北师大版初中八年级数学下册第一章复习(练习题)
第一章 三角形的证明
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固
难点：本章知识的综合性应用。
【学习过程】
1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。
2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。
3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。
4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。
5、线段垂直平分线的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的垂直平分线性质： 。
6、角的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的角平分线性质： 。
7、三角形全等的判定方法有： 。
8、30°锐角的直角三角形的性质： 。
9、方法总结：
（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；
5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。
1、填空：（1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB= 。
（2）直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是 。
（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。
（4）三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是________
2、已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF 。
求证：△ABC 是等腰三角形。
3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，已知△BCE 的周长为8，AC －E D
A B
B C
A E
D 图1 BC=2. 求AB 与BC 的长.
4、已知，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，且CA = CE ，点B 、D 、C 、E 在同一条直线上。
求证： AB + DB = DE
形成提升
1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____
2、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，则BC 的长为 。
3、如图2，在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于 。
图2
4、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。
等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.
5、如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，CF ⊥AF ，E 、F 是垂足，且BC = CD 。
求证：（1）△BCE ≌△DCF ； （2）DF = EB 。
C B A
D
E
F D A C。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题 (1)
2018年北师大版八年级数学下册1.1《等腰三角形》综合训练题一、选择题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )A．35° B．40° C．45° D．50°3. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等于( )A．36° B．54° C．18° D．64°4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD＝∠C D．BD＝CD5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C 的度数为( )A．35° B．45° C．55° D．60°6. 如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是( )A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°8. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD ＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°9. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A．6 B．3 C．2.5 D．210. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题11.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE ＝____．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.(1)若∠BAC＝80°，则∠BAD＝____；(2)若AB＋CD＝12 cm，则△ABC的周长为____ cm.13. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．14. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．三、解答题15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在边AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.17. 如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.18. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y 与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．19. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD全等的三角形，并证明你的结论；(2) 证明：BD＝2EC.参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.D7.C8.D9.C 10.C11.3 12.40°24 13.20°14.12°15.证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．16.证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．17.证明：如图，连接AC，AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD，∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．18.解：（1）如图所示，BD即为△ABC关于点B的伴侣分割线；（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分两种情况：①△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°-x，当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且90°≥y＞45°；②△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时180°-x-y=y-90°，当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时∠A=45°，∴y=135°-x．综上所述，当y=90°-x，或y=90°+x，或x=45°且y＞x且90°≥y＞45°，或或y=135°-x时，△ABC存在伴侣分割线．19.解：满足条件的所有图形如图所示：共5个．20.证明：（1）△ABD≌△ACF．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠FAC=∠BAC=90°，∵BD⊥CE，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）. （2）∵△ABD≌△ACF，∴BD=CF，∵BD⊥CE，∴∠BEF=∠BEC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠FBE=∠CBE，∵在△FBE和△CBE中，∴△FBE ≌△CBE （ASA ）， ∴EF=EC ， ∴CF=2CE ， ∴BD=2CE ．北师大版九年级数学上册期中测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(答案及解析)
北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°2．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则它的周长为（）A．9 B．12 C．15 D．12或153．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．37．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm²，则S阴影等于（）A．2cm²B．1cm²C．cm²D．cm²二．填空题（共5小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为______.14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为______．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为______．三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？北师大版八年级下册第一章三角形的证明测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．2．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．故此三角形的周长=8+8+4=20．故选C．3．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．4．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C5．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．6．如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3【解答】解：过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2，故选：A．7．如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，∴2∠1+∠C=180°，∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，∴3∠1﹣∠2=180°．故选B．8．如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°C．130°D．140°【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．9．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC=∠DEB，∵∠A=50°，∴∠C=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠CFE+∠FEC=180°﹣65°=115°，∴∠DEB+∠FEC=115°，∴∠DEF=180°﹣115°=65°．故选：C．10．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A．2cm2 B．1cm2 C．cm2 D．cm2【解答】解：根据三角形的面积公式，知：等底等高的两个三角形的面积相等．即有：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2．故选：B．二．填空题（共10小题）11．等边三角形是一个轴对称图形，它有 3 条对称轴【解答】解：等边三角形是轴对称图像，它有三个顶点，所以对应3条对称轴故答案为：312．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为69°或21°．【解答】解：分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．13．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为16或8．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，又知BD将三角形周长分为15和21两部分，∴可知分为两种情况①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．14．等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【解答】解：在△ABC中，AB=AC，①当∠A=70°时，则∠ABC=∠C=55°，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣55°=35°；②当∠C=70°时，∵BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣70°=20°；故答案为：35°或20°．15．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为32a ．【解答】解:∵△A1B1A2是等边三角形∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝B1A2＝A1A2∵∠MON=30°∴∠OB1A1=30°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角和∠OB1A1=∠B1A1A2－∠MON）∴OA1=A1B1（等边对等角）∴OA1=A1A2=a同理，根据∠MON=∠OB2A2，可得：A2A3=A2B2=OA1＋A1A2=2A1A2=2a同理，可推出：A3A4=2A2A3=4a同理，可推出：A4A5=2A3A4=8a同理，可推出：A5A6=2A4A5=16a同理，可推出：A6A7=2A5A6=32a 即题目所求另外我们不难发现，第n个（△A1B1A2为第一个）等边三角形的边长为AnAn+1=(2^n-1)a 注：2的n-1次方倍的a三．解答题（共8小题）16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴∠DBA=∠CAB，∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．另外一种证法：证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD∴∠D=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△BAC中∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）∴AD=BC，在△AOD和△BOC中，∴△AOD≌△BOC（AAS），∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形．18．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．19．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE，∴△BDE是等腰三角形．21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．23．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE=DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD=CD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（3）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．。
北师大版八年级数学下册第一章特殊的平行四边形专项测试题-附答案解析(一)
矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，
它们之间的关系是： ．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、已知矩形的一条对角线长 ，则另一条对角线的一半是 .
