浅谈数学思想方法在解题中的应用
Ｊｌ
河北 理科教 学研 究
短 文 集锦
没 有完 全 开发 出来 ，而且 课本 例题 给 出的解
Ｙ＝√４ — 的几 何 ｘ
图 形 是 以 （ ，０ 为 ２ ） 圆 心 ，２为 半 径 的 半 圆 （ 图 １ ，而 Ｙ＝ 如 ） （ ０—１ 是 过 原 点 ）
实根 ，且 一正 一 负 即可 ．
（ 一口 一ｂ 一口 一１ （ ． 于 一口 ） （ ） ＝Ｏ ＊）关
ＥＮ ． 为 （ ６ ） 因 ２ ，一４ ）＝２不 整 除 １ ， 此 １因
２ ｍ一４ ６ 凡：１ １没 有 整 数 解 ， 就 是 说 数 列 也 ｛ 的项 中不存 在 某 些 项 是 数 列 ｛ ｝ ｂ｝ 口 中某
例题
（ 口一１ ）
设 关 于 的不 等 式 ￣４ ＞ ／ ｘ—
的 解 集 为 Ａ，且 Ａ ｃ （ ，２ ， ０ ）
Ｅ Ｎ ．３ 一４ ） １ ｍ 凡＝７有 一 特 解 为 ｍ ＝３ 凡 ，
＝
８ ．故 １ 一 ４ ＝ ７ 的 正 整 数 解 为 ３ ｍ 凡
， ＝０ １ ２ ３ ４ … ． ｔ ｔ ， ， ， ， ， 令 ＝ｋ一
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２ ０ 年第 ３ ０８ 期
河北理科教 学研究
短文集锦
的 切 整 解 ｆ：～－） ｔｏ ， 一 正 数 为 凡 ６ （９ ， ， ｔ： １
Ｌｍ ＝ ３ ＋ ５ｆ
１ ｋ＝１ ２ ３ ４ … ， １ 一４ ， ，，，， 则 ３ ｍ ｎ＝７的正 整
整 解 ｛＝ｋ３ｋ １，…因 ， 数 为 ｍ ＝９～ ：，３ ．此 凡 ５ｋ 一 ２， ２ ， 一 Ｌ
Ｃ ：ｂ ｆ ＝５ 凡＝５ ９ 一３ ＝４ ｋ一１ ， （ ） ５ ５ 同理 ，
Ｃ ＋ ＝４ （ ｆ １ ５ ｋ＋１ 一１ ） ５＝４ ｋ＋３ ， 以 Ｃ ＋ ５ Ｏ所 ｆ１
一
Ｃ ４， ５ 也就 是 说 ， 列 ｛ 是 以首 项 Ｃ 数 Ｃ｝ １
数 列 ｛ ｝ 口 中某 些 项 的 ４倍 ． 数 列 ｛ 的第 设 ｂ｝
浅谈 数学思想方法
在解题中的应用
１ 整体 思 想
≯
例题
设 口 ｂ为实 数 ，试证 关 于 的 ，
方程 （ 一口 （ 一口～ｂ ＝１ 两个 不 相 ） ） 有
等 的实根 ，且 一 根大 于 口，另一 根小 于 口 ． 分析 ：若 把 上 面题 目中方 程 看作是关 于
题中关 于 的方程必有两个不相等的实根，
且一根 大于 口 ，另一根小 于 口 ．
２ 数 形 结合 思想
等于数列 ｛ 的第 ｍ 项 的 ２倍 ， 口｝ 记为数列
｛ 的第 ｉ ， Ｃ ２ ＝ｂ ， Ｃ Ｃ｝ 项 则 ａ 即
２ １ 一４ ＝８ （３ ｍ ） 凡＋６ １ 一４ ３ ｍ 凡＝７ ｍ， （ 凡
２３ … ． ｔ ， ， 令 ＝ｋ一１ ５ ， ｎ一９ ＝３的 一 切 正 ｍ
数 为 ＝ 一 仿 面 方 可 得 解 Ｉ＝ １３ｋ一５．上 的 法 求 数 Ｌ ４ ｍ 凡
列 ｛ 的通项 公式 为 Ｃ ｃ｝ ＝１４ ０ ｎ一３ ． ４
参 考 文 献
１ 陈 贤才 ， 例谈 不 同数 列 中相 同 项 的求 法 ［］ 数 学 教 学 ， Ｊ．
２０ ０ ７年第 ７期 ．
＝
ｂ ＝３ ６ ０为 首 项 ， 差 为 ｄ＝４ 公 ５的 等 差 数
（ 东省佛 山 市顺 德 区容 桂 职 业 技 术 学校 广
陈华安 ５ ８０ ） ２ ３ ３
尊 ｌ ｌ
歹 ． 以， Ｕ所 Ｃ ＝Ｃ ＋（ １ 凡一１ ｄ＝３ ） ０＋（ 凡一１ ）
