带符号数的运算
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数字逻辑与计算机组成原理：第二章 数据的表示与运算
数字逻辑与计算机组成原理
第二章 数据的表示与运算
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
1、无符号数:
没有符号的数，寄存器中的每一位都可用 来存放数据
机器字长为n位，无符号数的表示范围 为0～2n-1
反映无符号数的表示范围
8位 16 位
0 ~ 255 0 ~ 65535
有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数
(1) 定义
整数
0，x
2n ＞ x ≥ 0
[x]反 = ( 2n+1 – 1) + x 0 ≥ x ＞ 2n（mod 2n+1 1）
x 为真值
n 为整数的位数
如 x = +1101
x = 1101
[x]反 = 0,1101
[x]反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101
用 逗号 将符号位
= 1,0010
和数值部分隔开
小数 x
[x]反 = ( 2 – 2-n) + x
1＞x≥ 0 0 ≥ x ＞ 1（mod 2 2-n）
x 为真值 n 为小数的位数
如 x = + 0.1101
x = 0.1010
[x]反 = 0.1101
[x]反 = (2 2-4) 0.1010
= 1.1111 0.1010
有符号小数： +0.1011,在机器中表示为
-0.1011,在机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
有符号整数： +1101，机器中表示为
-1101， 机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
第二章 数据的表示与运算
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
1、无符号数:
没有符号的数，寄存器中的每一位都可用 来存放数据
机器字长为n位，无符号数的表示范围 为0～2n-1
反映无符号数的表示范围
8位 16 位
0 ~ 255 0 ~ 65535
有两种常用的无符号表示法： ◆ 非负数码：表示0或一个正数
(1) 定义
整数
0，x
2n ＞ x ≥ 0
[x]反 = ( 2n+1 – 1) + x 0 ≥ x ＞ 2n（mod 2n+1 1）
x 为真值
n 为整数的位数
如 x = +1101
x = 1101
[x]反 = 0,1101
[x]反 = (24+1 1) 1101 = 11111 1101
用 逗号 将符号位
= 1,0010
和数值部分隔开
小数 x
[x]反 = ( 2 – 2-n) + x
1＞x≥ 0 0 ≥ x ＞ 1（mod 2 2-n）
x 为真值 n 为小数的位数
如 x = + 0.1101
x = 0.1010
[x]反 = 0.1101
[x]反 = (2 2-4) 0.1010
= 1.1111 0.1010
有符号小数： +0.1011,在机器中表示为
-0.1011,在机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数 2、有符号数
有符号整数： +1101，机器中表示为
-1101， 机器中表示为
第一节 数的表示
一、无符号数和有符号数
第1章 基础知识2机器中符号数的表示法
[+32767]原=0111 1111 1111 1111B
[-32767]原=1111 1111 1111 1111B
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可以看出
-127 +127 是真值
8位二进制原码表示数的范围为 -127 + 127， 16位二进制原码表示数的范围为 -32767 + 32767； n位原码的数据表示范围 : -（ 2n-1-1 ）~ +（2n-1-1） “0”的原码有两种表示法：00000000表示+0，10000000表示-0。
例如n=16： -32767～+32767 反码表示范围： -(2n-1-1) ~ +(2n-1-1)
例如n=16: -32767~+32767 补码表示范围： -(2n-1) ~ +(2n-1-1)
例如n=16: -32768~+32767
