【全国百强校】江苏省如东高级中学高考考前专题复习_高中阶段组合恒等式的证明(pdf版)
江苏省如东高级中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性考试数学试卷(含答案)
如东高级中学2024级高一阶段性考试试题数学2024.10制题人：福佑崇文阁注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请将自己的姓名､考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置.3.选择题答案用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B.C. D.2.若集合，则满足的集合的个数为（ ）A.2 B.4 C.8 D.163.已知，则的值为（）A.25 B.5 C. D.4.设非空集合满足，则下列选项正确的是（）A.，有B.，有C.，使得D.，使得5.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.6.已知集合，集合，若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围（）{}{}23,1,0,2,5,|5A B x x =--=<A B ⋂={}3,1--{}1,0,2-{}3,1,2--{}0,2,5{}240A x x x =∈->Z∣{}1,2,3,4,5A B ⋃=B 25,83a b ==32a b -25953,P Q P Q P ⋂=x Q ∀∈x P ∈x Q ∀∉x P ∉x Q ∃∉x P ∈x P ∃∈x Q ∉1x >11x a x +≥-a (],2∞-[)2,∞+[)3,∞+(],3∞-3112x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭(){}2220B x x a x a =-++<∣x B ∈x A ∈aA. B. C. D.7.有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，眷风不度玉门”关调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（）A.0 B.2 C.D.4二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ）A.B.C. D.10.下列命题正确的是（）A.在上恒成立，则实数的取值范围是B.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是.C.若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是D.若不等式的解集为或，则11.用表示不超过的最大整数，例如，则（）A.1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭{}()(){}2560,380x x x x y y y y ∈-+≤=--≤∣∣2240mx xy y -+≥m U ,M N U ()()U U M N ⋂ðð()U M N ⋂ð()U N M N ⋂⋂ð()U M N⋃ð210x kx k -+-<()1,2k [)3,∞+x 0ax b ->()1,∞+x 02ax b x +>-()(),12,∞∞--⋃+x ()22120x a x a +-+-=a 12a -<<20ax bx c ++>{2xx <-∣4}x >0abc >[]x x ][4.64, 2.43⎡⎤=-=-⎣⎦[][],11x x x ∀∈-=-RB.，则C.D.方程的解集为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.能够说明“若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.13.若，则的最大值为__________.14.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）计算（1；（2）已知，求的值：16.（本小题15分）已知命题对，都有成立；命题：关于的方程有实数根.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.17.（本小题15分）某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第且年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为万元，该项目每年运行的总收入为50万元.（1）试问该项目运行到第几年开始盈利？（2）该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出.假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由.18.（本小题17分）请选择“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.1,,3x y x y ∀∈-<R [][]x y =[][],1010x x x ∃∈=R []243x x =+11a b>a b <,a b 0,0,21x y x y >>+=2xy x y +V 60%V 130.064-11221a a --=2233223a a a a --++-:p x ∀∈R 210ax ax ++>q x 2240x ax -+=p a p q a (x x +∈N )1x >()20x x +（1）是的__________条件（2）已知，证明：成立的__________条件是.19.（本小题17分）为了方便，我们可将函数的自变量x 对应的函数值记为，从而函数可以写成，进而时对应函数值为.已知二次函数.（1）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；（2）已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.0xy =220x y +=0ab ≠1a b +=33220a b ab a b ++--=2y ax bx c =++()f x 2y ax bx c=++()2f x ax bx c =++0x x =()2000f x ax bx c =++()()21,f x x a x a a =-++∈R x ()1f x ≥-(]1,3x ∀∈a ()1g x x =-[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥a如东高级中学2024级高一阶段性考试试题2024.10数学制题人：福佑崇文阁注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请将自己的姓名､考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置.3.选择题答案用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【分析】先化简得出集合，再应用交集运算即可.【详解】由，结合已知集合，可得.故选：B.2.【答案】C【分析】解不等式求出集合A ，再由并集概念求解即可得出结果.【详解】对于集合A ，由，解得，又.又，满足条件的集合可能为，共8个.故选：C.3.【答案】D【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可.【详解】.故选：D.4.【答案】B【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可.【详解】，B {B x x =<<∣A {}1,0,2A B ⋂=-240x x ->04x <<{}{}2,401,2,3x A x x x ∈∴=∈->=Z Z ∣{}1,2,3,4,5A B ⋃= ∴B {}{}{}{}{}{}{}{}4,5,1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,4,5,1,3,4,5,2,3,4,5,1,2,3,4,5()33332583,223,223a b b b a b b -=∴==∴== ,P Q P P Q ⋂=∴⊆当 时，，使得，故A 错误；，必有，即，必有，故B 正确；由B 正确，得，必有，使得错误，即C 错误；当时，不存在，使得，故D 错误，综上只有B 是正确的.故选：B.5.【答案】D【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，所以不等式恒成立，故，故，故选：D6.