×４ ５＝４ 凡一１ 是 所求 的通项 公式 ． ５ ５ 例 ２ 已知两个 等 差 数 列 的通 项 公 式 分 别为 口 ＝１ 凡一４ ｂ ３ ， ＝８ ｎ＋６ 试 判 断数 列 ， ｛ 的 项 中是 否 存 在 某 些 项 是 数 列 ｛ ｝ ｂ｝ 口 中 某 些 项 的 ４倍 、 ？若 存 在 ， 出它们 构 成 ２倍 求 的数 列 的通项 公式 ； 不存 在说 明 理 由 ． 若 解 ： 数 列 ｛ 的项 中存 在 某 些 项 是 假设 ｂ｝
“
一
凡项 等 于数列 ｛ ｝ ％ 的第 ｍ 项 的 ４倍 ， 为数 记
歹 ｛ 的第 ｉ ， ０Ｃ ＝４ ＝ｂ ， Ｃ ＝ ＵＣ｝ 项 贝 ａ 即
４ １ 一 ） 凡＋６ ２ ｍ 一４ （３ ｍ ４ ＝８ ６ 凡＝１ （ 凡 １ ｍ，
口 的方 程 ，则 只要证 明此方 程 有 两个 ” 证 ：方 程 （ 一口 （ 一口一ｂ ＝１可化 为 ） ）
求 口的值 集 ．
ｆ ＝ ３＋ ４ｔ ｍ
｛
解 ：设 Ｙ＝ ｘ— √４
２ ｖ
＝
（ ≤ ≤４ ，则 ０ ）
３ ９ ・
４ｘ — ２ ，
最 （ 一２ ２＋ｙ ＝４ （ ｐ ） ２ ０≤
・
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２０ ０ ８年 第 ３期
／
一
法 不好 ，繁 琐 且 没 有 体 现 出 数 学 的 整 体 思 想 ．本题 的 目的是 利用 三 角形 内角 和解决 实 际 问题 ，利用 所学 知识 解决 现实 问题 ，让学 生 有成 就感 ，且 复 习 了方位 角 的概 念 ．如果 教 师 只是 就题讲 题 ，则丢 失太 多 ，更无 法使 学生 得 到体 验 的过程 ．本 题可 以从 不 同角度 继续 设 问 ， 比如 ：有 其 他 方 法 吗？进 一 步 ， “ 岛在 Ａ 岛的 北偏 东 ８￣ 向 ”这 个 条 件 ０方
些项的 ４ ． 倍
的方程 （ 的判 别 式 △ —４×１×（ ） ＊） ＝ｂ 一１
＝
ｂ＋ ４＞ ０所 以方 程 （＊） 有 两 个不 相 等 ， 必
的实根 ． 因为关 于 一口的方程 （ ＊）的两 根 之积等 于 一１ ，所 以两根一 正一 负 ，从 而 ， ＜０
假 设数 列 ｛ 的项 中存 在某 些项 是 数列 ｂ｝ ｛ 中某 些项 的 ２倍 ． 数列 ｛ 的第 凡项 口｝ 设 ｂ｝
浅谈数学结合思想在高中数学中的应用
浅谈数学结合思想在高中数学中的应用王仪〔摘要〕：本文主要论述如何用数与形结合的方法来解答高中的一些题目。
众所周知，数指的是数据和式子，形指的是我们所学过的几何图形（到高中阶段为止）。
如何把它们有机地结合起来是本文论述的重点。
数形结合，是求解数学问题的一种常用的思维方法，在教学中应该引导学生创设数形结合的情景，使学生形成由形思数、由数想形相互渗透的思想，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机结合起来，从而开拓学生的解题思路，发展形象思维能力。
本文试举例说明数形结合思想在解决数学问题中的作用。
一、“由数化形”根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
例1． 不等式>-x x 32 4的解集是解：分别画出函数x y 2=与4=y 的图象（图1）以看出满足不等式>-x x 32的解集是：}{41>-<x x 或。
〔评注〕：直观、简捷，若用代数法解，把不等式>-x x 324化为>-x x 32 4或<-x x 32-4来求解，则较为抽象繁琐。
例2.直线y=2x+m 与曲线y恰有一个公共点，则m 恰有两个公共点时，m 解：分别作出直线y=2x+m 29x y -=的图象（图4）可知，-3<x ≤3恰有一个公共点，此时-6≤53=m ；恰有两个公共点时，6≤53<m 。
〔评注〕：“动”是绝对的，“静”是相对的，这是自然规律，也是一条重要的数学思想。
通过平移直线，运用点到直线的距离公式，就得出所求的值。
