高中物理竞赛的数学基础自用
想走上物竞之路进入清华北大？你还差这些数学知识！
想走上物竞之路进入清华北大？你还差这些数学知识！近期，很多刚刚入坑物竞的同学们询问这样一个问题：搞物竞需要哪些数学知识？关于这个问题，质心教育黄俏老师写了一篇关于物竞中需要掌握的数学知识的文章，供大家参考。
1参加物竞需要哪些高中知识基础？高中物理竞赛所需要的无论从知识上的广度还是思维上的难度都大于高考。
按照全天高强度学高中物理竞赛的力度来学高考物理的话，一个月就能学完了。
事实上，学习高中物理竞赛，更需要准备的是高中数学知识。
2哪些高中数学知识物竞会用到？物理竞赛需要用到的重要高中数学知识有：函数（包括三角函数、幂函数、对数函数、指数函数等），不等式（包括柯西不等式、均值不等式等），向量，多元线性方程，二次方程。
都是高中高考范围内会学到的，但同学最好在数学老师讲到这些部分之前，提前自学。
这部分翻翻高考数学参考书，稍微做做高考数学题就可以了。
当然质心教育帮大家将矢量和三角函数等内容录成了免费视频方便同学们学习（登录质心官网，点击学习——知识点——数学基础）。
物理竞赛需要的高等数学就比较零散了，初学的时候推荐买一本名字含“微积分”的书（注意不要是“数学分析”的书），重点看里面公式的应用而不是对其存在性、正确性和唯一性的证明，同样质心教育帮大家将单元函数的积分录成了免费视频（登录质心官网，点击学习——知识点——单元函数微积分）。
后续我们还会上线更多的关于数学工具的免费视频。
3高数怎么学？需要掌握哪些知识？新入坑的同学们可以看看高数教材，《高数》建议大家使用李忠老师写的、北京大学出版社出的这本书。
这本《高数》分上、下册，大部分同学只会用到上册，李忠老师是数学学院的老院长，专门为物理系的同学编写了这本教材，可以仔细读一下。
就是这本《高数》这本书使用方法是这个样子的，我们重点要掌握的是其中的概念和简易的运算，特别复杂的运算是可以不用掌握的。
这本书里面特别复杂的概念也都已经去掉了，所以这本书看起来还是挺好的。
我们至少需要掌握其中的极限、单元函数的导数、单元函数的定积分、不定积分（不用掌握特别复杂的方法），泰勒展开以及简易的微分方程（可分离变量的微分方程）就可以了，至于后面的更复杂的东西遇到的时候再看，不遇到的时候就把书放在这儿，把它当工具书来用。
高中物理奥赛常用数学公式
中学物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式 ()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=- 3、半角公式，升降幂公式22221cos 1cos 1cos 1cos sin sin cos tan 222221cos sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααααααα-+--=±=±=±==++-+==+=-=4、积化和差，和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--（2）正弦定理 2sin sin sin abcR A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)（3）余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-=（4）11sin ()()()224ABC a abcS ah ab C pr p p a p b p c R ∆=====---其中2a b cp ++=为半周长四、重要不等式1．222(,0)1122a b a bab a b a b++≥≥≥>+2．22233(,,0)11133a b c a b cabc a b c a b c++++≥≥≥>++3．222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+-（β是径度差） 3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体4、体积 343V R π= 3S V R R S V '''==球球球球多面体内切球半径 ： 3V r S =全 六、二项式定理（1）011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++（2）22(1)11n nx nx nx c x +≈+≈++ 七、导数1．()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导，注意：在处不可导二、运算法则：()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式（1）0C '= （2）()1n n x nx -'=（3）()x x e e '= （4）()x x a a ln a '=（5）1(ln x )x '= （6）11(log )log ln a a x e x x a'== （7）(sin )cos x x '= （8）(cos )sin x x '=-8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL中考不须要，竞赛中很明显的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中物理竞赛的知识与分类
高中物理竞赛的知识与分类物理竞赛需要哪些知识?物理竞赛力学部分需要哪些数学?首先，为了理解力学一开始的匀加速直线运动和变加速直线运动，对于一元函数的简单微积分是必不可少的，当然主要集中在多项式函数的求导和积分上，实际操作起来十分容易。
此后，当运动范围被拓展到二维，运动形式成为曲线时，矢量代数、解析几何、参数方程、斜率、曲率半径等数学概念被融入到物理模型中，用来理解抛体、圆周、一般曲线运动。
这时微积分的应用也被拓展到更为复杂的函数范围，例如三角函数。
随着运动和力的关系——牛顿第二定律的引入，我们逐渐意识到光理解运动是不够的，运动背后的机理——力的作用，以及力的效果，才是我们要研究的。
动量定理、动能定理的引入，实际上反映了力在时空的积累效果，而牛顿方程本身，也是物理学家特别喜欢的形式——微分方程。
对于矢量和微积分更综合的运用体现在一种伴随物理学发展史的特殊运动形式——简谐振动当中。
而振动在介质当中的扩散效应——波动，又引出了波动方程、波函数这一时空函数的概念。
总结下来，力学部分所需要的数学是一元函数的微积分、矢量代数、解析几何、常微分方程、对二元函数的运用。
物理竞赛热学部分需要哪些数学?虽然高中热学部分涉及气体定律和热力学第一定律的内容比较容易，一般不需要微积分，但如果深入学习，热力学过程、各种态函数(内能、熵)、热力学第二定律，那么由于热力学体系变量多，适当的偏微分基础知识是必要的。
热力学是宏观的理论，而其背后有着分子动理论作为基础，它们之间的联系是通过对大量粒子系统的统计来实现的，因此，概率统计的知识就显得十分必要了。
总结下来，热学部分所需要的数学是简单的偏微分和概率统计。
物理竞赛电磁学部分需要哪些数学?依照往年的经验，电磁学是最容易让高考学生放弃物理、竞赛学生放弃物理竞赛的困难内容。
