调递增，∴F（x）≤F（x）max ﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即alna﹣a+1＞m对任意的a∈（1，+∞）恒成立，令h（a）=alna﹣a+1，a∈（1，+∞），只需h（a）min＞m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣h′（a）=lna，∵a∈（1，+∞），∴h′（a）＞0，∴h（a）在a∈（1，+∞）上单调递增，∴h（a）＞h（1）=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以m≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
山东省威海市文登七里中学2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析
山东省威海市文登七里中学2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知O为原点，P为椭圆( 为参数)上第一象限内一点，OP的倾斜角为，则点P坐标为( ).A.(2,3)B.(4,3)C.(2,)D.(,)参考答案：D2. 设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是（）A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线参考答案：B略3. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为A．2 B．C． D．1参考答案：B4. 设O为坐标原点，动点满足，则的最小值是A． B．— C． D．－参考答案：D5. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(2010)＋f(2011)＝()A．1 B．2C．－1 D．－2参考答案：A6. 设集合A={}，则满足A B={0，1，2}的集合B的个数是( )A 1B 3C 4D 6参考答案：C7. 对于数列{an}，定义数列为数列an的“差数列”若a1=1，{an}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{an}的通项公式an =A. 3n -1；B. 3n+1 +2；C.（3n -1）/2；D.（3n+1 -1）/2；；参考答案：C略8. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．【解答】解：设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．则=5，解得．∴a3==．故选：A．9. 椭圆+=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点的距离为（）A．3 B．5 C．7 D．8参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义，求解P到另一焦点的距离即可．【解答】解：椭圆+=1，可得a=5，椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则P到另一焦点的距离为：10﹣2=8．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．10. 已知向量，，若m+n与共线，则等于( )(A) (B)(C)(D)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为．参考答案：【考点】模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，则，即可得出结论．【解答】解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为S，则，∴S=．故答案为．【点评】本题考查了几何概型的应用及频率估计概率的思想应用，属于基础题．12. 过椭圆上一点作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴, 轴分别交于点两点, 则的面积的最小值为．参考答案：13. 设定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是__________________．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【试题分析】当时，因为，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，并且，所以，综上，不等式的解集为，故答案为.14. 设函数f（x）=，则方程f（x）=的解集为．参考答案：{﹣1，}【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合指数函数和对数函数的性质，解方程即可．【解答】解：若x≤0，由f（x）=得f（x）=2x==2﹣1，解得x=﹣1．若x＞0，由f（x）=得f（x）=|log2x|=，即log2x=±，由log2x=，解得x=．由log2x=﹣，解得x==．故方程的解集为{﹣1，}．故答案为：{﹣1，}．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的性质及运算是解决本题的关键．15. 中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为.参考答案：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以用算筹可表示为．16. 已知等差数列的前n项和为，并且，若对n∈N*恒成立，则正整数的值为____________参考答案：517. 已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是___________.①；②曲线在处的切线斜率最小；③函数在存在极大值和极小值；④在区间(0,2)上至少有一个零点.参考答案：②③④【分析】根据的导数的正负性来判断的单调性，逐个选项进行判断.【详解】因为，所以，那么，即，又因为，所以，.①中不能从条件判断出来，比如和均符合题中函数，但是可正可负.，所以①错误。
山东省威海市文登第四中学2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析
山东省威海市文登第四中学2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集，集合则集合=A． B．C． D．参考答案：B2. 已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于( )A．4 B．5 C．6 D． 7参考答案：B，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.3. 数列满足：，则数列前项的和为A．B．C．D．参考答案：A考点：倒序相加，错位相减，裂项抵消求和因为，所以所以数列是以2为公差的等差数列，所以所以所以所以数列前项的和故答案为：A4. （5分）已知，给出下列四个结论：①a＜b②a+b＜ab④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④参考答案：B【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．解：∵，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的性质，利用条件先判断b＜a＜0是解决本题的关键，要求熟练掌握不等式的性质及应用．5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是A．与 B．与C．与D．与y=log a a x (a﹥0且a≠1)D略6. 具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：✍；✍；✍中满足“倒负”变换的函数是( )A．✍✍ B．✍✍ C．✍✍D．只有✍参考答案：B7. 函数f（x）=e x+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．故选：C．【点评】本题考查了函数零点的判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.9. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A10. 已知,函数在上单调递减.则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB=．