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6. 二进制数的扩展
是指：数据从位数少扩展到位数较多——增加二进制位数。 例如从八位变为十六位 一个二进制数扩展后，应该保持这个数的大小和符号不变。 （1）源码表示的二进制数： 将符号位左移到最高位，其他全部扩展为补0 例如： 1100 0110B → 1000 0000 0100 0110B 0010 1101B → 0000 0000 0010 1101B
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5. n位二进制数的表示范围
(1) 8位二进制数的表示范围 8位二进制数的原码、反码和补码如下表所示。
带 符 号 数 二进制数 无符号十进制数 原码 反码 +0 +1 +2 +126 +127 -127 -126 补码 +0 +1 +2 +126 +127 -128 -127 0 1 2 126 127 128 129 +0 +1 +2 +126 +127 -0 -1
第八节 算术运算类指令
判断溢出的方法
• 两数相加时，只有当参加运算的两个数 两数相加时， 符号相同时， 发生溢出现象( 符号相同时，才有可能发生溢出现象(异 号相加无溢出) 号相加无溢出)，溢出时运算结果的符号 号相反。 与参加运算的符号相反。可以利用这个 特点判断加法有无溢出， 特点判断加法有无溢出，称为判断溢出 的符号法则。 的符号法则。
8.1.3 补码
• 负数的补码=模－该负数的绝
对值
• 例如，若X是负数，则有：X补 是负数，则有： 例如， =mod－ =mod－│X│ • 当模为12时，0至12间的任何数 当模为12时 12间的任何数 与其加－ 减3与其加－3的补码的效果是 一样的。例如： 一样的。例如： • 6－4=2 • －4的补码为：[－4]=12－4＝ 的补码为： 4]=12－ ＋8 • 6＋8=12＋2=2（12自然消失） 8=12＋2=2（12自然消失 自然消失） • 由上可见，在某一计数系统的 由上可见， 模内， 模内，任何加减法运算都归结
• • • • • • •
例：求（－20）＋（＋16）=？ （－20）＋（＋ ） ）＋（＋16 相当于计算[ 20]补 16]补 解：相当于计算[－20]补＋[＋16]补。 [－20]原=10010100B 20]原 [－20]反=11101011B 20]反 [－20]补=[－20]反＋1=11101011B＋1=11101100B 20]补=[－20]反 1=11101011B＋ [＋16]补=[＋16]原=00010000B 16]补=[＋16]原 下面列出[―20]补 16]补的算式 补的算式： 下面列出[―20]补＋[＋16]补的算式：
但是如果我们一旦决定参加运算的操作数是无符号数对于运算结果我们也一定要把结果看待为无符号数若我们决定参加运算的操作数是带符号数补码形式结果就必须看待为带符号数补码形式
计算机的运算方法
即得[ y 即得 y]补
[y]补连同符号位在内， 每位取反， -n 连同符号位在内， 每位取反， 末位加 1 … 即得[ 即得
y = （0. y1 y2 yn + 2 ） y]补 … yn + 2-n y = 0. y1 y2
[ y]补 = 0. y1 y2 … yn + 2-n
例：求补运算
已知：[B]补＝0，0101101 求：[-B]补 解：[-B]补＝1，1010011
上溢 阶码 > 最大阶 码 下溢 阶码 < 最小阶码 按 机器零 处理 上溢 上溢 负数区
最小负数 ( 2m–1)×( 1 – 2–n) –2
下溢
正数区
最大正数 2( 2
m–1)
0
最小正数
–( 2m–1)×2–n 2
–2
15
×( 1 – 2 )
-10
×( 1 – 2–n) 215 ×( 1 – 2 10)
解： ∵ 215 = 32768 ∴ 15 位二进制数可反映 ±3 万之间的十进制数 215 × 0.××× … … ×× m = 4、5、6 … 、 、
满足 最大精度 可取 m = 4，n = 18 ，
2. 浮点数的表示范围，阶码的数值部分为 位，尾数的数值部分为 位 浮点数的表示范围，阶码的数值部分为m位 尾数的数值部分为n位
数的定点表示和浮点表示
小数点按约定方式标出 一、定点表示
S f S 1S 2 … S n
数 符 小数点 数
Sf S1S2 … Sn
数 符 数 小数点
小数
数
二、浮点表示
N = S×rj
S 尾数 j 阶码 浮点数的一般形式 r 基数（基值） 基数（基值）
计算机中带符号数的表示之原码、补码、反码
