2020安徽江南十校4月联考数学文试题答案解析
安徽省2020年江南十校4月综合素质测试理科数学试题及答案解析
19.（本小题满分 12 分）
一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得 2 分，反面向上得 1 分.
x cos x
4．函数 f (x)
在[ , ] 上的图象大致为
2x 2x
22
5．若(l+ax)(l+x)5 的展开式中 x2，y3 的系数之和为-10，则实数 a 的值为 A．-3 B．-2 C．-l D．1
6．已知 a=log3 2 ，b=ln3,c=2-0.99，则 a，b，c 的大小关系为
赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的
成绩，若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为
1
A．
5
1
B．
3
3
C．
5
2
D．
3
1
7
9．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2= ，S3 = ，则 a1a2…an 的最小值为
9
27
2
4 A．
D．2
11.已知 f (x) 1 2 cos2 (x )( 0) ．给出下列判断： 3
①若 f(xl)=l，f(x2)= -1，且|x1-x2|min=π，则ω=2;
②存在ω∈(0，2)，使得 f(x)的图象右移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称；
6
41 47 ③若 f(x)在[0，2π]上恰有 7 个零点，则ω的取值范围为[ , ]
安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学文试题
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
20．（12分）
已知函数 （ 为常数， ）．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 求实数 的取值范围．
21．（12分）
如图1，在等腰梯形ABCD中， ， ，O是CD中点，将 沿AO折起，使平面 平面ABCO．如图2所示，E，F点分别是AB，CD上的点，且 ．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则有（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
则 ，即 ，
∵ ，∴ ．
14．32【解析】由 知等比数列 的公比 ，
则由题知 且 ，
则 ，求得 ， ，
则 ．
15． 【解析】如图，取 ，中点P，连接MP，NP，
由题知MN与BC所成的角即为MN与PN所成的角，
又正方体 的棱长为1，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，则 ，
且 ，
故MN与BC所成角的正弦值为 ．
17．（10分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．（12分）已知点 ， ， ，点P为曲线C上任意一点，且满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l过点M，求直线l被曲线C截得的最短弦长及此时直线l的方程．
【精准解析】安徽省“江南十校”2020届高三下学期4月综合素质检测数学(理)试题.
限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】 分别比较复数 z 的实部、虚部与 0 的大小关系，可判断出 z 在复平面内对应的点所在的象限.
s 1 2 3 4 1 1 1 1 ,i 5 ， 5555 234
s 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 ,i 6 ，结束循环， 55555 2345
故输出 s=
1 (1 2 3 4 5) 5
1
1 2
1 3
1 4
1 5
3 137 60
43 60
，
故选：D.
A. 1 12
23
B.
60
【答案】D
【解析】
【分析】
根据框图，模拟程序运行，即可求出答案.
【详解】运行程序，
s 1 1,i 2 ， 5
s 1 2 1 1 ,i 3 ， 55 2
s 1 2 3 1 1 1 ,i 4 ， 555 23
11
C.
20
43
D.
60
-4-
s 1 2 3 4 1 1 1 1 ,i 5 ， 5555 234
6.已知 a log3 2 ， b ln 3 ， c 20.99 ，则 a, b, c 的大小关系为（
A. b c a
B. a b c
C. c a b
cba
【答案】A
） D.
-3-
【解析】
【分析】
根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.
【详解】因为 log3 所以 a 1 .
2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(有答案解析)
2020年安徽省江南十校高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，则A. B. C. D.3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连弧的两端各一个，导线接头忽略不计已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为A. 58厘米B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米4.函数在上的图象大致为A. B.C. D.5.在2020年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为1，2，3，，500，从中用系统抽样等距抽样的方法抽取20袋进行检测，如果编号为69的食品被抽到，则下列4个编号的食品中被抽到的是A. 9号B. 159号C. 354号D. 469号6.已知，则A. B. C. D.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.8.执行如图的程序框图，则输出S的值为A. B. C. D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数素数之和，也就是我们所谓的“”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为A. B. C. D.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则的面积为A. B. C. D.11.已知椭圆C：的焦距为2c，F为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B 两点，是等腰直角三角形．点P的坐标为，若记椭圆C上任一点Q到点P的距离的最大值为d，则的值为A. B. C. D.12.已知给出下列判断：若，，且，则；存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；若在上恰有7个零点，则的取值范围为若在上单调递增，则的取值范围为其中，判断正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．14.已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的右顶点到双曲线的渐近线的距离为______．15.在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在的平分线上，且，则向量的坐标为______．16.已知在三棱锥中，A，B，C，D四点均在以O为球心的球面上，若，，，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．18.移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及．某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了100名市民，得到如表格：年龄岁使用移动支付402010442不使用移动支1122410付画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄；完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系？年龄小于50岁年龄不小于50岁合计使用移动支付不使用移动支付合计附：，19.如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E为PD的中点．求证：平面PBC；求三棱锥的体积．20.已知函数．当时，讨论的单调区间；若对，成立，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：，若圆M：与抛物线C相交于A，B两点，且．求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C相切，斜率为的直线与抛物线C相交于D，E两点，直线，交于点Q，求证：．22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数若直，的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．求曲线C的普通方程；以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点Q为射线与曲线C的交点，求点Q的极径．23.已知函数．