【答案】4
【解析】解：
根据矩形的对角线相等，另一条对角线长 ，则另一条对角线的一半是 .
故正确答案是 .
14、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ，转动这个四边形，使它形状改变，当 时，如图 ，测得 ，当 时，如图 ， （ ）
A.
B.
C.
D.
15、如图所示，设 表示平行四边形， 表示矩形， 表示菱形， 表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故正确答案选：四条边相等的四边形是正方形.
3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.
A. 对角线互相垂直
B. 对角线平分每一组对角
C. 对角线互相平分
6、 在 中， ， 是边 上一点， 交 于点 ， 交 于点 ，若要使四边形 是菱形，只需添加条件( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：只需添加
，
四边形 是平行四边形
四边形 是菱形
故正确答案是：
7、过矩形 的四个顶点作对角线 、 的平行线分別交于 、 、 、 四点，则四边形 是（).
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在格点上，结论错误的是（ ）A ．AB=25B ．∠BAC=90°C ．ABC S 10=D ．点A 到直线BC 的距离是22．如图，点A 为MON ∠的角平分线上一点，过A 点作一条直线分别与MON ∠的边OM ON 、交于,B C 两点，点P 为BC 的中点，过P 作BC 的垂线交OA 的延长线于点D ，连接DB DC 、，若130MON ∠=︒，则BDC ∠=（ ）A ．70︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．如图，在ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(,0)m 、(0,2)和(5,3)，则当ABC 的周长最小时，m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，已知等边,2ABC AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD CF DE BC =⊥，于点,E FG BC ⊥于,G DF 交BC 于点P ，则下列结论中：①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．一定正确的是（ ）A ．①B ．②④C ．①②③D ．①②④ 6．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE =90°，则①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②OD 平分∠COA ；③若∠BOE =56°40'，则∠COE =61°40'；④∠BOE =2∠COD ．结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ．5a =，12b =，13c =B ．6a =，8b =，10c =C ．7a =，24b =，25c =D ．8a =，12b =，15c =8．如图所示，在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果1AP =，则AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，AC 的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ，若100BAC ∠=︒，则EAG ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°11．如图，在ABC 中，ED //BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点F 、G ，若2FG =，6ED =，则DB EC +的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9 12．如图，每个小正方形的边长都相等，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒二、填空题13．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．14．如图在第一个△A1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为_____________．15．如图，已知△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，有以下四个结论：①点P 在∠BAC 的平分线上；②△BRP ≌△QSP ；③QP ∥AR ；④△PQC 是等边三角形，其中正确的有______个．16．如图，在ABC 中，,45,,AB AC BAC AD BE =∠=︒是ABC 的高，点Р是直线AD 上一动点，当PC PE +最小时，则BPC ∠为______度．17．如图，在第1个1A BC 中，36B ∠=︒，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，…按此做法继续下去，第2021个三角形的底角度数是________________．18．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，下面四个结论：①∠AFE=∠AEF ；②AD 垂直平分EF ；③BFDCED S BF S CE ∆∆=；④EF//BC ；一定成立的结论是______（请将正确结论的序号填在横线上）19．如图，30,AOB OC ︒∠=为AOB ∠内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，6OP=，点,M N 分别为,OA OB 边上动点，则MNP △周长的最小值为______．20．如图，点M 是等边△ABC 的边BC 的中点，AB =4，射线CD BC ⊥于点C ，点P是射线CD 上一动点，点N 是线段AB 上一动点，当MP +NP 的值最小时，则AN 长为____．三、解答题21．在平面直角坐标系中，坐标轴上的三个点(),0A a ，()0,B b ，(),0C c ()0,0a b <>满足()210c a b -++=，F 为射线BC 上的一个动点．（1）c 的值为______，ABO ∠的度数为______．（2）如图()a ，若AF BC ⊥，且交OB 于点E ，求证：OE OC =．（3）如图()b ，若点F 运动到BC 的延长线上，且2FBO FAO ∠=∠，O 在AF 的垂直平分线上，求ABF 的面积．22．如图，已知：AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝BD ，过点B 作BE ⊥AC ，与AD 交于点F ． （1）求证：AC ∥BD ；（2）若AE ＝2，AB ＝3，BF ＝355，求△ABF 中AB 边上的高．23．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，延长CA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连接AE，BD，交点为O．（1）求证：OB=OA；（2）连接OC，若AC=OC，则∠D的度数是度．25．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE．（1）求证BD＝CE；（2）若AC+CD＝2，则四边形ACDE的面积为．26．如图，点D是△ABC内部的一点，BD＝CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF．（1）求证：∠DBE＝∠DCF；（2）求证：△ABC为等腰三角形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：AB=22242025+==，故选项A 正确，不符合题意；∵AC ＝22125+=，BC 2234255=+==，∴22252025AC AB BC +=+==，∴△ACB 是直角三角形，∴∠CAB=90°，故选项B 正确，不符合题意；S △ABC 111442421345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选项C 错误，符合题意； 点A 到直线BC 的距离25525AC AB BC ===，故选项D 正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 222+=a b c ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．2．C解析：C【分析】过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，求出∠EDF ，根据角平分线性质求出DE=DF ，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD ，证Rt △DEB ≌Rt △DFC ，求出∠EDB=∠CDF ，推出∠BDC=∠EDF ，即可得出答案．