计算机中带符号数的表示之原码、补码、反码计算机中带符号数的表示之原码、补码、反码2010-09-13 12：47为叙述方便，先引进两个名词：机器数和真值。
将一个数在机器中的表示形式，即编码称为机器数，将数本身称为真值。
常用的机器数有三种：原码、补码和反码。
1.原码1)通俗定义将数的符号数码化，即用一个二进制位表示符号：对正数，该位取0，对负数，该位取1。
而数值部分保持数的原有形式(有时需要在高位部分添几个0)。
这样所得结果为该数的原码表示。
例，x=+1001010，y=-1001010，z=-1110(=-0001110)。
当原码为8位时，x、y和z的原码分别是：[x]原=01001010；[y]原=11001010；[Z]原=10001110.其中最高位为符号位。
2)正规定义其中，x为真值，n为原码的位数。
这个定义实际是将真值的范围给出来了，当n=8时，-127 x127，因而，其数值部分写成二进制形式，最多为7位。
从该定义可看出，x为正数时，其原码还是数本身，第8位(符号位)补0；x为负数时，-x等于去掉负号，但要加上127，即第8位为1(127=10000000(2))。
因此，这个定义和上面的通俗定义是一致的。
3)原码表示的特点原码表示有三个主要特点：一是直观，与真值转换很方便；二是进行乘、除运算方便；三是加、减运算比较麻烦。
第一点是显然的。
说原码表示进行乘、除运算方便是因为其数值部分保持了数据的原有形式，对数值部分进行乘或除就可得到积或商的数值部分，而积或商的符号位可由两个数原码的符号位进行逻辑运算而得到。
说原码表示进行加、减运算比较麻烦，以加法为例，两个数相加需先判别符号位，若其不同，实际要做减法，这时需再判断绝对值的大小，用绝对值大的数减绝对值小的数，最后还要决定结果的符号位。
2.补码1)补码的引进和定义据统计，在所有的运算中，加、减运算要占到80%以上，因此，能否方便地进行正、负数加、减运算，直接关系到计算机的运行效率。
c语言有符号数和无符号数运算
2. 表示范围：有符号数可以表示正数、负数和零，而无符号数只能表示非负数（即正数和 零）。
c语言有符号数和无符号数运算ห้องสมุดไป่ตู้
3. 运算规则： - 加法和减法：有符号数和无符号数之间可以进行加法和减法运算。在这种情况下，C
语言会将有符号数视为无符号数进行运算，结果也是无符号数。如果结果超出了无符号数的 表示范围，则会发生溢出。
- 乘法和除法：有符号数和无符号数之间可以进行乘法和除法运算。在这种情况下，C 语言会将有符号数视为无符号数进行运算，结果也是无符号数。
- 比较运算：有符号数和无符号数之间可以进行比较运算。在这种情况下，C语言会将 有符号数视为无符号数进行比较。
c语言有符号数和无符号数运算
4. 注意事项： - 混合运算：在有符号数和无符号数之间进行混合运算时，C语言会将有符号数转换为
无符号数进行运算。这可能导致一些意外的结果，特别是当有符号数为负数时。 - 无符号数的溢出：无符号数在发生溢出时会进行模运算，即超出表示范围的值会被截
断为非负数。
总之，有符号数和无符号数之间的运算在C语言中有一些差异。在进行混合运算时，需要 注意数据类型的转换和溢出的处理，以避免产生意外的结果。
c语言有符号数和无符号数运算
在C语言中，有符号数和无符号数之间的运算有一些区别。以下是关于有符号数和无符号 数运算的一些要点：
1. 数据类型：有符号数使用带符号的数据类型，如int、short、long等；无符号数使用无 符号的数据类型，如unsigned int、unsigned short、unsigned long等。
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3. 运算规则： - 加法和减法：有符号数和无符号数之间可以进行加法和减法运算。在这种情况下，C
语言会将有符号数视为无符号数进行运算，结果也是无符号数。如果结果超出了无符号数的 表示范围，则会发生溢出。
- 乘法和除法：有符号数和无符号数之间可以进行乘法和除法运算。在这种情况下，C 语言会将有符号数视为无符号数进行运算，结果也是无符号数。
- 比较运算：有符号数和无符号数之间可以进行比较运算。在这种情况下，C语言会将 有符号数视为无符号数进行比较。
c语言有符号数和无符号数运算
4. 注意事项： - 混合运算：在有符号数和无符号数之间进行混合运算时，C语言会将有符号数转换为
无符号数进行运算。这可能导致一些意外的结果，特别是当有符号数为负数时。 - 无符号数的溢出：无符号数在发生溢出时会进行模运算，即超出表示范围的值会被截