求不等式的解集；若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：因为弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为厘米．故选：B．弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，用弧长近似代替弦长，计算导线的长度即可．本题考查了扇形的弧长计算问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，，有，所以在上为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B，在上，，，，则，排除D；故选：C．根据题意，利用排除法分析：先分析函数的奇偶性，再分析在上，，可得答案．本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性，属于基础题．5.答案：D解析：解：由题意得抽样间隔为，因为69号是第三组被抽到，即，可得，则，所以被抽中的初始编号为19号，之后被抽到的编号均是25的整数倍与19的和，四个选项中，只有D选项满足．故选：D．根据系统抽样的抽样方法，抽样间隔为，所以若第一组被抽到的编号为b，则第n组被抽到的编号为，根据69被抽到，故，再计算4个编号的食品中被抽到的即可．本题考查了系统抽样，考查了数列的通项公式得的应用，属于基础题6.答案：C解析：解：由，得，．故选：C．由已知求得，再由，结合诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．7.答案：A解析：解：因为，，，故．故选：A．结合指数与对数函数的单调性分别确定a，b，c的范围即可比较．本题主要考查了利用指数函数与对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础试题．8.答案：D解析：解：由题意得．故选：D．根据循环体的算法功能可以看出，这是一个对数列求前五项和的程序框图，计算可求解．这是一道程序框图中的循环结构问题，考查了数列求和，需要弄清楚首项与项数，计算要准确．难度不大．9.答案：A解析：解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：，，，，，而加数全为质数的有，拆成的和式中，加数全部为质数的概率为．故选：A．利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：，，，即，，解得，，解得．，解得．则的面积．故选：B．由，利用正弦定理可得：，利用和差公式、诱导公式即可得出利用余弦定理及其，，即可得出三角形面积．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：解：由题意可知，，点A的坐标为，将其代入椭圆方程有，又，，解得或舍，，椭圆C的方程可化为．设点Q的坐标为，则，，，即，故选：C．先通过是等腰直角三角形，得出点，代入椭圆方程，并与结合，可得到b与c的关系，从而椭圆C的方程可化为，设点，利用两点间距离公式表示出，再结合配方法即可求得其最大值．本题考查椭圆的几何性质，两点间距离公式和配方法求最值，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：，周期．由条件知，周期为，，故错误；函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于y轴对称，则，，故对任意整数k，，故错误；由条件，得，，故正确；由条件，得，，又，，故正确．故选：B．先将化简，对于由条件知，周期为，然后求出；对于由条件可得，然后求出；对于由条件，得，然后求出的范围；对于由条件，得，然后求出的范围，再判断命题是否成立即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的图象变换，考查了转化思想和推理能力，属中档题．13.答案：解析：解：函数，可知，故切点为，，故，所以曲线在点处的切线方程为，即，故答案为：．根据题意，求出和，即可得解．本题考查了导数的几何意义，是基础题．14.答案：解析：解：设双曲线的焦距为2c，，，，则．故双曲线的右顶点坐标为，一条渐近线方程为．双曲线C的右顶点到双曲线的渐近线的距离为：．故答案为：．由已知结合离心率公式求得b，可得双曲线的一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的简单性质，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．15.答案：解析：解：由点C在的平分线上，所以存在，使；又，所以，解得，所以向量．故答案为：．由点C在的平分线上得存在，使，再由求出的值即可．本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题．16.答案：解析：解：设球的半径为R，过A作平面BDC，垂足为，连接，，；由可得；即为的外心，所以球心在射线AO上，在中，，，的外接圆半径满足：；；连接OB，则．故球O的表面积为：．故答案为：．先求出的外接圆半径并确定球心所在位置，再建立等量关系进一步求出球的半径．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.答案：解：数列是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得，由，，可得，解得或舍去，则数列的通项公式为；，，，两式相减可得，化简可得．解析：设等比数列的公比为q，，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：样本中使用移动支付的人数为80人，所以每段的频率分别为，，，，，；画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，如图所示；所以使用移动支付的平均年龄为；估计使用移动支付的平均年龄为岁；根据题意填写列联表如下，年龄小于50岁年龄不小于50岁合计使用移动支付701080不使用移动支付41620合计7426100计算，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．解析：根据题意画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，再计算使用移动支付的平均年龄；根据题意填写列联表，计算，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：证明：如图，取PC的中点F，，，，．，，且，四边形ABEF为平行四边形，得，而平面PBC，平面PBC，平面PBC；解：由知，平面PBC，点E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，．如图取AB的中点O，连接PO，，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD，为等腰直角三角形，，，．四边形ABCD为等腰梯形，且，，，梯形ABCD的高为1，则．三棱锥的体积为．解析：取PC的中点F，可得，，再由，，得到四边形ABEF为平行四边形，得，利用线面平行的判定可得平面PBC；由知，平面PBC，则点E到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，可得，再求出三棱锥的体积得答案．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：函数的定义域，，当即时，当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当即时，恒成立，故在上单调递增，当即时，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；综上可得，当时，函数的单调递增区间，，单调递减区间；当时，函数的单调递增区间，没有递减区间；当时，函数的单调递增区间，，单调递减区间；因为，成立，所以，成立，即恒成立，所以，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，且，所以当时，，即，函数单调递减，当时，，即，函数单调递增，故当时，取得最小值，所以．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，即可求解函数的单调性；由已知不等式恒成立，分离参数后转化为求解相应函数的范围，构造函数，结合导数可求．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．21.答案：解：因为抛物线C与圆M关于x轴对称，所以交点A，B关系x轴对称，设，，因为，所以，所以，交点或舍，所以，代入抛物线的方程可得，所以，所以抛物线的方程为：；证明：设直线的方程为，，即，联立方程，整理可得，，可得，所以直线的方程为：，设直线的方程为，点D，E的坐标分别为，，联立可得，即所以，所以．联立方程，整理可得，可得，，，所以，同理可得，所以，所以．解析：由于抛物线和圆的对称性可得A，B关于x轴对称，由弦长可得A的纵坐标，代入圆的方程求出A的横坐标，再将A点代入抛物线的方程，求出p的值，求出抛物线的方程；证明设的直线方程，与抛物线联立，由判别式等于0求出k的值，可得直线的方程，设直线的方程，设D，E的坐标，联立直线，的方程求出交点Q的坐标，求出的值，联立直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，两根之积，，的值及之积可证得．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，及求弦长的方法，属于中难题．22.答案：解：直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．联立两直线的方程消去参数k得：．设点由，可得：．代入曲线C，得，解得或舍去，故点Q的极径为．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，可化为，解得，无解；当时，可化为，解得，故；当时，可化为，解得，故．综上可得，的解集为；不等式在R上恒成立，可得，即，由的最小值为，此时；由，当且仅当时，取得等号，则，所以，即m的取值范围是．解析：由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，再求并集可得所求解集；由题意可得，结合二次函数的最值求法，以及绝对值不等式的性质可得所求最小值，进而得到m的范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。