原因是因为数学不到位，非但理解不了场的概念，而且容易产生记忆模型和公式，套例题做习题的固有思维模式，最终对于电磁学可谓是“一点没学会”!从静电场开始，如果仅仅按高中的要求来学习，对于场的理解是空洞的，仅仅是唯像的概念，对于电场线、电势、静电平衡、介质极化等概念无法做到深入掌握，那就更别提解答赛题了。
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但是赵凯华的量⼦物理太难了，可以改⽤褶圣麟的。
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数学提升概率论与数理统计、数学物理⽅法、⾼等代数简明教程、变分法及其应⽤（⾼教社）
物理顶尖理论⼒学
电动⼒学
热⼒学与统计物理学量⼦⼒学
固体物理
电路理论
模拟电⼦技术
数字电⼦技术。
高中物理奥赛常用数学公式
高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q q q s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=- 3、半角公式，升降幂公式22221cos sin sin cos tan 222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差，和差化积公式 sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--（2）正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 是外接圆ABC ∆半径)（3）余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= （4）11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R ∆===== 其中为半周2a b c p ++=长 四、重要不等式1．2(,0)112a b a b a b+≥≥≥>+ 2．3(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++ 3．222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭ 3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+- （β是径度差）3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形长方体⇒⇒球内接长方体4、体积 343V R π=R R '==多面体内切球半径 ： 3V r S =全六、二项式定理 （1）011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++（2）22(1)11n n x nx nx c x +≈+≈++七、导数1．()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导，注意：在处不可导二、运算法则：()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式（1）0C '= （2）()1n n x nx -'=（3）()x x e e '= （4）()x x a a ln a '=（5）1(ln x )x '= （6）11(log )log ln a a x e x x a'== （7）(sin )cos x x '= （8）(cos )sin x x '=-8、设三角形A B C 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中物理奥赛常用数学公式
高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式 (1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=-3、半角公式，升降幂公式22221cos sin sin cos tan 222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差，和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--（2）正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)（3）余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-=（4）11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R ∆===== 其中2a b c p ++=为半周长 四、重要不等式2(,0)112a b a b a b+≥≥≥>+3(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++ 3．222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭ 3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球 1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+- （β是径度差）3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体 4、体积 343V R π=R R '== 多面体内切球半径 ： 3V r S =全 六、二项式定理（1）011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++（2）22(1)11n n x nx nx c x +≈+≈++七、导数1．()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导，注意：在处不可导二、运算法则：()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式（1）0C '= （2）()1n n x nx -'=（3）()x x e e '= （4）()x x a a ln a '= （5）1(ln x )x '= （6）11(log )log ln a a x e x x a'== （7）(sin )cos x x '= （8）(cos )sin x x '=-8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中物理奥林匹克竞赛——0数学准备
b
a f ( x)dx
b
a
f
(t
)dt
b
a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
7 .(ln x) 1 x
9. (cos x) sin x 11 .(ctgx) cse2x
13 .(csex) csexctgx
2 .(x ) x 1
4 .(ax ) ax ln a
6.
