函数也可以如此美丽-Julia集的分形艺术
函数也可以如此美丽——Julia集的分形艺术微博：@月绒兔子前言大家在高中的时候都学过解析函数吧？说解析函数是不是有点显得太高端了？那好，给你一个y=x的函数，在XY坐标系上画出这个函数的图像。
别告诉我你不会啊，这可是拿脚后跟都能画出来的图像啊。
闲话不多说了。
首先，先声明下此文并不是给大家讲数学的，也不是专门给理工科童鞋看的。
此文的目的就是想让大家知道，有那么一个函数，她是如此的奇幻如此的美丽多变，就像她的名字一样—Julia。
然后我们用HTML5的canvas来召唤她。
先来几张Julia的芳容欣赏下：没错，以上四个图片不是电脑桌面，但是它确实Julia集合（Julia Set）所描绘的抽象艺术。
Julia集简介我是在一门叫做“高等统计物理”的课程上认识到Julia集的。
虽然她的图像非常绚丽多姿，但其实她的真身非常简单，简单到你不敢想象：f(z)=z^2+C其中，z^2表示z的平方，z和C均为复数（复习一下：复数就是a+ib，a为实部，b为虚部，i就是表示虚部的部分）。
然后我们做以下的迭代：Z1=f(z0)Z2=f(z1)Z3=f(z2)Z4=f(z3)…那么当Z0=0，C=0.5时Z1=0^2+0.5=0.5Z2=0.5^2+0.5=0.75Z3=0.75^2+0.5=1.0625Z4=1.0625^2+0.5=1.62890625Z5=1.62890625^2+0.5=3.653355…Z6=Z5^2+0.5=14.346860796…最终Zn趋于无限大。
同理，如果令Z0等于另一个值时，有可能会出现最终Zn收敛于某一值（无限趋近于某一个值），也有可能趋近无穷大，或者趋近无穷小（负值）。
Julia集绘制原理上面的简介说明了其实Julia集就是一个迭代函数而已，那么，这么美丽的图像是怎么画出来的呢？其实很简单，刚才我有提到过，z和C都是复数，C是常量。
所以，z=x+iy，C=a+ib，图像是以x为横坐标，y为纵坐标绘制的。
这么说来，只要随便改变a和b的值，就会出现不同的图案了。
那么图像中颜色是根据什么来的呢？我们从画布左上角第一个像素（x=0,y=0）开始，这个像素所代表的物理意义就是，当z=0+i0（也就是z=0）时，进行Zn的迭代计算。
我们预先设置一个阀值k（例如k=4），当计算到Z10的时候，发现Z10的模大于k了（|Z10|>k），就说明在迭代到第10次的时候发散了。
依此类推，如果是计算到Z88的时候|Z88|>k了，就说明迭代到第88次的时候发散了。
这时候你就可以按照你的口味来了，你可以设置为发散的越慢（迭代次数越多）颜色越深，发散的越快（迭代次数越少）颜色越浅。
当然也可以用冷暖色系来表示。
找到形成发散的迭代次数，就可以结束迭代运算了。
当然，有一点是要注意的，这个迭代在计算到很高阶的时候运算量可是会很大的哦，所以一定要设置一个迭代次数的最大值，比如，如果再迭代到300次的时候，|Zn|还没有大于阈值k，那就认为这个点永远不会发散了（可以叫做收敛点），直接停止迭代运算。
这点的颜色就按迭代最大值时对应的颜色值来填充。
第一个点的绘制原理就是酱紫。
下面就是要遍历所有的点，按照同样的方法让计算机去计算喽。
如果你的画布是800x800，那就需要从(x=0,y=0)一直遍历到(x=800,y=800)，一共是800x800=640000个点。
如果你对你的电脑运算能力有信心的话，就可以利用Julia集绘制高分辨的HD桌面壁纸喽！Julia集的魅力所在学术界对于Julia集的研究非常广泛，学者们深深被这个集合的美丽和规律所吸引。
除了她的多变和美丽外，还有一个神奇的地方（不要跟太多人讲哦），就是她的分形艺术（fractal art）。
分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们不断的探索。
即使不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。
分形把科学与艺术无缝的结合到了一起，使得枯燥的数学不再是抽象的哲理，而是一种具体的视觉感受，一种神奇的艺术创作。
分形艺术体现了很多传统美学的标准，例如平衡、和谐、对称等，它的结构饱满而又不杂乱，混乱中有秩序，统一中有丰富，能够给人带来强烈的视觉冲击力和审美快感。
分形艺术有以下三个基本特征：1.自相似性对几何对象某个局部放大后，其与放大前的整体图像相似2.极不规则很多分形图案不能用简单的几何图形图形去描述。