断为非负数。
总之，有符号数和无符号数之间的运算在C语言中有一些差异。在进行混合运算时，需要 注意数据类型的转换和溢出的处理，以避免产生意外的结果。
c语言有符号数和无符号数运算
在C语言中，有符号数和无符号数之间的运算有一些区别。以下是关于有符号数和无符号 数运算的一些要点：
1. 数据类型：有符号数使用带符号的数据类型，如int、short、long等；无符号数使用无 符号的数据类型，如unsigned int、unsigned short、unsigned long等。
算数运算指令
2. 减1指令（4条）
DEC A
；A-1→A,影响P标志
DEC Rn DEC direct DEC @Ri
；Rn-1→Rn ；(direct)-1→(direct) ；(Rn)-1→(Rn) 与加1指令类似。
4. 乘法指令（1条）
MUL AB
；A×B→BA
此指令的功能是将A和B中的两个8位无符号数相乘， 两数相乘结果一般比较大，因此最终结果用1个16位
然后再做10H + 30H + CY，结果是41H，所以 最终的结果是4107H。
设：1067H存在R1R0中， 30A0H存在R3R2中,计算 R1R0+R3R2，结果存在R5R4中。
MOV A,R0 ADD A,R2 MOV R4,A MOV A,R1 ADDC A,R3 MOV R5,A
；R0+R2→A和CY ；R1+R3+CY→A和CY
； (A)＋data→(A) ； (A)＋(direct )→(A) ； (A)＋(Rn)→(A) ； (A)＋(Ri)→(A)
用途：将A中的值与源操作数所指内容相加，最终结果 存在A中。
例1：ADD A，#47H ADD A，34H ADD A，R7 ADD A，@R0
例2： MOV A，#0AEH ;-82D
实验
ADD A，#81H ;-127D
验证 则执行完本条指令后，A中的值为2FH;
一下 C=1,AC=0,OV=1,P=1。 本例 对无符号数：结果为12FH;
带符号数运算：OV=1，有错。
（2）带进位位的加法指令（4条）
ADDC A，Rn
； A＋Rn＋CY→A
ADDC A，direct ； A＋(direct )＋CY→A
代数表达式带字母的整数与分数运算
代数表达式带字母的整数与分数运算代数表达式是数学中常见的一种形式，它由字母、数字和运算符号组成。
在代数表达式中，字母通常表示未知数或变量，可以是整数或分数。
对于带字母的整数和分数运算，我们需要了解一些基本概念和规则。
首先，我们来了解一下整数和分数的运算。
整数是没有小数部分的数字，可以是正数、负数或零。
分数是指两个整数之间的比值，由分子和分母表示。
整数和分数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在代数表达式中，字母表示未知数或变量，可以在表达式中进行运算。
下面我们以一个具体的例子来说明带字母的整数与分数运算。
假设我们有一个代数表达式：3x + 4/5 - 2y。
其中，x和y是未知数，3x表示3与x的乘积，4/5表示4除以5的结果。
我们需要对这个表达式进行计算。
首先，我们需要将相同字母的项合并。
在这个例子中，3x是一个项，2y是另一个项。
根据代数的加法规则，我们可以将它们相加。
所以，3x - 2y可以合并为一个项。
接下来，我们对各个项进行运算。
在这个例子中，3x表示3与x的乘积，我们无法得知具体的值。
所以，只能将它作为一个未知数或变量。
同样的道理，2y也表示2与y的乘积。
因此，整个表达式变成了一个包含未知数的式子。
在代数中，我们可以将字母项与系数相乘，得到一个更简化的形式。
在这个例子中，3和2是x和y的系数。
所以，可以将它们与未知数相乘，得到3x和2y的结果。
最后，我们将这些结果相互加减。
在这个例子中，3x + 4/5 - 2y就是最终的结果。
通过这个例子，我们可以看出，带字母的整数与分数运算需要按照一定的规则进行。
我们需要将相同字母的项合并，并将字母和系数相乘得到简化的结果。
最后，将这些结果进行加减运算，得到最终的答案。
希望通过上述的解释，你对代数表达式带字母的整数与分数运算有了更清楚的理解。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题来建立代数表达式，并进行相应的计算。
通过不断的练习，我们可以熟练掌握这些运算规则，提高自己的数学能力。