例3：求函数y=84122+-++x x x 最小值分析：由题意可知，函数的定义域为R ，若从代数角度考虑，确实比较复杂；若借助两点间的距离公式，转化为几何问题，则非常容易解决解：()()()()222222202100841-+-+-+-=+-++=x x x x x y 令 A (0,1) ， B(2,2) ， P(X,0) Y则问题化为:在X 轴求一点P(X,0)使得B P A P +取最小值 Ａ关于Ｘ轴的对称点为Ａ′（０，－１） )(B P A P +∴min ＝B A '＝()()13120222=++-注：此题也可这样问：当x 取何值时y=84122+-++x x x 的值最小，X 的取值是直线A ′B 与x 轴的交点横坐标。
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用
浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用——从2003年全国数学高考题看数学解题中的“数形结合”思想数学是研究现实世界的空间形式和数学关系的一门学科。
数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维而产生的结果，是对数学事实与理论的本质认识。
数学思想是数学学科的精髓，是素质教育的要求，是数学素养的重要内容，是获取知识、发展思维能力的重要工具，同时也是数学解题中的良方。
“数”和“形”是数学研究的两个基本的对象。
是在数学解题中，通过建立坐标系，使数和形互相渗透，互相转化，以“数解形”与以“形助数”的思想方法得到极佳的效果，寻求解题中的技巧和捷径。
这就是数学思维中所谓的“数形结合”思想。
“数形结合”思想是高中数学众多数学思想中最重要的，也是最基本的思想之一，它在高中数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效思想。
数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重研究物体数量方面，具有精确性；形侧重研究物体形的方面，具有直观性。
数和形互相联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系，“数形结合”就是将两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题。
以“数解形”是从特殊到一般，从直观到抽象的发展过程，以“形助数”是利用图形的直观帮助探求解题思路。
通过已知条件和探求目标联想甚至是构造出一个恰当的图形，可利用图形探索解题思路，甚至有时能估计出结果。
历年来，数学高考中都十分重视考查学生对数形结合思想的运用。
2003年数学高考试题中对运用这种方法的考查体现得十分突出。
如试题中第1题、第2题、第3题、第5题、第6题、第8题、第11题、第12题、第15题、第16题、第17题、第18题、第19题、第20题、第21题等，都可以借助这种思想方法求解，在整个试题中占分值达108分。
可见必须充分重视“数形结合”方法的运用。
一、“数形结合”思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一，通过坐标系把“数”和“形”结合起来，利用函数图像研究函数的性质，由函数的解析式画出其几何图形，由此相互依托，可以解决许多问题。
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用1. 引言1.1 概述数形结合思想方法是一种通过将数学与几何图形相结合的方式来解决数学问题的方法。
在高中数学教学与解题中，数形结合思想方法被广泛运用，对学生的数学思维能力和解题能力有着显著的提升作用。