3.无限精细对几何对象任一个细节进行放大，无论放大多少倍，不但不会丢失细节，反而会看到更精细的细节来拿Julia集形象的说明一下以上的特点：以上一系列的图可以看到，对Julia集图像的任一个细节进行一次次的放大，可以无限的看到越来越精细的画面，可谓是柳暗花明又一村，欲穷千里目，更放大一倍！Julia集的Web前端实现只要清楚了Julia集的数学运算过程，利用HTML5 canvas可以很轻松的实现Julia的绘制。
首先要写一个复数运算类//复数类var Complex = function(x,y){this.x = x;this.y = y;//模this.modes = Math.sqrt(x*x+y+y);//字符串显示this.toStr = x+","+y;//加this.add= function(z) { return new Complex( this.x+z.x, this.y+z.y); }//减this.sub= function(z) { return new Complex( this.x-z.x, this.y-z.y); }//乘this.multiply= function(z) //乘{return new Complex( this.x*z.x- this.y*z.y, this.x*z.y+ this.y*z.x);}}还有一个将迭次数转换为对应RGB颜色的函数：//数值转RGB（仅为deom，有待狠狠优化）function num2rgb(num){num = num * 20;if(num < 255){return num+",0,0";}else if(num < 511){return "255,"+(num-255)+",0";}else if(num < 767){return (255-(num-511))+",255,0";}else if(num < 1023){return "0,255,"+(num-767);}else if(num < 1279){return "0,"+(255-(num-1023))+",255";}else if(num < 1535){return (num-1279)+",0,255";}}下面就是Julia绘制的函数了：function drawjulia(){var x = parseFloat(document.getElementById("val_x").value);var y = parseFloat(document.getElementById("val_y").value);var canvas=document.getElementById("julia");var cxt=canvas.getContext("2d");cxt.clearRect(0,0,500,300);var colorset = "#fff";var nColor = 0;var nRed = 0;var nGreen = 0;var nBlue = 0;var zn = new Complex(0,0);var c = new Complex(x,y);var width = 250;var height = 150;for(var i=-1*width;i<=width;i++){for(var j=-1*height;j<=height;j++){zn.x = i/width;zn.y = j/height;for(nColor = 0; nColor<=25;nColor++){if((zn.x * zn.x + zn.y * zn.y) > 4){break;}else{zn = zn.multiply(zn);zn = zn.add(c);}}colorset = "rgb("+num2rgb(nColor)+")";cxt.strokeStyle = colorset;cxt.beginPath();cxt.moveTo(i+width, j+height);cxt.lineTo(i+width, j+height+1);cxt.stroke();cxt.closePath();}}}在页面上输入参数后，点击“绘图”按钮，经过浏览器的暂时假死，便可以看到图像啦（颜色有待优化，比较山寨…）当然，有编程经验的同学可以试着用其他语言编写下，可能性能会更好一些。
我用C#尝试了下，效果还不错：分形图案欣赏其他参考Julia集：/wiki/Julia_setC#实现Julia集：/betaq/archive/2010/05/24/1742872.html 分形艺术：/view/683655.htm。
分形与分形艺术
分形与分形艺术我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一、分形几何与分形艺术什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
