最新近五年浙江数学高考立体几何考题

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浙江高考数学压轴题：立体几何选择题学生版

浙江高考数学压轴题：立体几何选择题1．已知在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（）A B C D 2．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则（） A ．当1λ=时，△1AB P 的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积不是定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得AP BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P3．已知三棱锥P ABC -三条侧棱,,PA PB PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，,M N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则,M N 两点间距离的最小值为（）A ．2+B 1C ．2D 2-4．已知△ABC 在平面β内，不重合的两点P ，Q 在平面β同侧，在点M 从P 运动到Q 的过程中，记四面体M -ABC 的体积为V ，点A 到平面MBC 的距离为d ，则可能的情况是（）A ．V 保持不变，d 先变大后变小B ．V 保持不变，d 先变小后变大C ．V 先变大后变小，d 不断变大D ．V 先变小后变大，d 不断变小5．在三棱锥S ABC -中，,,SA SB SC 两两垂直且相等，若空间中动一点P 满足SP x SA y SB z SC →→→→=++，其中0,1,1x y z ≥≥≥且125x y z ++≤.记SP 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（）A ．13BC ．1D6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，5AD =，14AA =，点F 是1AA 的中点，点E 为棱BC 上的动点，则平面1C EF 与平面11ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（）A ．513 BC D ．135 7．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 8．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点A 在空间直角坐标系O xyz -的x 轴上移动，点C 在平面yOz 上移动，则1OC OB ⋅的最大值是（）A ．2B ．1C ．4+D ．69．如图，在三棱锥P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且AM =，设异面直线AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为（）A B C ．25 D 10．正三棱锥A BCD -中G 为BC 的中点，H 为BG 上的任意上点，设AH 与CD 所成的角的大小为1θ，AH 与平面BCD 所成的角的大小为2θ，二面角A BC D --的大小为3θ，则（）A ．213θθθ≤≤B ．123θθθ≤≤C ．231θθθ≤<D ．312θθθ≤≤11．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2BAC π∠=.已知点Q 为棱PA （不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（）A ．(1+B ．)4C ．4⎫⎪⎭D ．( 12．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是（）A B ．15 C D ．1313．如图，四边形ABCD 中90A CBD ∠=∠=︒，30CDB ∠=︒，AB AC =，沿直线BC 将ABC 折成A BC '，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD △内（不含边界），记二面角A BC D '--的平面角大小为α，直线A B '､A D '与平面BCD 所成角分别为β､γ，则（）A ．αβγ>>B ．βαγ>>C ．αγβ>>D ．γβα>>14．已知直角梯形ABCD 满足://, AD BC CD DA ⊥，且△ABC 为正三角形.将△ADC 沿着直线AC 翻折至△AD C '，且AD BD CD '''<<，二面角 , , D AB C D BC A D AC B '''------的平面角大小分别为,,αβγ，直线, , D A D B D C '''与平面ABC 所成角分别是123,,θθθ，则（）A ．123,θθθαγβ>>>>B ．123,θθθαβγ<<>>C ．123,θθθαβγ>><<D ．123,θθθαβγ<<<<15．已知菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，E 为边AB 上的点（不包括A B ，），将ABD △沿对角线BD 翻折，在翻折过程中，记直线BD 与CE 所成角的最小值为α，最大值为β（）A ．αβ，均与E 位置有关B ．α与E 位置有关，β与E 位置无关C ．α与E 位置无关，β与E 位置有关D ．αβ，均与E 位置无关16．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>17．已知正四面体P ABC -，Q 为ABC 内的一点，记PQ 与平面PAB PAC PBC 、、所成的角分别为,,αβγ，则下列不等式恒成立的个数为（）①222sin sin sin 2αβγ++≥ ②222cos os 2cos c αβγ++≥③222tan an 1tan t αβγ++≤ ④2221111tan an tan t αβγ++≤ A ．0 B ．1 C ．2 D ．318．如图，矩形ABCD 中，已知2AB =，4BC =，E 为AD 的中点．将ABE △沿着BE 向上翻折至A BE '，记锐二面角A BE C '--的平面角为α，A B '与平面BCDE 所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（）A ．sin αβ=B αcos β=C ．α2β<D ．πα4β-> 19．如图，在大小为1θ的锐二面角l αβ--中，A α∈，B β∈，M 、N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C 、D 分别为AB 、MN 的中点.记直线AN 与半平面β的夹角为2θ，直线CD 与半平面β的夹角为3θ.若AM MN BN >>，则（）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>20．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>21．如图，在三棱锥A BCD -中，AB BC ⊥，BC CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，记平面ABC 与平面BCD 所成的角为1θ，直线AC ，EF 与平面BCD 所成的角分别为2θ，3θ，若AB BC CD >>，则（）A ．12θθ>， 132θθ<B ．12θθ>，132θθ>C ．12θθ<，132θθ<D ．12θθ<，132θθ>22．如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（）A ．ADB ∠的大小不会发生变化B ．二面角A BDC --的平面角的大小不会发生变化 C ．BD 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与DE 所成的角先变小后变大23．已知底面ABCD 为正方形的四棱锥P ABCD -，P 点的射影在正方形ABCD 内，且P 到BC 的距离等于PD 的长，记二面角P AB C 的平面角为α，二面角P CD A --的平面角为β，二面角P AD C --平面角为γ，则下列结论可能成立的是（）A ．αβγ==B ．αγβ=<C ．αβγ=<D ．αβγ>=24．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（）A ．14B ．23CD 25．如图，ABC 是等腰直角三角形，AB AC =，点D 是AB 上靠近A 的三等分点，点E 是AC 上靠近C 的三等分点，沿直线DE 将ADE 翻折成A DE '，所成二面角A DE B '--的平面角为α，则（）A ．A DB A EC α∠≥∠'≥' B ．A EC A DB α∠≥∠'≥'C ．A DB A EC α≥∠'∠≥'D ．A EC A DB α≥∠'∠≥' 26．如图，三棱锥A BCD -的底面BCD 在平面α内，所有棱均相等，E 是棱AC 的中点，若三棱锥A BCD -绕棱CD 旋转，设直线BE 与平面α所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（）A ．⎤⎥⎣⎦B ．5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦ 27．如图，在矩形ABCD 中，AD AB <，将ACD △沿AC 翻折至ACD '△，设直线AD '与直线BC 所成角为α，直线BD '与平面ACD '所成角为β，二面角A CD B '--的平面角为γ，当γ为锐角时（）A ．αβγ>>B ．γβα>>C ．γαβ>>D ．αγβ>> 28．如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将ACD △沿AC 折至1ACD △，使得二面角1A CD B --为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成角的大小为α，直线1BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角1A CD B --的大小为γ，则,,αβγ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．γαβ>>D ．不能确定29．如图，在四棱锥P ABCD -中，APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠，平面ADP ⊥平面DCP ，若APC α∠=，BPD β∠=，AP 与平面DCP 所成的角为γ，则以下结论正确的是（）A ．γβα<<B ．βαγ<<C ．βγα<<D ．γαβ<<30．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1BC CC ==E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11C D 上的点，AE ED =，AF FB =，11(4)DG GC λλ=≥，分别记二面角1G EF D --，G EF C --，G FB C --的平面角为α，β，γ，则（） A ．αβγ>>B ．βγα>>C ．γβα>>D ．与λ有关31．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F ，现将ABD △沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成的角的取值范围是A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,32ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 32．三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，D 是棱AB 上的动点，点P 在平面的射影在ABC 内部，PD 与BC 所成的角为α，PD 与面ABC 所成的角为β，二面角P AB C 为λ，则（）A ．βαλ≤≤B ．βλα≤≤C ．λβα≤≤D ．λαβ≤≤33．记{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 是边AB 的中点，将ADE 沿DE 翻折至A DE '（A '不在平面BCD 内），记二面角A BC D '--为α，二面角A CD E '--为β，二面角A DE C '--为γ，二面角A BE D '--为θ，则{}min ,,,αβγθ=（）A ．αB ．βC ．γD ．θ 34．在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2ADB π∠=，二面角B AD C --的大小为α，则α的取值范围是（）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤⎥⎝⎦ C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦。

浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案)

MF-C 的余弦值.
1.证明：（I）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴，
y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则 O 0, 0, 0, A(0, 8, 0), B(8, 0, 0),C(0,8, 0), P(0, 0, 6), E(0, 4,3), F 4, 0,3，由题意得，
在图乙中，因为 DE⊥AF，DE⊥GF，AF I FG=F，所以 DE⊥平面 AFG．
又 DE//BC，所以 BC⊥平面 AFG．…………………………………………………… 4 分
(Ⅱ) 因为平面 AED⊥平面 BCDE，平面 AED I 平面 BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，
所以 FA，FD，FG 两两垂直．
（II）证明：在 ABO 内存在一点 M ，使 FM ⊥平面 BOE ，并求点 M 到 OA , OB 的距
离。
z
y x 2.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CP=m，（Ⅰ）试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDB1D1 所成角的正切值为 3 2 ；
.
4在如图所示的几何体中， EA 平面 ABC， DB 平面 ABC， AC BC ，
AC BC BD 2AE ，M 是 AB 的中点．
（1）求证： CM EM ；
D
（2）求 CM 与平面 CDE 所成的角 E
A
C
M B
5.
如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， BE ∥CF ，
（2）求三棱锥 B DEF 的体积． F
D C

浙江省近五年(-)高考数学最新分类汇编7 立体几何(1) 理

浙江省2013届高三最新理科数学（精选试题17套+2008-2012五年浙江高考理科试题）分类汇编7：立体几何（1）一、选择题1 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为1DD 上一点,且131DD DE =,F 是侧面11C CDD 上的动点,且//1F B 平面BE A 1,则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是（）A ．}23{ B ．}1352{C ．}22323|{≤≤m m D ．}231352|{≤≤m m【答案】C2 ．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中移动,但保持点（） A ．B 分别在x 轴、y 轴上移动,则点1C 到原点O 的最远距离为（）A．B．C ．5 D ．4【答案】D 3 ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角形,侧视图为如图所示的直角三角形,则该三棱锥的体积为（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A4 ．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两1C （第10题图）ABCD E1A 1B 1D个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是（）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,【答案】B 5 ．（2010年高考（浙江理））设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥ B ．若l α⊥,l m //,则m α⊥C ．若l α//,m α⊂,则l m //D ．若l α//,m α//,则l m // 【答案】答案:B 6 ．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于俯视图正视图13（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B7 ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设m,n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则C ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则【答案】C 8 ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是（）C ．2D ．439 word 版））如图,正四面体ABCD 的顶所成的角为45,顶点B 在平面α上的射影为点O .当顶点A 与所成角的正弦值等于（）C ．426+ D ．12225+10α的斜线段．．．,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △（） C ．一条直线 D ．两条平行直线11,AB =1,BC 将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻（） BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直【答案】【答案】B【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B 是正确的.12．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A．338B．3316C．38D．316【答案】A二、填空题13．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_______________________.【答案】)31(50+14．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,则这个几何体的体积为 _______.俯视图15．（2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．【答案】提示：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为1816．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦),P 为正方体表面上的动点,当弦MN 最长时,PM PN 的取值范围是____【答案】 []02，17．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积为________.【答案】32 18．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）如图,斜边长为4的直角ABC ∆,=90B ∠,60A ∠= 且A 在平面α上,B ,C 在平面α的同侧,M 为BC 的中点.若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形''C AB ∆,则M 到平面α的距离的取值范围是____正视图俯视图（第11题图）侧（左）视图【答案】5(2,)219．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）一个组合体的三视图如图,则其体积为______________【答案】20π20．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_______.【答案】2π三、解答题 21．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））如图,在梯形ABCD中,//A B C D ,AD AB ⊥,4AD =.