(完整word版)数列求和的各种方法
数列求和专题,方法大全,7种方法(全面模型+精选例题+习题附答案)精编材料word版
七、数列求和专题1．公式法等差数列求和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．常用求和公式：1123(1)2n n n ++++=+L22221123(1)(21)6n n n n ++++=++L333321123[(1)]2n n n ++++=+L2．分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法．3．错位相减法{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，采用错位相减法求解，在等式的两边同乘以{}n b 的公比，然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减，转化为特殊数列求和问题．需注意{}n b 共比为参数字母时，要对公比是否为1做讨论．它是等比数列前n 项和公式的推导方法．4．裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项，使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和．一般未被消去的项有前后对称的特点．常见裂项方法：①111(1)1n n n n=-++②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n=-+++++1k=⑥1log(1)log(1)logaa an nn+=+-注：（1）裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对1(5)n n+裂项，可直接把分式从中间截断，变为115n n-+，再通分求得1155(5)n n n n-=++，与原式比较分母变为5倍，则把裂项后的结果115n n-+前面乘以15就变为与原式相等的裂项，即1111()(5)55n n n n=-++．（2）分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即=1k=．（3）对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如11log(1)log()log(1)loga a a ann nn n++==+-．5．倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．它是等差数列前n 项和公式的推导方法．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和．形如(1)()n n a f n =-的数列，可用此法．7．含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.练习题：答案解析：1n=也适合上式，故3104na n=-+令31040na n=-+≥，解得34.7n≤即当34n≤时，0na>；当35n≥时，0na<（1）当34n≤时，12||||||n nT a a a=+++L12na a a=+++L2320522nS n n==-+（2）当35n≥时，12||||||n nT a a a=+++L12343536()()na a a a a a=+++-+++L L342nS S=-23205350222n n=-+综上：223205(34)2232053502(35)22nnn nTnn n⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩数学浪子整理制作，侵权必究。
数列求和Microsoft Word 文档 (2)
第二讲数列求和(一)一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1二、精讲精练例题1、有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项? 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。
边学边练：等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?例题2、有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×(100-1)=399.边学边练：一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?例题3、有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
数列求和七种方法技巧
数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。
2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。
3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。
4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。
5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。
6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。
7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。
以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。
数列求和的基本方法和技巧学生用
数列求和的基本方法和技巧数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0)注：(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项．对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1222-⋯+n ），……的前顶和为ns，则ns的值。
二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
[例] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （1≠x ）………………………①注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。
对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法数列求和是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数列求和的七种基本方法，包括等差数列求和、等比数列求和、算术平方平均数列求和、等差等比混合数列求和、调和数列求和、几何级数求和和级数求和。
通过了解和掌握这些方法，相信读者能更好地解决数列求和问题。
一、等差数列求和等差数列是指一个数列中的每两个相邻的项之差都相等。
求和等差数列的公式为：Sn = n(a1+an)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数。
二、等比数列求和等比数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比都相等。
求和等比数列的公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a1是第一个数，q是公比，n是项数。
三、算术平方平均数列求和算术平方平均数列是指一个数列中的每两个相邻的项的算术平方平均数都相等。
求和算术平方平均数列的公式为：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，d是公差。
四、等差等比混合数列求和等差等比混合数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比和差都相等。
求和等差等比混合数列的公式为：Sn = (a1+an)/2*n+(q^n-1)/(q-1)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数，q是公比。
五、调和数列求和调和数列是指一个数列中的每一项的倒数都与它的序号之比都相等。
求和调和数列的公式为：Sn=Hn/a，其中Sn是数列的和，Hn是调和数列的第n项，a是常数。
六、几何级数求和几何级数是指一个数列中的每个数都与前一项的比值都相等。
求和几何级数的公式为：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a是第一个数，q是比值，n是项数。
七、级数求和级数是无穷多个数连加的结果，求和级数的公式为：Sn=a/(1-r)，其中Sn是级数的和，a是第一个数，r是比值。
这七种基本的数列求和方法能够解决大部分数列求和问题。
数列求和方法(带例题和练习题)(可编辑修改word版)
数列求和主要思路：1. 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式：2. 求和过程中注意分类讨论思想的运用：3.转化思想的运用； 数列求和的常用方法——、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：s 加严j ）〃” 2 1 2 [加 1 n （4=1） 2、 等比数列求和公式：S =八「（1一/） u 一 a qn ] _J _______ = 1 力 （g H 1）〔1-9 1-9 n13、S 〃=》k = l + 2 + 3 + +…+ /?..= -it （n +1）=l 2 + 22 +32 +...+ /* =^n(n +l)(2n+l) os n =^A ：3 = I 3 + 23 + 33+ •••+/73J 】公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数〃的值:（2）等比数列公比°未知时，运用前〃项和公式要分类。
