第三章 简单随机抽样

（三）不放回和放回简单随机抽样 的比较


每次抽样面对的总体结构不同。放回抽样总体结 构不变，每次抽取相互独立，不放回抽样总体结 构改变，每次抽取不相互独立，前者的数学处理 简单。 样本提供的信息量不同。不放回抽样信息量更大， 抽样效率高。 样本单位数量限制不同。 一般采用不考虑顺序的不放回简单随机抽样。
因素二：实际调查运作的机制。调查经费 能支持多大样本？允许调查持续的时间多 久？需要多少调查人员？多种约束条件。 能够量化的因素只有抽样精度和调查费用。 方案：总费用一定的条件下精度最高；或 者在满足一定精度要求的条件下使费用最 小。


费用公式： C C 0 cn
C 为 总 费 用 ， C 0为 与 样 本 量 无 关 的 固 定 费 用 ， 包括管理人员的工资、调查表的设计、必要的 设 备 以 及 组 织 、 宣 传 等 固 定 费 用 ， c为 平 均 调 查 一个样本的变动费用，包括调查表的印制、调查 员的工资和差旅费、礼品费以及调查本身的费用。 n= C-C0 c
2
n)
n ( N 1)
N PQ (N n)
2
n ( N 1)

V(p)的无偏估计量是v(p)
v( p)

N n ( n 1) N n 1
pq
1 f n 1
pq

v( N1)
N (N n)
p q 是 V ( N 1 )的 无 偏 估 计

当N，n,N-n都比较大时，以正态分布给出P及N1的 近似置信区间（置信度1-a）为
n
（一）放回简单随机抽样
设总体有５个单位（1，2，3，4，5），按 放回简单随机抽样的方式抽取2个单位，若 考虑样本单位的顺序，则所有的可能样本 为25个，若不考虑样本单位的顺序，则所 有可能样本为15个。 不考虑顺序的放回简单随机抽样的估计量 方差大于或等于考虑顺序时的估计量的方 差。只讨论和使用考虑顺序的情形。
Y
i 1
N
i
Y

N N1 N
1 P
总体比例是总体均值的一种特殊表现形式，对 总体比例的估计就是对总体均值的估计，对总体 中 具 有 某 种 属 性 单 位 的 总 个 数 N 1的 估 计 就 是 对 总体总值估计的一个特例。
二、总体比例的简单估计量及性质
（一）简单估计量的定义 利用简单随机抽样抽取n个单位组成样本，其中n1 个单位具有某种属性，则样本比例是总体比例的简 n 单估计量。
以 9 5% 的 把 握 估 计 人 均 消 费 5 3 .6 4 1 .9 6 *6 .1 4 2 8 , 既 4 1 .6 0 ~ 6 5 .6 8
二、总体总值的简单估计
•总体总值
_
Y=N Y
Y
i
•总体总值的简单估计量
Y N y


N n

n
yi
i 1
•总体总值估计量的性质由总体均值估计量的性质 决定。简单随机抽样的 是 的无偏估计量。 Y Y •方差 V ( Y ) 无偏估计为
二、估计总体均值（总值）的样本 量确定

总体总值是总体均值N倍，N是常数，对样本量的 确定不起决定作用，只须估计总体均值的情形。
n
N
总体中任意两个单位出现在全部可能样本中的次数都 n 相等是 C n 2 每一单位入样概率 C N 22 n ( n 1)
N 2
CN
n

N ( N 1)
对称性论证法 （三）简单估计量的方差 1 f 2 V ( y) S n （四）简单估计量方差的无偏性 简单随机样本的方差 s 1 ( y 2 n 1 S 的无偏估计。
28 29 30 31 32 33 34 35 36
25 28 90 17 57 43 146 19 47

2
y i 1 9 3 1( 元 ） ， 5 3 .6 4, (1 f ) / n 0 .0 2 7 7 1 2, y
2

s 1 3 5 8 .4 1, v ( y ) (1 f ) s / n 3 7 .6 4 4 4, se ( y ) 6 .1 3 5 5
（二）不放回简单随机抽样
不考虑样本单位顺序，可能的样本为 每个样本被抽中的概率为 1 / C