【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合A ；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论和的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由得：，解得：；由得：；“”是“”的充分不必要条件， ，当时，，不满足 ；当时，，不满足 ；当时，，若 ，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.P Q 0x ∃∈Q 0x P ∉,P Q x P ⊆∴∀∈ x Q ∈x Q ∀∉x P ∉x Q ∀∉,x P x Q ∉∴∃∉x P ∈P Q =0x P ∈0x Q ∉1x >10x ->()11111311x x x x +=-++≥+=--111x x -=-2x =11x a x +≥-min 11a x x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭3a ≤A B Ö2,2a a >=2a <3112x x -≤-()()2120312110,2220x x x x x x x ⎧+-≤-+-=≤∴⎨---≠⎩112,,222x A ⎡⎫-≤<∴=-⎪⎢⎣⎭()2220x a x a -++<()()20x x a --< x A ∈x B ∈A ∴B 2a >()2,B a =A B 2a =B =∅A B 2a <(),2B a =A B 12a <-a 1,2∞⎛⎫--⎪⎝⎭【分析】捋清逻辑关系，即得答案【详解】羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关，即羌笛怨杨柳是春风不度玉门关的充分条件，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的充分条件，又因为羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的不必要条件.故选：A8.【答案】D【分析】令，分析可得原题意等价于对一切恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】，则，，又，且，可得，令，则原题意等价于对一切恒成立，的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值，故实数的最小值是4.故选：D.【点睛】结论点睛：对恒成立，等价于对恒成立，等价于.二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.【答案】BC【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合N 但不属于集合M ，故.合要求，y t x =[]21,4,4y t m t t x=∈≥-][2,3,3,8x y ⎡⎤∈∈⎣⎦ 111,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1,4y x∴∈2240mx xy y -+≥ []22,3,0x x ∈>224y y m x x≥-[]1,4y t x=∈[]21,4,4t m t t =≥-24y t t =- 2t =2t =24y t t =-max 844y =-=m (),x M f x a ∀∈≥()min [];f x a ≥(),x M f x a ∀∈≤()max []f x a ≤()U U,()M N N M N ⋂⋂⋂ðð10.【答案】ABD【分析】A ：令，则即可求得的范围；B ：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；C ：令，则即可求得的范围；D ：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断的符号.【详解】A ：在上恒成立，令，则，即，解得，故A 正确；B ：关于的不等式的解集是，则关于的不等式等价于，即，解得或，故B 正确；C ：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，令，则有，即，解得，故C 错误；D ：若不等式的解集为或，则，且，又，故D 正确.故选：ABD.11.【答案】ACD【分析】设出的整数部分与小数部分，再由的意义判断A ；利用特殊值判断BC ；确定的范围，进而确定其值，代入计算判断D.【详解】对于A ，设的整数部分为，小数部分为，则，因此A 正确；()21g x x kx k =-+-()()10,20g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩k a b 02ax b x +>-()()2212f x x a x a =+-+-()10f <a a b c ､､abc 210x kx k -+-< ()1,2()21g x x kx k =-+-()()10,20g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩22110,2210k k k k ⎧-+-≤⎨-+-≤⎩3k ≥ x 0ax b ->()1,,0a b ∞+∴=>x 02ax b x +>-()()20ax b x +->()()120a x x +->1x <-2x >x ()22120x a x a +-+-=()()2212f x x a x a =+-+-()10f <()221120a a +-+-<21a -<<20ax bx c ++>{2xx <-∣4}x >0a >()()224228,2,8ax bx c a x x ax ax a b a c a ++=-+=--∴=-=-30,160a abc a >∴=>x []x []x x a b [][]][,111x a b a x a b a ⎡⎤=+=-=-+=-⎣⎦[][]11,x x -=-对于B ，，满足，此时错误；对于C ，当时，符合题意，C 正确；对于D ，由，知为整数且，解得，显然，于是，因为，即，由，解得，则由，解得（舍去），因此，即或，当时，，解得；当时，，解得，所以方程的解集为，D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】，答案不唯一，分别取大于0，小于0的整数即可【解析】分别取大于0，小于0的整数即可得到答案.【详解】取，满足，但，得到命题为假命题.故答案为：；【点睛】本题考查了举例判断假命题，意在考查学生的推断能力.13.【答案】【分析】化简，根据题意结合基本不等式，取得，即可求解.【详解】由题意，实数，且，31,4x y ==1143x y -=<[][]1,0,x y B ==1x =[]243x x =+2x []430x +≥[]34x ≥-[]0x ≥0x ≥[]222[](1)x x x ≤<+[][]22[]43(1)x x x ≤+<+[]2[]43x x ≤+[]22x ≤≤+[]04;x ≤≤[][]243(1)x x +<+[]1x >+[]1x <-[]34x ≤≤[]3x =[]4x =[]3x =243315x =⨯+=x =[]4x =244319x =⨯+=x =[]243x x =+1,1a b ==-,a b ,a b 1,1a b ==-11a b >a b >1,1a b ==-191122xy x y x y=++()121229x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭0,0x y >>112122xy x y x y xy x y==+++又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.14.【答案】【分析】由题目条件，可得，后解不等式可得答案.【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升，则此时药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中，药液有升，则此时药液含量占容积比例为，由题有，，解得，又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；（2）利用平方关系求解.【详解】（1）原式；（2）因为，所以，即，因为，()1212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭22y x x y =13x y ==129xy x y ≤+2xy x y +1919520V ≤≤()45560%V V V V---≤()5V -()5V V-()45V V-()455V V VV ---()45560%V V V V---≤5202V ≤≤5V ≥520V ≤≤5π;252553ππ33π22=-+=-+-=11221a a --=21112221a a a a --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭13a a -+=()11311312222223a a a a a a a a ----⎛⎫-+=+--= ⎪⎝⎭所以，所以原式.16.【答案】（1）（2）或或.【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围；（2）命题一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.【详解】（1）命题为真命题：对任意实数都有恒成立，当时，恒成立，当时，则，即，解得，综上的取值范围为.（2）若为真命题，则，解得或，若真假，则，则，若假真，则，则或，综上，或或.17.【答案】（1）第4年（2）选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第年的盈利为万元，可求得关于的函数关系式，解不等式可得的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.【详解】（1）解：设项目运行到第年的盈利为万元，则由，得，解得，所以该项目运行到第4年开始盈利.