点P 在平面ABCD 上的射影为点O ,且P A P D ==,二面角P A D B--为45. (Ⅰ)求直线O A 与平面PAB 所成角的大小;(Ⅱ)若8A B B P +=,求三棱锥P A B D -的体积.KH OPE DCBAAP D ,∴P 点在平面ABCD 上的射影O 在线段A D 的中垂线上,设A AD EP AD ⊥⊥,,∴PEO ∠为二面角P A D B--的 2==ED ,又32==PDPA ,∴在以B 的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系,则P )0,2,2(-,(2,2,2)P A =--的平行向量m ),,z y ,则0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩PA n m n 即2220,0,x y z y --=⎧⎨=⎩取(1,0,1)n =∴直线A O 与平面PAB 所成角θ满足sin 12,所以直线O A 与平面PAB 所成角为30方法2:过O 点作O H A B ⊥,垂足为H ,连接P H .过O 作O K P H ⊥,垂足为K ,连接A K .PO ⊥平面ABCD ,∴PO A B ⊥. O H A B⊥,∴AB ⊥平面POH . 又OK ⊂平面POH , ∴A B O K ⊥,又OK P H ⊥,∴OK ⊥平面PAB . ∴OAK ∠就是O A 与平面PAB 所成角∵P A P D =,∴P 点在平面ABCD 上的射影O 在线段A D 的中垂线上,设A D 的中点为E ,连接,EP EO , ∴AD EP AD EO ⊥⊥,,∴PEO∠为二面角P A D B --的平面角,∴45P E O ∠=.在等腰△PAD 中,∵4AD =,∴2==ED EA ,又32==PD PA ,∴22=PE.在Rt △PEO 中,得2OP O E ==,∴OA =又2OH AE ==,2PO =,在Rt △POH 中,可得OK ∴1s i n 2O K O A K O A ∠==,∴30O A K ∠= 所以直线O A 与平面PAB 所成角为30(Ⅱ)设AB x =,则8PB x =-,连接O B . 在Rt △POB 中,222OBPOPB+=,又由(Ⅰ)得OE AE ⊥,OE AE =,∴45O A E ∠=,∴45O A B ∠=在△OAB 中,222OB AO AB =+-2cos AO AB OAB ⋅∠284x x =+-,又22)8(x PB -=,∴22)8()48(4x x x -=-++,得313=,即133A B =∴三棱锥P A B D -的体积13-∆=⋅P ABD ABD V S OP 111352423239=⨯⨯⨯⨯=22．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,90BAC ∠=.(Ⅰ)若异面直线1A B 与11B C 所成的角为60,求棱柱的高h ;(Ⅱ)设D 是1BB 的中点,1DC 与平面11A BC 所成的角为θ,当棱柱的高h 变化时,求sin θ的最大值.【答案】解法1:(Ⅰ)由三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱可知,1AA 即为高, 如图1,因为11//C B BC ,所以BC A 1∠是异面直线B A 1与11C B 所成的角或其补角,连接1A C ,因为AB AC =,所以11A B A C ==. 在Rt△ABC 中,由1AB AC ==,90BAC ∠=,可得BC =又异面直线1A B 与11B C 所成的角为60,所以160A BC ∠=,即△1A BC 为正三角形.于是111A B B C ==.在Rt△1A AB 中,1A B ==,得11AA =,即棱柱的高为1 (Ⅱ)设1(0)AA h h =>,如图1,过点D 在平面11A B BA 内作1DF A B ⊥于F ,则由11A C ⊥平面11BAA B ,DF ⊂平面11BAA B ,得11A C DF ⊥. 而1111A C A B A =,所以DF ⊥平面11A BC .故1DC F ∠就是1DC 与平面11A BC 所成的角,即1DC F θ∠= 在Rt △DFB 中,由2h BD =,得DF =在Rt △11DB C 中,由12h B D =,11B C =得1DC =在Rt △1DFC 中,1sin DF DC θ===令()f h ==(Ⅰ)因为异面直线1A B 与11B C 所成的角60,所以111111||cos60||||BC A B B C A B ⋅=⋅,12=,=,解得1h = (Ⅱ)由D 是1BB 的中点,得(1,0,)2h D ,于是1(1,1,)2hDC =-.设平面11A BC 的法向量为(,,)x y z =n ,于是由1A B ⊥n ,11A C ⊥n ,可得 1110,0,A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x hz y -=⎧⎨=⎩ 可取(,0,1)h =n , 于是1sin|cos ,|DC θ=<>n .而111|||cos ,|||||DC DC DC ⋅<>===⋅n n n令()f h ==因为22899h h ++≥,当且仅当228h h=,即h =,等号成立.所以()f h ≤==, 故当h =,sin θ 23．（2011年高考（浙江理））如图,在三棱P ABC -中,AB=AC,D 为BC 的中点,PO⊥平面ABC,垂足O 落在线段AD 上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP 上是否存在点M,使得二面角A MC B --为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.PACDO【答案】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查想象能力和运算求解能力.满分15分. 方法以:(Ⅰ)证明:如图,以O 为原点,以射线OP 为z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0)P(0,0,4)(0,3,4),(8,0,0),AP BC ==-由此可得0AP BC ⋅=所以AP ⊥BC ,即AP⊥BC.(Ⅱ)解:设,1,(0,3,4),PM PA PM λλλ=≠=--BM BP PM BP PA λ=+=+(4,2,4)(0,3,4)λ=--+-- (4,23,44),λλ=----(4,5,0),(8,0,0).AC BC =-=-设平面BMC 的法向量1111(,,),n x y z = 平面APC 的法向量 1222(,,),n x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪⎨+=⎪-⎩可取23(0,1,),44n λλ+=- 由210,0,AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可取2(5,4,3),n =- 由120n n ⋅=,得2343044λλ+-⋅=-解得25λ=,故AM=3 综上所述,存在点M 符合题意,AM=3. 方法二:(Ⅰ)证明:由AB=AC,D 是BC 的中点,得AD⊥BC, 又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.因为PO∩BC=0,所以BC⊥平面PAD 故BC⊥PA.(Ⅱ)解:如图,在平面PAD 内作BM⊥PA 于M,连CM. 由(Ⅰ)中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC. 又AP ⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.在Rt⊿ADB 中,AB 2=AD 2+BD 2=41,得在Rt⊿POD 中, PB 2=PO 2+OD 2,在Rt⊿PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2,所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36,得PB=6.在Rt⊿POA 中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅从而2,PM PBCOS BPA =∠=所以3AM PA PM =-= 综上所述,存在点M 符合题意,AM=3.24．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）已知四棱锥ABCD P -,⊥PA 底面ABCD ,AD AB BC AD ⊥，∥,AC 与BD 交于点O ,又3=PA ,6,32,2===BC AB AD .