“分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。
图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。
分形全纯复流形超弦理论图示
分形全纯复流形超弦图示分形微分几何学超弦理论第一部分无限分形螺旋闭合环上全纯复流形的表达附件04-02复联络线性化表示的伪正交.jpg(52.77 KB)05-120ricci_flow.jpg(57.47 KB)2#分形几何是现代概念的古老话题分形和分形几何是现代概念的古老话题：从十进制阿拉伯数学的表达，到家天下的思维，从科学到艺术，分形实际上与人类文明早就交织在一起，但作为一门几何及数学解析的学科，分形几何学是20世纪60、70年代之后逐步发展壮大起来的，分形不仅是几何更是工业及现代通讯的技术要素。
将分形思维用于超弦理论的构建是我2004年发现分形螺旋闭合环及其后发现上面有全纯复流形结构的事情，在分形几何特例、微分几何学流形解析、复流形分形的基础上，我们建立分形微分几何学。
3#分形：分形是一类自然现象，在不同标度（尺度）上，结构的自相似，或在同一尺度上分支结构的自相似；另外是一种结构拓展程序的自相似，这就包括线性拓展相似和复迭代相似，线性拓展如六角或三角形雪花拓展Koch 结构，复迭代的如Julia sets 和Mandelbrot sets，动物的组织器官，植物的枝干叶面，森林系统植物群落的分布，社会结构中人才的分布，都可能是服从分形结构的。
实际上研究分形常常与三类结构有关：自相似结构，迭代系统和孤立子系统。
其中迭代系统包括混沌系统的初始条件迭代，而几何性复迭代其迭代逻辑中有结构的自相似。
4#分形：美妙、自然、神秘Mandelbrot分形解析中有一个分数维度的论述，在这里我们给予一次解析理论的变革：将分形的层阶定义为维度，将分形的结构定义为函数这样我们最终会在微分几何学和复结构维度逻辑中解析理论的维度和函数相互融合。
5#对Mandelbrot的维度计算方式变革，主要在于那种分数维度所能反映的分形结构的信息模糊，没有真正抓住分形特征的结构层次性规范，同时如果离开了分形结构的函数，分形的结构意义不明确，我们将分形阶维度和分形结构函数确定了，那事物的分形也就像坐标系中的函数确定了。
分形图形学
其实对分形的理解并没有那么神奇。可以说，虽然曼德布劳特硬是制造了分形（fractal）这个名词，是个新鲜的事情，但是，分形所反映的内容本身，其苗头确实古已有之。如前所叙述的那样，分形的重要来源，是数学上的思考，属于科学研究的产物，常常是某种离散动力系统参数分布的图示。因为表现这种参数分布须借助计算机的计算和处理；而作为处理的结果，这类图示观看起来是那么的漂亮、琢磨下去又是那么的含蓄，于是它的影响远远超出了数学的领域。分形不仅引起科学家们的注意，而且在艺术界造成了轰动。社会学家从人文的角度，分析与演绎分形的哲理；艺术大师们，以审美的观点，推崇与渲染分形的艺术特征…。
参考文献：分形理论在计算机图形学中的应用
人们谈论分形，常常有两种含义。其一，它的实际背景是什么？其二，它的确切定义是什么？数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的、及科学研究中出现的那些看似无规律的各种现象。在过去的几十年里，分形在物理学、材料科学、地质勘探、乃至股价的预测等方面都得到了广泛的应用或密切的注意，并且由于分形的引入，使得一些学科焕发了新的活力。数学上所说的分形，是抽象的。而人们认为是分形的那些自然界的具体对象，并不是数学家所说的分形，而是不同层次近似。
几乎在曼德布劳特获得Barnard奖章的同时，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家H.Peotgen与P.Richter等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；J. Hubbard等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片、甚至T恤衫纷纷出笼。80年代中期开始，首先在西方发达国家，接着在中国，分形逐渐成为脍炙人口的词汇，甚至连十几岁的儿童也迷上了计算机上的分形游戏。我国北京的北方工业大学计算机图形学小组于1992年完成了一部计算机动画电影《相似》，这部电影集中介绍了分形图形的相似性，这也是我国采用计算机数字技术完成的第一部电影，获得当年电影电视部颁发的科技进步奖。
Julia集的分形特征及可视化
Julia集的分形特征及可视化分形是一种数学概念，指在自相似的基础上具有无限细节的形态。