例 1.求和 l+X + x2+・・ ・+0-2(“n2,XHO) 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛知• bn ｝的前n 项和，其中｛a n ｝. ｛0｝分别是等差数列和等比数列. 例 2・求和：1 +3x + 5x 2 + 7x 3 + ・・・ + (2〃一1)#12 4&例，求数列〒芦去 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用 倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例 4.求sin 2 h+ sin ' 2°+ sin ' 3。
+ …+ sin 2 88•+ sin 2 89。
的值例 4 变式训练八 求 cosl° +cos2° +cos3° +• • •+cosl78° +cosl79° 的值. 例 4 变式训练 2:数列｛an ｝： a t = 19a 2= 3, a 3= 2,a^2= a n ^x -a n , S2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中,若。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
求数列求和的方法
求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。
在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。
算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。
四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。
几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。
五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。
六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。
费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。
七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。
(完整word版)数列求和常见的7种方法(word文档良心出品)
数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。
数列求和的8种常用方法（最全）
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.1.等差数列求和公式：等差数列求和公式：等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+×，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算；式在很多时候可以简化运算； 2.2.等比数列求和公式：等比数列求和公式：等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =；（2）1q ¹，()111nn a q S q -=-，特别要注意对公比的讨论；，特别要注意对公比的讨论；3.3.可转化为等差、等比数列的数列；可转化为等差、等比数列的数列；可转化为等差、等比数列的数列；4.4.常用公式常用公式常用公式: :（1）1nk k ==å12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==å222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31nk k ==å33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=å2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1log 23-=x ，求23nx x x x ++++ 的前n 项和项和. . 解：由212log log 3log 1log 3323=Þ-=Þ-=x x x由等比数列求和公式得由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 例2 设123n S n =++++ ，*n N Î,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值的最大值. .解：易知解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n ∴∴ 1)32()(++=n nS n Sn f ＝64342++n n n ＝＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501£∴∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
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教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2 •掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法①等差数列的前n 项和公式n n 1 ,=na i + d .2②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ;(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5) 错位相减法这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求 ｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝分别是等差数列和等比数列.⑹并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项合并求解.例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050.数列求和的方法n a i a n Si=—2(n )当q 丰1时,a i 1 q n 1 qa 1 — a n q 1 - q③常见的数列的前 n 项和：1+n=垃 1) , 1+3+5+••…+(2r — 1)= n 22122232+n 2n(n 罟,13 23 33+n 32n(n 1)等22. 常见的裂项公式 1 (1)-n n=1 _1 ______ 1 ；⑶ 2n 1 2n 12(2n—1 2n +1⑷ =2 -nn1n2 2nn1 n1n21 1 1 1⑹设等差数列｛an ｝的公差为d ,则站=歳-齐).数列求和题型 考点一公式法求和一 11. (2016新课标全国I)已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1= 1 , b 2 = 3 , a n b n + 1 + b n +1 = nb n . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求｛b n ｝的前n 项和.2. (2013新课标全国I, 17)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1= 25,且a 1, an , a 13成等比数列 (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求 a 1+ a 4+ a 7+ …+ a 3n — 2.变式训练 1.(2015四川，16)设数列｛a n ｝(n = 1, 2, 3,…)的前n 项和S n满足S n = 2a n — a 1，且a 1, a 2+1, a 3成等差数列.(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；1⑵设数列 a 的前n 项和为T n ，求T n .2. （2014 福建，17）在等比数列｛a n ｝中，a 2= 3, a 5= 81. （1）求 a n ；⑵设b n = log 3a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .1⑵-n n k11 1 k (n n + k )；(5) n + . n + kn).考点二错位相减法1.（山东）已知数a的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a n b n b n（I）求数列b n的通项公式；（I）令C n(a n1）n 1求数列c n的前n项和T n.(b n2)n2.（2015 天津，18）已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n（q 为实数，且q丰1,）n I N*, a1= 1,a2 = 2,且a2+ a3, a3+ a4,a4 + a5成等差数列.