本文将从理论基础、教学应用、解题实际操作、优势局限性和案例分析等方面对数形结合思想方法进行详细介绍和分析，旨在探讨这种方法在高中数学教学和解题中的实际应用效果及其潜在局限性。
通过对数形结合思想方法的深入研究，可以为未来数学教学和研究提供新的思路和方法，促进学生对数学的深入理解和应用能力的提高。
【概述】1.2 研究背景随着科技的不断发展和社会的快速进步，教育也在不断改革和创新。
高中数学作为学生必修科目之一，承担着培养学生逻辑思维能力和数学素养的重要使命。
在传统的数学教学中，很多学生常常感到枯燥和无趣，难以理解和掌握抽象的概念和定理。
有必要寻找一种更加生动、直观且实用的教学方法来激发学生学习数学的兴趣和动力。
1.3 研究意义数范围等。
【研究意义】内容如下：研究数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用具有重要的实际意义。
数学教学是培养学生逻辑思维能力和问题解决能力的重要途径，而数形结合思想方法能够帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的数学学习兴趣和学习效果。
数形结合思想方法在解题中的应用能够帮助学生更加深入地理解问题的本质，提高他们的问题解决能力和创新思维水平。
研究数形结合思想方法的优势和局限性，有助于教师更好地指导学生应用该方法解决问题，并且能够帮助教育部门和相关机构调整和改进数学教学计划，推动数学教育的发展和进步。
深入研究数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用，对于提高我国数学教育质量，培养优秀数学人才，具有重要的现实意义和战略意义。
2. 正文2.1 数形结合思想方法的理论基础数,具体格式等。
数形结合思想方法的理论基础主要包括几何与代数的融合和数学建模的理论支持。
数学思想方法在解题中的应用
，
评 析 ： 解 法 应 用 配 方 法 巧 妙 地 化 解 了 涉 及 根 式 的 有 此 关运 算 ， 整 个 解题 过 程 非 常 简捷 ．若 建 立 方 程 来 解 ， 费 使 则 时费力， 并要 涉及 根 式运 算 ， 加 了解 题 的 难 度 ． 增 例 ３ （ 义市 ２０ ：遵 ０ ９年 ） 图 ， 形 纸 片 Ａ Ｃ 中 ，Ｂ ＝ 如 矩 ＢＤ Ａ １ｅ Ｂ ０ｍ， Ｃ＝８ｍ， ｅ Ｅ为 Ｂ Ｃ上 一 点 ， 纸 片 沿 Ａ 翻 折 ， 点 Ｅ 将 Ｅ 使 与 Ｃ 边 上 的点 Ｆ重 合 ． Ｄ （） 线段 Ｅ １求 Ｆ的 长 ；
一
）
Ｃ
Ｂ．１ ｍ ６ｃ
Ｄ． ｍ ２ ９ｃ
例 ２ （ 义 市 ２０ ：遵 ０ ９年 ） 图 ， 如 在 Ｒ △Ａ Ｃ 中 ， Ｃ：９ 。 Ａ ｔ Ｂ ０ ， Ｃ＋Ｂ Ｃ
＝
２ ， △ ＝１ 则 斜 边 Ａ 的 长 Ｓ ， Ｂ
． — —
首 先 给 出下 面 四 种 解 法 ： 解 法 一 ： 形 Ａ Ｃ 的 周 长 为 ２ ｅ ．Ａ 矩 ＢＤ ０ ｍ，． Ｂ＋Ｂ 。 Ｃ＝ ｅ ０ｍ， 设 Ａ ， Ｂ Ｂ＝ 则 Ｃ＝１ ，． ０一 － 正方 形 Ａ Ｅ ｏ Ｂ Ｆ和 Ａ Ｇ 的 面 积 和 ＤＨ
・课 程 改 革 与 创 新 ・
２ １ ． 断课 青 １１ ９ ３３ ｌ导 学
数 学 思想 方法 在 解题 中 的应 用
贵 州 省遵 义 市第 十 七 中学 王 敏 灵