而Julia集则是分形中的一种形式，以其美丽而复杂的图形而著称。
本文将介绍Julia集的分形特征以及如何进行可视化。
1. Julia集的定义和数学原理Julia集是由法国数学家Gaston Julia于20世纪初提出的，它属于复变函数的一种特殊表现形式。
对于复变函数f(z) = z^2 + c，其中z是复平面上的数值，c是一个常数。
Julia集就是将平面上的每个点代入该函数后，根据函数的迭代公式进行迭代。
如果点在迭代过程中趋于无穷大，则该点不属于Julia集；如果点在迭代过程中保持有限，则该点属于Julia集。
2. Julia集的分形特征Julia集的分形特征主要体现在其图形形态上。
对于不同的常数c，Julia集呈现出各种各样的形状，常常具有分支、层次分明的特点。
具体来说，Julia集的边界是由无数个自相似的小部分组成的，即边界上的任意一小段都可能与整个边界相似。
这种无限细节的结构使得Julia 集的形态异常复杂，充满了美感。
3. Julia集的可视化方法为了更好地理解和欣赏Julia集的分形特征，我们可以通过可视化方法将其呈现出来。
以下是两种常用的Julia集可视化方法：a. 色彩填充法：通过对Julia集中的每个点进行迭代计算，根据迭代的结果来为每个点上色。
根据迭代的次数，可以确定每个点的颜色深浅，从而呈现出Julia集图像的细节。
同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。
b. 迭代绘制法：从画布的左上角开始，按照一定的步长遍历整个画布，对每个点进行迭代计算并绘制。
通过较小的步长和足够的迭代次数，可以绘制出更加精细的Julia集图像。
同时可以通过调整常数c的值来观察Julia集形态的变化。
4. Julia集的应用领域Julia集作为一种迷人的分形形式，已经在多个领域得到了广泛的应用和研究。
其中，数学、物理、计算机图形学等领域是主要的应用领域。
分形的图像及应用
分形的图像及应用吕克林【摘要】本文首先阐述了分形的基本概念，并具体介绍了一些典型的分形曲线和分形集，加深读者对分形的理解。
重点描述如何生成分形的计算机图像，以及分形主要的应用领域，强调计算机科学与其他学科之间的紧密联系。
【期刊名称】《创新科技》【年(卷),期】2014(000)024【总页数】3页(P94-96)【关键词】分形;自相似;迭代;Mandelbrot【作者】吕克林【作者单位】河南省科学技术信息研究院，河南郑州 450003【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着计算机图形学的发展，最近几年，分形作为一种艺术形式已经相当流行。
对分形有一个基本的了解，能提高人们的鉴赏力，帮助人们更好地体会分形艺术的美。
分形作为一门刚刚诞生的学科，正在许多领域开展应用和探索。
很多传统的科学难题，都由于分形的引入取得了显著的进展。
1.1 分形的出现。
中国的海岸线有多长？很明显，这取决于测量所用的标度单位。
若以公里为标尺，会遗漏大量的细节，标尺越小，测出的海岸线就越长。
随着计算机的迅速发展，人们在讨论和处理一系列问题的时候，逐渐感到无法描述一些自然界普遍存在的对象，如海岸线，树木，岩石，云团，闪电等等。
同样对于星系分布，凝聚生长，湍流等复杂现象，也需要一门新的学科来描述。
1973年，B.B.Mandelbrot在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
Fractal一词由他所创，其原意具有不规则，支离破碎等意义。
分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的学科，也被称为大自然的几何学。
1.2 自相似性。
自相似性是指部分与整体具有相似的性质。
在自然界中，具有自相似性的客观对象是非常多的。
除了山形的起伏，河流的弯曲，树木的分枝结构外，生物体内也有许多例子，如血管或气管的分岔，神经网络等。
抽象的自相似例子就更多了，例如数列0112122312232334…，这是一个去掉奇数项后，仍然得到自身的数列。
下文中将提到的Cantor集是一个更好，更有故事的例子。
分形几何与分形艺术
分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020分形几何与分形艺术作者：我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一、分形几何与分形艺术什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。