(1)求证: ⊥BD 平面PAC ; (2)求二面角A PB O --的余弦值.【答案】.证明:以AB 为x 轴, AD 为y 轴,AP 为z 轴,A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系. 则)3,0,0(),0,6,32(),0,0,0(),0,2,0(),0,0,32(P C A D B)0,2,32(-=BD )3,0,32(),0,6,32(-==PB AC 01212=+-=∙AC BDAC BD ⊥∴⊥PA 又底面BD PA ABCD ⊥∴， ⊥∴BD 平面PAC ;(2)设PBO 平面的法向量为),,,,(z y x n =PBA 平面的法向量为),,0,1,0(=m0332=-=∙z x PB n ,0232=+-=∙y x BD n [)332,3,1(=n43由题可知二面角A PB O --为锐角,故余弦值为43 注:也可以PBDABPS S ∆∆=αcos 25．（2012年高考（浙江理））如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面是边长为的菱形,且∠BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA=M ,N 分别为PB ,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN ∥平面ABCD ;(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.【答案】【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点.(Ⅰ)如图连接BD .∵M ,N 分别为PB ,PD 的中点, ∴在∆PBD 中,MN ∥BD . 又MN ⊄平面ABCD , ∴MN ∥平面ABCD ; (Ⅱ)如图建系:A (0,0,0),P(0,0,M(,32,0), NC,3,0).设Q (x ,y ,z ),则(33)(33CQ x y z CP =--=--，，，，.∵(3)CQ CP λλ==-，,∴33)Q λ-，. 由0OQ CPOQ CP ⊥⇒⋅=,得:13λ=. 即:2Q . 对于平面AMN :设其法向量为()n a b c =，，. ∵33(0)=(300)2AM AN =-，，，，，.则300123000a AM n b b AN n c ⎧=⎪⎪⎧⎧⋅=+=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=⎪⎪⎩==⎪⎪⎩. ∴31(0)3n =，，. 同理对于平面AMN 得其法向量为(31v =-，，. 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ, 则10cos n v n vθ⋅==⋅. ∴所求二面角A —MN —Q. 【答案.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)26．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(I)证明:平面EAC⊥平面PBD;(II)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD:AD的值.【答案】27．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,ABC∆中,90,1,B AB BC D E ∠===、两点分别在线段AB AC 、上，满足,(0,1)AD AEAB ACλλ==∈.现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --.(1)求证:当12λ=时,ADC ABE ⊥面面;(2)当(0,1)λ∈时,二面角E AC D --的大小能否等于4π?若能,求出λ的值;若不能,请说明理由.【答案】28．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）如图,在三棱锥ABC P -中,直线⊥PA 平面ABC ,且︒=∠90ABC ,又点Q ,M ,N 分别是线段PB ,AB ,BC 的中点,且点K 是线段MN 上的动点.(Ⅰ)证明:直线//QK 平面PAC ;(Ⅱ)若BC AB PA ===8,且二面角M AK Q --,试求MK 的长度. ABCDEAB CD EKQ NMPCBA[【答案】(Ⅰ)连结QM ,因为点Q ,M ,N 分别是线段PB ,AB ,BC 的中点所以QM ∥PA 且MN ∥AC ,从而QM ∥平面PAC 且MN ∥平面PAC 又因为MN ∩QM =M ,所以平面QMN ∥平面PAC 而QK ⊂平面QMN 所以QK ∥平面PAC(Ⅱ)方法1:过M 作MH ⊥AK 于H ,连QH ,则∠QHM 即为二面角M AK Q --的平面角,设x MK =,且8===PC PB PA 则1624222++=x x x MH ,又4=QM ,且93cos =∠QHM ,所以==∠MHQM QHM tan 26162422=++xx x ,解得2=x ,所以MK 的长度为2方法2:以B 为原点,以BC 、BA 所在直线为x 轴y 轴建空间直角坐标系, 则A (0,8,0),M (0,4, 0),N (4,0,0),P (0,8,8),Q (0,4,4) , 设K (a ,b ,0),则a +b =4, AQ =(0,-4,4),)0,4,(a a AK --= 记(,,)n x y z AQK =为平面的一个法向量,则⎩⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅ya ax z y Azk n AQ n )4(00取a z y ==则a x +=4, 则),,4(a a a n +=,又平面AKM 的一个法向量(0,0,1)m =,设二面角M AK Q --的平面角为θ 则|cos θ932)4(22=++=a a a ,解得1=a , 所以所以MK 的长度为229．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=PC=2,AP=BP=2.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求二面角A—PC—D的平面角的余弦值.【答案】30．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形ABCD中,1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起,使得平面⊥ADM 平面ABCM .(1)求证:BM AD ⊥(2)点E 是线段DB 上的一动点,当二面角D AM E --大小为3π时,试确定点E 的位置.【答案】取AM 的中点O,AB 的中点B,则OD OA ON ,,两两垂直,以O 为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得)0,0,22(A ,)0,2,22(-B ,)0,0,22(-M ,)22,0,0(D (1)由于)0,2,0(),22,0,22(-=-=BM AD ,则0=⋅BM AD ,故BM AD ⊥.(2)设存在满足条件的点E,并设DB DE λ=, 则)22,2,22()22,,(--=-λE E E z y x 则点E 的坐标为)2222,2,22(λλλ--.(其中]1,0[∈λ)易得平面ADM 的法向量可以取)0,1,0(1=n ,设平面AMEA的法向量为),,(2z y x n =,则)0,0,2(-=AM , )2222,2,2222(λλλ---=AE 则⎪⎩⎪⎨⎧=-++--=⋅=-=⋅0)2222()2()2222(0222λλλz y x AE n x AM n 则λλ2:)1(:0::-=z y x ,取)2,1,0(2λλ-=n *由于二面角D AM E --大小为3π,则|||||,cos |3cos 212121n n n n ⋅=><=π214)1(122=+--=λλλ,由于]1,0[∈λ,故解得332-=λ.故当E 位于线段DB 间,且332-=DB DE 时,二面角D AM E --大小为3π。