数 学思 想 方 法 是 数 学 的精 髓 ， 数 学 知 识 、 学 技 能 的 是 数 本 质体 现 ．在 解 题 中 如 何 更 好 地 利 用 数 学 思 想 方 法 ， 短 缩 解 题 长 度 ， 高 解题 效 率 ， 得 我 们 关 注 ． 提 值 例 ｌ（ 义市 ２０ ：遵 ０ ８年 ） 图 ， 如 矩 形 Ａ Ｃ 的周 长 是 ２ ｃ 以 Ａ ＢＤ ０ ｍ， Ｂ、 Ａ 为边 向 外 作 正 方 形 Ａ Ｅ 和 正 Ｄ ＢＦ 方 形 Ａ Ｈ， 正 方 形 Ａ Ｅ 和 ＤＧ 若 ＢＦ Ａ Ｇ 的 面 积 之 和 为 ６ ｃ 那 么 ＤＨ ８ｍ ，
浅谈高中数学思想方法在解题中的重要性
观察2：看作关于y的二次方程(x视作参数)，变形为：2y2-(2x)y+(x2-2)=O，于是△=(2x)2-4×2(x2-2)≥0；
观察3：将原式变形为：(x-y)2+y2=2，于是y2≤2且(x-y)2≤2。
教学中，教师要引导学生全面地考查观察对象，并从不同的角度进行思考和分析，让学生通过观察，能在较复杂的图形和关系中全面反映事物的某种属性，也能指出在某种特定的条件下事物的特殊性质，从而培养学生观察的全面性。
二、多层次地观察，培养学生观察的深刻性
数学问题是抽象的、复杂的。观察者必须透过表面现象，抓住事物的本质进行观察。在数学解题教学中，教师要引导学生不仅审题时要观察，整个过程也要观察，甚至解答后还得观察，让学生学会多层次地观察问题。
四、以直觉思维方法为指导，培养学生观察的敏捷性
例如：观察幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x1/3，在同一坐标系内的图象，得出y=xn，(n>0)的性质。
观察1：从图中分布观察，第I象限都有图象、第II、III象限可能有图象，而第IV象限没有图象(为什么?引导学生思考)；若第I、II象限有图象时，图象关于y轴对称；若第I、III象限有图象时，图象关于原点对称。
能力伴随知识的丰富而不断提高、能力提高是加速知识积累的过程。没有一定量的、扎实的基础知识，便不会总结出行之有效的学习方法，从而失去“加速”的前提条件。“从基本概念作起——从数学语言的训练入手——从数学学科的基本特点出发——挖掘、展现知识的发生发现的过程——恰当地选择习题、课题并适当地让学生动手实践”，不失为一条培养学生数学能力的有效途径。
浅谈中考解题中数学思想的运用
２ 数形 结 合 思 想
著 名 数 学家 华 罗庚 先 生 说 ： 数 与 形 ， “ 本 分 利 用 函 数 的 概 念 、 图像 和 性 质 去 观 察 分 是 相 倚 依 ， 能 分 作 两 边 飞 ， 缺 形 时 少 直 析 并 建 立 相 应 的 函数 模 型 解 决 问 题 。 怎 数 说 ， 少数时难 入微 ， 形 结合百般 好 ， 形 数 隔 离 分 家 万 事 休 。 这 充 分 说 明 了数 形 结 合 思 ５ 整 体 思 想 ” 想 在 数 学 中的 重 要 性 。 形 结 合 思 想 ， 以 数 可 研 究 某 些 数 学 问 题 时 ， 往 不 是 以 问 往
［】刘 亦 春 ． 学 思 想 方 法 探 析 ［］ 济 南 职 １ 数 Ｊ． 业 学 院学 报 ， ０ ９４ ： ２ ４ ２ ０ （ ） ７ ～７ ．
中国科教创新导 刊
Ｃｈｎ Ｅ ｕ ａｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ Ｈ ｒ ｌ ｉａ ｄ ｃ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ ｅ ａｄ
９ ３
１ 转 化与化归思想
前 苏 联 数 学 家 雅 诺 夫 斯 卡 亚 在 回答 解