【详解】解：如图：过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，∵∠MON=130°，∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，∵DE ⊥OM ，DF ⊥ON ，OD 平分∠MON ，∴DE=DF ，∵P 为BC 中点，DP ⊥BC ，∴BD=CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB=∠CDF，∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．C解析：C【分析】做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时ABC的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH= B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB' A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m 的值为2．故选：C ．【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A 点位置是解题关键．4．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP 为底，②OP 为腰，讨论点P 的个数，再求出m 的值即可.【详解】解：由点P （m ，0）知点P 在x 轴上，分两种情况：当OP 为底时，以A 点为圆心OA 为半径画圆，交x 轴于点P ，以OA=AP 为腰，点P 的坐标为m=2×3=6，当OP 为腰时，以O 为圆心，OA 长为半径，画圆交x 轴于两点P ，点P 在y 轴左侧或右侧，OP=OA=222313+=，∴m=13±，点P 在y 轴右侧，以OA 为底，作AO 的垂直平分线交x 轴与P ，过A 作AB ⊥x 轴，OP=AP=()2223m +-，则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A 、O 为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．5．D【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE ＝CG ，DE ＝FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP ＝∠GFP ，EP ＝PG ，得出PC ＋BE ＝PE ，就可以得出PE ＝1，从而得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°．∵∠ACB ＝∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠FGC ＝∠DEP ＝90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△FGC （AAS ），BE ＝CG ，DE ＝FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE ＝PG ，∠EDP ＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG ＝PC ＋CG ，∴PE ＝PC ＋BE ．∵PE ＋PC ＋BE ＝2，∴PE ＝1，故④正确．∴正确的有：①②④．故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．6．B解析：B【分析】由平角的定义与90DOE ∠=︒，即可求得AOD ∠与∠BOE 互为余角；又由角平分线的定义，可得22AOE COE AOC ∠=∠=∠，即可求得2BOE COD ∠=∠，若5640BOE ∠=︒'，则6140COE ∠=︒'．解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠，90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠，故②不正确，④正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'． 故③正确；∴①③④正确．故答案为：B ．【点睛】此题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目中要注意各角之间的关系，解题时要仔细识图．7．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．C解析：C【分析】由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，得到AP=BP=AE=PE=1，CE=BE=2，即可求出AC 的长度．解：∵在ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的角平分线，∴30ABP DBP BAP ∠=∠=∠=︒，∴1AP BP ==，∵90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，∴60EAP AEP ∠=∠=︒，∴△APE 是等边三角形，∴AP=BP=AE=PE=1，∵30DBP C ∠=∠=︒，∴CE=BE=1+1=2，∴213AC CE AE =+=+=；故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．9．B解析：B【分析】由作法知EF 是AC 的垂直平分线，可得AP=CP ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，由点D 是底边BC 的中点，可BD=CD =6，由AB=AC ，可得AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8即可．【详解】解：连结PA ，由作法知EF 是AC 的垂直平分线，∴AP=CP ，∴PC+PD=PA+PD ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，∵点D 是底边BC 的中点，∴BD=CD=11BC=12=622⨯， ∵AB=AC ，∴AD BC ⊥，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：8=，（PC+PD ）最小=（PA+PD ）最小=AD=8．故选择：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．10．B解析：B【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可．【详解】解：∵∠BAC＝100°，∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，同理：∠GAC＝∠C，∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°，∴∠EAG＝100°−80°＝20°，故选B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．11．B解析：B【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG＝EB，DF＝DC即可求得结果．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，∴BD＝DF，CE＝GE，∵FG＝2，ED＝6，∴DB＋EC＝DF＋GE＝ED−FG＝6−2＝4，故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．12．A解析：A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数．【详解】解：如图，连结AC，由题意可得：2222221310,125,125,AB AC BC+==+==+=∴AC=BC，222AB AC BC=+，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故选A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．二、填空题13．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B作BE⊥AC1于点E∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题解析：3834(1)nn+【分析】首先求出S1，S2，S3，…，探究规律后即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=12， ∴22221312BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴1113312AC B S ∆=⨯=由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆====133248⨯=， 222211121233B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， …， 所以111n AC B n S S n ∆=+， ∵111331224AC B S ∆=⨯⨯=， ∴3n n S = 33n 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．