（1）求q的值和｛a n｝的通项公式；⑵设b n=lpg d, n I N*,求数列｛b n｝的前n项和.a2n-1变式训练1. （2014 江西，17）已知首项都是1 的两个数列｛a n｝, ｛b n｝（b n M0 n IN*）满足a n b n+ 1-a n + 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.（1）令C n=严，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3旷1，求数列｛a n｝的前n项和S n.2. (2014四川，19)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n, b n)在函数f(x)= 2x的图象上(n I N*).(1) 若a i = - 2,点(a8, 4b7)在函数f(x )的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n；1 a n(2) 若a1= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2-应，求数列恳的前n项和T n.3. (2015湖北，18)设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1= a1, b2 =2, q = d, S10 = 100.(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2) 当d>1时，记C n= b n求数列｛C n｝的前n项和T n.4. (2015 •东，18)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知2S n= 3n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；(2) 若数列｛ b n｝满足a n b n= log3a n，求｛ b n｝的前n项和T n.* 11 15. (2015 浙江，17)已知数列｛a n｝和｛ b n｝满足a1= 2, 3= 1, a n+1 = 2a n( n I N), 3 + qb2 +§b3+…+：b n= b n+1 —1(nI N*).(1)求a n与b n ；⑵记数列｛ a n b n｝的前n项和为T n，求T n.6. (2015 湖南，19)设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i= 1, a2= 2,且a n+2= 3S n—S n+1 + 3, n I N .(1)证明：a n+ 2= 3a n ；⑵求S n.考点三分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列｛a n｝中，a2= 4, a4+ a7= 15.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= 2an 2+ n,求b1 + b2 + b3+…+ b10 的值.n2+ n *2. (2014湖南，16)已知数列｛a n｝的前n项和S n= — , n I N .(1)求数列｛ a n｝的通项公式；⑵设b n= 2an+ (—1)n a n,求数列｛b n｝的前2n项和.变式训练1. (2014北京，15)已知｛a n｝是等差数列，满足a i = 3, a4= 12,数列｛b n｝满足b i = 4, b4= 20,且｛b n —a n｝为等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛ b n｝的前n项和.考点四裂项相消法1. (2015新课标全国I, 17)S n为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0, a¥+ 2a n= 4S n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；1(2) 设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和.a n a n+12. (2011新课标全国，17)等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a i+ 3a2= 1, a3= 9a2a6.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；1 »(2) 设b n= log3a1+ log3a2+・・・ + log3a n，求数列匚的前n项和.3. (2015安徽，18)已知数列｛a n｝是递增的等比数列，且• + a4= 9, a2a3= 8.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设S n为数列｛a n｝的前n项和，b n = 1，求数列｛ b n｝的前n项和T n.S n Si + 1变式训练1. (2013 江西，16)正项数列｛a n｝满足：a^—(2n- 1)a n—2n= 0.(1)求数列｛ a n｝的通项公式a n；1⑵令b n= 5 +〔)an，求数列｛b n｝的前n项和T n.2. (2013 大纲全国，17)等差数列｛a n｝中，a7= 4, a i9= 2a9. (1)求｛a n｝的通项公式；1⑵设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和S n.na n13. 在数列｛a n｝中，a1 = 1，当n>2时，其前n项和S n满足&= a n S n-勺.(1) 求3的表达式；S n(2) 设b n = 2^1求｛b n｝的前n项和T n.考点五倒序相加法1 1 12 2 014 已知函数f(x)=丙(X I R). (1)证明：f(x)+ f(1-x) =1；(2)若S= f(2015)+ f(2015)+…+ 口歳)，贝y S=变式训练4X 1 2 2 0141. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设f(x)=4^2，若S=f(2015)+f(2015)+ …+ f(2"0i5)，则S= ---------------------------------------------------------考点六并项求和1. ___________________________________________________________________________ (2012新课标，16)数列｛a n｝满足a n+1+ (—1)% = 2n —1,则｛a n｝的前60项和为___________________________2. (2014山东，19)在等差数列｛a n｝中，已知公差d= 2, a2是a i与a4的等比中项(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= a n n 1，记T n=—b l+ b2 - b3+ b4—…+ ( —1)n b n，求T n.~2变式训练1. (2014山东理，19)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；—4n(2) 令b n= (—1)n—1，求数列｛b n｝的前n项和T n.a n a n+1考点七数列｛|a n|｝的前n项和问题11. ______________________________________________________________ （2011 北京,11）在等比数列｛a n｝中，若a i = 2，a4=—4，则公比q = __________________________________ ；a i|+ |a2|+ ••• + |a n| = ______变式训练1. （2013浙江，19）在公差为d的等差数列｛a n｝中，已知a1= 10,且a1, 2a2+ 2, 5a3成等比数列.（1）求d, a n；12. (2013湖南，15)设S n为数列｛a n｝的前n项和，S n= (—1)n a n—尹n I N*，则:(1) a3= _________ ；(2) S1 + S2 + …+ S100 = ________ .⑵若 d v0,求a |+ |a2| + |a3|+ …+ |a n|.考点八周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，—2 008 , —2 009 ,…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 014项之和S2 014等于（）A. 2 008B. 2 010C. 1 D . 0变式训练n n1.（2012福建）数列｛a n｝的通项公式a n= ncosg，其前n项和为S n,则S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1. （2014新课标全国I, 17）已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1= 3a n+ 1.1（1）证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3（2）证明一 + —+ …+—<;.a1 a2 a n 21 *2. (2015 浙江，20)已知数列｛a n｝满足a1 = 2且a n+1 = a n —a n(n I N ).a n *(1)证明：1 W W 2( I N );a n+ 1⑵设数列｛ a2｝的前n项和为S n,证明:1 S n 1--------- —----------2 (n + 2) n 2 (n + 1)(n IN*).23.(2013江西，理)正项数列｛a n｝的前项和｛a n｝满足：S n2 2(n n 1)S n (n n) 0(1)求数列｛a n｝的通项公式a n；n 1(2)令b n门，数列｛bn｝的前n项和为T n。