安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题理含解析
安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知集合{}{}234,870A x x x B x x x =<+=-+<，则A B =（ ）A. (1,2)-B. (2,7)C. (2,)+∞D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合,A B 对应的不等式的解集，然后取交集即可.【详解】由题意，{}{}342A x x x x x =<+=<，{}{}287017B x x x x x =-+<=<<，所以{}12AB x x =<<.故选：D.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A. 58厘米 B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B .【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 4.函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A. B. C.D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 5.若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A. 3-B. 2-C. 1-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. b c a >>B. a b c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log 2log 32<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 7.执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A. 112-B.2360C.1120D.4360【答案】D 【解析】 【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A .15B.13C.35D.23【答案】A 【解析】 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 9.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A. 24()27B. 34()27C. 44()27D. 54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=.当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >， 则12n a a a 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ）D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 11.已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==.对于①，因为12min1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-， 因π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A. 12B. 2C.23D.163【答案】C【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCES PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PECE E =，所以BD ⊥平面PCE ，所以1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，所以2112PCES PC EF PE =⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯162=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.【答案】320x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】因为1()2f x x x'=+， 所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为13(1)y x -=-， 整理为320x y --=， 故答案为：320x y --=【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.14.若200,50x x ∃∈-<R 为假，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(],4-∞ 【解析】 【分析】由200,50x x ∃∈-<R 为假，可知2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤对任意实数x 2的最小值，令2min a ≤即可.【详解】因为200,50x x ∃∈-<R 为假，则其否定为真，即2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤x 恒成立，所以2min a ≤.24=≥，=即x =时，等号成立，所以4a ≤. 故答案为：(],4-∞.【点睛】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.15.在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =OC 的坐标为___________.【答案】(3,9)- 【解析】 【分析】点C 在AOB ∠的平分线可知OC 与向量||||OA OBOA OB +共线，利用线性运算求解即可. 【详解】因为点C 在AOB ∠的平线上，所以存在(0,)λ∈+∞使3439(0,1),,5555||||OA OB OC OA OB λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而||(OC =-= 可解得5λ=， 所以(3,9)OC =-， 故答案为：(3,9)-【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题. 16.已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.【答案】)4⎡⎣ 【解析】 【分析】连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，可得四边形PAMB 的面积为12PM AB PA MA ⋅=⋅，从而可得22441PA MA AB PM PM ⋅==-，进而求出PM 的取值范围，可求得AB 的范围.【详解】如图，连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，所以四边形PAMB 的面积为12PM AB ⋅，且四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以12PM AB PA MA ⋅=⋅，所以22442441PM PA MA AB PM PM PM-⋅===-，当PM 最小时，AB 最小，设点(,)P x y ，则2222(3)69429PM x y x x x x x =-+=-++=-+，所以当1x =时，min22PM=，则min 441228AB =-=， 当点(,)P x y 的横坐标x →+∞时，PM →+∞，此时4AB →， 因为AB 随着PM 的增大而增大，所以AB 的取值范围为)22,4⎡⎣. 故答案为：)22,4⎡⎣.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且πsin sin()3c B b C =-+. （1）求角C 的大小； （2）若3c a b =+=，求AB 边上的高.【答案】（1）2π3；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()3C C =-，展开并整理可得πsin()16C -=，从而可求出角C ；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的高为h ，可得ABC 的面积为11sin 22ab C ch =，从而可求出h . 【详解】（1）由题意，由正弦定理得πsin sin sinsin()3C B B C B =-. 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以πsin sin()3C C =-，展开得1sinsin 2C C C =-πsin()16C -=.