14．【分析】根据等腰三角形的性质可求出△CBA1的底角的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出△DA1A2的底角的度数同理可求出△EA2A3△FA3A4…底角的度数再找出其规律即可得出第n 个 解析：11702n -︒⨯【分析】根据等腰三角形的性质，可求出 △CBA 1 的底角的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可求出 △DA 1A 2 的底角的度数．同理可求出 △EA 2A 3 、 △FA 3A 4 …底角的度数．再找出其规律即可得出第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数．【详解】在 △CBA 1 中， ∠B=40° ， A 1B=CB ，∴ ∠BA 1C=∠BCA 1=（180°−40°)÷2=70° ，又∵ A 1A 2=A 1D ， ∠BA 1C 是 △A 1A 2D 的外角．∴ ∠DA 2A 1=∠A 2DA 1=12∠BA 1C=12×70° ． 同理可得：∠EA 3A 2=∠A 3EA 2=12∠DA 2A 1=12×12×70°=(12)2×70° ， ∠FA 4A 3=∠A 4FA 3=12∠EA 3A 2=(12)3×70°， 综上可知规律：第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数是：112n -×70° ， 故答案为 70° ×112n -． 【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质，求出 ∠DA 2A 1 、 ∠EA 3A 2 、 ∠FA 4A 3 的度数，找出其规律是解答本题的关键． 15．4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质角平分线的性质可得所以内错角相等所以所以为等边三角形所以可判断③④正确再根据①③④的结论易证②正确【详解】点P 在的平分线上故①正确；A解析：4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得APQ QAP ∠=∠，QAP BAP ∠=∠，所以APQ BAP ∠=∠，内错角相等，所以//QP AR ，所以60BAC C ∠=∠=︒，PCQ △为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确．【详解】,,PR PS PR AB PS AC =⊥⊥90PRB PSQ ∴∠=∠=︒∴点P 在BAC ∠的平分线上，故①正确；PQ AQ =APQ QAP ∴∠=∠AP 平分BAC ∠QAP BAP ∴∠=∠APQ BAP ∴∠=∠//QP AR ∴，故③正确； ABC 为等边三角形60B C BAC ∴∠=∠=∠=︒//QP AR60BAC PQS ∴∠=∠=︒PQC ∴是等边三角形，故④正确；∴在BRP △和QSP 中B PQS PRB PSQ PR PS ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BRP △≌QSP 故②正确综上所述①②③④都正确故答案为：4.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质定理，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】连接PC 只要证明PB=PC 即可推出PC+PE=PB+PE 可得PBE 共线时PC+PE 的值最小最小值为BE 的长度从而结合等腰三角形的性质求解【详解】解：如图连接PC ∵AB=ACAD ⊥BC ∴BD=解析：135【分析】连接PC ，只要证明PB=PC ，即可推出PC+PE=PB+PE ，可得P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小，最小值为BE 的长度，从而结合等腰三角形的性质求解．【详解】解：如图，连接PC ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∴PB=PC ，∴PC+PE=PB+PE ，又∵BE ⊥AC∴P 、B 、E 共线时，PC+PE 的值最小为BE 的长，∵AB=AC ，∠BAC=45°，BE ⊥AC∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=45°∴∠PBC=∠PCB=67.5°-45°=22.5°∴∠BPC=180°-22.5°×2=135°故答案为：135．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和分别求出的度数找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数【详解】解：在中是的外角同理得第个三角形中以为顶点的 解析：20201722⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭︒【分析】 先根据等腰三角形的性质求得1BA C ∠的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出213243DA A EA A FA A ∠∠∠、、的度数，找出规律即可得到第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数．【详解】解：在1CBA 中，136,B A B CB ∠=︒=1180722B BAC ︒-∠∴∠==︒ 1211,A A AD BA C =∠是12A A D 的外角，211117222DA A BAC ∴∠=∠=⨯︒ 同理得2321()722EA A ∠=⨯︒， 3431()722FA A ∠=⨯︒ ∴第n 个三角形中以n A 为顶点的底角度数是11()722n -⨯︒ ∴第2021个三角形的底角度数是：20201()722⨯︒，故答案为：20201()722⨯︒．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．18．①②③【分析】由三角形ABC 中∠BAC 的平分线交BC 于点D 过点D 作DE ⊥ACDF ⊥AB 根据角平分线的性质可得DE=DF ∠ADE=∠ADF 然后根据全等三角形的性质可得AF=AE 继而证得①∠AFE=∠A解析：①②③【分析】由三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，根据角平分线的性质，可得DE=DF ，∠ADE=∠ADF ，然后根据全等三角形的性质，可得AF=AE ，继而证得①∠AFE=∠AEF ；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD 垂直平分EF ；然后利用三角形的面积公式求解即可得③BFD CED S BF S CE ∆∆=，EF 平行BC 不能判断，于是可得④ ． 【详解】解：①∵三角形ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴∠ADE=∠ADF ，DF=DE ，∵AD=AD ，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ），∴AF=AE ，∴∠AFE=∠AEF ，故正确；②∵DF=DE ，AF=AE ，∴点D 在EF 的垂直平分线上，点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ，故正确；③∵12BFD DF S BF ∆=•，S △CDE =12CE DE •，DF=DE ， ∴BFD CED S BF S CE∆∆=；故正确； ④∵∠EFD 不一定等于∠BDF ，∴EF 不一定平行BC ．故错误．故答案为：①②③．【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19．6【分析】作点P 关于OA 的对称点P1点P 关于OB 的对称点P2连结P1P2与OA 的交点即为点M 与OB 的交点即为点N 则此时MN 符合题意求出线段P1P2的长即可【详解】解：作点P 关于OA 的对称点P1点P 关解析：6【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可．【详解】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM＋MN＋PN＝P1M＋MN＋P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故答案是：6．