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[Pi+2]补 [[Pi]补+0]2-2 [[Pi]补+[X]补]2-2 [[Pi]补+[X]补]2-2 [[Pi]补+2[X]补]2-2 [[Pi]补+2[-X]补]2-2 [[Pi]补+[-X]补]2-2 [[Pi]补+[-X]补]2-2 [[Pi]补+0]2-2
2002/10/8
Copyright: JIANG Jian-Hui
(2)取 F1=2-Y0=2-0.1110=1.0010
X 1 X 0 ⋅ F1 0.1100 = = Y1 Y0 ⋅ F1 0.1111
(字长取4位)
X X1 ≈ ≈ X 1 = 0.1100 因为Y1趋近于1, 所以 Y Y1 为提高计算精度, 可以采用双倍字长乘法, 如取8位, 但最终结果仍取4位. 对本例 X/Y=0.1011
被乘数: X=0.0110011 乘 数: Y=-0.0110010 +2[-X]补 n=7 右移2位 +0 三符号位表示, 有 [X]补=000.0110011 右移2位 +[X]补 [-X]补=111.1001101 2[-X]补=111.0011010 [Y]补=111.1001110 右移2位 +[-X]补 部分积 000 0000000 111 0011010 111 0011010 111 1100110 000 0000000 111 1100110 111 1111001 000 0110011 000 0101100 000 0001011 111 1001101 111 1011000 111 1101100 乘数 附加位 1 1 1. 1 0 0 1 1 1 0 0
2002/10/8 Copyright: JIANG Jian-Hui
求乘积次数为3次
2002/10/8
[X ⋅ Y]补=0.10001111
Copyright: JIANG Jian-Hui
4×4位乘法器
0 Pk Yi Xj Yi Y2 0 Cr Xj + Pk+1 Cr-1 位1 2 3 4 X1Y1 X1Y2+X2Y1 5 Y1 0 8 X4Y4 X3Y4+X4Y3 X2Y4+X3Y3+X4Y2 6 7 Y3 0 X1 0 X2 0 X3 0 X4 Y4 0 P1 P2 P3 P4=P
定点补码两位乘法(3/6)
加法器
[X]补, [-X]补及其左斜一位(2[X]补, 2[-X]补)传送线路 右斜送线路(部分积右移两位) 移位寄存器(乘数右移两位) 使用3位符号位(防止[X]补左斜送一位溢出)
求部分积的次数和右移控制
乘数的数据位的位数n是奇数, 符号位为1位
求部分积次数: (n+1)/2, 最后一次右移1位
乘数 100111 011001 000110 110001
欠位C 0 1 0 0
定点补码两位乘法(1/6)
由Booth法, 部分积可以重新表示为 [P0]补=0 … [Pi+1]补= [[Pi]补 + (Yn-i+1-Yn-i)[X]补]2-1 [Pi+2]补= [[Pi+1]补 + (Yn-i-Yn-i-1)[X]补]2-1 = [[[Pi]补 + (Yn-i+1-Yn-i)[X]补]2-1 + (Yn-i-Yn-i-1)[X]补] 2-1 = [[[Pi]补 + (Yn-i+1-Yn-i)[X]补] + 2(Yn-i-Yn-i-1)[X]补] 2-2 = [[Pi]补 + (Yn-i+1+Yn-i-2Yn-i-1)[X]补] 2-2 附加位(初值=0)
初值
101010 111010 111101
1 1 0
求乘积次数为4/2+1=3次
2002/10/8
[X ⋅ Y]补=0.10001111
Copyright: JIANG Jian-Hui
定点补码两位乘法(6/6)
被乘数: X=-0.1100 乘 数: Y=-0.1011 n=4 三符号位表示, 有 [X]补=111.0011 [-X]补=000.1101 2[X]补=110.0110 2[-X]补=001.1010 乘数增加1位符号位: [Y]补=11.0101 +[X]补 右移2位 +[X]补 右移2位 +[-X]补 部分积 000 0000 111 0011 111 0011 111 1100 111 0011 110 1111 111 1011 000 1101 000 1000 乘数 附加位 1 1. 0 1 0 1 0 111101 111111 111111 0 0 0
定点补码两位乘法(5/6)