因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，故ππ62C -=，即2π3C =.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2()7a b ab +-=，故2()7972ab a b =+-=-=，故ABC 的面积为12πsin sin 232ab C ==. 设AB 边上的高为h h =，故h =， 所以AB 边上的高为7. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,2AB CD CD AB AD ===，PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）149【解析】 【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF BF ，易得//,2EF CD CD EF =，进而可证明四边形ABFE 为平行四边形，即//AE BF ，从而可证明//AE 平面PBC ；（2）取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ ，易证PO ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，从而可知,,AB OQ OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面PAD 的法向量(,,)m x y z =，及平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，由cos ,m n m n m n=⋅⋅，可求得平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连接,EF BF .,PE DE PF CF ==，//,2EF CD CD EF ∴=， //,2AB CD CD AB =，//AB EF ∴，且EF AB =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴.又BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，//AE ∴平面PBC .（2）如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ .,,OA OB CQ DQ PA PB ===，,PO AB OQ AB ∴⊥⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，,,AB OQ OP ∴两两垂直.以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由,2PA PB AB ⊥=，可得1,2OA OB OP DQ CQ =====， 在等腰梯形ABCD 中，2,4,2AB CD AD ===1OQ =，11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(,1,)22O A B C P D E ∴---.则(0,1,1),(1,1,0)AP AD ==-，11(1,1,0),(,2,)22BC EB ==--，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则0m AP y z m AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)m =-. 设平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，则0112022n BC a b n EB a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1b =-，得(1,1,5)n =--.因为1155m n ⋅=-+=，3m =，33n =，所以cos ,59333m n m n m n==⋅⋅=⨯，所以平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值为255621419819⎛⎫-== ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.19.一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2n Q Q =. ①求2Q ；②当*N n ∈时，记111,2n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①34；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量X 的分布列和数学期望；（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得2Q ；②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，可知当3n ≥且*N n ∈时，121122n n n Q Q Q --=+，结合112n n n A Q Q +=+，可推出12111122n n n n n n A Q Q Q Q A ++++=+=+=，从而可证明数列{}n A 为常数列；结合1n n n B Q Q +=-，可推出121111()22n n n n n n B Q Q Q Q B ++++=-=--=-，进而可证明数列{}n B 为等比数列.【详解】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为12， 则4142444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C =====⨯===⨯=， 3444441111(7)(),(8)()24216P X C P X C ==⨯===⨯=.所以变量X 的分布列为：故变量X 的数学期望为11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113()224Q =+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，故3n ≥且*N n ∈时，有121122n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，211122n n n Q Q Q ++=+，所以1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111()222222n n n n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=+-=-+=--=-， 121311424B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，且过点73(,)24，点P 在第一象限，A 为左顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）22,⎭【解析】 【分析】（1）由题意得2222232791416c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，求出22,a b ，进而可得到椭圆E 的方程；（2）由（1）知点A ，B 坐标，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，易知102k <<，可得点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到关于y 的一元二次方程，结合根与系数关系，可用k 表示P 的坐标，进而由,,P B D 三点共线，即BD PB k k =，可用k 表示D 的坐标，再结合CD AB k k =，可建立方程，从而求出k 的值，即可求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意得22222791416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -， 由题意可设直线AP 的斜率为k ，则102k <<，所以直线AP 的方程为(2)y k x =+，则点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=. 设11(,)P x y ，则212164214k x k --⋅=+，所以2128214k x k -=-+， 所以2122824(2)1414k k y k k k -=-+=++，所以222824(,)1414k kP k k--++. 设D 点的坐标为0(,0)x ，因为点,,P B D 三点共线，所以BD PB k k =，即2202411148214kk k x k ++=--+，所以02412k x k -=+，所以24(,0)12k D k -+. 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即2124212k k k=---+，所以24410k k +-=，解得12k -=， 又102k <<，所以k =计算可得228214k k --=+2414k k =+，故点P的坐标为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题. 21.已知函数2()ln ()f x x x ax a =-+∈R .（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点. 