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．20．1【分析】作点M关于直线CD的对称点G过G作于N交CD与P再根据等边三角形的性质计算即可；【详解】作点M关于直线CD的对称点G过G作于N交CD与P∵△ABC是等边三角形AB=4∴AB=BC=AC=4解析：1【分析】⊥于N，交CD与P，再根据等边三角形作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN AB的性质计算即可；【详解】⊥于N，交CD与P，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN AB∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=BC=AC=4，30G ∠=︒，∵M 是BC 的中点，∴2BM CM CG ===，∴6BG =，在Rt △BNG 中，30G ∠=︒，6BG =，∴3BN =，∴431AN =-=；故答案是1．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（1）1； 45°；（2）见解析；（3）94【分析】（1）根据非负数的性质可求得c 的值，得到OA=OB ，即可求得∠ABO 的度数；（2）证明△AOE ≅△BOC 即可证明OE OC =； （3）连结OF ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为点G ，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OF ，证明∠OBC=30°，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】（1）∵()210c a b -++=，∴10c -=，0a b +=，∴1c =，∵A(a ，0)， B(0，b)，∴OA=OB ，∵∠AOB=90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，故答案为：1；45°；（2）∵AF BC ⊥，∴90AOE BFE ∠=∠=︒，∵AEO BEF ∠=∠，∴OBC OAE ∠=∠，由（1）得：OA=OB ，在AOE △和BOC 中， AO BO AOE BOC OBC OAE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴AOE BOC ≅△△(AAS)，∴OE OC =；（3）连结OF ，过点F 作FG x ⊥轴，垂足为点G ，∵O 在AF 的垂直平分线上∴AO OF =，∴OAF OFA x ∠=∠=，∴2GOF OAF OFA x ∠=∠+∠=∵22FBO FAO x ∠=∠=，OB OA OF ==，∴2OFC OBF x ∠=∠=，∴4BCO COF OFB x ∠=∠+∠=，∵90OBC OCB ∠+∠=︒，∴690x =，解得15x =，∴230OBC GOF x ∠=∠==︒，∵1c =，∴C(1，0)，1OC =，∵90BOC ∠=°，30OBC ∠=︒，∴22BC OC ==，22OB BC OC 3=-= ∴3OA OF OB === 同理可得：32FG =， ∴31AC AO OC =+= ∴)11119331333222244ABF ACB ACF S S S AC FG AC OB =+=⋅+⋅==+△△△ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）见解析；（2）△ABF 中AB 边上的高为255 【分析】 （1）根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠CAD ＝∠BDA ，根据平行线的判定定理证明即可；（2）作FG ⊥AB 于G ，根据勾股定理求出BE ，进而求出FE ，根据角平分线的性质定理解答即可．【详解】（1）证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵AB ＝BD ，∴∠BDA ＝∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BDA ，∴AC ∥BD ；（2）解：作FG ⊥AB 于G ，在Rt △ABE 中，AE ＝2，AB ＝3，∴BE 2222325AB AE =-=-=，∴FE ＝BE ﹣BF 3255555=-=， ∵AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AC ，FG ⊥AB ，∴FG ＝FE 255=，即△ABF 中AB 边上的高为255．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．23．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，则PI=PG ；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA平分∠BAD且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a；∴ EH=52a；∴ EA=AH-EH=52a．②延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，由①得GH=95a，EG=710a；∴ EH=1110a；∴ EA=3910a．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．24．（1）见解析；（2）22.5【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出△ABD≌△BAE，进而得出OB=OA；（2）根据全等三角形的判定和性质以及三角形内角和解答．【详解】证明：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠BAC=45°．∴∠EBA=∠DAB=135°．在△ABD与△BAE中，135BE AD EBA DAB AB AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BAE （SAS ），∴∠DBA=∠EAB ，∴OB=OA ；（2）由（1）得：OB=OA ，在△OBC 与△OAC 中，OB OA OC OC BC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OAC （SSS ），∴∠OCB=∠OCA=12∠ACB=12×90°=45°， ∵AC=BC ，AC=OC ，∴OC=BC ， ∴∠CBO=∠COB 1801804567.522OCB ︒︒︒︒-∠-===， 在Rt △BCD 中，∠D=180°-90°-∠CBO=22.5°．故答案为：22.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．25．（1）详见解析；（23【分析】（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．【详解】证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，∴EM ＝EN ，∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，∴EM ＝EN 3∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形1122AC EM CD EN =⨯+⨯ ()1132322EM AC CD =+== 3【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．26．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据HL 可证明Rt △DBE ≌Rt △DCF ；（2）由全等三角形的性质得出∠EBD ＝∠FCD ，由等腰三角形的性质得出∠DBC ＝∠DCB ，则可得出结论．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，BE CF BD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ）；（2）∵Rt △DBE ≌Rt △DCF ，∴∠EBD ＝∠FCD ，∵BD ＝CD ，∴∠DBC ＝∠DCB ，∴∠DBC ＋∠EBD ＝∠DCB ＋∠FCD ，即∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )
【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】第一章：三角形的证明一.选择题：（每小题3分共30分）1．等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为（ ）A ．4B ．9C ．4或9D ．大于5且小于132．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为（ ）A ．6aB ．9aC ．12aD ．15a3．如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm4．如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为（ ）6．如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD ＝CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF ＝5,则OD+OE 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．157．如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F ．若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．118．如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥．设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是（ ）A ．3180αβ+=︒B ．2180αβ+=︒C ．3180αβ-=︒D ．290αβ-=︒9．如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC ∠=︒；（3）DN DE =；（4）BAM CAN ≅△△．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH ．若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c ．则下列结论中正确的个数有（ ）①∠BAC=60°；②△AGH 是等边三角形；③AD 与GH 互相垂直平分；④()12ABC S a b c =+△． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题:（每小题3分共15分）11．在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________．12．如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC ＝4,BC ＝10,△ABC 的面积是14,则DE ＝_____．13．如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______．14．如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______．15．如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．三.解答题:(共55分)16．(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒．BD ,CE 相交于点F ．BD ,AC 相交于点M ．(1)求证：BD CE =；(2)求BFC ∠的度数．17．(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△； (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长．18．(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD ＝BC,AE ＝BF,∠A ＝∠B,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证∠E ＝∠F ；(2)若CE ＝10,DG ＝4,求 EG 的长．19．(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标．(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系．20．(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．连接AD,作∠ADE ＝40°,DE 交线段AC 于E ．(1)当∠BDA ＝115°时,∠EDC ＝______,∠DEC ＝_____；(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由；(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA 的度数．若不可以,请说明理由．22．(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标；(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标．。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
北师大版八年级数学 下册第一章：三角形的证明 期末复习题
北师大版八年级数学下册第一章：三角形的证明期末复习题一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HL B．ASA C．SAS D．AAS2．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(A)A．35° B．40°C．45°D．50°3．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为(A)A．6 B．5 C．4 D．34．在△ABC中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，∠C＝30°，则AD的长为(C)A. 3B. 2 C．1 D．25．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为(B)A．12 B．9 C．8 D．66．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对7．若等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是(B)A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为(C)A．5 B．4 C．3 D．2e10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF ＝BE ＋CF ； ②∠BOC ＝90°＋12∠A ；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是(A) A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二、填空题(每小题3分，共21分)11．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点．若∠B ＝50°，则∠DAC 的度数是40°． 12．如果三角形三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，那么它最短边上的高为8cm. 13．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC 交AC 于点E.若DE ＝7，AE ＝5，则AC 的长为12．14．如图，在锐角△ABC 中，直线PL 为BC 的垂直平分线，射线BM 为∠ABC 的平分线，PL 与BM 相交于点P.若∠PBC ＝30°，∠ACP ＝20°，则∠A 的度数为70°．15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，直线m 经过点C ，分别过点A ，B 作直线m 的垂线，垂足分别为点E ，F.若AE ＝3，AC ＝5，则线段EF 的长为1或7．16．已知△ABC ≌△DEF ，BC ＝EF ＝6 cm ，△ABC 的面积为18 cm 2，则EF 边上的高的长是6cm.17．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为三、解答题(共69分)18．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证： (1)BD ＝CE ；(2)∠M ＝∠N.【解答】 证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE. (2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM. 由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C. 在△ACM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAN ， ∴△ACM ≌△ABN(ASA)．19．如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上．求证： (1)AC 平分∠BAD ；(2)BE ＝DE.证明：(1)在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)．