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边a、b、c的关系，由余弦定理求出cosB的值．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理得，b2﹣a2=ac，①∵△ABC的面积为a2sinB，∴，则c=2a，代入①得，b2=2a2，由余弦定理得，cosB===，故答案为：．12. 的二项展开式中的常数项为160，则实数a=______．参考答案：13. 已知等比数列{a n}（n＝1，2，3）满足a n+1＝2﹣|a n|，若a1＞0，则a1＝_____．参考答案：1或2+或2﹣【分析】由已知可知，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，结合等比数列的性质可求．【详解】解：等比数列{a n}满足a n+1＝2﹣|a n|，且a1＞0，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，则a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，由等比数列的性质可知，，若a3＝a1，则，解可得，a1＝1，此时数列的前3项分别为1，1，1，若a3＝4﹣a1，则，解可得a1＝2，当a1＝2-时，数列的前3项分别为2-,，2+，当a1＝2+时，数列的前3项分别为2+，，2﹣，故答案为：1或2+或2﹣．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，体现了分类讨论思想的应用．14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .参考答案：16.函数与的图象有n个交点，其坐标依次为，，…，，则．参考答案：4，两个函数对称中心均为(0,1)；画图可知共有四个交点，且关于对称，故.16. 已知满足条件，则的最大值为参考答案：17. 的展开式中的常数项为______________(用数字作答)参考答案：24略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省威海市2020版高三上学期期末数学试卷(理科)C卷
山东省威海市2020版高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·长沙模拟) 已知全集，集合，集合，则为（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高二下·临漳期中) 复数z= 的虚部为（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i3. （2分）(2017·重庆模拟) 某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），…，若程序运行中输出一个数组是（x，﹣10），则数组中的x=（）A . 16B . 32C . 64D . 1284. （2分）(2019·吕梁模拟) 如图，，与的夹角为，若，则（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）(2017·宁德模拟) 已知M为双曲线右支上一点，A，F分别为双曲线C左顶点和的右焦点，MF=AF，若∠MFA=60°，则双曲线C的离心率为（）A . 2B . 3C . 4D . 66. （2分）函数，（）在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（）A .B .C .D .7. （2分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A . （1，）B . （，+∞）C . （， 2）D . （2，+∞）8. （2分） (2016高三上·滨州期中) 已知sin（﹣α）= ，则cos2（+α）的值是（）A .B .C . ﹣D . ﹣9. （2分）曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A . 1B . 2C .D .10. （2分）(2017·湖北模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·重庆模拟) 如图，在矩形中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·兰州期中) 已知f（x）=x3﹣3x，则函数h（x）=f[f（x）]﹣1的零点个数是（）A . 3B . 5C . 7D . 9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为________14. （1分）(2015·岳阳模拟) 若二项式的展开式中只有第4项的系数最大，则展开式中常数项为________．15. （1分） (2015高三下·武邑期中) 过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为60°，若球半径为3，则弦AB的长度为________16. （1分）(2014·天津理) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （5分） (2019高二上·开福月考) 已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14．（I）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：… ，求{bn}的前n项和．18. （5分） (2017高二上·宜昌期末) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．表1：（乙流水线样本频数分布表）产品重量（克）频数（490，495]6（495，500]8（500，505]14（505，510]8（510，515]4（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x2+y2=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx﹣2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．甲流水线乙流水线合计合格品a=b=不合格品c=d=合计n=P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：下面的临界值表供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19. （10分） (2018高二上·承德期末) 如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为 .（1）证明：为的中点；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. （10分） (2018高二上·南宁月考) 已知双曲线：的离心率为，且（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点且线段的中点在圆上，求的值.21. （5分） (2017高二下·鸡泽期末) 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. （10分）如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE．求证：（1） BF是圆O的切线；（2）BE2=AE•DF．23. （10分）(2020·安徽模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程 (为参数)，若直线的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C （1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线C的交点，求点Q的极径.24. （10分） (2020高一上·桂林期末) 已知函数， .（1）求实数的值；（2）用定义证明的单调性，并求出其最大值和最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：。
山东省2019-2020学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