【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由()0f x ≤恒成立，可得ln x a x x≤-恒成立，进而构造函数ln ()xg x x x =-，求导可判断出()g x 的单调性，进而可求出()g x 的最小值min ()g x ，令min ()a g x ≤即可；（2）由221()x ax f x x -++'=，可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，则200210x ax -++=，0012a x x =-，进而可得2000()ln 1f x x x =+-，即曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，进而只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，然后构造函数2()ln 1F x x x kx =+--，分0k ≤、0k <≤k >分别证明函数()F x 在(0,)+∞上有唯一的零点，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意，可知0x >，由()0f x ≤恒成立，可得ln xa x x≤-恒成立. 令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=. 令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， 0x，()0h x '∴>，2()1ln h x x x ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，(0,1)x ∴∈时，()0h x <；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即(0,1)x ∈时，()0g x '<；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，(0,1)x ∴∈时，()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，1x ∴=时，()g x 取最小值(1)1g =，1a ∴≤.（2）证明：由2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=，令22(1)x a T x x -=++，由1(0)0T =>，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，故()f x 存在唯一的极值点0x ，则200210x ax -++=，0012a x x =-， 22000000()ln ln 1f x x x ax x x ∴=-+=+-， ∴曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-.故只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解.令2()ln 1F x x x kx =+--，则2121()2x kx F x x k x x-+'=+-=，①当0k ≤时，()0F x '>恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.21,e e 1k k ≤≤，22(e )e e 1(1e )e 10k k k k k F k k k ∴=+--=-+-≤，(1)0F k =-≥，∴存在t 满足e 1k t ≤≤时，使得()0F t =.又()F x 单调递增，所以x t =为唯一解.②当0k <≤221x x y k -+=，满足280k ∆=-≤， 则()0F x '≥恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.(1)0F k =-<，333263(e )3e e 1(e e )0k F k =+--=+>-，∴存在3(1,e )t ∈使得()0F t =，又()F x 在(0,)+∞上单调递增，x t ∴=为唯一解.③当k >221x x y k -+=，满足280k ∆=->， 此时()0F x '=有两个不同的解12,x x ，不妨设12x x <，1212x x =⋅，1202x x ∴<<<， 列表如下：由表可知，当1x x =时，()F x 的极大值为21111()ln 1F x x x kx =+--.211210x kx -+=，2111()ln 2F x x x ∴=--，102x <<<，211ln 2x x ∴<+， 2111()ln 20F x x x ∴=--<，21()()0F x F x ∴<<.22222222(e )e e 1(e )e 1k k k k k F k k k k =+--=-+-.下面来证明2e 0k k ->，构造函数2()ln (m x x x x =->，则2121()2x m x x x x-'=-=，∴当)x ∈+∞时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，∴3()8ln 202m x m >=->，∴)x ∈+∞时，2ln x x >，∴2ln e e x x x >=，故2e 0k k ->成立.∴2222(e )(e )e 10k k k F k k =-+->， ∴存在22(,e )k t x ∈，使得()0F t =.又()F x 在2(,)x +∞单调递增，x t ∴=为唯一解.所以，对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，即过原点任意的直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C （1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=，4tan 032παα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠；（2）85【解析】 【分析】（1）将两直线化为普通方程，消去参数k ，即可求出曲线C 的普通方程； （2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>,求出43sin ,cos 55a a ==， 代入曲线C 可求解.【详解】（1）直线1l 的普通方程为()y k x =-,直线2l 的普通方程为2xy k-= 联立直线1l ,2l 方程消去参数k ,得曲线C 的普通方程为2(2)y y x -=- 整理得22(1)1(0)x y x +-=≠.（2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>, 由4tan 032a a π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭可得43sin ,cos 55a a == 代入曲线C 的方程可得2805ρρ-=， 解得8,05ρρ==（舍）， 所以点Q 的极径为85. 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x =+与()f x 的最小值，根据能同时成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.【详解】（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43x >-，无解；②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1; ③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2. 综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x << （2）由题意知22()m x x f x ++在R 上恒成立， 所以()2min 2()xmxx f x ++令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-又当21x -时，()f x 取得最小值，且min ()3f x = 又1[2,1]-∈-所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值. 所以()2min2()132x x f x ++=-+=所以2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.。
安徽省江南十校2020届高三语文下学期4月综合素质检测试题(含答案)
安徽省江南十校2020届高三语文下学期4月综合素质检测试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间150分钟。
2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1～3题。
科学与艺术是人类认识世界的两种有效方式，它们各具特点、相互补充、缺一不可，共同构成人类文明发展的动力和基石。
科学思维善于把复杂的世界概念化、明确化、单纯化。
科学家能够从纷繁多变的客观现象中去寻找规律、发现本质，归纳概念，变混沌为清晰，变偶然为必然。
艺术思维则善于把现实世界形象化、模糊化、丰富化，艺术家喜欢用感性的方式捕捉现实的生动瞬间和个性差异，描绘生活的点点滴滴、精彩多样，追求个人的精神世界和自我感受，变点滴为大海，变平淡为神奇。
科学思维和艺术思维认识世界的关系就好比数码相机成像过程，科学思维犹如把丰富多彩的景色编码成简单的数字符号，记录在相机储存卡里面，看上去非常的简单枯燥，但它记载着纷繁生动的客观对象；而艺术思维犹如把内存卡里的数码符号转化为图片的形象化过程，它会让无生命的数字转化成有生命活力的充满美感的图像。