∴∠BAC ＝∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)得，∠BAE ＝∠DAE.在△BAE 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE(SAS)．∴BE ＝DE.20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连接AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F.(1)若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数； (2)求证：FB ＝FE.解：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠ABC. ∵∠C ＝36°，∵BD ＝CD ，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.∴∠BAD ＝90°－36°＝54°. (2)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC.∵EF ∥BC ， ∴∠FEB ＝∠CBE. ∴∠FBE ＝∠FEB. ∴FB ＝FE.21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F.请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)，并加以证明．解：AD ＝AF. 证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵DE ⊥BC ，∴∠BEF ＝∠DEC ＝90°.∴∠BFE ＋∠B ＝90°，∠D ＋∠C ＝90°. ∴∠BFE ＝∠D. ∵∠BFE ＝∠DFA ，∴AD＝AF.22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°.∵D为AC的中点，∴DA＝DC.又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．∴∠A＝∠C.∴∠A＝∠B＝∠C.∴△ABC是等边三角形．23．按照有关规定：距高铁轨道200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．如图是一个小区平面示意图，长方形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C，D 是直线MN上的两点，点C，A，B在同一直线上，且DA⊥CA，CD＝2AD.小王看中了①号楼A 单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由． 解：过点A 作AG ⊥MN ，垂足为G. ∵CD ＝2AD ＝440，DA ⊥CA ， ∴AC ＝4402－2202＝220 3. ∵S △ACD ＝12AC ·AD ＝12CD ·AG ，∴AG ＝2203×220440＝1103≈191＜200.∴A 单元用户会受到影响，售楼人员的话不可信．24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E. (1)求证：△ABD 是等腰三角形； (2)若∠A ＝40°，求∠DBC 的度数；(3)若AE ＝6，△CBD 的周长为20，求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ， ∴DB ＝DA.∴△ABD 是等腰三角形．(2)∵△ABD 是等腰三角形，∠A ＝40°， ∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∠ABC ＝∠C ＝(180°－40°)÷2＝70°. ∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. (3)∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，AE ＝6，∴AB＝2AE＝12，BD＝AD.∵△CBD的周长为20，∴BD＋CD＋BC＝20.∴AC＋BC＝20.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.25．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；(2)如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC；(3)猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请说明理由．解：(1)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°. 又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBO＋∠OBC＝∠ECO＋∠OCB，即∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.(3)不一定成立．理由：如图3，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠DBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.如图4，可知AB≠AC.∴若点O在△ABC的外部时，AB＝AC不一定成立．。
北师大版八年级数学下册第一章(证明)练习题
北师大版八年级数学下册第一章（证明）练习题1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是 ( )A. B. C. D. 2.列命题中，其逆命题不成立的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形C ．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等3. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A ．12B ．15C ．12或15D ．184.如图，在△ABC 中，BC ＝5，∠A ＝80°，∠B ＝70°，把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置，若CF ＝4，则下列结论中错误的是( )A. BE ＝4B. ∠F ＝30°C. AB ∥DED. DF ＝55．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是( )A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第4题 第5题 第6题 第7题 第8题6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则下列选项中AP 长不可 能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．77．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .若∠A ＝60°，∠ABD ＝24°，则∠ACF 的度数为( )A ．48°B ．36°C ．30°D ．24°8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ， 则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A. 1 B ．2 C ．3 D ．49．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．①③④⑤B．①③⑤C．①③④⑤⑥D．①③④10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为()A．6 B．12 C．32 D．6411．一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为.12．在用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，首先应该假设这个三角形中_ _.13．有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有．(填序号)14. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是，这是一个(填“真”或“假”)命题．15．已知点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(2,1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(−2,1)．则点B的对应点的坐标为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为.第16题第17题第18题第19题第20题17．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=________．