（2）解：方案①，当时，有最大值144.3311222234a a a a ---=+-=()2123542a a -+-+==[)0,402a ≤<2a ≤-4a ≥0,0a a =≠p a ,p q p q q p a p x 210ax ax ++>0a =10>0a ≠0Δ0a >⎧⎨<⎩2040a a a >⎧⎨-<⎩04a <<a [)0,4q 2Δ4160a =-≥2a ≥2a ≤-p q 0422a a ≤<⎧⎨-<<⎩02a ≤<p q 0422a a a a <≥⎧⎨≥≤-⎩或或2a ≤-4a ≥02a ≤<2a ≤-4a ≥x y y x 0y >x x y ()25020813081,y x x x x x =-+-=-+-0y >230810x x -+<327x <<223081(15)144y x x x =-+-=--+15x =y即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为万元，方案②，当且仅当，即时，等号成立.即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②.18.【答案】（1）必要不充分，（2）充要，证明见解析【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可，（2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可，【详解】（1）当时，或，此时不一定成立，如满足，而不满足，当时，可得且，所以，所以是的必要不充分条件，（2）证明：先证必要性：再证充分性：即：，，即.综上所述：的充要条件是.19.【答案】（1）（2）或【分析】（1）分离参数得对恒成立，只需，令得14456200+=818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭81x x=9x =12992200⨯+=0xy =0x =0y =220x y +=0,1x y ==0xy =220x y +=220x y +=0x =0y =0xy =0xy =220x y +=1,1a b b a+=∴=- ()33223322(1)1(1)a b ab a b a a a a a a ∴++--=+-+----323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=33220a b ab a b ++--= ()()()22220a b a ab b a ab b ∴+-+--+=()()2210a ab b a b -++-=222230,024b ab a ab b a b ⎛⎫≠-+=-+> ⎪⎝⎭ 10a b ∴+-=1a b +=1a b +=33220a b ab a b ++--=3a ≤1a ≤-3a ≥211x x a x -+≤-(]1,3x ∀∈2min11x x a x ⎛⎫-+≤ ⎪-⎝⎭1t x =-，利用均值不等式求最小值即可；（2）由，使不等式成立可得是一元二次函数，利用对称轴位置求最小值即可.【详解】（1）由得，当时，，所以对恒成立，只需即可，令，由得且，则，因为，当且仅当即时等号成立，所以，即.（2）由，使不等式成立可得即可，由在上单调递增可得，而的对称轴为，①当即时在上单调递增，则，解得，综上；②当即时，，解得或，综上；③当即时在上单调递减，2111t t a t t t++≤=++[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥()min min ()(),g x f x f x ≥()1f x ≥-()211a x x x -≤-+(]1,3x ∈10x ->211x x a x -+≤-(]1,3x ∀∈2min11x x a x ⎛⎫-+≤ ⎪-⎝⎭1t x =-(]1,3x ∈(]0,2t ∈1x t =+2111t t a t t t++≤=++1113t t ++≥+=1t t =1,2t x ==2min13t t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭3a ≤[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥min min ()()g x f x ≥()1g x x =-[]0,1()min ()01g x g ==-()()222121124a a a f x x a x a x +-+-⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭12a x +=112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-()min ()1221f x f a =-=+≤-32a ≤-3a ≤-1122a +-<<33a -<<2min 121()124a a a f x f +-+-⎛⎫==≤- ⎪⎝⎭1a ≤-3a ≥31a -<≤-122a +≥3a ≥()f x []1,2-则，解得综合①②③可得的取值范围为或.()min ()221f x f a ==-≤-3;a ≥a 1a ≤-3a ≥。
江苏省如东高级中学第一学期高三数学第二次阶段测试卷
江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题2007.10.7第I 卷 (选择题，共50分)一．选择题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．若22(1)(32)x x x i-+++是纯虚数，则实数x的值是（ ）A . 1B . 1-C . 1±D . －2 2．下列函数中，在)4,0(π内递减，且关于直线4π=x 对称的函数是（ ）A.x y 2tan =B.)2cos(x y +=πC. )22cos(x y +=πD.|2sin |x y =3．2|log |y x =的定义域为[, ]a b ， 值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为 ( )A ．3B ．43C ．2D ．23 4．若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则点(,a b )的轨迹方程 ( ) . 0(0)A x y x -=≠ . 0(0)B x y x +=≠. 20(0)C x y x -=≠ . 20(0)D x y x +=≠5．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,s i n s i n AB AC OP OA AB B AC Cl l =++??uu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （Ａ）重心 （B ）垂心 （C ）内心 （D ）外心 6．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为 （ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅二、填空题：本大题共10小题，第7～11题每小题5分，第12～16题每小题6分，共55分．答案填在题中横线上7．向量=(n,1)与=(4,n)共线且方向相同，则n = __▲ . 8．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= _▲ .9．已知ABCDEF 是正六边形，且,AB a AE b ==，则CD = _▲ （用,a b 表示）.10．求值0cos10(tan10sin 50-∙= _▲ 11．已知向量25(cos sin )(cos sin )||5a ααb ββa b =-=，，=，，，则cos ()αβ-= _▲ .12．函数12121x x y +-=+的值域是 _▲ ．13．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标从小到大依次记为,,,,321⋅⋅⋅P P P 则||42P P等于 _ ▲ . 14．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数， 则m 的取值范围是 _▲ ．15．定义在] ,[22-上的偶函数()g x ，当0x ≥时()g x 单调递减， 若 (1) ()g m g m -<， 则m 的取值范围是 _▲ ．16．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度的比为m ，则m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17．设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]．(1)求f (x )=OB OA ·的最大值和最小值；(2)当 OA ⊥OB ，求|AB |．18．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边长，已知222.b c a bc +-=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小19．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比；②当时2a x =，2a y =；③.)