图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
美丽的分形ppt-PPT文档资料
自相似放大图
用数学方法对放大区域进行 着色处理，这些区域就变成 一幅幅精美的艺术图案，这 些艺术图案人们称之为“分 形艺术”。 “分形艺术”以一种全新的 艺术风格展示给人们，使人 们认识到该艺术和传统艺术 一样具有和谐、对称等特征 的美学标准。这里值得一提 的是对称特征，分形的对称 性即表现了传统几何的上下、 左右及中心对称。同时她的 自相似性又揭示了一种新的 对称性，即画面的局部与更 大范围的局部的对称，或说 局部与整体的对称。
美丽的分形
欢迎进入美妙 的 分形世界!!!
我们人类生活的世界是一个极其复杂 的世界，例如，喧闹的都市生活、变 幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、 蜿蜒曲折的海岸线于传统欧几里得几何学的各 门自然科学总是把研究对象想象成一 个个规则的形体，而我们生活的世界 竟如此不规则和支离破碎，与欧几里 得几何图形相比，拥有完全不同层次 的复杂性。分形几何则提供了一种描 述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法
Mandelbrot集合是 Mandelbrot在复平面中 对简单的式子 Z <- Z^2 + C 进行迭代产生的图 形。虽然式子和迭代运 算都很简单，但是产生 的图形出现那么丰富多 样的形态及精细结构简 直令人难以置信以至于 不可思议。
Julia 集合
在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表 虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常 数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点， 其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算： Zn+1=Zn*Zn+C 就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。 再把新的Z作为旧的Z，重复运算。 当你不停地做，你 将最后得到的Z值有3种可能性：
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面虽然有些东西似乎是显然的，但一个完整的定义仍然很有必要。
比如，大多数人并不知道函数的连续性是怎么定义的，虽然大家一直在用。
有人可能会说，函数是不是连续的一看就知道了嘛，需要定义么。
事实上，如果没有严格的定义，你很难把下面两个问题说清楚。
你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。
考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。
显然，任何有理数都是这个函数的一个周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。
因此，该函数的最小正周期可以任意小。
如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。
请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？Cauchy定义专门用来解决这一类问题，它严格地定义了函数的连续性。
Cauchy定义是说，函数f在x=c处连续当且仅当对于一个任意小的正数ε，你总能找到一个正数δ使得对于定义域上的所有满足c-δ< x <c+δ的x都有f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε。
直观地说，如果函数上有一点P，对于任意小的ε，P点左右一定范围内的点与P的纵坐标之差均小于ε，那么函数在P点处连续。
这样就保证了P点两旁的点与P无限接近，也就是我们常说的“连续”。
这又被称作为Epsilon-Delta定义，可以写成“ε-δ定义”。
有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。
在拓扑学中，也有类似于ε-δ的连续性定义。
假如一个函数f(t)对应空间中的点，对于任意小的正数ε，总能找到一个δ使得定义域(t-δ,t+δ)对应的所有点与f(t)的距离都不超过ε，那么我们就说f(t)所对应的曲线在点f(t)处连续。