18．如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF 的面积为___ __．19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________．20．如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),点C在第一象限内,且∠CAB=90°,BC=6.将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=√3x-2√3上时,线段BC扫过的面积为.21. 如图所示，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长是1，把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到△A′B′C′．（1）在坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标．（2）求出△A′B′C′的面积.22.如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，我国某岛位于O点，我国渔政船在点B处发现有一艘不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地O点，我国渔政船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国渔政船行驶的航程BC的长.23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F. 求证：△AEF为等腰三角形.24．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)25. 如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，且交OE于点F.（1）求证：OE是CD的垂直平分线；（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．26.在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．27. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．28．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE；(2)若CD＝2，求AD的长．29. 已知:如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC 边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P 的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?。
(完整版)北师大版八年级下册数学第一章测试题
2017—2018 学年度第二学期阶段性测试题八年级下册数学（第一章）出题人：分数：注意事项1.本试卷满分150 分，考试时间120 分钟。
2.请将密封线内的项目填写清楚。
3.请在密封线外答题。
题号一二三总分得分一、选择题（每小题3 分，共36 分）1、已知△ABC 的三边长分别是 6cm、8cm、10cm，则△ABC 的面积是（）A.24cm2B.30cm2C.40cm2D.48cm22、已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝3、面积相等的两个三角形（）A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对4、△ABC中，AB = AC，BD 平分∠ABC交AC 边于点D，∠BDC= 75°，则∠A的度数为（）A 35°B 40°C 70°D 110°5、如图，△ABC中，AC＝BC，直线l 经过点C，则 ( )A.l 垂直ABB.l 平分ABC.l 垂直平分ABD.不能确定6、已知△ABC中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AC 于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm 和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为 ( ) A.24 cm 和12 cm B.16 cm 和22 cm C.20 cm 和16 cm D.22 cm 和 16 cm7、下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠FC．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF8、下列命题中正确的是( )A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等9、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是( )A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的10、△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，∠BDC=75°，则∠A的度数为（）A. 35°B. 40°C. 70°D. 110°11、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C，那么补充下列一个B条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）DA E CA. AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC 图 5图图12、如图，AD∥BC，∠ABC的平分线 BP 与∠BAD的平分线 AP 相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2，则两平行线 AD 与BC 间的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题。
北师大版初中八年级数学下册单元复习课 第一章勾 股 定 理
(2)∵在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10， 如图，作 CD⊥AB，垂足为 D， S△ABC＝12 ×AC×BC＝12 AB×CD， ∴CD＝4.8， h(AB)＝AB－CD， h(AB)＝10－4.8＝5.2.
4．(2021·信阳质检)如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2 ＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角 边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在 如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四 个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α， 则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示) ①a2＋b2＋c2＋d2＝____________； ②b与c的关系为____________，a与d的关系为____________．
2.(2020·苏州中考)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD ＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝___1___．
3．(2021·百色期中)我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与 这条边上的高之差．如图①，在△ABC中，CD为AB边上的高，AB的“线高 差”等于AB－CD，记为h(AB).
解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2＋b2＝c2. (或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．) ②在题图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方 形面积的和． 即 c2＝12 ab×4＋(b－a)2，化简得：a2＋b2＝c2. 在题图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形 化 (1)将问题转化为三角形，利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题． (2)借助方程思想，通过列方程解决问题． 2．善于寻找直角三角形 (1)题目中含有直角三角形，可直接利用． (2)通过作辅助线构造直角三角形，解决问题．