(20t x a x≤-≤其中t 为常数，且]1,0[∈t ．(1)设)(x f y =，求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值 20．已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )．(1)求证：()f x '=(x -a )(x -b )＋(x -a ) (x -c )＋(x -b ) (x -c )；(2)若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．.21．对于函数y=f(x)( x∈D，D为函数定义域)，若同时满足下列条件：①f(x)在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D⊆，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么把y= f(x)(x)D∈称为闭函数．(1) 求闭函数y= –x3符合条件②的区间[a，b]；(2)判定函数f(x)= 31((0,))4x xx+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3) 若()f x=k k的取值范围．．江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题（加试）2007.10.7一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 1. 已知矩阵121A c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为λ，10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是A 的属于λ的特征值向量，则=-1A2. 若cos sin sin cos x θθθθ=（R θ∈）,则函数2()23f x x x =+-的最大值为3. 设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝4. 给出下列命题：①若函数3()f x x =，则(0)0f '=；②若函数2()21f x x =+，图像上(1,3)P 及 邻近点(1,3)Q x y +∆+∆， 则42yx x∆=+∆∆；③加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数；④2lg 2x x y x =+，则2222212x x xx x y x ⋅-⋅'=-．其中正确的命题为 ．（写上序号）二、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算5. (本题8分) 已知函数()ln f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）对x D ∈，如果函数()F x 的图像在函数()G x 的图像的下方，则称函数()F x 在D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间()1,+∞上被函数2()g x x =覆盖6．(本题12分) 已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0f f ==且()f x 的最小值是14-.（Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象以及直线12x =这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是2()S t ,已知121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题参考答案一、 选择题 ACBBAC二、 填空题7，28，23π9，)(21a b - 10，－2 11，35 12，1(,1)2- 13，π 14，[1,3] 15，1[1,)2-16，),2(+∞三、 解答题17解：⑴f (x )=·= -2sin x cos x +cos2x =)42cos(2π+x ．∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x +4π≤45π．∴当2x +4π=4π，即x =0时，f (x )max =1；当2x +4π=π，即x=83π时，f (x )min = -2．⑵⊥即f (x )=0，2x +4π=2π，∴x =8π．此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++- =231621-． 18，解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b A bc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A ……………………………… 6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R += 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形又,36A B ππ=∴=………………………………………………12分19，解：(1)设()y k a x x =-．由2ax =，2a y =，得：k =4． 于是，4()y a x x =-．解关于x 的不等式：02()x t a x ≤≤-，得0≤x ≤212att+．∴函数的定义域为2[0,]12att+，t 为常数，]1,0[∈t ． (2)22)2(4)(4a a x x x a y +--=-= ． 当2max ,2,121,2212a y ax t a t at ==≤≤≥+时即时； 当]212,0[)(4,210,2212tatx x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数，故当212atx t=+时,2max 28(12)at y t =+． 故112t ≤≤当时，投入2a x =时，附加值y 最大为2a 万元；当210<≤t 时，投入t at x 212+=时，附加值y 最大为22)21(8t at +万元 20，解：(1)∵ f (x )=(x -a )(x -b)(x -c )=ｘ3-(a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x -abcf ′(x )=3 x 2-2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2- (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2- (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2- (b+c )x ＋bc ] =(x -a )(x -b )＋(x -a )(x -c ) ＋(x -b )(x -c )．(2)∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立． ∴△≤0， 4(a+b+c )2-12(ab+bc+ca ) ≤0， ∴ (a -b )2＋(a -c )2＋ (b -c )2≤0，∴ a=b=c ． ∴f (x )=(x -a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称．证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x -a )3图像上的任意一点，y=(x -a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a -x ，-y )， ∵(2a -x -a )3=(2a -x )3= -(x -2a )3=-y ，∴点P ′在函数f (x )=(x -a )3的图像上，即函数f (x )=(x -a )3关于点(a ，0)对称21，解 (1)由y =x -3在[a ，b ]上为减函数，得 33,,.b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]．(2)取x 1 = 1 ， x 2 = 10，可得f (x )不是减函数；取x 1 =21,10x =1100，可得f (x )在(0 ，+∞)不是增函数，所以f (x )不是闭函数．(3)设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则a k b k =+=+⎧⎪⎨⎪⎩故a ， b 是方程x=k22(21)20,2,x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩有两个不等实根． 当k 2≤-时，2222212,2(21)4(2)0,22(21)20.k k k k k +⎧>-⎪⎪⎪+-->⎨⎪+++-≥⎪⎪⎩解得：94k >-，∴ 9(,2]4k ∈--；当2k >-时，222221,2(21)4(2)0,(21)20.k k k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩这时k 无解．所以 k 的取值范围是9(,2]4--．参考答案一、1. ⎥⎦⎤-⎢⎣⎡1201 2. 