被乘数: X=-0.1100 乘 数: Y=-0.1011 n=4 三符号位表示, 有 [X]补=111.0011 [-X]补=000.1101 2[X]补=110.0110 2[-X]补=001.1010 乘数的最低位补0: [Y]补=1.01010 +2[-X]补 右移2位 +[-X]补 右移2位 +[-X]补 右移1位 部分积 000 0000 001 1010 001 1010 000 0110 000 1101 001 0011 000 0100 000 1101 001 0001 000 1000 乘数 附加位 1. 0 1 0 1 0 0
X=0.100111 Y=0.100111 双符号位表示, 有 [-X]补=11.011001 +[-X]补 右移2位 +2X 右移2位 +2X 右移2位 X ⋅ Y=0.010111110001
2002/10/8 Copyright: JIANG Jian-Hui
部分积 00. 000000 11. 011001 11. 011001 11. 110111 01. 001110 01. 000100 00. 010001 01. 001110 01. 011111 00. 010111
……
取Fi = 1 + δ , 则 Yi = Yi-1 ⋅ Fi =1 − δ i +1 当i增加时, Yi → 1, 误差为 δ 2
2i 2i 2i
2i +1
Fi的求法: Fi = 1 + δ = 2 − 1 + δ = 2 − (1 − δ ) = 2 − Yi −1
2i
2002/10/8
Copyright: JIANG Jian-Hui
用连续的乘法实现除法(2/2)
例: 设X=0.1000, Y=0.1011 ⇒ δ=1-Y=0.0101 (1)取 F0=1+δ=1.0101, 则 Y0= (1-δ)(1+δ) = 1-δ2 =0.1110
X 0 X ⋅ F0 0.1011 = = Y0 Y ⋅ F0 0.1110
(字长取4位)
带符号数的运算(II)
江建慧
同济大学
计算机科学与工程系
E-mail: jhjiangb@
2002/10/8 Copyright: JIANG Jian-Hui
内容提要
快速乘除法运算
定点双位乘法 阵列乘法器 用连续乘法完成除法
2002/10/8
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乘数的数据位的位数n是偶数, 符号位为1位
法一: 乘数最后一位补0 ⇒ 求部分积次数: ((n+1)+1))/2, 最后 一次右移1位 法二: 乘数增加1位符号位 ⇒ 求部分积次数: n/2+1, 最后一次 不右移 2002/10/8 Copyright: JIANG Jian-Hui
定点补码两位乘法(4/6)
定点原码两位乘法(1/3)
[X]原=XsX1X2…பைடு நூலகம்n, [Y]原=YsY1Y2…Yn-1Yn X × Yi-1Yi
= 0⋅X 1⋅X 2⋅X 3⋅X Yi-1Yi=00 Yi-1Yi=01 Yi-1Yi=10 Yi-1Yi=11 Pi+0, Pi+X, Pi+2X, Pi+3X, 右移2位 右移2位 右移2位 右移2位
初值
101 1110011 101 0111100 001 0101111 000 1010111
1 1 0 1
求乘积次数为 (1+7)/2=4次 右移1位
2002/10/8
[X ⋅ Y]补=1.11011000001010 ⇒ X ⋅ Y=-0.00100111110110
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Pi+3X=Pi+(-X+4X): 第一拍: -X, 第二拍: +4X (实际+X) Pi
2002/10/8
Pi X 00
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4X
X
定点原码两位乘法(2/3)
•C(触发器): 若本拍欠+4X, 则1 → C (下一拍+X), 否则0 → C
Yi-1 Yi 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 操 (Pi+0)2-2 (Pi+X)2-2 (Pi+X)2-2 (Pi+2X)2-2 (Pi+2X)2-2 (Pi-X)2-2 (Pi-X)2-2 (Pi+0)2-2 作 0→C 0→C 0→C 0→C 0→C 1→C 1→C 1→C 说 明
+0 +0+X=+X +X +X+X=+2X +2X +2X+X=+3X (本拍-X, 欠4X) +3X (本拍-X, 欠4X) +3X+X=+4X (本拍+0, 欠4X)