(logax )
1 x ln
a
8 .(sin x) cos x
10. (tgx) sec2 x 12 (sec x) sec xtgx 14 .(arcsin x) 1
一、微积分初步（思想方法！）
恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数 学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。
三国时期魏人刘徽（公元263年）总结前人成果，提出 了“割圆术”，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（正六，十二， 二 十四…直到正192边形）→“无限细分，无限求和”思想方 法。
若函数 y f (x) 在区间（a,b）内的每点都可导，就说函数
y f (x) 在区间（a,b）内可导，这时，函数 y f (x) 对 于每一个 x (a,b)，都有一个确定的导数值与之对应，这就 构成了x的一个新函数，这个新的函数叫做 y f (x) 对x的导 函数。
记为： y, f (x), dy 或 d f (x), y lim f (x x) f (x)
年）所设计的，这座跨度达37m的大石拱桥是用一条条长方 形长石砌成的。一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线 的拱圈。
高中物理奥赛常用数学公式
高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1．定义：{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式 (1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=-3、半角公式，升降幂公式22221cos sin sin cos tan 222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差，和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--（2）正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)（3）余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-=（4）11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R ∆===== 其中2a b c p ++=为半周长 四、重要不等式2(,0)112a b a b a b+≥≥≥>+3(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++ 3．222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭ 3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球 1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+- （β是径度差）3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体 4、体积 343V R π=R R '== 多面体内切球半径 ： 3V r S =全 六、二项式定理（1）011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++（2）22(1)11n n x nx nx c x +≈+≈++七、导数1．()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导，注意：在处不可导二、运算法则：()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式（1）0C '= （2）()1n n x nx -'=（3）()x x e e '= （4）()x x a a ln a '= （5）1(ln x )x '= （6）11(log )log ln a a x e x x a'== （7）(sin )cos x x '= （8）(cos )sin x x '=-8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
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普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此我们经常遇到的物理量大多数是变量，而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。
这样，微积分这个数学工具就成为必要的了。
我们考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。
所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。
至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，读者将通过高等数学课程的学习去完成。
§ 1函数及其图形1. 1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量1 . 2函数的图象1 . 3物理学中函数的实例§ 2 •导数如果当自变量x无限趋近某一数值X。