0 3. sinx 4 ①②二、5．（12分）解：（1）1()10f x x'=+>在2[1,]e 恒成立. ∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分 ∴min ()(1)2f x f ==， 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分(2)2()()ln g x f x x x x -=--1(()())210g x f x x x'-=-->在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证6． 解: (1)由二次函数图象的对称性, 可设211()()24f x a x =--,又(0)01f a =∴= 故2()f x x x =-…………………5分(2) 据题意, 直线l 与()f x 的图象的交点坐标为2(,)t t t -,由定积分的几何意义知1222221201()()()[()()][()()]2t t g t S t S t t t x x dx x x t t dx =+=--------⎰⎰=1222220[()()][()()]ttx x t t dx t t x x dx ---+---⎰⎰132322220[()()]|[()()]|3232t t x x x x t t x t t x =---+---=32431132212t t t -+-+而22111'()43(861)(41)(21)222g t t t t t t t =-+-=--+=---令1'()0,4g t t =⇒=或12t =(不合题意,舍去)当111(0,),'()0,()[,),'()0,(),442t g t g t t g t g t ∈<∈≥递减,递增故当14t =时,()g t 有最小值。
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一、等差数列选择题1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．804．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．145．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ）A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =.则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n13．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．105 15．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5916．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．917．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5618．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2220．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．151二、多选题21．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>022．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝023．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+25．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6526．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1227．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =- B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-29．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 2．C【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 3．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 4．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 5．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 6．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果.【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 10．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 12．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 14．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 15．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 16．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 17．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 18．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 20．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可.【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a ==故选：B二、多选题21．AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误，故选：AC22．ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 23．ABC【分析】 根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】 根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立， 由12+n 递减，且1223n <+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n <-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.25．ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.26．ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确； 对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.27．BCD【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202020202021a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.28．AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.29．AC【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==， 得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 30．AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
江苏省如东高级中学高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库