分形艺术之朱利亚集合在服装上的应用
分形艺术之朱利亚集合在服装上的应用作者：严密来源：《戏剧之家》2017年第23期【摘要】分形把数学方程式的抽象转化为可见、易懂的艺术图画。
将枯燥的数学与艺术进行了完美融合。
近年来越来越多的领域都在利用分形艺术进行设计，本文从分形艺术的朱丽亚集合为切入点，探索其在服装上的应用。
【关键词】分形；朱丽亚集合；自相似性；细节中图分类号：TS941.2 文献标志码：A 文章编号：1007-0125（2017）23-0096-01一、朱利亚集合分形的生成朱丽亚集合是以法国数学家加斯顿·朱利亚命名的数学概念。
朱利亚集合的数学定义非常简单，但它生成的图像复杂得令人不可思议，其中蕴含了丰富而深邃的数学原理。
朱利亚集合的图像是一种分形图形。
它的一个关键特点是，无论将图像放大多少倍，总能呈现出无穷无尽的丰富细节。
分形图形的另一个特点是“自相似性”。
图形的每一个微小局部，都和整个图形的样子相似。
公式中的Z是变量，C是常量。
不同的C对应生成不同的图像：Zn+1=Zn2+C。
朱利亚集合的公式用到了“复数”的概念，Z和C都是复数。
复数由“实部”和“虚部”两部分组成。
可将复数看作二维平面上的点（x，y）：横坐标x是实部，纵坐标y是虚部。
即一个复数就是一个坐标（x，y）而已。
随意在坐标系上选择一个点，例如（0.6，0.5）这个复数。
现在将它作为初始值Z1带入到朱利亚集合的公式中，为了便于观察，暂时将公式中的常量C设为-0.5。
经过公式计算，得到一个新的复数Z2（-0.4，0.6）。
显然，这时坐标值发生了改变。
朱利亚集合的公式是个迭代公式，即每次计算的结果需再次代入公式计算，并不断重复此过程。
也就是说，由Z1计算得到Z2，由Z2计算得到Z3，等等。
多次迭代后Z值的变化趋势：Z1（0.6，0.5）；Z2（-0.4，0.6）；Z3（-0.7，0.5）；Z4（-0.2，0.7）；Z5（-0.9，0.3）；Z6（0.2，0.5）；Z7（-0.7，0.2）；Z8（0.0，0.3）；Z9（-0.6，0.0）；Z10（-0.1，0.0）。
《分形艺术作品欣赏》PPT课件
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什么是分形 ?
• 在数学上说，分形是一种形式，它 从一个对象——例如线段、点、三 角形——开始，重复应用一个规则 连续不断地改变直至无穷。这个规 则可以用一个数学公式或者用文字 来描述。
• 我们可以把分形当作不断生长的曲
线。要观察一个分性，你必须真的
看到它在运动中。它是连续不断地
发展着的。
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• 第二步，在对象P2的基础上，将每条小边 三等分，然后以居中的一条线段为边向外 作正三角形，并把居中的线段去掉，又生 成一新对象（记为P3）；以后重复此操作， 如此一直进行下去，……，最后生成了一 个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪 花曲线”。
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分形世界
• 分形是以无穷多的形状呈现出来的美妙物 体。欧内斯托•切萨罗（意大利科学家， 1859~1906）写过这样一段关于几何分形 即科克雪花曲线的话
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分形的本质
• 这个曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体 相似。要想尽可能完全地想像它，必须意识到这
个结构中的每一个小三角形包含着以一个适当比
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• 当我们观察一张分形图片或照片时，我们 看到的是它在某一瞬时的样子——它冻结 在成长过程中的一个特定阶段。实质上正 是这一成长或变化的思想把分形与自然界 戏剧性地联系了。因为在自然界中有什么 不是变化着的呢?甚至一块岩石在分子层次 上也是变化着的。分形可以被设计得对你 能想像出的几乎任何形状进行模拟。分形 不一定受制于仅仅一个规则、而可以是一 系列的规则和规定，它们形成制约它的总 规则。试着创造你自己的分形。选取一个 简单的对象，设计一个规则应用于其上。
图片欣赏
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为了纪念法国数学家Gston Julia 发现了在数论中有名的julia序列