山东省2019-2020学年度第一学期期末考试高三理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=5A x x x >，{}=1,3,7B -，则AB =( )A.{}1-B.{}7C.{}1,3-D.{}1,7-2.复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z =( ) A.5i -B.5iC.1+5iD.15i -3.某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数、众数、极差分别是( )A.24，33，27B.27，35，28C.27，35，27D.30，35，284.已知322παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()tan 2πα+=( )A.7B.5±C.7±D.55.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知()201720162018201721f x xx x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在M 处应填的执行语句是( )A.n i =B.2018n i =-C.1n i =+D.2017n i =-6.将函数()sin cos 1f x x x =-+的图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心为( ) A.06π⎛⎫⎪⎝⎭，B.16π⎛⎫⎪⎝⎭，C.706π⎛⎫⎪⎝⎭，D.716π⎛⎫⎪⎝⎭， 7.已知等边AOB ∆（O 为坐标原点）的三个顶点在抛物线()2:20y px p Γ=>上，且AOB ∆的面积为p =( )B.3C.28.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c o s 02ba B c --=，272a bc =，b c >，则bc =( ) A.32B.2C.3D.529.函数()33sin x f x x=，()(),00,x ππ∈-的大致图像是( )A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B.43πC.2πD.3π11.在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，且11AB C ∆为等边三角形，11122B C AA ==，则直线AB 与平面11B C CB 所成角的正切值为( )A.3B.2C.4D.212.已知双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线的左顶点，双曲线C 的一条渐近线与直线2a x c=-交于点P ，1=F M MP ，且1F P AM ⊥，则双曲线C 的离心率为( ) A.3C.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()52211x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为8，则a =_________.14.平行四边形A B C D 中，24AB AD ==，23DAB π∠=，14DP DC =，则P A P B ⋅=_________.15.已知实数,x y 满足不等式组240240x kx y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若2z x y =+的最小值为8，则22x y +的取值范围是________.16.若不等式()()21112x n x ax ax ++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a ，满足11a =，11233n n n n a a a a +++=； （1）求{}n a 的通项公式； （2）若()1111n n n n c a a ++=-，求{}n c 的前2n 项的和2n T .18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是正方形，AC ⊥侧面11AA B B ，AC AB =，点E 是11B C 的中点.（1）求证：1C A //平面1EBA ；（2）若1EF BC ⊥，垂足为F ，求二面角1B AF A --的余弦值.19.2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：（1）估计该组数据的中位数、众数；（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布()210N μ，，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求()50.594P Z <<；（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （ⅰ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； （ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：现有一位市民要参加此次问卷调查，记X (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列和数学期望.， 若()2,ZN μσ，则()+=0.6826P Z μσμσ-<<，()2+2=0.9544P Z μσμσ-<<.20.已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，且过点(2,2)A ，椭圆2222:1(0)x y D a b a b+=>>的离心率为e =，点B 为抛物线C 与椭圆D 的一个公共点，且3=2BF . （1）求椭圆D 的方程；（2）过椭圆内一点(0,)P t 的直线l 的斜率为k ，且与椭圆C 交于,M N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12+=k k k λ，求实数λ的取值范围. 21.已知函数()()ln 1x mf x ex x m x -=---；（1）若1m =，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若()()='g x f x ，试讨论()g x 零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin()14πρθ+-.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且||||OA OB <，求11||||OA OB -. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+（1）若不等式()1f x a ≤+恒成立，求a 的取值范围; （2）求不等式()23f x x -+>的解集.试卷答案一、选择题1-5:DABAB 6-10:BCBCA 11、12：DC二、填空题13.3 14.3 15.[]13,32 16.1[,)2+∞三、解答题17.解：（1）由11233n n n n a a a a +++=，得11123n n a a +=+，所以11123n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为23的等差数列，所以()122111333n n n a =+-=+，即321n a n =+. （2）设21221222111n n n nn n c c a a a a --++=-21212111()n n na a a -+=-所以212+1114=3n n a a ---，即2122413n n nc c a -+=-⋅， 2122334451111n T a a a a a a a a =-+-21222111n nn n a a a a -+++-=2424111()3na a a -+++ 2541()4843333293n n n n ++=-⨯=--. 18.解：（1）如图，连结1BA ，1AB 交于O ，连结OE ，由11AA B B 是正方形，易得O 为1AB 的中点，从而OE 为11C AB ∆的中位线，所以1//EO AC ，因为EO ⊂面1EBA ，1C A ⊄面1EBA ，所以1//C A 平面1EBA .