一、等差数列选择题1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-2．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．493．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11126．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．587．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5S C ． 6S D ． 7S 9．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝210．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．15111．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 13．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S15．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46517．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．10018．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202119．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85二、多选题21．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ）A ．31a =-B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.24．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 25．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <26．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2128．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+29．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 2．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 3．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 6．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 10．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
江苏省如东高级中学2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．72．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．3D ．223．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-4．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-35．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|1}x x >-8．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>11．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ） A ．35 B ．45 C ．1 D ．8512．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如东高级中学、栟茶中学等四校2023-2024学年生物高三第一学期期末联考模拟试题含解析
江苏省如东高级中学、栟茶中学等四校2023-2024学年生物高三第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(本大题共7小题,每小题6分,共42分。
)1．胃内的酸性环境是通过质子泵维持的，质子泵催化1分子的ATP水解所释放的能量，可驱动1个H+从胃壁细胞进入胃腔和1个K+从胃腔进入胃壁细胞，K+又可经通道蛋白顺浓度进入胃腔。
下列相关叙述错误的是A．甘氨酸可能是组成质子泵的单体之一B．胃内酸碱度是机体内环境的理化性质之一C．H+从胃壁细胞进入胃腔需要载体蛋白的协助D．K+由胃壁细胞进入胃腔不需要质子泵的作用2．如图是植物激素生长素（IAA）和赤霉素（GA）对拟南芥根和茎生长的影响。
据图作出的分析，正确的是A．相对根而言，茎对IAA和GA更敏感B．IAA浓度为b时，根不生长C．IAA浓度大于c时，茎的生长受抑制D．仅IAA表现出两重性，GA无两重性3．“探究DNA的复制过程”实验是最早证明DNA半保留复制的证据，下列有关该实验叙述错误的是（）A．该实验需对细菌的DNA进行提取和分离操作B．将大肠杆菌转入以15NH4Cl为唯一氮源的培养基中培养若干代，使其DNA都被15N标记，得到第一代细菌C．将第一代细菌转入以14NH4Cl为唯一氮源的培养基中培养，分别取第二代和第三代细菌的DNA进行密度梯度超速离心和分析D．将第二代或第三代细菌的DNA双链打开后再进行离心分离，也会出现中间条带4．下列有关生物膜的叙述，不正确的是A．具有双层膜的细胞器是线粒体、叶绿体B．粗面内质网上有合成磷脂的酶C．细胞膜由磷脂、蛋白质和少量的糖类组成，有的还含有胆固醇D．细胞膜能够进行细胞间的信息交流，主要与膜上分布的糖蛋白有关5．下列关于细胞中元素和化合物的说法正确的是（）A．酶都是以碳链为骨架的生物大分子B．盐析过程中蛋白质的结构发生了变化C．细胞中的元素大多以离子形式存在D．叶绿素含C、O、N、Fe等大量元素6．枯草杆菌野生型与某一突变型的差异见下表。
【全国百强校】江苏省如东高级中学2017届高考考前专题复习极化恒等式在数量积问题中的应用(pdf版)
4
44
D
又因为
BCmin
31
2 ，所以 (AB
AC )m ax
21 4
.
m
C
n
例 2 中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们 BC 边上的中线
长为 5 ，故易联系到极化恒等式，只需求底边 BC 的最小值即可. 2 例 3（2016 届南京三模第 13 题）在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB＝60o，C 为弧上的动
∴ P0B (1,0) ， PB (2 x,0) ， PC (a x,b) ， P0C (a 1,b)
C
∵对于边 AB 上任意一点 P,恒有 PB PC P0B P0C
∴ (2 x)(a x) a 1对 2 x 2 恒成立
整理可得 x2 (a 2)x a 1≥0 恒成立 令 f (x) x2 (a 2)x a 1
即 (b c)2
9 ，又 AB
AC
bc+3
（b+c）2
+3=
21
，
4
4
y A
m
x
O
C
2
当且仅当 b c 时等号成立.
法二.(极化恒等式)
解：连接 BC ，取 BC 的中点 D
A
AB AC AD2 BD2
又 AD 1 AB AC 5
2
2
B
故 AB AC 25 BD2 25 1 BC2
点，AB 与 OC 交于点 P，则→ OP·→ BP 的最小值是
．
法一.(坐标法)
y 解：以直线 OB 为 x 轴，过点 A 且垂直于 OB 的直线为 y 轴，
江苏省南通市如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题
江苏省南通市如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题一、单选题1．若集合{M xy ==∣，{}222x N x -=>∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}01xx ≤≤∣ B ．{01}x x ≤<∣ C ．{14}x x <<∣ D ．{1}∣<xx 2．已知20221i i 1iz +=--，则在复平面内，其共轭复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8:7.若设明间的宽度为a ，则该大殿9间的总宽度为（ ） A ．478a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．471418a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知函数()sin ππ(0)f x x x ωωω=>在[]0,1内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．1023,36⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1713,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1723,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知函数)()ln 1f x x =+，正实数a ,b 满足(2)(4)2f a f b +-=，则242b aa ab b ++的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6586．已知()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++，则2a =（ ）A ．2-B ．2C ．4D ．127．