(记作x f x0)时，函数f (x)的数值无限趋近某一确定的数值a,则a叫做x f x0时函数f (x)的极限值，并记作km f (A. 17)F(A. 17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)” 一词的缩写，(A. 17) 式读作“当x趋近X。
时，f (x)的极限值等于a”。
极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广。
这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义。
考虑下面这个函数：=£这里除x= 1夕卜，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。
例如当-1E =0时° f(0)= —2：当只=2时，f j = 8,等等。
但是若问x= 1时函数值f (1)= ?我们就会发现，这时(A. 18)式的分子和分母都等于0,业⑴=^1用0去除6 —股她说是没有意义的。
所以表达式(A/ 18)没有直接给出f (1),但给出了x无论如何接近1时的函数值来。
下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x)值的变化情况：表A-1 x与f (x )的变化值2x 3x -x-2 x-13x^ - x. — 2ft K)= -------------------0.9-0.47-0.1 4.70.99-0.0497-0.01 4.970.999-0.004997-0.001 4.9970.9999-0.0004997-0.0001 4.99971.10.530.1 5.31.010.5030.01 5.031.0010.0050030.001 5.0031.00010.000500030.0001 5.0003从上表可以看出，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值---- 5，这便是x —1时f (x)的极限值。
其实计算f (x)值的极限无需这样麻烦，我们只要将(A. 18)式的分子作因式分解：23x -x-2 =( 3x+ 2)( x-1 )，并在x工1的情况下从分子和分母中将因式(x- 1)消去：5*°=务+厶(学1)y = =內x - 1即可看出，x趋于1时函数f (x)的数值趋于3X 1 + 2二5。
所以根据函数极限的定义，求极限公式(1)limi1 - clitn r =(2) fQ..sin 怎 十 tan x. _ .. arc stn zhrn = 1 li m ----------- = 1 li m ----------------*->0 X , Ji->0 H T AT D X等价无穷小量代换sinx 〜x; tan 〜x; arctanx 〜x; arcsinx 〜x;异1 - cos J — ;ln(l + x) ~ 兀；2.2极限的物理意义 (1) 瞬时速度山讪学=hm 岂兰□丄⑺20)£\t 3"At对于匀变速直线运动来说，r As1 Av=+就o +㊁込t)=珂+吐旷这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式( A. 5)。
(2) 瞬时加速度反映出某一时刻速度变化的快慢，我们就需取g 在厶厂。
时的极限，这就是物体在t = t o时刻的瞬时加速度a ：(3) lim — = 0(4) liriLgin({P (xj) = 1(3) 水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差，这样才能使水 流动。
为简单起见，我们假设水渠是直的，这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走 向的方向(见图A-5)，于是各处渠底的高度h 便是x 的函数：h=h ( x ).知道了这个函数，我们就可以计算任意两点之间的高度差。
映出来.我们应当取更小的长度问隔△崔△諏得愈小.葢就愈能精确地反映出x=x o这一点的坡度。
所以在x=x o这一点的坡度k 应 是厶L 0时的平均坡度匸的极限值，即2 . 3函数的变化率——导数前面我们举了三个例子，在前两个例子中自变量都是 t ，第三个例子中自 变量是x .这三个例子都表明，在我们研究变量与变量之间的函数关系时，除 了它们数值上“静态的”对应关系外，我们往往还需要有“运动”或“变化” 的观点，着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢，亦即，函数的“变化率” 概念。
当变量由一个数值变到另一个数值时， 后者减去前者，叫做这个变量的增 量。
增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。
例如，当自变量 x 的数值由X 。
变到x i时，其增量就是△ x = x i-x o. (A. 25)与此对应。
因变量y 的数值将由y o= f (x 。
)变到y i=f (x 1)，于是它的增 量为 △ y = y i -y o =f (x i ) — f (x o )= f (x o +Ax )— f (x 。
) .( A. 26)应当指 出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。
增量比AvA?心十二就切)△t/ A M -Oh 丸十△幻~h(x 9)〔扎 2-4)可以叫做函数在x = X 。
