(完整word版)数列求和的各种方法
教学目标
1熟练掌握等差、等比数列的前
n 项和公式.
2 ?掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
3?能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容
知识梳理
1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法
①等差数列的前n 项和公式
n n 1 ,
=na i + d .
2
②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ;
(2) 分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法
这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式
可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.
(5) 错位相减法
这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求 ｛a n ? b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝
分
别是等差数列和等比数列.
⑹并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项
合并求解.
例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050.
数列求和的方法
n a i a n Si=—
2
(n )当q 丰1时,
a i 1 q n 1 q
a 1 — a n q 1 - q
③常见的数列的前 n 项和：1
+n=垃 1) , 1+3+5+??…+(2r — 1)= n 2
2
12
22
32
+n 2
n(n 罟,13 23 33
+n 3
2
n(n 1)等
2
2. 常见的裂项公式 1 (1)-
n n
=1 _1 ______ 1 ；
⑶ 2n 1 2n 1
2(2n
—1 2n +
1
⑷ =2 -
nn1n2 2nn1 n1n2
1 1 1 1
⑹设等差数列
｛an ｝
的公差为d ,则站=歳-齐).
数列求和题型 考点一公式法求和
一 1
1. (2016新课标全国I)已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1= 1 , b 2 = 3 , a n b n + 1 + b n +1 = nb n . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求｛b n ｝的前n 项和.
2. (2013新课标全国I, 17)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1= 25,且a 1, an , a 13成等比数列 (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求 a 1+ a 4+ a 7+ …+ a 3n — 2.
变式训练 1.
(2015四川，16)设数列｛a n ｝(n = 1, 2, 3,…)的前n 项和S n
满足S n = 2a n — a 1，且a 1, a 2+
1, a 3成等差数
列.
(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；
1
⑵设数列 a 的前n 项和为T n ，求T n .
2. （2014 福建，17）在等比数列｛a n ｝中，a 2= 3, a 5= 81. （1）求 a n ；
⑵设b n = log 3a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .
1
⑵-
n n k
11 1 k (n n + k )；
(5) n + . n + k
n).
考点二错位相减法1.（山东）已知数a的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a n b n b n
（I）求数列b n的通项公式；
（I）令C n(a n1）n 1
求数列c n的前n项和T n.
(b n2)n
2.（2015 天津，18）已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n（q 为实数，且q丰1,）n I N*, a1= 1,
a2 = 2,且a2+ a3, a3+ a4,
a4 + a5成等差数列.
（1）求q的值和｛a n｝的通项公式；
⑵设b n=lpg d, n I N*,求数列｛b n｝的前n项和.
a2n-1
变式训练
1. （2014 江西，17）已知首项都是1 的两个数列｛a n｝, ｛b n｝（b n M0 n IN*）满足a n b n+ 1-a n + 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.
（1）令C n=严，求数列｛C n｝的通项公式；
b n
⑵若b n= 3旷1，求数列｛a n｝的前n项和S n.
2. (2014四川，19)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n, b n)在函数f(x)= 2x的图象上(n I N*).
(1) 若a i = - 2,点(a8, 4b7)在函数f(x )的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n；
1 a n
(2) 若a1= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2-应，求数列恳的前n项和T n.
3. (2015湖北，18)设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1= a1, b2 =2, q = d, S10 = 100.
(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；
(2) 当d>1时，记C n= b n求数列｛C n｝的前n项和T n.
4. (2015 ?东，18)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知2S n= 3n+ 3.
(1) 求｛a n｝的通项公式；
(2) 若数列｛ b n｝满足a n b n= log3a n，求｛ b n｝的前n项和T n.
* 11 1
5. (2015 浙江，17)已知数列｛a n｝和｛ b n｝满足a1= 2, 3= 1, a n+1 = 2a n( n I N), 3 + qb2 +§b3+…+：b n= b n+1 —1(n
I N*).
(1)求a n与b n ；
⑵记数列｛ a n b n｝的前n项和为T n，求T n.
6. (2015 湖南，19)设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i= 1, a2= 2,且a n+2= 3S n—S n+1 + 3, n I N .
(1)证明：a n+ 2= 3a n ；
⑵求S n.
考点三分组求和法
1. (2015 福建，17)在等差数列｛a n｝中，a2= 4, a4+ a7= 15.
(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；
(2) 设b n= 2an 2+ n,求b1 + b2 + b3+…+ b10 的值.
n2+ n *
2. (2014湖南，16)已知数列｛a n｝的前n项和S n= — , n I N .
(1)求数列｛ a n｝的通项公式；⑵设b n= 2an+ (—1)n a n,求数列｛b n｝的前2n项和.
变式训练
1. (2014北京，15)已知｛a n｝是等差数列，满足a i = 3, a4= 12,数列｛b n｝满足b i = 4, b4= 20,且｛b n —a n｝为等比数列.
(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；
⑵求数列｛ b n｝的前n项和.
考点四裂项相消法
1. (2015新课标全国I, 17)S n为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0, a￥+ 2a n= 4S n+ 3.
(1) 求｛a n｝的通项公式；
1
(2) 设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和.
a n a n+1
2. (2011新课标全国，17)等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a i+ 3a2= 1, a3= 9a2a6.
(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；
1 ?
(2) 设b n= log3a1+ log3a2+??? + log3a n，求数列匚的前n项和.