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M ，N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ D ．⎛ ⎝⎦8．已知()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()21f x -为偶函数．设()01f '=，则()812k f k ='=∑（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（ ）A ．0.040a =B ．得分在[]95,100的人数为4人C ．200名党员员工测试分数的众数约为87.5D ．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为8510．ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +> C ．若30,4,3A b a ===，则ABC 有两解D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=11．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A ，B ，C ，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ） A ．不同的安排方法共有240种B ．甲志愿者被安排到A 学校的概率是14C ．若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D ．在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是2512．已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（ ） A ．点P 的坐标为(0,1) B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB 的取值范围是[2,2+三、填空题13．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，点P 是α的终边与单位圆的交点．若OP 在x 轴上的投影向量的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2=α________.14．已知数列{}n a 满足121n n n a a a ++⋅⋅=，12a =，212a =-，则{}n a 的前n 项积的最大值为________.15．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3O x y +=，()2,T m ，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是_____________.16．已知函数()()31,3ln 2e e e f x mx g x x x ⎛⎫==+≤≤ ⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N关于直线e y =对称，则实数m 的取值范围是________.四、解答题17．在①cos cos 2B b C a c -=+，②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，AB 边上的中垂线交AC 于D 点，求BD 的长.18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++= (1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.19．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．(1)证明：PA BD ⊥；(2)在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．20．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .21．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b +＝0a b >>（）的左、右焦点，椭圆上任意一点P 到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点2F 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 22．已知函数()()211ln 2f x ax a x x =-++，0a >．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，设()()()()31ln g x f x m x x x =+--+，()m ∈R ，函数()g x 有两个极值点1x 、()212x x x <． ①求m 的取值范围； ②若123x x ≥，求12x x +的取值范围．参考答案：1．B 2．D 3．D 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．ACD 10．ACD 11．ABD 12．AC 13．79-14．215．⎡⎣ 16．3,3e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1718．(1)21n a n =-，10,12,22n n n b n n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.(2)221412n 42994ni nc n n +=-++-⨯∑19．(1)证明见解析 (2)1119-20．(1)15；25.(2)分布列见解析，198125.21．（1）22143x y +=；（2）存在，916π. 22．(1)答案见解析(2)①1m >；②(]2,2ln3。
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n n k 2 k 2
n2
n
n
n
n
n
k 2 n 1 k 2 n 1 n[2n1 (n 1)Cn (n 1) Cn n(n 1)2n2 2 ] n[2 2 ] n2
n(n 1)2
m
右边= C m 显然成立
m
②当 n k (k m) 时命题成立，即
m m m m m m 1 Cm Cm 1 C m 2 ... C k 1 C k C k 1 当 n k 1 时， m m m m m m m 1 m m 1 Cm Cm 1 C m 2 ... C k 1 C k C k 1 C k 1 C k 1 C k 2 即当 n k 1 时也成立， m m m m m m 1 综上所述由①②可得，原命题成立即 Cn Cm 1 Cm 2 Cn 1 Cn Cn 1 .
（ x 0, x 1）的展开式中含 x m 前的系数
记 S m 1 (1 x)m m 2 (1 x)m1 n(1 x)n1 n 1 (1 x)n 则
(1 x)S m 1 (1 x)m1 m 2 (1 x)m2 n(1 x)n n 1 (1 x)n1
二、证明组合恒等式的常用方法
（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明； （2）母函数法，也成为生成函数法； （3）求导数积分（类似于陈颖老师所说的函数升降格变形） ； （4）数学归纳法； （5）赋值法 （6）利用组合数组合数的实际意义不常用.
一、预备知识
基本组合数公式和常见的组合恒等式
k nk （1） C n C n k k k 1 （2） Cn 1 Cn Cn
k k k 1 （3） kCn nC n 1 或 C n
k m m k m （4） Cn Ck Cn Cn m
n k 1 C n 1 ; k k m m （ m k n ）; Cn Cn k m ，
1 2 n n 1 Cn 2Cn x nCn x 两边同时乘以 x 1 2 2 n n nx(1 x) n 1 Cn x 2Cn x nCn x 两边再对 x 求导可得 n 1
1 2 n n 1 n(n 1)(1 x) n 2 n(1 x) n 1 Cn 2 2 Cn x n 2Cn x 令 x 1 可得
浅谈高中阶段组合恒等式的证明
江苏省如东高级中学
组合恒等式是高等数学中的组合数学里的一部分内容， 在高等数学中对组合数学的研究 很透彻， 在高中阶段对组合恒等式的研究主要是启发学生的思维， 培养学生对组合数学的兴 趣.组合知识是江苏高考的选修内容，主要出现于江苏高考的加试最后一题，是区分度很高 的一节内容，2016 年的江苏高考中考察了组合恒等式，所以 2017 年在江苏各大市的一模卷 中较高密度的考察了组合恒等式， 笔者就近年的组合恒等式题型和读者一起探讨此类问题的 常用解题策略。
m 1 m m m m m 1 m m = =......= Cn （Cm 3 C m 3 ) C m 4 ... C n 1 Cn 1 C n 1 C n m 1 m m 1 = Cn Cn Cn 1 右边
证法二组合数实际意义： 设有 n+1 个不同元素 a1 , a2 , a3 ,...,an , an 1 , 从这 n+1 个元素中取出
(1 x)n 2 (1 x)m1 即只要看 g ( x) 中含 x m1 的项 (1 x) x x m 2 m f ( x ) ，再对 x 求导可得 中 x 前的系数为 ( m 1)Cn 2 .
