圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）（制卷：周芳明）【复习目标】

□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】

1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )

A ．y x =

B ．||y x =

C ．22y x =

D ．220x y +=

2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是

( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．两条射线

D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( )

A ．椭圆

B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段

4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.

【例题精选】

一、直接法求曲线方程

根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。例1．已知ABC ?中，2,AB

BC m AC

==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？

二定义法

若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程.

例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12

。记点P 的轨迹为

曲线C 求点P 的轨迹方程；

练习．若动圆与圆1)2(:2

21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法

有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。

例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，

求M 点的轨迹。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

针对练习

一、客观题

1．平面内到点(0,1)A 、(1,0)B ( )

A ．椭圆

B ．一条射线

C ．两条射线

D ．一条线段

2．平面上动点P 到定点)0,1(F 的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为( )

A ．22y x =

B ．24y x =

C ．22y x =或{00y x =≤

D ．24y x =或{

y x =≤

3．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M 在此抛物线上运动, 点N 与点M 关于点A (1, 1)对称, 则点N 的轨迹方程为（） A ．28x y =

B ．2(2)8(2)x y -=-

C ．2(2)8(2)y x -=--

D ．2(2)8(2)y x -=-

4．动点P 在抛物线221y x =+上移动，则点P 与点(0,1)A -连线中点M 轨迹方程是

_____________. 5．一动点P 到点F (2，0)的距离比它到y 轴的距离大2，则点P 的轨迹方程是 .

二、解答题

6．动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：x 2 + y 2－8x = 0相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。、、、

7．已知抛物线2

y = x +1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有

BP ∶PA =1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．

8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),(n

S n n 在直线2

1121+=x y 上，数列{b n }满足

*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且{b n }的前9项和为153.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设)12)(112(3--=

n n n b a c ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式57

T n >对一切

n∈N *

都成立的最大正整数k 的值．

19.（本题满分14分）

已知点C(1，0)，点A 、B 是⊙O: x 2

+y 2

=9上任意两个不同的点，且满足0=?BC AC ，设P 为弦AB 的中点。 (1)求点P 的轨迹T 的方程；

(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

20、(本题满分14分)

过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(2

=+-y x 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点

满足：AC AB λ=,)(,R PC BP ∈=λλ （1）求点P 的轨迹方程；

（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R 、S ，求MRS ?面积的最大值。

一、知识概要：

1. 定义法:

若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

2. 直接法:

根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。二、基本训练：

1、已知?ABC 的一边BC 的长为6，周长为16，则顶点A 的轨迹是什么？答: .

2、若

(5,0),(5,0)||||8A B MA MB --=且,

则点M 的轨迹方程

是.

(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)

三、例题：

例1、两根杆分别绕着定点A和B (AB = 2a) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直, 求两杆交点的轨迹方程.

例3、过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线2

1x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。

（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。解：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入2

1x y -=得2

(1)4410k x k x k ----=，

当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241k x x k +=-，2122411

k x x k +=-

2121222

44(2)(2)411k k k

y y k x k x k k k

+=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则

2121222

44(,)(,)(,)11k k

x y x x y y k k =++=--

∴224141k x k k

y k ?=??-?

?=?-?，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入2

41k y k

=-得22

(2)4x y +-=……………………（1）当0k =时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为2

(2)4x y +-=，其轨

迹为双曲线；

当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。（2）

||||OP AB =，所以平行四边形OAPB

为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是

0OA OB =，即1

2120x x y y +=。

当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(2,-，不满足上式。

又2

12121212(2)()x x y y x x k x x +=+++2222

2(1)(41)244011

k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22

k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

课外作业： 1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，

那么动点Q 的轨迹是( )

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线的一支

D. 抛物线

2．如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B

上任意一点，则线段AC 的垂直平分l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程是 .

3．已知ABC ,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，则顶点C 的

轨迹方程是 .

6*．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－

2a ,0),C (2

a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21

sin A ,

则动点A 的轨迹方程为 .

8． (06全国Ⅰ)在平面直角坐标系x oy 中，有一个以(10,3F -和(23F 为焦点、离心

率为

的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x , y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。求点M 的轨迹方程.

9．如图, 过A(-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C:2

4y x =交于P 、Q 两点，若曲线C 的焦点F 与P 、Q 、R 三点按图中顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方程。

一、知识概要：

代入法（相关点法）

二、基本训练：

1、双曲线

-=有动点P，F1, F2是曲线的两个焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方

程。

例2、已知定点A ( 3, 0 )，P是圆x 2 + y2 = 1上的动点，∠AOP的平分线交AP于M，求M点的轨迹。

解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。

由于OM平分∠AOP，

故M 分AP 的比为： λ =

||||

AM OA MP OP == 3 由定比分点公式，得11

3303,1313

x y x y ++=

++，即1143()34

43x x y y ?

=-????=??

，由于x 1 2 + y 1 2 = 1，

故 2

34[()](

)134

3x y -+=，即 2239

()416x y -+=。故所求轨迹是以3(,0)4为圆心，以3

为半径的圆。

例3、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，

求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

错解分析: 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题。技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，

所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。解: 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，

则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)

又|AR |=|PR |=22)4(y x +-

所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动

设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2

,241+=

+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得

4)2()24(

22+?

-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程。

课外作业：

1．( 01上海) 设P 为双曲线-4

2x y 2

＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是。

2．若动点P 在y =2x 2+1上移动,则点P 与点Q( 0,-1)连线中点的轨迹方程是。

3．P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线

1169

x y -=上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是。一、知识概要：

在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。二、基本训练：

1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足

OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程

为 .

三、例题：

例1、（2006年深圳一模）过抛物线y2 = 4 px( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA和OB。

求AB中点P的轨迹方程。

例2、过点M( -2, 0)作直线L 交双曲线x 2－y 2 = 1于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作

平行四边形OAPB 。求动点P 的轨迹方程。

例3、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点

(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈．

⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；

⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围．解: (1) （用交轨法）

过Ａ以m 为方向向量的直线方程为：a

y a x λ

．

．．．．．．① 过Ｂ以n 为方向向量的直线方程为：2y a ax λ-=．．．．．．②

由①②消去λ得：22

2112

y x a

-=．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分 (2)联立方程22

221

1y x a x y ?-=???+=?

消去y得222

(12)210

a x x a

--+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分

依题意有

120

?-≠

，即

120

44(12)(1)0

a a

?-≠

--->

∴0

a a

<<≠

又c

e e

====>≠．．．．．．．．．．．．．１２分

课外作业：

1．设A 1、A 2是椭圆4

2y x +

=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )

A. 14922=+y x

B. 14922=+x y

C. 14

922=-y x

D. 14

922=-x y

2．已知椭圆22a x +22

y = 1（a>b>0）和定点A(0, b), B(0, -b), C 是椭圆上的动点, 求ΔABC 的

垂心H 的轨迹方程。

3*. 过抛物线y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

5*．已知椭圆22

22b

y a x =1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外

角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R

(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与

曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值