到x = x o+Ax 这一区间内的平均变化率，它在△ X — 0时的极限值叫做函数y = f (x )对x 的导数或微商，记作y '或f '( x ),除八球幺)外，导数或微商还常常写作其 二 二axf (x )等其它形式。
导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该 点的变化率。
应当指出，函数f (x )的导数f '( x )本身也是x 的一个函数，因此我 们可以再取它对x 的导数，这叫做函数y = f (x )的二師导熱记作严、M G)、与等。
据此类推，我们不难定义出高阶的导数来。
有了导数的概念，前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率”二务dt瞬时加速度込二舟令出 dt 水渠坡度k =罟・(丄 30) (A. 30 (A. 32)2 . 4导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的。
如图A-6所示，为了确 定曲线在R 点的切线，我们先在曲线上 R 附近选另一点P ，并设想Pi 点沿着 曲线向P o点靠拢。
P oP i的联线是曲线的一条割线，它的方向可用这直线与横坐 标轴的夹角a来描述。
从图上不难看出，P i点愈靠近R 点，a角就愈接近一个 确定的值 ao,当P i点完全和P o点重合的时候，割线P oP i变成切线RT ,a的极 限值 a 0就是切线与横轴的夹角。
(A. 23)(筍 + AQ-F (牝)在解析几何中，我们把一条直线与横坐标轴夹角的正切 tan a叫做这条直 线的斜率。
斜率为正时表示a是锐角，从左到右直线是上坡的（见图 A-7a ）; 斜率为负时表示a是钝角，从左到右直线是下坡的（见图 A-7b ）。
现在我们 来研究图A-6中割线RP 和切线P 0T 的斜率。
设P o和P i的坐标分别为（x o, y o）和（x °+Ax ,沪△ y ）,以割线PoR 为斜 边作一直角三角形△ RPM 它的水平边PM 的长度x ,竖直边MP 的长度为 △ y ，因此这条割线的斜率为洒门二 P 0M Ax '如果图A-6中的曲线代表函数y=f （x ），则割线RP 的斜率就等于函数在旷叭附近的增量比吕=切线几T 的斜率阪a 提P 严P o 吋割I线P oP i斜率的极限值，即tan □ 0 = lim tan CL = lira = f J （盟）. R Z AX所以导数的几何意义是切线的斜率。
§ 3 •导数的运算在上节里我们只给出了导数的定义， 本节将给出以下一些公式和定理，利 用它们可以把常见函数的导数求出来。
图A-63. 1基本函数的导数公式 (1) y =f (x )= C (常量) lim 血｛一 D f (K + Ax) -(E ) C- C lini —= 6(2) y=f (x )二 x 八己⑺=呱空十压）-㈤Cx + Ax ） 一（X ） =lira A 2 (3) y =f (x ) =x △兀△衣 =lim —— = 1 3-0 Z AX y ; =f 7 Cx) = lim , (蓋十.△瓦)卫_沪 ， =lim ------------ ------------= lim (2s + As) = 2x. Ax 3(4) y =f (x )= x ▼ f 、 v-f(x)=f f (袈_) = llftl —(X 十△兀尸-耳=lim& J 0= 3z 2.AxAvlim [3K 3+3^ +〔△£ a] 应-D⑸ y=f Cx)丄Xf(x + Ax) - f(x)QxJ = lim 1 1 li 也逼+△签XAxdx^O (x + Ax)xAx_[ _ _ 1AX-O (x + Ax)x xAxX - (x + △瓦)h:ll厶+ _丘 J 葢+ △: +五lintL [ ----------------- -r ------------------ * f--- ]3-0△耳J 沙心—/x（Jx + Az ）3 -（丘Y=.im -------------------------------f--- =3+ d + 血）■ g L 1—- _L心 7 & + + r/j 2 血'上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式：当 y=x"时,字二口占■ &为任何数） 例如当门=1时，y = f （K ）二沿y ; =1；当n = 2时，y=f G)y当 n=：时，v -f Cx ） -x U2 =«, y r - 一 *一 厂， h 2 2<x2等等。
利用（A. 33）式我们还可以计算其它幕函数的导数（见表 A-2） 除了幕函数x n 外，物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和 指数函数。
我们只给出这些函数的导数公式（见表 A-2 ）而不推导，读者可以 直接引用3. 2有关导数运算的几个定理定理〔玉）0X昇才 3 =1-£_丨 △xdx」二£占=(-讥叫「1加 1 -U21——=-X当!二一时 y=f =X _L=-证：定理四討3du dv ] =¥* 忑定理二：[u G) y G)]=旺k) j+u 伕)2dx as dx函数y=f(x)c(任意常量) x n(n为任意常量)表A-2基本导数公式导数y' =f' (x)n-1nxn=1,xn=2,x 2 n=3,x 32x3x2 1T L = =—-1/2 i-1sinx cosxInx cosx -si nxx e 定理三£喂" OK V(KJ VW —-uCx) —荷] (A. 363〔A. 37)例题1求y=x? ± a （a 为常量）的导数。