浙江省近五年()高考数学最新分类汇编7 立体几何(1) 理

浙江省2013届高三最新理科数学（精选试题17套+2008-2012五年浙江高考理科试题）分类汇编7：立体几何（1）一、选择题1 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为1DD 上一点,且131DD DE =,F 是侧面11C CDD 上的动点,且//1F B 平面BE A 1,则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是（）A ．}23{ B ．}1352{C ．}22323|{≤≤m m D ．}231352|{≤≤m m【答案】C2 ．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中移动,但保持点（） A ．B 分别在x 轴、y 轴上移动,则点1C 到原点O 的最远距离为（）A ．22B ．23C ．5D ．4【答案】D 3 ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角形,侧视图为如图所示的直角三角形,则该三棱锥的体积为（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A1C （第10题图）ABCD E1A 1B 1D4 ．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是（）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,【答案】B5 ．（2010年高考（浙江理））设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是（） A ．若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥ B ．若l α⊥,l m //,则m α⊥C ．若l α//,m α⊂,则l m //D ．若l α//,m α//,则l m // 【答案】答案:B 6 ．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于211俯视图正视图13（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B7 ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设m,n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中正确的是（）A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则C ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则【答案】C 8 ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是（）A ．83B ．4C ．2D ．43【答案】B 9 ．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））如图,正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内,且直线B C 与平面α所成的角为45,顶点B 在平面α上的射影为点O .当顶点A 与点O 的距离最大时,直线C D 与平面α所成角的正弦值等于αOABCD（）A ．12236+ B ．2215+ C ．426+ D ．12225+【答案】A10．（2008年高考（浙江理））如图,AB 是平面α的斜线段．．．,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是（） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线11．（2012年高考（浙江理））已知矩形ABCD ,AB =1,BC 2将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, （） A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直 B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直【答案】【答案】BABPα【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B 是正确的. 12．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A ．338 B ．3316C ．38 D ．316【答案】A 二、填空题 13．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_______________________.【答案】)31(50+14．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,则这个几何体的体积为 _______.3122正视图俯视图(8)36π+ 15．（2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理)）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．【答案】提示：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为1816．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦),P 为正方体表面上的动点,当弦MN 最长时,PM PN 的取值范围是____【答案】 []02，17．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积为________.【答案】32 18．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）如图,斜边长为4的直角ABC ∆,=90B ∠,60A ∠= 且A 在平面α上,B ,C 在平面α的同侧,M 为BC 的中点.若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形''C AB ∆,则M 到平面α的距离的取值范围是____444正视图俯视图（第11题图）侧（左）视图MαC'B'CBA【答案】5(2,)219．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）一个组合体的三视图如图,则其体积为______________【答案】20π20．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图是全等的矩形,底边长为2,高为3,俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是_______.【答案】2π 三、解答题21．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版））如图,在梯形ABCD中,//A B C D ,AD AB ⊥,4AD =.点P 在平面ABCD 上的射影为点O ,且23P A P D ==,二面角P A D B--为45. (Ⅰ)求直线O A 与平面PAB 所成角的大小;KH OPE DCBAyxz PODCBA(Ⅱ)若8A B B P +=,求三棱锥P A B D -的体积.OPDCBA【答案】解:(Ⅰ)方法1:∵P A P D =,∴P 点在平面ABCD 上的射影O 在线段A D 的中垂线上,设A D的中点为E ,连接,EP EO ,∴AD EP AD EO ⊥⊥,,∴PEO ∠为二面角P A D B--的平面角,∴45P E O ∠=在等腰△PAD 中,∵4AD =,∴2==ED EA ,又32==PDPA ,∴22=PE.在Rt △PEO 中,得2O P O E ==以O 为原点,分别以平行于A D ,A B 的直线为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系,则(0,0,2)P ,(2,2,0)A -,所以)0,2,2(-=OA ,(2,2,2)P A =--∵//AB y 轴,故可取一个A B 的平行向量()0,1,0m =. 