n 1
证法四数学归纳法：对任意的 m N* ，
m
① 当 n m 时，左边 m 1 Cm m 1 ，右边 m 1 Cm2 m 1 ，等式成立，
证法二求导积分法：
n 0 0 1 1 n n （1）由 (1 x) Cn x Cn x Cn x 两边对 x 求导可得
1 2 n( 1 x n)1 C 2C x n n n n 1 n x . nC 显然命题得证
证法二赋值法： （2） n(1 x)
m2 m 1 Cm 2 Cm 2
1 m 1 m 1 Cm n 1 C m 1 C m 2
1 Cm n 1
所以，左边 右边． 证法二母函数法: 等式左边
m m m nCm m 1 Cm m m 2 Cm1 m 3 Cm2 n1 n 1 Cn 为 m m1 n1 n 函数 f ( x) m 1 (1 x) m 2 (1 x) n(1 x) n 1 (1 x)
三、例析
m m m m m m 1 例 1.证明： Cm Cm 1 Cm 2 ... Cn 1 Cn Cn 1 k k k 1 证法一组合数公式法: 有组合数性质 Cn 可得： 1 C n C n
m 1 m m m m m 1 m m m m = 左边= （Cm 1 C m 1 ) C m 2 ... Cn 1 C n （C m 2 Cm 2 ) C m 3 ... Cn 1 Cn
所以取法种数又等于
k m
C
n
m k
，因此原式成立
m m m m m 证法三母函数法：等式左边 C m Cm 1 C m 2 ... C n 1 C n 是
1 x m 1 x m1 1 x n1 1 x n 的展开式中含 x m 的项的系数，由数列求和公 式可得 x 0, x 1 时 1 x m 1 x m 1 1 x n 1 1 x n m n 1 m n 1 m 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x
m m 1 m 1 ，因此有 上式右边展开式中含 x 的项就是分子中含 x 的项，其系数为 Cn 1
m m m m m m 1 Cn Cm 1 Cm 2 Cn 1 Cn Cn 1
证法四数学归纳法：对任意的 m N * ①当 n m 时 左边= C m
1 2 3 (n 2 n)2n 2 12 Cn 22 Cn 32 Cn
n 1 n (n 1) 2 Cn n 2 Cn
说明：本题通过对原来的函数进行求导变形后，能得到不同的组合恒等式，是非常典型的 导函数赋值法的题， 与前面的母函数法本质相通却又有所不同， 需要用到求导或积分的手段， 而且针对组合数上标的不同特征应该采用不同的构造母函数的方法， 然后考察特定项或者整 n 体项，个人觉得如果恒等式中组合数上标递增且含有整数的 次幂应该用整体赋值法，如果 组合数上标均为同一个值应该采用考察特定项法. 例 3.（16 江苏高考题） ⑴ 求 7C6 4C 7 的值；
3 4
⑵ 设 m, n N ， n ≥ m ，求证：
*
m m m 1 Cm m m 2 Cm1 m 3 Cm2
m m 2 nCm n1 n 1 Cn m 1 Cn2 ．
（2）证法一组合数公式法:
m m1
因为 k 1 Ck m 1 Ck 1 ，所以
用错位相减法易求得
S
(1 x)m (1 x)n1 (n 1)(1 x)n1 m(1 x)m 其中 m 前的系数为 x x2 x x 2 m 1 m2 即命题得证. -Cm n 1 ( n 1)C n 1 ( m 1)Cn 2
证法三求导积分法：
n n
（5） Cn Cn Cn ... Cn 2 ； 0 1 n （6） Cn Cn ...(1) n Cn 0；
0 1 2 m m m m m m 1 . （7） C m Cm 1 C m 2 ... C n 1 C n C n 1
1 2 3 2 （1）求证： Cn 2Cn x 3Cn x n 2 n 1 n n 1 (n 1)Cn x nCn x n(1 x) n 1 ；
2 1 2 2 2 3 （2）求和： 1 Cn 2 Cn 3 Cn 证法一组合数公式法:
n 1 n (n 1) 2 Cn n 2 Cn ．
m1 m1
k k k 1
左边 m 1 Cm1 m 1 Cm2 又由 C n C n 1 C n 1 ，知
m1 m1 1 m 1 Cm n1 m 1 Cm1 Cm 2
1 Cm n 1
2 m2 m 1 m2 m 1 1 Cm Cn Cm n 2 C n 1 C n 1 C n n 1
说明：通过此道非常基础的习题，我们可以看出组合恒等式的四种常用解法. 其中母函 数法和构造组合模型法，这两种方法都用到了“算两次”的思想，所谓“算两次”原理，又 称富比尼原理，就是对同一个量，用两种不同的方法去计算，所得的结果应相等（在常州模 拟卷中有类似的算两次描述）.其中利用组合数的实际意义构造模型相对较难操作，并且在 阅卷时较为不利，所以仅作教学示范，在平时考试解题时一般不推荐使用. 例 2.当 n 1, n N 时，
m 1 m+1 个不同元素的取法有 Cn 1 种。
另一方面，我们也可将这些取法分类考虑如下： m 种取法， 若取 a1 ，则有 C n
m 若不取 a1 ，取出 a2 ，则有 C n 1 种取法， m 若不取 a1 , a2 取出 a3 则有 Cn 2 种取法，…， m 种取法 若不取 a1 , a2 , a3 ,...,an m , 取出 an m 1 则有 C m