第四章：固体力学大变形基础
固体力学概述
固体力学概述1. 固体力学基本概念固体力学是研究固体在各种力和力矩作用下的力学行为的科学。
固体可以是晶体、非晶体、复合材料或生物组织等。
固体力学主要关注的是固体在受力状态下的行为，包括变形、断裂、损伤等。
2. 弹性力学基础弹性力学是研究弹性体在外力作用下的应力、应变和位移等的学科。
当外力撤去后，弹性体能够恢复到原来的状态。
弹性力学的基本原理包括胡克定律、弹性模量等。
3. 材料力学材料力学是研究材料在各种力和力矩作用下的行为的学科。
它主要关注材料的强度、刚度、稳定性等问题，以及如何设计出既安全又经济的结构。
4. 塑性力学塑性力学是研究塑性变形过程的学科。
当外力超过材料的屈服点时，材料会发生塑性变形，即使外力撤去后也不能完全恢复原来的形状。
塑性力学对于理解材料的极限承载能力和工程设计中的安全系数至关重要。
5. 断裂力学断裂力学是研究材料断裂行为的学科。
它主要关注的是裂纹的萌生、扩展和断裂的过程，以及如何预测和控制材料的断裂行为。
6. 复合材料力学复合材料力学是研究复合材料的力学行为的学科。
复合材料由两种或多种材料组成，其力学行为比单一材料复杂得多。
复合材料力学对于航空、航天、汽车等领域的材料设计具有重要意义。
7. 热力学与相变热力学与相变是研究材料在温度变化时的热力学特性和相变行为的学科。
它涉及到材料的热膨胀、热传导、相变温度等，对于理解材料的热行为和热稳定性至关重要。
8. 非线性力学非线性力学是研究非线性现象的学科。
当外力足够大时，固体材料的力学行为会变得非常复杂，出现非线性现象，如分岔、混沌等。
非线性力学对于理解材料的极限行为和设计复杂结构具有重要意义。
9. 有限元分析有限元分析是一种数值分析方法，用于求解各种复杂的固体力学问题。
通过将连续的物体离散化为有限个小的单元（称为有限元），可以用数值方法求解这些单元的平衡方程，从而得到物体的应力、应变等。
有限元分析是现代工程设计和分析中不可或缺的工具。
弹性变形名词解释
弹性变形名词解释弹性变形是指物体在受到外力作用后产生的可逆性变形过程。
在弹性变形中，物体会根据力的大小和方向发生形状和大小的改变，但一旦外力停止作用，物体会重新回复到原来的形状。
这种变形过程是可逆的，不会产生永久形变或破坏物体的结构。
弹性变形是固体力学中的一个基本概念，广泛应用于工程、材料科学和物理学等领域。
它对于研究物体的力学性质和设计结构的稳定性非常重要。
弹性变形可以用很多名词来解释，下面是一些相关的名词解释：1. 应力（Stress）：应力是物体受到外力作用时产生的内部力。
它是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力两种。
正应力是作用于物体上的力的方向与物体表面法线方向相同或相反的力，剪应力是作用于物体上的力的方向与物体表面法线方向垂直的力。
2. 应变（Strain）：应变是物体在受到外力作用时产生的形变量。
它是物体原始长度改变的比例，可以分为正应变和剪应变两种。
正应变是物体单位长度的变化量，剪应变是物体单位长度的旋转角度。
3. 弹性模量（Elastic modulus）：弹性模量是衡量物体弹性变形能力的物理量。
它是应力与应变的比值，反映了物体对外力的抵抗能力。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
4. 压缩变形（Compression deformation）：压缩变形是物体在受到外力作用时沿着一定方向发生的体积缩小现象。
在压缩变形中，物体的体积减小，但它的形状和大小并没有发生明显的改变。
5. 拉伸变形（Tensile deformation）：拉伸变形是物体在受到外力作用时沿着一定方向发生的形状延伸现象。
在拉伸变形中，物体的长度增加，但它的体积和形状并没有发生明显的改变。
6. 弹性极限（Elastic limit）：弹性极限是物体在受到外力作用时可以恢复到原来形状的最大应力点。
超过弹性极限后，物体会发生永久形变而不能回复到原来的形状。
7. 弹性回复（Elastic recovery）：弹性回复是指物体在外力作用停止后重新回复到原始形状的能力。
材料力学-杆件的变形计算
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
固体力学概论
时间相关
单轴拉伸试验曲线
单轴拉伸试验曲线（同样可作扭转与剪切试验）
应力张量和应变张量
应力张量：任意质点的应力有6个独立分量，形成二阶张量
11 12 ij 21 22
、 铁木生柯(Timoshenko)专著”Strength of Materials”, “Theory of Elasticity”
“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”与符拉索 夫(薄壁杆件). • 中国东汉(127~200)郑玄提出线性弹性关系; 宋代李诫《营造法式》；隋代 李春（581~618）赵州桥。
下面以梁为例,此假设大大简化了问题. 无穷自由度问题简化为一个自由度问题,只有 一个挠度函数是要求的.这样，用弹性力学理论,有15个基本方程,15个基本未知量.