设平面PAB 的法向量是),,(z y x n =,则0,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩PA n m n 即2220,0,x y z y --=⎧⎨=⎩取(1,0,1)n =∴直线A O 与平面PAB 所成角θ满足sin θ=(2,2,0)(1,0,1)82-⋅⋅12=,所以直线O A 与平面PAB 所成角为30方法2:过O 点作O H A B ⊥,垂足为H ,连接P H .过O 作O K P H ⊥,垂足为K ,连接A K .PO ⊥平面ABCD ,∴PO A B ⊥. O H A B⊥,∴AB ⊥平面POH . 又OK ⊂平面POH , ∴A B O K ⊥,又OK P H ⊥,∴OK ⊥平面PAB . ∴OAK ∠就是O A 与平面PAB 所成角E∵P A P D =,∴P 点在平面ABCD 上的射影O 在线段A D 的中垂线上,设A D 的中点为E ,连接,EP EO , ∴AD EP AD EO ⊥⊥,,∴PEO∠为二面角P A D B --的平面角,∴45P E O ∠=.在等腰△PAD 中,∵4AD =,∴2==ED EA ,又32==PD PA ,∴22=PE.在Rt △PEO 中,得2OP O E ==,∴22OA =. 又2OH AE ==,2PO =,在Rt △POH 中,可得2OK = ∴1s i n 2O K O A K O A ∠==,∴30O A K ∠=所以直线O A 与平面PAB 所成角为30(Ⅱ)设AB x =,则8PB x =-,连接O B . 在Rt △POB 中,222OBPOPB+=,又由(Ⅰ)得OE AE ⊥,OE AE =,∴45O A E ∠=,∴45O A B ∠=在△OAB 中,222OB AO AB =+-2cos AO AB OAB ⋅∠284x x =+-,又22)8(x PB -=,∴22)8()48(4x x x -=-++,得313=,即133A B =∴三棱锥P A B D -的体积13-∆=⋅P ABD ABD V S OP 111352423239=⨯⨯⨯⨯=22．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,90BAC ∠=.(Ⅰ)若异面直线1A B 与11B C 所成的角为60,求棱柱的高h ;(Ⅱ)设D 是1BB 的中点,1DC 与平面11A BC 所成的角为θ,当棱柱的高h 变化时,求sin θ的最大值.【答案】解法1:(Ⅰ)由三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱可知,1AA 即为高, 如图1,因为11//C B BC ,所以BC A 1∠是异面直线B A 1与11C B 所成的角或其补角,连接1A C ,因为AB AC =,所以21111A B A C AA ==+. 在Rt△ABC 中,由1AB AC ==,90BAC ∠=,可得2BC =又异面直线1A B 与11B C 所成的角为60,所以160A BC ∠=,即△1A BC 为正三角形. 于是1112A B B C ==.在Rt△1A AB 中,由21112AA A B +==,得11AA =,即棱柱的高为1 (Ⅱ)设1(0)AA h h =>,如图1,过点D 在平面11A B BA 内作1DF A B ⊥于F ,则由11A C ⊥平面11BAA B ,DF ⊂平面11BAA B ,得11A C DF ⊥. 而1111A C A B A =,所以DF ⊥平面11A BC .故1DC F ∠就是1DC 与平面11A BC 所成的角,即1DC F θ∠= 在Rt △DFB 中,由2h BD =,得221h DF h =+,在Rt △11DB C 中,由12h B D =,112B C =,得21182DC h =+, 在Rt △1DFC 中,2422121sin 19882hDF h h DC h h h θ+===+++令42221()8989h f h h h h h==++++,(Ⅰ)因为异面直线1A B 与11B C 所成的角60,所以111111||cos60||||B C A B B C A B ⋅=⋅,即211221a =⋅+,得212h +=,解得1h = (Ⅱ)由D 是1BB 的中点,得(1,0,)2h D ,于是1(1,1,)2hDC =-.设平面11A BC 的法向量为(,,)x y z =n ,于是由1A B ⊥n ,11A C ⊥n ,可得 1110,0,A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x hz y -=⎧⎨=⎩ 可取(,0,1)h =n , 于是1sin |cos ,|DC θ=<>n .而1142221||||2|cos ,|||||198124hh DC h DC DC h h h h -+⋅<>===⋅+++⋅+n n n令42221()8989h f h h h h h==++++,因为2289289h h ++≥+,当且仅当228h h=,即48h =时,等号成立. 所以11221()781928f h -≤==++, 故当48h =时,sin θ的最大值2217- 23．（2011年高考（浙江理））如图,在三棱P ABC -中,AB=AC,D 为BC 的中点,PO⊥平面ABC,垂足O 落在线段AD 上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC;(2)在线段AP 上是否存在点M,使得二面角A MC B --为直二面角?若存在,求出AM 的长;若不存在,请说明理由.PACDO【答案】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查想象能力和运算求解能力.满分15分. 方法以:(Ⅰ)证明:如图,以O 为原点,以射线OP 为z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0)P(0,0,4)(0,3,4),(8,0,0),AP BC ==-由此可得0AP BC ⋅=所以AP ⊥BC ,即AP⊥BC.(Ⅱ)解:设,1,(0,3,4),PM PA PM λλλ=≠=--BM BP PM BP PA λ=+=+(4,2,4)(0,3,4)λ=--+--(4,23,44),λλ=----(4,5,0),(8,0,0).AC BC =-=-设平面BMC 的法向量1111(,,),n x y z = 平面APC 的法向量 1222(,,),n x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪⎨+=⎪-⎩可取23(0,1,),44n λλ+=- 由210,0,AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可取2(5,4,3),n =- 由120n n ⋅=,得2343044λλ+-⋅=-解得25λ=,故AM=3 综上所述,存在点M 符合题意,AM=3. 方法二:(Ⅰ)证明:由AB=AC,D 是BC 的中点,得AD⊥BC, 又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.因为PO∩BC=0,所以BC⊥平面PAD 故BC⊥PA.(Ⅱ)解:如图,在平面PAD 内作BM⊥PA 于M,连CM. 由(Ⅰ)中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC. 又AP ⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC. 在Rt⊿ADB 中,AB 2=AD 2+BD 2=41,得AB=41在Rt⊿POD 中, PB 2=PO 2+OD 2,在Rt⊿PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2,所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36,得PB=6.在Rt⊿POA 中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅从而2,PM PBCOS BPA =∠=所以3AM PA PM =-= 综上所述,存在点M 符合题意,AM=3.24．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题）已知四棱锥ABCD P -,⊥PA 底面ABCD ,AD AB BC AD ⊥，∥,AC 与BD 交于点O ,又3=PA ,6,32,2===BC AB AD .(1)求证: ⊥BD 平面PAC ; (2)求二面角A PB O --的余弦值.