（2）由已知AC ⊥底面11AA B B ，得11A C ⊥底面11AA B B ，得111C A AA ⊥，1111C A A B ⊥，又111A A A B ⊥，故1A A ，11A B ，11A C 两两垂直，如图，分别以1A A ，11A B ，11A C 所在直线为,,x y z 轴，1A 为原点建立空间直角坐标系， 设1=2AA ，则()10,0,0A ，()2,0,0,A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()2,2,0B ，则()12,2,2C B =-，()1=2,0,0A A ，()=0,2,0AB ， 设()000,y ,F x z ，11C F C B λ=，则由()1000,,z 2C F x y =-，得()()000,y ,22,2,2x z λ-=-，即得0002222x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，于是()2222F λλλ-，，，所以()221,12EF λλλ=--，，又1EF C B ⊥，所以()()()222121220λλλ⨯+-⨯+-⨯-=，解得13λ=， 所以224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，1224,,333A F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，424,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面1A AF 的法向量是(),,n x y z =，则111100A A n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨++=⎩，令1z =，得()10,2,1n =-.又平面ABF 的一个法向量为()2111,,n x y z =，则220AB n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120220y x y z =⎧⎨-++=⎩，令11z =，得()21,0,1n =，设二面角1B AF A --的平面角为θ，则121210cos n n n n θ⋅==⋅， 由1A A AB ⊥，面1FA B ⊥面1AA B ，可知θ为锐角， 即二面角1B AF A --的余弦值为10.19.解：（1）由(0.0025+0.0050+0.0.0150+0.02a +0.0250)10+⨯=，得0.0200a =，设中位数为x ，由().025+.0150+.02010+⨯()60.02500.50x -⨯=，解得65x =，由频率分布直方图可知众数为65. （2）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为=350.025+450.15μ⨯⨯+550.20+650.25+⨯⨯750.225+85⨯⨯0.1+950.05⨯ =0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65因为由于得分Z 服从正态分布()65,210N ，所以()50.594=P Z <<()6014.56014.52P Z -<<+⨯0.6826+0.9544=0.81852=.（3）设得分不低于μ分的概率为p ，则()1=2P Z μ≥， X 的取值为10，20，30，40，()14310238P X ==⨯=，()1113313202424432P X ==⨯+⨯⨯=，()12141330()23416P X C ==⨯⨯=，()11114024432P X ==⨯⨯=， 所以X 的分布列为：所以31331751020304083216324EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，得22=22p ⨯，解得1p =.所以抛物线C 的方程为22x y =，其焦点1(0,)2F ， 设(),B m n ，则由抛物线的定义可得13()22BF n =--=，解得1n =，代入抛物线方程可得222m n ==，解得m =()B ，椭圆C 的离心率2e ==，所以a =，又点()B 在椭圆上，所以22211a b +=，解得2a =，b =， 所以椭圆D 的方程为22142x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx t =+.由22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122421ktx x k -+=+，2122242+1t x x k -=， 而1212121212y y kx t kx t k k x x x x +++=+=+12212()422t x x kk x x t +-=+=-，由12k k k λ+=，得242kk t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-. 由题意得点()0,P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥.21.解：（1）1m =时，()1ln x f x ex x -=-，()1'ln 1x f x e x -=--，要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()'0f x ≥对0x >恒成立， 令()1x i x ex -=-，则()1'1x i x e -=-，当1x >时，()'0i x >，当1x <时，()'0i x <，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 所以()()10i x i ≥=，即1x e x -≥（当且仅当1x =时等号成立）， 令()()1ln 0j x x x x =-->，则()1'x j x x-=， 当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在（0，1）上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j ≥=，即ln 1x x ≥+（当且仅当1x =时取等号），()1ln 1x f x e x -'=--()ln 10x x ≥-+≥（当且仅当1x =时等号成立） ()f x 在()0+∞，上单调递增.（2）由()ln x mg x ex m -=--有()()1'0x m g x e x x-=->，显然()'g x 是增函数， 令()0'0g x =，得001x mex -=，00x me x e =，00ln m x x =+， 则(]00,x x ∈时，()'0g x ≤，[)0,x x ∈+∞时，()'0g x ≥，∴()g x 在(]00x ，上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x 有极小值，()0000001ln 2ln x m g x e x m x x x -=--=--， ①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；②1m <时，001x <<，()()011010g x g >=--=，()g x 没有零点；③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()0m m m em e m g e e m m e -----=+-=>，又对于函数1x y e x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥， ∴当0x >时，1010y >--=，即1x e x >+，∴()23ln3m g m e m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m -=-=， ∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又01m e x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点.22.解：（1）由5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得2y x =，由2sin()14πρθ+-，得22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，所以曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y +--+=，即()()22111x y -+-=.即曲线C 是圆心为()1,1，半径1r =的圆. （2）联立直线l 与曲线C 的方程，得22s i n 2cos 10t an 2ρρθρθθ⎧--+=⎨=⎩，消去θ，得2+1=0ρρ-， 设A B 、对应的极径分别为1ρ，2ρ，则12+5ρρ=，12=1ρρ⋅， 所以121211==OA OB ρρρρ--12523.解：（1）因为()()()12123f x x x x x =--+≤--+=， 所以由()1f x a ≤+恒成立得13a +≥，即13a +≥或+13a ≤-所以2a ≥或4a ≤-. （2）不等式1223x x --+>等价于1223x x --+>或1223x x --+<-，5,112233,215,2x x x x x x x x --≥⎧⎪--+=---≤<⎨⎪+<-⎩.图像如下：由图知解集为{8x x <-或}0x >.。
山东省2019-2020学年高三上学期期末数学检测(文)试题含答案
ex
1 5x
（其中 e 为自然对数的底数） ，则 y 1
f ( x) 的大致图象为
A.