根据平截面假设大大简化：梁的挠度为 w(x) ， 梁的基本方程（控制方程）为：
M d2w EI dx2
d 2w dx2
1
p
x
max
max
固体力学概论
(综合基础课) 2005版
目录
• 第一章 前言 • 第二章 基本假设 • 第三章 本构关系（物理方程） • 第四章 基本方程 • 第五章 能量原理（包括变分原理） • 第六章 固体力学中的数值方法
第一章 前言
• 固体力学的定义 • 固体力学的基本假设与主要研究内容 • 学科分支 • 研究对象与任务 • 发展史 • 参考资料
变）；
③ 在发生弯曲变形时，板的中面无拉伸变形。①②为基尔 霍夫假定（克希霍夫假定）。
固体力学基本方程
固体力学基本方程固体力学是研究物体在受力作用下的变形和运动的学科。
其基础是一些基本方程，这些方程是描述固体材料力学行为的数学表达式。
本文将介绍固体力学中的基本方程，包括应力-应变关系、变形与位移关系、能量方法、力学平衡方程和边界条件等。
1.应力-应变关系应力-应变关系是固体力学中最基础的方程之一。
它描述了外力作用下固体材料的应变与应力之间的关系。
根据麦克斯韦方程，应变是应力与弹性模量之间的比例关系。
对于线弹性材料，应力与应变之间满足胡克定律，即应力等于弹性模量与应变的乘积。
2.变形与位移关系变形与位移关系是描述固体材料在受力作用下发生变形时，材料内部各点位移与应变之间的关系。
对于小变形情况，可以利用拉格朗日描述变形。
拉格朗日公式用位移场来描述固体的运动，并与应变场相关联。
位移与应变之间的关系可由位移梯度张量和应变张量之间的关系给出。
3.能量方法能量方法是固体力学中一种重要的分析方法。
它基于能量守恒原理，通过计算系统储存的弹性势能和外界对系统做的功来得出力学行为。
能量方法不仅可以用于弹性材料的分析，还可以用于塑性、粘弹性和断裂等不同力学行为的分析。
4.力学平衡方程力学平衡方程是固体力学中最基本的方程之一。
它描述了固体物体在受力作用下的平衡条件。
根据牛顿定律和力的平衡性，可以得出力学平衡方程。
对于静力学平衡，作用在物体上的体力之和等于零；对于动力学平衡，还需要考虑物体的加速度。
5.边界条件边界条件是解固体力学问题时必须考虑的重要因素之一。
它描述了固体物体与外界的相互作用。
边界条件可以包括位移边界条件、力边界条件和热边界条件等。
位移边界条件描述了物体的边界上的位移情况，力边界条件描述了物体与外界的力的作用关系，热边界条件描述了物体在温度变化下的行为。
固体力学基本方程是固体力学研究的基础，它们为解决工程和科学问题提供了框架和方法。
这些方程的应用范围广泛，包括材料强度分析、结构力学、固体材料的变形和破坏行为等。
计算固体计算力学-内容简介
第四章 几何非线性问题及其有限元求解
01
大变形条件下的应力和
应变的度量
02
几何非线性问题的表达
格式
03
大位移非线性弹性理论
的变分原理
04
几何非线性问题的有限
05
结构稳定性和屈曲问题
元分析
授课内容简介
第五章 接触和碰撞问题及其有限元求解 接触问题的界面条件 接触问题的求解方案 接触问题的有限元方程 接触问题的有限元求解 接触分析中的若干问题
授课内容简介
1
第二章 非线性方程(组) 的解法
2
直接迭代法
○ Newton-Raphson法(简 称N-R法)
○ 改进的NewtonRaphson法(简称M-N-R 法)
○ 增量法
授课内容简介
第三章 材料非线性问题及其有限元求解
01
材料弹塑性本 构关系
03
弹塑性增量有 限元分析
02
塑性力学中的 变分原理
目录
01
博士研究生课程
02
计算固体力学
03
课程编号：017090
04
王生楠，谢伟
05
西北工业大学 航空学院
计算固体力学课程体系
授课内容简介
第二章 非线性方程 (组)的常用解法
第四章 几何非线性 问题及其有限元求解
01
第一章 引言
02
03
第三章 材料非线性 问题及其有限元求解
04
05
第五章 接触和碰撞 问题及其有限元求解
参考书籍
01
有限元法中的变 分原理基础，王 生楠编，西工大 出版社
02
航天器计算结构 力学，竺润祥主 编，宇航出版社
固 体 力 学
固体力学固体力学是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支，它主要研究可变形固体在外界因素(如载荷、温度、湿度等)作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律。
固体力学研究的内容既有弹性问题，又有塑性问题；既有线性问题，又有非线性问题。