在当今的艺术创作中，科学元素如影随形。
一是科学领域的很多研究方向，已经成为艺术创作的主题。
在科技时代，当代艺术家的视野有了很大的拓展，不论是航空航天、宇宙奥秘，还是基因细胞、微观世界；无论是机械动能，还是光学电子，这些都成了艺术家创作的题材和主题。
二是科技领域的研究成果已成为当今艺术关注的焦点。
2020高考数学 课后作业 4-2 平面向量基本定理及向量的坐标表示 新人教A版
2020高考数学人教A 版课后作业1.(文)(2020·合肥二模)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) [答案] A[解析] 依题意得a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，选A.(理)(2020·福建质检)已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴a ＋b 平行于y 轴，故选C.2．(2020·湖北八市调研)向量a ＝(13，tan α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α的正弦值为( )A.12B.19 C.22 D.32[答案] B[解析] 依题意得13×13－tan α×cos α＝0，即sin α＝19.3．(2020·皖南八校第二次联考)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52 B ．－52 C.25 D ．－25 [答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3) [答案] A[解析] 设点D (m ，n )，则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝42n －4＝3，解得m ＝2，n ＝72，∴D (2，72)，故选A.5．(2020·宁波十校联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．6．(2020·广东高考)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) [答案] B[解析] 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)，选B.7．(2020·海南质检)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)．8.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2，∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在λ、μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45μ＝35，∴AP →＝45AM →，即APPM ＝4:1.1.(文)(2020·辽宁文，3)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12[解析] ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k ) ∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5,2－k )＝10＋2－k ＝0 ∴k ＝12.(理)(2020·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 [答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.2．(2020·长沙二检)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b[答案] B[解析] 由已知可设c ＝xa ＋yb ⇒⎩⎪⎨⎪⎧4＝x －y2＝x ＋y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，故选B.3．(2020·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3×(1＋m )＝2×(2＋n )．又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.4．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17bB.27a ＋37bC.37a ＋17bD.47a ＋27b[解析] ∵B 、G 、F 三点共线，∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47μ＝67，∴AG →＝37a ＋17b .5．(文)已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12，则P 点坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53 [解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3－x 2y －3＝－1－y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13y ＝53，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53.(理)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝________.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α1＋λ＝13λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.6．已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． ∵四边形OABP 为平行四边形，∴OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．7．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．8．(文)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C 上任意一点，点N 在线段MA 上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，则由MA →＝2AN →得 (1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2xy 0＝3－2y ，代入(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.(理)已知⊙C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝9及定点A (－1,1)，M 是⊙C 上任意一点，点N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，动点N 的轨迹为C ，求曲线C 的方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，∴AM →＝2MN →或AM →＝－2MN →，AM →＝(x 0＋1，y 0－1)，MN →＝(x －x 0，y －y 0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝2x －x 0y 0－1＝2y －y 0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝－2x －x 0y 0－1＝－2y －y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝132x －1y 0＝132y ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋1y 0＝2y －1，代入圆方程中得(2x ＋5)2＋(2y －2)2＝81或 (2x ＋3)2＋(2y －2)2＝9.1．(2020·安徽江南十校联考)已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6) [答案] D[解析] 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a ·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得：(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，则n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，显然直线与圆相切时，z 取最大(小)值，∴2≤z ≤6，即2≤m ＋n ≤6.当取等号时有m ＝n ＝1或m ＝n ＝3，均不合题意，故选D.2．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6 [答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.3．(2020·河南许昌调研，2020·深圳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.4．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．[答案] 1:4[解析] 如图，AE →＝34AB →，AF →＝14AC →，在BC 上取点G ，使BG →＝14BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG →＝AE →＋AF →＝AM →，∴M 与G 重合， ∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝14. 5．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知c ＝2b ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，32，n ＝(1，sin A ＋3cos A )，且m 与n 共线．(1)求角A 的大小； (2)求a c的值． [解析] (1)∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1. ∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6.∴2A －π6＝π2.∴A ＝π3.(2)由余弦定理及c ＝2b 、A ＝π3得，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋c 2－2·c 2·c cos π3，a 2＝34c 2，∴a c ＝32.。