n N
CN
n
个。

虽然样本个数不同，但有同样的概率分布。
（二）不放回简单随机抽样

设总体有5个单位（1，2，3，4，5），按 不放回简单随机抽样的方式抽取2个单位， 若考虑样本单位的顺序，则所有可能样本 20个。若不考虑样本单位的顺序，所有可 能样本为10个。二者概率分布相同，不考 虑顺序的工作量小，所以对于不放回抽样， 只讨论不考虑顺序的不放回抽样。
第三章 简单随机抽 样
本章教学目的与要求
简单随机抽样是抽样中最基本、最成熟、 最简单的抽样设计方式，是所有概率抽样 方法发展、比较的基础。具体要求： 通过学习，熟练掌握简单随机抽样的抽样 方式和样本抽选方法； 熟知总体均值、总体总值和总体比例的简 单估计； 掌握样本量的确定； 了解子总体的估计。
一、确定样本量主要考虑因素 样本量过大，容易产生非抽样误差，样本 量过小，产生抽样误差。 因素一：对抽样估计量精度的要求。精度 要求高，即要求抽样误差小，则必须样本 量大。总体单位调查标志的变异程度、总 体的大小、样本设计和所使用的估计量、 回答率等都是影响估计精度的因素。

一、确定样本量主要考虑因素

v (Y ) N v ( y )
2


N (1 f )
2
s
2
n
第三节 总体比例的简单估计
一、总体比例 总体中具有某种属性的单位占总体单位的比例或 具有某种属性单位的总个数，也称成数。

设总体有N个单位，具有某种属性的单位N1个， 不具有该属性的单位有N-N1个。
1, 总 体 单 元 具 有 某 种 属 性 Yi 0， 总 体 单 元 不 具 有 某 种 属 性 P Q N1 N 1 N
tS E ( ) t

V ( ) , 绝 对 允 许 误 差


t
S E ( )



tC V ( ), 相 对 允 许 误 差

C V ( )

S E ( )

,变 异 系 数
S E ( ) 估 计 量 的 标 准 差
•达到要求精度，就是控制抽样误差，估计量的标准差 或变异系数都是n的函数，只要给定对精度的要求，就 可以求出最低样本量要求。
p

n1 n

yi

i 1
y

n
N1 Np

是总体中具有某种属性单位的总个数
N 1 的简单估计量。
（二）估计量性质


p是P的无偏估计量。 p的方差 PQ (N
V ( p)
N 1 N p 是 N 1的 无 偏 估 计 , 且 V (N1) V (NP) N V ( p)
二、简单随机样本的抽选方法
抽签法：材质相同N个签，一次抽n，或者 一次抽1个直到抽够n. 随机数表法 随机数色子 摇奖机 计算机产生

三、简单随机抽样的地位与局限
抽样技术的重要理论基础。 当Ｎ很大时，编制抽样框困难；有辅助信 息不加利用，统计效率低下；样本分布广 泛时，抽样费时费力；可能得到差的样本。
N ( N n) pq
), N p ( t
N ( N n) pq

正态近似产生的误差 主要与nP有关，特别 当nP比较小时，产生 的误差甚大，在95% 置信度下，P<0.5时正 态分布需要的最小nP 值与n值如下表。
P 0.5
nP 15
n 30
0.4
0.3 0.2 0.1 0.05 0

（二）不放回简单随机抽样

不放回也称不重复抽样，每次从总体中随机抽取 一个样本单位，经调查观测后，不再将该单位放 回总体参加下一次抽样，然后再在剩下的总体单 位中随机抽取下一个样本单位进行调查观测，直 到抽够n个样本单位为止。
考虑顺序可能的样本为
N !
Hale Waihona Puke N n!
每个样本被抽中的概率为
(N n)! N !

第一节 抽样方式
简单随机抽样（simple random sampling）： 也称纯随机抽样。对于大小为N的总体，抽 取样本量为n的样本，若全部可能的样本被 抽中的概率都相等，则称这样的抽样为简 单随机抽样。 可以分为放回和不放回抽样。

（一）放回简单随机抽样


放回抽样也称重复抽样。做法是每次从总体中随机 抽取一个样本单位，经调查观测后，将该单位重新 放回总体，然后再在总体中随机抽取下一个单位进 行调查观测，依次重复这样的步骤，直到从总体中 随机抽够n个样本单位为止。 n 可能的样本为 N ( 考虑顺序) 或 C N n 1 放回抽样的特点：同一个单位有可能在同一个样本 中重复出现。
(1 f ) p q n 1 n 1 ,pt (1 f ) p q n 1 ]
[p t [Np t
N ( N n) pq
, Np t
N ( N n) pq n 1
]
离散二项分布调整为连续正态分布 [ p (t [ N p (t (1 f ) p q n 1 n 1 1 2n N 2n ), p ( t (1 f ) p q n 1 1 2n n 1 N 2n )] )]

V ( y)
的无偏