在固体力学的早期研究中，一般多假设物体是均匀连续介质，但近年来发展起来的复合材料力学和断裂力学扩大了研究范围，它们分别研究非均匀连续体和含有裂纹的非连续体。
自然界中存在着大至天体，小至粒子的固态物体和各种固体力学问题。
人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。
现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。
由于工程范围的不断扩大和科学技术的迅速发展，固体力学也在发展，一方面要继承传统的有用的经典理论，另一方面为适应各们现代工程的特点而建立新的理论和方法。
固体力学的研究对象按照物体形状可分为杆件、板壳、空间体、薄壁杆件四类。
薄壁杆件是指长宽厚尺寸都不是同量级的固体物件。
在飞行器、船舶和建筑等工程结构中都广泛采用了薄壁杆件。
固体力学的发展历史萌芽时期远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。
中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。
随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。
尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。
发展时期实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。
在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。
固体力学中的弹性变形分析
固体力学中的弹性变形分析弹性变形分析是固体力学领域中的重要内容，它研究了物体在受力作用下的变形行为及其内部应力分布。
弹性变形分析在工程设计和材料研究中具有广泛应用，能够为工程师和科学家提供有关结构强度和材料特性的重要信息。
弹性变形是指物体在受到外部力作用时能够恢复原状的变形行为。
这种变形是由于物体的原子和分子之间的相互作用力发生微小的变化所引起的。
物体在受力作用下，外部力会导致原子和分子发生相对位移，从而引起整个物体的变形。
在弹性变形的过程中，物体内部的应力分布是均匀的，当外部力解除后，物体会恢复原来的形状和大小。
弹性变形分析可以通过应力-应变关系来描述。
应力是物体受力后单位面积上的内部力，而应变是物体受力后单位长度的相对位移。
根据胡克定律，应力和应变之间存在线性关系，这种关系被称为胡克定律。
胡克定律表明了应力和应变之间的比例关系，可以用弹性模量来表示。
弹性模量是描述物体弹性性质的重要参数，它是描述应力和应变之间关系的比例系数。
不同材料的弹性模量不同，材料的弹性性质也会因此而有所差异。
对于各向同性材料，弹性模量可以根据宏观实验数据和材料特性进行计算，从而得到材料的弹性变形特性。
弹性变形分析在工程设计中有广泛应用。
通过进行弹性变形分析，工程师可以确定材料的最大应力和最大应变，从而确定材料是否适用于特定工程应用。
此外，弹性变形分析还可以用于优化工程设计，例如减少应力集中和破坏点，提高工程结构的安全性和可靠性。
材料研究中的弹性变形分析也非常重要。
通过对材料的弹性变形行为进行分析，可以揭示材料的力学性质和变形机制。
这对于开发新材料和改进材料特性至关重要。
通过弹性变形分析，可以确定材料的弹性模量、屈服强度等重要参数，为材料的应用提供科学依据。
总之，弹性变形分析在固体力学领域中占据重要地位。
它能够揭示物体在受力作用下的变形行为和内部应力分布，为工程设计和材料研究提供重要信息。
弹性变形分析的应用范围广泛，可用于优化工程设计和开发新材料。
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由此面元变换公式也可表为
ni dA = JX l , i N l dA0
面积变 换公式
1.5 Green和Almansi应变张量 Green和Almansi应变张量
设初始和现时位形中P 设初始和现时位形中P、Q两点 的距离分别为 dX i dxi 研究变形前后线段尺度的变化 可以获得变形的度量－应变 可以获得变形的度量－
物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻， 物体运动和变形是单值和连续的，也即在任一时刻，x i 是一一对应的， 和 X i 是一一对应的，那么在参考位形的任意点Jacobi行 不为零。 列式J不为零。也即变形梯度可逆 ∂xi ∂xi = xi , X j = xi , j J= ≠0 ∂X j ∂X j