2020江南十校高三联考数学(文)试题及答案
2020年安徽省“江南十校”高三联考数 学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数22ii+-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．45 C ．35i D ．45i2、设集合{}ln ,1y y x x A ==>，集合{}24x y x B ==-，则()RAB =（ ）A ．∅B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()(),22,-∞-+∞3、设命题:p ()3,1a =，(),2b m =，且//a b ；命题:q 关于x 的函数()255x y m m a =--（0a >且1a ≠）是指数函数，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A ．0 B ．1 C ．212+D ．12+ 5、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32S =，66S =，则131415a a a ++的值是（ ） A ．18 B ．28 C ．32 D ．1446、若函数21x y a -=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点(),m n P ，且过点()Q 1,m n -的直线l 被圆C:222270x y x y ++--=截得的弦长为32，则直线l 的斜率为（ ） A ．1-或7- B ．7-或43 C ．0或43D ．0或1- 7、已知点()0,1A 、()2,3B -、()C 1,2-、()D 1,5，则向量C A 在D B 方向上的投影为（ ） AB．D． 8、已知函数()1sin 1cos 22f x a x a x ⎛⎫⎛=++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭，将()f x 图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若对任意R x ∈，都有()4g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．29、已知函数()()()()12010x x f x f x x ⎧⎪≥=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =++在R 上恰有两个相异零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．(),0-∞D ．(],1-∞ 10、在正方体1111CD C D AB -A B 中，①经过点A 垂直于平面1D A B 的直线也垂直于平面11D C B ； ②设O 为C A 和D B 的交点，则异面直线1AB 与1C O 所成的角是6π； ③若正方体的棱长为2，则经过棱11D C 、11C B 、1BB中点的正方体的截面面积为④若点P 是正方形CD AB 内（包括边界）的动点，点Q 在对角线1C A 上，且满足1Q C P ⊥A ，Q PA =P ，则点P 的轨迹是线段．以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、命题：“存在R x ∈0=”的否定是 ． 12、()30log 2sin 330213++= ．13、若实数x ，y 满足约束条件430260x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则21y x +的取值范围为 ．14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：O →()11,0A →()21,1A -→()30,1A -→()41,1A --→()51,0A -→()61,1A -→()70,1A →()81,1A →()92,1A →⋅⋅⋅→()122,2A -→⋅⋅⋅→()162,2A --→⋅⋅⋅→()202,2A -→⋅⋅⋅→()253,2A →⋅⋅⋅，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为 ．15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离”直线l ．在下列曲线中，“远离”直线:l 2y x =的曲线有 ．（写出所有符合条件的曲线C 的编号）①曲线C:250x y -+=；②曲线C:2924y x x =-+-；③曲线C:()2251x y +-=；④曲线C:1x y e =+； ⑤曲线C:ln 2y x =-．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()4sin cos 16f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()I 求函数()f x 的最小正周期；()II 在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，3a =，C 3S ∆AB =求22b c +的值．17、（本小题满分12分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，现已知成绩落在[]90,100的有5人．()I 求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；()II 根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数据的平均值）；()III 现要从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中共选2人参加某项座谈会，求2人来自于同一分数段的概率．18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22124n n n n n a a a a a ++++=-（n *∈N ），且11a =，24a =．()I 证明：数列{}n a 是等差数列；()II 设121n n n n b a a ++=，{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <．19、（本小题满分13分）如图，圆柱1OO 的底面圆半径为2，CD AB 为经过圆柱轴1OO 的截面，点P 在AB 上且13AP =APB ，Q 为D P 上任意一点．()I 求证：Q A ⊥PB ；()II 若直线D P 与面CD AB 所成的角为30，求圆柱1OO 的体积．20、（本小题满分13分）已知函数()()1ln 1a x f x a x x +=-+，其中0a ≥．()I 当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；()II 讨论()f x 在其定义域上的单调性．21、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，它的左焦点为()F ,0c -，直线1:l y x c =-与椭圆C 交于A ，B 两点，F ∆AB 的周长为3a ．()I 求椭圆C 的方程；()II 若点P 是直线2:l 3y x c =-上的一个动点，过点P 作椭圆C 的两条切线PM 、PN ，M 、N 分别为切点，求证：直线MN 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆22221x y a b +=（0a b >>）上一点()00,x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=）参考答案1.B ．22(2)342(2)(2)55i i i i i i ++==+--+，故选B 2.C ．{}{}0,22A x x B x x =>=-≤≤，{}=2x 2,R C B x x ><-或{}=2,R A C B x x ∴⋂> 故选C3.A ．命题:320,6p m m ⨯-==；命题2:55116q m m m --==-由得或，故选A4.A ．由程序框图可知，最后输出的215sinsin sin0444p πππ=+++=，故选A 5.C ．由等比数列性质可知363961291512,S S S S S S S S S ----，，，也成等比，易求出131415151232a a a S S ++=-=, 故选C6.A ．