【答案】.证明:以AB 为x 轴, AD 为y 轴,AP 为z 轴,A 为坐标原点, 建立空间直角坐标系. 则)3,0,0(),0,6,32(),0,0,0(),0,2,0(),0,0,32(P C A D B)0,2,32(-=BD )3,0,32(),0,6,32(-==PB AC 01212=+-=•AC BDAC BD ⊥∴⊥PA 又底面BD PA ABCD ⊥∴， ⊥∴BD 平面PAC ;(2)设PBO 平面的法向量为),,,,(z y x n =PBA 平面的法向量为),,0,1,0(=m0332=-=•z x PB n ,0232=+-=•y x BD n [)332,3,1(=n 43,cos =•=nm n m n m 由题可知二面角A PB O --为锐角,故余弦值为43 注:也可以PBDABPS S ∆∆=αcos 25．（2012年高考（浙江理））如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面是边长为23的菱形,且∠BAD =120°,且PA ⊥平面ABCD ,PA =26,M ,N 分别为PB ,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN ∥平面ABCD ;(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ,垂足为点Q ,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.【答案】【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点.(Ⅰ)如图连接BD .∵M ,N 分别为PB ,PD 的中点, ∴在∆PBD 中,MN ∥BD . 又MN ⊄平面ABCD , ∴MN ∥平面ABCD ; (Ⅱ)如图建系:A (0,0,0),P (0,0,26M (32,32,0), N 3C 3,3,0).设Q (x ,y ,z ),则(33)(3326)CQ x y z CP =--=--，，，，.∵(3326)CQ CP λλλλ==--，，,∴(333326)Q λλλ--，，. 由0OQ CPOQ CP ⊥⇒⋅=,得:13λ=. 即:2326(2)33Q ，，. 对于平面AMN :设其法向量为()n a b c =，，. ∵33(0)=(300)22AM AN =-，，，，，. 则33330012230300a AM n a b b AN n a c ⎧=⎪⎪⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=⎩=⎪⎪⎩. ∴31(0)33n =，，. 同理对于平面AMN 得其法向量为(316)v =-，，. 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ, 则10cos 5n v n vθ⋅==⋅. ∴所求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值为105. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)105.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 333.26．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点.(I)证明:平面EAC⊥平面PBD;(II)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD:AD的值.【答案】27．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,ABC∆中,90,2,1,B AB BC D E ∠===、两点分别在线段AB AC 、上，满足,(0,1)AD AEAB ACλλ==∈.现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --.(1)求证:当12λ=时,ADC ABE ⊥面面;(2)当(0,1)λ∈时,二面角E AC D --的大小能否等于4π?若能,求出λ的值;若不能,请说明理由.【答案】28．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题）如图,在三棱锥ABC P -中,直线⊥PA 平面ABC ,且︒=∠90ABC ,又点Q ,M ,N 分别是线段PB ,AB ,BC 的中点,且点K 是线段MN 上的动点.(Ⅰ)证明:直线//QK 平面PAC ;(Ⅱ)若BC AB PA ===8,且二面角M AK Q --39,试求MK 的长度. ABCDEAB CD EKQ NMPCBA[【答案】(Ⅰ)连结QM ,因为点Q ,M ,N 分别是线段PB ,AB ,BC 的中点所以QM ∥PA 且MN ∥AC ,从而QM ∥平面PAC 且MN ∥平面PAC 又因为MN ∩QM =M ,所以平面QMN ∥平面PAC 而QK ⊂平面QMN 所以QK ∥平面PAC(Ⅱ)方法1:过M 作MH ⊥AK 于H ,连QH ,则∠QHM 即为二面角M AK Q --的平面角,设x MK =,且8===PC PB PA 则1624222++=x x x MH ,又4=QM ,且93cos =∠QHM ,所以==∠MHQM QHM tan 26162422=++xx x ,解得2=x ,所以MK 的长度为2方法2:以B 为原点,以BC 、BA 所在直线为x 轴y 轴建空间直角坐标系, 则A (0,8,0),M (0,4,0),N (4,0,0),P (0,8,8),Q (0,4,4) , 设K (a ,b ,0),则a +b =4, AQ =(0,-4,4),)0,4,(a a AK --= 记(,,)n x y z AQK =为平面的一个法向量,则⎩⎨⎧+==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅ya ax z y Azk n AQ n )4(00取a z y ==则a x +=4, 则),,4(a a a n +=,又平面AKM 的一个法向量(0,0,1)m =,设二面角M AK Q --的平面角为θ 则|cos θ932)4(||||||22=++=⋅a a a n m n m ,解得1=a , 所以所以MK 的长度为229．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,A B=PC=2,AP=BP=2.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求二面角A—PC—D的平面角的余弦值.【答案】30．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形ABCD中,1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起,使得平面⊥ADM 平面ABCM . (1)求证:BM AD ⊥(2)点E 是线段DB 上的一动点,当二面角D AM E --大小为3π时,试确定点E 的位置. 【答案】取AM 的中点O,AB 的中点B,则OD OA ON ,,两两垂直,以O 为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得)0,0,22(A ,)0,2,22(-B ,)0,0,22(-M ,)22,0,0(D (1)由于)0,2,0(),22,0,22(-=-=BM AD ,则0=⋅BM AD ,故BM AD ⊥.(2)设存在满足条件的点E,并设DB DE λ=,则)22,2,22()22,,(--=-λE E E z y x 则点E 的坐标为)2222,2,22(λλλ--.(其中]1,0[∈λ)易得平面ADM 的法向量可以取)0,1,0(1=n ,设平面AME A的法向量为),,(2z y x n =,则)0,0,2(-=AM , )2222,2,2222(λλλ---=AE 则⎪⎩⎪⎨⎧=-++--=⋅=-=⋅0)2222()2()2222(0222λλλz y x AE n x AM n 则λλ2:)1(:0::-=z y x ,取)2,1,0(2λλ-=n *由于二面角D AM E --大小为3π,则|||||||,cos |3cos 212121n n n n n n ⋅⋅=><=π214)1(122=+--=λλλ,由于]1,0[∈λ,故解得332-=λ.故当E 位于线段DB 间,且332-=DB DE 时,二面角D AM E --大小为3π。

浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目与答案)

1.（本题满分15 分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形。

E,F ,O分别为PA, PB, PC 的中点，AC 16, PA PC 10 。

（I ）设 C 是OC 的中点，证明：PC // 平面BOE ；（II ）证明：在ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA , OB 的距离。

zyx2.如图，在棱长为 1 的正方体ABCD －A1B1C1D1 中，P 是侧棱CC1 上的一点，CP=m ，（Ⅰ）试确定m，使得直线AP 与平面BDB 1D1 所成角的正切值为 3 2 ；（Ⅱ）在线段A1C1 上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q 在平面APD 1 上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，E，D 分别为AB 、AC 靠近B、C 的三等分点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。

（I）求证BC⊥平面AFG ；（II）求二面角B－AE －D 的余弦值．.4 在如图所示的几何体中，EA 平面ABC，DB 平面ABC，AC BC ，AC BC BD 2AE ，M是AB的中点．（1）求证：CM EM ；D（2）求CM与平面CDE所成的角ECAMB4.如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BCF CEF ，AD 3，E F 2．90D（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；AC （Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角 A EF C 的大小为60 ？BF E（第18 题）25.如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF= FD 4.沿直3线EF 将AEF 翻折成A' EF , 使平面A' EF 平面BEF.（I）求二面角A' FD C 的余弦值；（II ）点M ，N 分别在线段FD，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使 C与A' 重合，求线段FM 的长.6.如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

专题10 立体几何-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(解析版)

【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面 .
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
【2021·江苏高考】在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则
A.当时，的周长为定值
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点P，使得
而面BCD，面BCD，，
面BCD，面BCD，
，是直角三角形，且，
设DF与面DBC所成角为，则即为CH与面DBC的夹角，
且，
在中，，
，
．
【知识点】线面垂直的判定、直线与平面所成的角、面面垂直的性质、线面垂直的性质
【解析】本题主要考查空间直线互相垂直的判定和性质，以及直线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思维能力，平面与空间互相转化是能力，几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强的题．
D.当时，有且仅有一个点P，使得平面
【答案】BD
【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积
【解析】解：对于A，当时，，即，所以，
故点P在线段上，此时的周长为，
当点P为的中点时，的周长为，
当点P在点处时，的周长为，

浙江省普通高校招生学考科目考试立体几何多选题试题含答案

浙江省普通高校招生学考科目考试立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点；对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可；对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可；对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误；对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确；对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r ++=，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -22222262213⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.3．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为343（）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则(13,211A 底面法向量()(10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|143AA n θ===⨯，故B 错误；对于C ：三棱柱的侧棱垂直于底面时，则(((1110,0,43,3,43,0,23,43,A B C则()()13,3,0,0,23,43,AB AC ==- 设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则11165cos |cos ,|||10||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =.则下列结论正确的是（）A ．三棱锥A BEF -的体积为定值B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为12D ．当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成的角为π4【答案】AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，1112212224BEF S EF BB ∆∴=⋅=⨯⨯=连接AO 交BD 于点O由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即22AO =11221334212A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯=⨯⨯=A BEF V -∴是定值.选项B:连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ，由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AAA EFB ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，在直角三角形1AA M 中，12tan 2MAA ∠=为定值. 选项C:如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221cos 45222FT EF =⨯=⨯= 12HG FT ∴==选项D:当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B ===+=2AR = 由余弦定理得13cos AD R ∠= 故选：AC 【点睛】本题考查空间几何体性质问题.求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.5．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +的最小值为1705【答案】AD 【分析】DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-，所以217042222()10AC '=+-⨯⨯⨯-= 故选：AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．6．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE【答案】AC【分析】取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．【详解】解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点，∴1MF A D ∥，∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，∴MF 平面1A DE ，∵DF BE ∥且DF BE =，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴BF DE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，∴BF ∥平面1A DE ，又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ，∵BM ⊂平面BMF ，∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==，则112MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确，∵2DE CE a ==，2CD AB a ==， ∴222DE CE CD +=， ∴DE CE ⊥，设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =， ∴DE ⊥平面1A CE ，∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，所以假设不成立，即B 错误.故选:AC .【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D所成角的正弦值的最大值为3．【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n CP n ⋅⋅＝∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下面结论中正确结论的有（）A ．11A D C P ⊥；B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=； C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π．【答案】ABD【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D.【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，()()10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，则可解得()1,1,P λλλ--，对A ，()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则11A D C P ⊥，故A 正确；对B ，()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 则当23λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确；对C ，()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，则222321cos 1321321PA PC APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2111123212λλ-≤-<-+，即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以222122R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34R =，故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。

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近五年浙江数学高考立体几何考题
【2018年】
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则 A ．θ1≤θ2≤θ3
B ．θ3≤θ2≤θ1
C ．θ1≤θ3≤θ2
D ．θ2≤θ3≤θ1
19．（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，
∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；
（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．侧视图
俯视图
正视图
2
21
1⊄⊂
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），
则该几何体的体积（单位：cm2）是（）
A．+1 B．+3 C．+1 D．+3
9．（5分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）
A．γ＜α＜βB．α＜γ＜β C．α＜β＜γD．β＜γ＜α
19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
文科
2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．
14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC 将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是．
18．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
【2016】
理科
2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．
14．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．
17．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
文科
2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是
A.8 cm 3
B.12 cm 3
C.323
cm 3
D.403
cm 3
4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.
A.若l ⊥β，则α⊥β
B. 若α⊥β，则l ⊥m
C. 若l ∥β，则α∥β
D. 若α∥β，则l ∥m
7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面上的动点P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹是 A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支
18、（本题满分15分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点。

（Ⅰ）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
（Ⅱ）求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值。

理科
2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是
A.8 cm 3
B.12 cm 3
C.323
cm 3
D.403
cm 3
8．如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（）
A ． ∠A ′D
B ≤α B ．
∠A ′DB ≥α C ． ∠A ′CB ≤α D ．
∠A ′CB ≥α
13．如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N 分别是AD ，BC
的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．
17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；
（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．
文科
3. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（）
A. 3
72cm B. 3
90cm C. 3
108cm D. 3
138cm
6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）
A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥m
B.若β//m ，αβ⊥，则α⊥m
C.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m
D.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m
20、如图，在四棱锥BCDE A -中，平面ABC ⊥平面BCDE ；90CDE BED ∠=∠=︒，
2AB CD ==，1DE BE ==
，AC
（1）证明：AC ⊥平面BCDE ；
（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.
A
D E
B
C
【2014】理科
（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm
20. 如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面
======∠=∠AC BE DE CD AB BED CDE BCDE ,1,2,90,02.
（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小
4
6
8
1012
14
16
18
E
A。

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