dx
" 2
dx
" 3
dx 1 ' dV = dx 1 " dx 1
dx 2 ' dx 2 dx
" 2
∂x j ∂x i ' ∂x k " ∂X j dX l dX m dX n = e ijk ∂X m ∂X l ∂X n dxi = xi , j dX j 因此， 因此，现时位形的体积可表为 ∂xi ∂x j ∂xk ' " ' " = elmn JdX l dX m dX n dV = eijk dX l dX m dX n ∂X l ∂X m ∂X n " 体积变换公式 = Je ijk dX i dX 'j dX k = JdV0
∂xk ∂xk δ ij − ∂X k ∂X k dxi dx j dxi dxi − dX i dX i = − δ ij dX i dX j= ∂X ∂X ∂xi ∂x j j i 1 ∂x k ∂x k ∂X k ∂X k 1 − δ ij E ij = e ij = δ ij − ∂X i ∂X j 2 2 ∂x i ∂x j 阿尔曼西张量 格林应变张量
这表明，当位移梯度很小时，可以不区分初始位形和现时位 这表明，当位移梯度很小时， 位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后， 形，位移梯度分量的乘积项是高阶小量，将其略去后，即可 柯西应变得到小变形时的柯西应变 得到小变形时的柯西应变-工程应变
1 E ij = ( u j , X i + ui , X j + uk , X i uk , X j ) 2 1 e ij = ( u j , xi + ui , x j − uk , xi uk , x j ) 2 1 ε ij = E ij = e ij = ( u j , xi + ui , x j ) 2
固体力学大变形基本知识
1. 物体运动的物质描述 2. 格林和阿尔曼西应变 3. 物体运动等的空间描述和变形率 欧拉、 4. 欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力 5. 大变形时平衡方程和虚位移原理 6. 大变形本构关系
1.1 物体运动的物质描述-拉格朗日描述 物体运动的物质描述t=0的坐标为Xi， t =0的坐标为 的坐标为X 时刻位置为x 时刻位置为xi，质点 运动可表为
∂ui 位移对坐标（ 位移对坐标（ ∂X j
度张量。 度张量。
∂ui ∂x j
）的偏导数，称为位移梯 的偏导数，称为位移梯
1.5 Green和Almansi应变张量 Green和Almansi应变张量
将变形梯度张量代入两种应变的表达式，可得用位 将变形梯度张量代入两种应变的表达式， 移梯度张量表示的应变公式如下
dx 3 ' " dx 3 = e ijk dx i dx 'j dx k = " dx 3 ∂x
变形梯度
i
= xi , X j = xi , j
∂xi ∂x j ∂x k elmn J = eijk xi , l x j , m x k , n = eijk ∂X l ∂X m ∂X n
1.4、面积变换公式 1.4、 如果记初始和现时 位形的密度分别为 ρ0 和 ρ 则由质量守恒， 则由质量守恒，可得 ρ 0 体积变换公式 dV J= = dV dV 0 ρ 因此对不可压缩物体 N i dA0 = eijk dX i dX j dX k' J =1 仿体积的上述说明， 仿体积的上述说明，图示面元可表为 ' ' ni dA = e ijk dx j dx k N i dA0 = e ijk dX j dX k ∂x i ∂x i ' ni dA = e ijk dx j dx k = 又因 ∂X l ∂X l
由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（塑） 由此公式可见，两种应变张量都是对称的。类似弹（ 性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明，体内 性力学的应变分析（与主应力分析相仿），可以证明， ），可以证明 任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴， 任一点处至少有三个相互垂直的应变主轴，任两与主轴平行 的物质线元，变形过程中仍保持垂直。 的物质线元，变形过程中仍保持垂直。