(22),(12)P Q ，，,设2(1),20l y k x kx y k -=--+-=：即，圆C ：22(1)(1)9x y ++-=，圆心-1,1C （）到l 的距离d ==2870k k ∴++=，17,k =--或故选A7.D ．(11),(32),AC BD =-=∴，，AC 在BD 方向上的投影为13AC BD BD -⨯==13=-,故选D 8. D ．1()sin cos cos 22f x a x a x x x =++=sin()2cos()33a x x ππ+++ ()()sin 2cos 3g x f x a x x π∴=-=+，由题意得(g x ）图象关于直线4x π=对称， ()(0),22g g a π∴=∴=，故选D9B ．()0()g x f x x a =⇔=--，当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，()(1)f x f x =+=，故把y =[)0,1上的部分向左平移1个单位得到()f x 在[)1,0-上的图象，再把()f x 在[)1,0-上的图象每次向左平移1个单位连续平移就得到()f x 在R 上的图象，再作出y x a =--的图象，由图象可得1a -<，1a >-，故选B10.D ．易证1//A BD 面11B D C 选，∴①正确；11//A B D C ，1OC D ∠就是异面直线1AB 与1OC 所成的角．1,BD OC BD CC ⊥⊥，BD ∴⊥面1OCC ，1BD OC ∴⊥，又11122OD BD C D ==，16OC D π∴∠=，∴②正确；设棱111111,,,,,B D B C BB AB AD DD 的中点分别为,,,,,E F G H M N ，则过点,,E F G 的正方形截面就是正六边形EFGHMN ，26S ==，∴③正确；连结1A P ，易证1AA AP ⊥，又1PQ A C ⊥，11,PA PQ PA PA ==，1111,Rt A PA Rt A PQ A A AQ ∴∆≅∆=，∴Q 为1A C 上定点，又PA PQ =，点P 在线段AQ 的中垂面上，∴点P 在AQ 的中垂面与正方形ABCD 的交线上，∴④正确；故选D11.对任意x R ∈0≠．12.52 原式15sin(30)12322=-++=-+=．13.4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21y x +可看作点()1,0P -与点(),x y 连线斜率的2倍，画出可行域，由4260x x y =⎧⎨+-=⎩ 得()4,2A -,由30260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,4B ,2,2,5PA PB k k =-=∴21yx +的取值范围为4,45⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 14.()1,9-以O 为中心，边长为2的正方形上共有格点18a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()1,1以O 为中心，边长为4的正方形上共有格点216a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()2,2以O 为中心，边长为6的正方形上共有格点324a =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为()3,3………以O 为中心，边长为2n 的正方形上共有格点8n a n =个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为(),n n ，由前n 个正方形上格点的总数123n S a a a =+++…81624n a +=+++ (88)83502n n n ++=≥得9n ≥．当9n =时，前9个正方形上格点的总数99(872)3602S +==，且蚂蚁在第9个正方形（边长为18）上爬过的最后一个格点为()3609,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第350个格点350A 坐标为()1,9-． 15.②③⑤ 对①：2512d ==，∴不合题意；对②：设直线1:2l y x b =+与曲线29:24C y x x =-+-相切，把2y x b =+代入2924y x x =-+-得2904x b ++=，由90404b ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭，得94b =-，此时直线1l 与l的距离91d ==>，符合题意；对③：圆心()0,5C到直线l的距离d ==∴圆C 上的点到l 距离的最小11>，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为2的切线的切点为()00,P x y ，'x y e =，00'2,x x x k y e =∴===0ln 2x ∴=，()ln 2,3P ∴，切线：()32ln 2y x -=-，即：232ln 20x y -+-=，∴切线与C的距离d ==，()ln 41,2∈，()3ln 41,2∴-∈，2,1d >∴<，不合题意；对⑤：设切点为()00,P x y ，'1y x=， 0'012,x x k y x =∴===012x ∴=，1,2ln 22P ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，1,d ∴==>符合题意。
安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题含答案
姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用前2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2log 2<=x x A ，{}4<=x x B ，=B A A ．)4,(-∞B ．)4,0(C ．)4,4(-D ．)0,4(-2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知863=+a a ，则=8S A ．28B ．30C ．32D ．363．已知函数1221)(+-=xx f ，则对任意实数x ，有A ．0)()(=+-x f x f B ．0)()(=--x f x f C ．2)()(=+-x f x f D ．2)()(=--x f x f 4．已知βα，都是锐角，71cos =α，1411)cos(-=+βα，求=βcos A ．21B ．9839C ．9859D ．98715．已知()nx 21+的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的4x 项的系数为A ．5B ．16C ．40D ．806．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为A ．23πB ．25πC ．π2D ．π7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为A ．133B ．51C ．41D ．1348．对于0>x ，0ln 12≥-x e xλλ恒成立，则正数λ的范围是A ．e1≥λB ．e21≥λC ．e 2≥λD ．e≥λ二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2020届安徽省“江南十校”高三下学期4月综合素质测试数学(文)试卷及解析
2020届安徽省“江南十校”高三下学期4月综合素质测试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题绐出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|31}A x x =+>,{|211}B x x =-<,则A B =（ ）A. (,1)-∞-B. (2,)+∞C. (1,2)-D. (2,1)- 【答案】D【解析】化简集合,由交集定义求解.【详解】因为{|2),{|1}A x x B x x =>-=<.所以}{|21A B x x ⋂--<< .故选：D .2.已知复数()22(z i i i i =++为虚数单位),则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】A【解析】 根据复数的乘法与乘方运算,即可得到z ,写出共轭复数即可.【详解】由()22(1)1z i i i i i i =++=+=-+. 则1z i =--.故选：A .3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A. 58厘米B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长, 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B .4.函数cos ()22x x x x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A. B. C.D.【答案】C【解析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号,即可求解. 【详解】由cos ()()22x x x x f x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B ；当02x π<<时,cos 0x >,cos ()220x xx x f x -∴=+＞,排除选项D , 故选：C .5.在2020年春节前夕,为了春节食品市场安全,确保人们过一个健康安全的春节,某市质检部。