B.
C.
D.
10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（
）
A． 32 3 16π
B
16 π
．8 3
C.
32 3 6π
D
． 8 3 6π
3
3
3
3
11．已知点 F1是抛物线 C ： x2 2 py 的焦点，点 F2 为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，
（Ⅰ）当 f ( x) 在 x 1 处争线的斜率为 2e ，求 a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求 f x 的极值；
（Ⅲ）若 f ( x) 有 2 个不同零点，求 a 的取值范围． ． 请考生在第 22～23 题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ．
22. 【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】
甲
87
91
90
89
乙
89
90
91
88
则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为
．
第 5次 93 92
16. 在 △ ABC 中， D 为 BC 边长一点， AD 2 ， DAC 60 ．若 AC 4 CD 且 △ ABC
的面积为 4 3 ，则 sin ABC
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 . 17. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 3Sn 4an 2 n N* ．
200 位学生每周平均体育运动时间的
样本数据（单位：小时） ．
（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？
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山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合2
{|230}A x Z x x =∈--≤，1
{|0}x B x x
+=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（ ） A. [1,0]-
B. [0,3]
C. {1,0}-
D. {0,1,2,3}
2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ） A. 1-
B. 1
C. i -
D. i
3.命题“2
[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12
a <
B. 12
a ≤
C. 2a ≤
D. 3a ≤
4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ） A. 2006
B. 2111
C. 2113
D. 2141
5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转
π
4
后经过点
(，则tan α=（ ）
A. 3--
B. 3-+
C. 1-
D. 1
6.若函数||
()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，设0.30.2(2),(log 3),(2)m a f b f c f ===，则,,a b c 的大小
关系为（ ） A. a c b <<
B. a b c <<
C. c b a <<
D. b a c <<
7.二项式2()n
x x
-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A. 160-
B. 80-
C. 80
D. 160
8.已知函数22,0
()log (1),0
x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,0]-∞
B. [1,0]-
C. [1,1]-
D.
1[,0]2
-
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ）
A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年难题分值逐年减少
C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）
A. 直线CD 与11B C 是异面直线
B. 直线BE 与平面1A CD 平行
C. 直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为
2
4
D. 直线CD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为
4
11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）
A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-
B. (2019)1f =
C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称
D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点
12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正
确的是（ ）
A. C 的离心率为
2
B. C 的渐近线方程为0x =
C. 若F 到C ，则C 的方程为22
142
x y -=
D. 设O
坐标原点，若||||PO PF =,则2
POF S ∆=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．
13.已知单位向量,m n 的夹角为
23
π
，则|3|m n +=________． 14.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．则
B =________；若5a c +=，AB
C 的面积S =b =________．
15.已知圆2
2
:4440C x y x y +--+=，抛物线2
:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得弦长为________________．
16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=，BC =锥S ABC -体积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在①()f x 的图像关于直线56x π
ω
=
对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π
上
是单调
的
？
18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，2
11(21)20n n n n a a a a ++---=．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足*
(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和．
19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，D 为AC 的中点．
（1）当11
2
AE EA =
时，求证：1DE BC ⊥； （2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．
20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司
20112018-年的相关数据如下表所示：
年份 2011 2012 2013 2014 2015
2016
2017 2018
年生产台数
（万台）
2 3 4 5 6 7 10 11
该产品的年利润
（百万元） 2.1
2.75
3.5 3.25 3
4.9 6 6.5
年返修台数（台） 21 22 28 65 80 65 84 88
注：=
年返修台数
年返修率年生产台数
．
（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．
参考公式：回归方程y bx a =+，其中1
1
21
2
2
1
(ˆ()())
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x y x x y x y n x y
b
x x
x
n ====---==
--∑∑∑∑
ˆˆa
y bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，8
1148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，8
1()18.045i i y y =-=∑，
8
2
1
()
72i
i x x =-=∑．
21.已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2
，一个顶点在抛物线2y =的准线上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过右焦点2F 做斜率存在的
直线l ，交椭圆于A B 、两点．
（i ）已知点1(0,)2
M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABO
S
的取值范围．
22.已知函数()2ln f x x x x =+．
（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值．。