格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是 格林应变张量用初始位形定义，也即用变形前的坐标定义它是 lagrange坐标的函数 阿尔曼西应变张量用现时位形定义， 坐标的函数。 lagrange坐标的函数。阿尔曼西应变张量用现时位形定义，它是 Euler坐标的函数 Euler坐标的函数。
1.5 Green和Almansi应变张量 Green和Almansi应变张量 质点的位移向量也同样可用初始位形和现时 位形定义 ui ( X j , t ) = x i ( X j , t ) − X i 初始坐标的函数 ui ( x j , t ) = x i − X i ( x j , t ) 现时坐标的函数 上式对lagrange坐标或对Euler 上式对lagrange坐标或对Euler坐标求偏导，可 lagrange坐标或对Euler坐标求偏导 得变形梯度张量分别为 ∂X i ∂u i ∂x i ∂u i = δ ij − = + δ ij ∂x j ∂x j ∂ X j ∂X j
1 E ij = ( u j , X i + ui , X j + uk , X i uk , X j ) 2 1 e ij = ( u j , xi + ui , x j − uk , xi uk , x j ) 2
∂X k ∂X k 1 e ij = δ ij − 2 ∂x i ∂x j 阿尔曼西张量 格林应变张量 ∂x i ∂u i ∂X i ∂u i = + δ ij = δ ij − ∂X j ∂X j ∂x j ∂x j ∂uk 1 ∂uk Eij = ( + δ ki )( + δ kj ) − δ ij 2 ∂X i ∂X j ∂uk 1 ∂uk ∂uk ∂uk = + δ kj + δ ki + δ kiδ kj − δ ij ∂X ∂X ∂X i ∂X j 2 i j 1 1 = uk , X i uk , X j + ui , X j + u j , X i + δ ij − δ ij = uk , X i uk , X j + ui , X j + u j , X i 2 2
1 ∂x k ∂x k E ij = − δ ij 2 ∂X i ∂X j
(
) (
)
当位移梯度远小于1 当位移梯度远小于1时，对任意函数F有如下关系 对任意函数F
∂F ∂x i ∂F = ∂X j
具 ∂F ∂X j ∂F ∂ 有 (x j − uj ) = = = 相 ∂X j ∂x i ∂X j ∂ x i 同 ∂u j ∂u j ∂F ∂F ∂F 量 (δ ij − )= − ≈ ∂x i ∂X i ∂X j ∂x i ∂X i 级
1.4、面积变换公式 1.4、
∂ x i ∂x j ∂ x k 面积变 ' dX m dX n = e ijk 换公式 ∂X l ∂ X m ∂X n ' x i , l ni dA = e lmn JdX m dX n = JN l dA0
' 根据变形梯度张量可逆 根据变形梯度张量可逆 N i dA0 = e ijk dX j dX k ∂xi ∂X l = xi ,l X l ,i = δ ii = 1 ∂X l ∂xi
J = eijk xi ,1 x j ,2 xk ,3
e123 J = e ijk x i , 1 x j , 2 x k , 3 = 定义 = J e 231 J = e ijk x i , 2 x j , 3 x k , 1 = 列互换二次 = J e 312 J = e ijk x i , 3 x j , 1 x k , 2 = 列互换二次 = J e 321 J = e ijk x i , 3 x j , 2 x k , 1 = 列互换一次 = − J e 213 J = e ijk x i , 2 x j , 1 x k , 3 = 列互换一次 = − J e132 J = e ijk x i , 1 x j , 3 x k , 2 = 列互换一次 = − J e lmm J = e ijk x i , l x j , m x k , m = 两列相同 = 0
xi = xi ( X j , t ) 对物体t时刻位置 对物体t时刻位置 和变形的刻划称为构 形或位形，如图示。 形或位形，如图示。
描述运动的参照基准称为参考位形 描述运动的参照基准称为参考位形，以初 参考位形， 始位形作参考位形的描述称为物质描述 物质描述或 始位形作参考位形的描述称为物质描述或拉 格朗日描述， 称为物质坐标 物质坐标。 格朗日描述，Xi称为物质坐标。
由此可见，e lmn J = e ijk x i , l x j , m x k , n 成立 由此可见，