题 意 味 着 什 么 时 说 ： 解 题 ——就 是 意 味 着 “ 把 所 有要 解 决 的 问题 转化 为 已经 解 过 的 问 题 。 面 对 一 个 新 的 问题 ， 何 利 用 已 有 的 ” 如 知 识去 求解 。 对 一 个 抽 象 的 问题 ， 何 将 面 如 其形象化 、 体化 ， 就需要 转化 。 具 这 例 １ （０ ９ 福建 泉 州） ：２ ０ 年 在直 角坐标 系 中， 点Ａ（， ） 原点０ 对称点 为点 Ｃ 图 １。 ５ ０关于 的 （ ） （） １ 请直 接 穹 出 点 Ｃ 坐 标 ； 的 （） 点Ｂ ２ 若 在第 一象限 内 ， Ｏ Ｂ Ｏ Ａ， Ａ ＝ Ｂ 并且 点Ｂ关 于原 点Ｏ的对 称 点为 点 Ｄ。 ①试 判 断 四 边 形 Ａ Ｄ的形 状 ， 说 明 ＢＣ 并 理 由 ； 现 有 一 动 点 Ｐ从 Ｂ点 出发 ， 路 线 ② 沿 Ｂ Ａ— ＡＤ以每 秒 １ 单位 长 的速 度 向终 点 Ｄ 个 运 动 ， 一 动 点 Ｑ Ａ点 同时 出发 ， Ａｃ 另 从 沿 方 向 以 每 秒 ０ ４ 单 位 长 的 速 度 向 终 点 ｃ运 ．个 动， 当其 中一 个 动 点 到 达 终 点 时 ， 一 个 动 另 点也 随之 停 止 运动 ． 已知 ＡＢ＝６ 设 点Ｐ、 ， Ｑ的 运 动 时 间为 ｔ ， 运 动 过 程 中 ， 秒 在 当动 点 Ｑ在 以ＰＡ为 直 径 的 圆上 时 ， 求 ｔ 试 的值 。 解 ：１ｃ 一 ， ） （ ） （ ５ ０ （ ） 四边 形 ＡＢＣＤ为 矩 形 ， 由如 下 ： ２① 理 如 图 ， 已知 可 得 ： Ｏ、 在 同 一直 线 由 Ａ、 ｃ 上 ， ０Ａ＝ＯＣ； Ｏ、 且 Ｂ、 Ｄ在 同 一 直 线 上 ， 且 ＯＢ＝ＯＤ，‘四 边 形ＡＢＣＤ是 平 行 四 边 形 。 ． ． ’ ０ ＡＢ＝ Ｏ ＢＡ ，． Ｏ Ａ＝ ＯＢ ， ‘ ． 即
浅谈数学思想在解题中的运用
一
汹个 ，从『 ＋ 疗 ， ） 在区 问（， 内不 可能有两 个不同的实根 。 得 程 ’ ＝０ （ Ｏ） １
点 评 ： 的 同 学 看 见 这个 题 可 能 感 觉 到 无 从 下 手 ， 时 我 们 接 触 最 多 有 平 的是 处 理 二 次 方程 根 的 问题 ， 这 里 出 现 的 却 是 三 次 方 程 ， 是 我 们 可 以 而 于 考 虑 是 否 可 以 将 问题 转化 为 一些 我 们 熟 悉 的 问 题 。 由证 明 的 过 程 可 知 ， 我 们 将 寻 求 方程 根 的 问题 转 化 成 了寻 求 函数 单 调 区 间 ， 根 据 函数 在 区 间 端 再 点 处 的 值 的 具体 情 况 来 确 定 方 程 的 根 的 情 况 。 这 样 就 使 得 问 题 的 处 理 变 得 简 单 和 明 朗 了许 多 。
实数以后 ， 实数和数轴上 的点是一一 对应 的， 即每一 个实数 都可用 数轴上 的一个 点来表 示。反过来数轴上的每一个点都表示（ 下转第 ２ ５页）
５ ０３ ２ １ ０ ／ ０１
黟 零 簪 警 博
浅 析 班 主 任 工 作 评 价 的 问 题 与 对 策
◆蒋 超
（ 河北省唐【Ｊ Ｉ 市乐亭 县马头营镇北 港小学 ）
曰 ＋ ＢＣ：一 Ａ Ｃ
Ｃ ＳＢ ＝ Ｏ
２ ｐ ＋２ ａ ｒ ｐ
１ｏ０ 一 ０ Ｉ ） ， １ ， ＜ ＜ （ 【 ｏ １ ｏ 。” 。 ’
一
２ 疗． ＢＣ
２ ＡＢ ． Ｃ Ｂ 一 一ｐ ：
所 以
浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用
浅谈分类讨论思想在高中数学教学中的应用一、引言二、分类讨论思想的概念和特点分类讨论思想是指将问题进行分类归纳，再逐个分别讨论的一种思维方式。
它包括将一般问题分为特例问题，将问题细分为几个部分，细分后各个部分问题易于解决。
分类讨论思想可以帮助人们清晰地认识问题的本质，从而找到解决问题的方向，提高问题解决的效率。
（1）清晰明了：分类讨论思想可以将复杂的问题分解为若干简单的部分，每个部分更易于理解和处理。
（2）有利于系统化：分类讨论思想有利于系统地整合和总结问题，更加有助于理清问题的脉络。
（3）提高解决问题的效率：分类讨论思想可以通过分析各种情况，找到解决问题的最佳途径，提高解决问题的效率。
1. 分类讨论思想在解题方法中的应用数学解题本身就是一个分类讨论的过程，通过将问题分解为简单的部分，利用不同的方法和途径来解决问题。
在高中数学教学中，老师可以引导学生运用分类讨论思想，合理地划分解题的步骤和方法，从而更好地解决问题。
在高中数学教学中，许多概念和定理都是通过分类讨论的方式进行讲解和理解的。
在集合论中，老师可以引导学生从分类讨论的角度去理解交集、并集、差集、补集等概念；在函数的讲解中，也可以通过分类讨论的方式帮助学生更好地理解函数的性质和特点。
在高中数学中，很多问题都可以通过分类讨论的方式来解决。
例如在数列和数学归纳法中，根据数列的前n项的和的差异，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他数列，分别对每种数列进行分类讨论，从而更好地解决各类数列的问题。
四、分类讨论思想在高中数学教学中的实际案例1. 实例一：高中数学理论课程中的应用2. 实例二：高中数学解题技巧的教学3. 实例三：高中数学思维训练的案例在高中数学思维训练中，老师可以通过精心设计的案例，来培养学生的分类讨论思维能力。
通过给出一些挑战性较强的数学问题，鼓励学生从分类讨论的角度去解决问题，培养他们的逻辑思维和创造性思维能力。
1. 培养学生的逻辑思维能力2. 提升学生的解题能力通过分类讨论思想的引导和培养，能够提高学生的问题解决能力。
初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨
初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨初中数学分类讨论是指将问题中的数学对象按照特定的性质进行分析归类，然后讨论每一类对象的共同性质和特点，从而解决问题的一种思想方法。
分类讨论在初中数学中的应用非常广泛。
以解决方程为例，当我们遇到一个复杂的方程时，通常可以把方程中含有的不同类型的对象进行分类，然后分别讨论每一类对象的性质和特点，最后得到方程的解。
比如解方程2x+1=3x-5，我们可以分别讨论含有x的项和常数项，然后将它们放在方程两边进行分类讨论，最后得到x=6。
分类讨论还可以应用于整数运算、平面几何、概率等问题的解决中。
比如在整数运算中，我们经常遇到“偶数加偶数等于偶数”、“奇数加奇数等于偶数”等类型的问题，可以将问题中的整数按照奇偶性进行分类讨论，从而得到结果的奇偶性质。
在平面几何中，我们常常需要讨论三角形的种类和性质，可以将三角形按照边长、角度等进行分类讨论，从而得到三角形的共同性质。
在概率问题中，我们需要计算事件发生的可能性，通常可以将事件的样本空间按照特定的特点进行分类讨论，然后计算每一类事件的概率，再把它们加起来得到最终的结果。
分类讨论在解题中的应用有很多优点。
分类讨论可以把一个复杂的问题分解成多个简单的子问题，使得解决问题的过程更加清晰和有条理。
分类讨论可以提前了解问题中各种对象的共同性质和特点，为解题提供方向和思路。
分类讨论可以帮助我们把握问题中的关键信息，将问题的解决过程简化和加速。
分类讨论可以提高我们的逻辑思维和推理能力，培养我们从多个角度思考问题的能力。
分类讨论在解题中也存在一些限制。
分类讨论需要根据问题的特点和难度选取合适的分类，否则会使解题过程变得复杂和困难。
分类讨论需要对每一类对象的性质和特点有一定的了解，如果不了解或者了解不充分，可能会导致分类不准确或者遗漏一些重要的对象。
分类讨论在解决一些复杂的问题时，可能会导致解题过程冗长和繁琐，需要我们有足够的耐心和坚持。