高等数学A(习题精讲) - 深圳大学数学与计算科学学院
深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲
（2006年10月重印版）
课程编号23140058
课程名称高等数学A习题精讲课程类别专业选修
教材名称高等数学复习思考题制订人赵冰
审核人阮晓青
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
二、教学内容
三、课时分配及其它
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
高等数学经济数学习题集含答案
《高等数学（经济数学1）》课程习题 集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（）
A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π
高等数学部分参考答案-深圳大学
高等数学部分（下）参考答案 1. 315y x = y =1()33x y Inx =-; 4. 122c c y x x =+ ; 5. 2 y x = ; 6. A ; 7. C ; 8. A ; 9. 1 ()x f x e - =; 10. ' 2(1)24x F F e +=; 22(2)x x F e e -=-; 11. ''(1)sin y y x -=; 1 (2)sin 2 x x y e e x -=-- ; 12. 2 20d y y dt +=; 2y x =22 (1)21x y +=; (2)s =; 14. 2 75124 y x x =- ; 15. 2(1)y x =-; 16. 1.05()km ; 17. A ; 18. 2; 19. 245x y z +-=; 20. '2g g -; 21. 3 ; 22. 2(2)edx e dy ++; 23. A ; 24. B ; 25.D ; 26. A ; 27. 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f xy e f -+-+++; 28. 1()1x z x z x f f e dx z -++++1()1 y z y z y f f e dy z -+-+; 29. 22x y +; 30. 极大值点(9,3)--,极大值-3,极小值点(9,3),极小值3. 31. '222x y y x e -+=, 32()3 x x y c e -=+; 32. 最大值(1,0)3f ±=,最小值 (0,2)2f ±=-; 33. '2()y y f x x ; 34. (与32题同); 35. g =(5,5)-和(5,5)-; 36. 21 20 (,)x x dx f x y dy ? ?; 37. 2 a ; 38. B ; 39. D ; 40. D ; 41. A ; 42. 1 e -; 42()323ππ-; 44. (1)2e ππ+; 45. 1632 39 π-; 46. 38; 47. 51 83 π-; 48. ()F t 在(0,)+∞内单调增加; 49. 32 π; 50. 3 (2R π; 51. c a d b -; 53. π-; 54.
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案
A C 1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 MC AM = MD BM = =+=+=∴ AD 与BC 平行且相等，结论得证． 3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M 的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M 的单位向量． 解： k j 2 i 21+--=M M 2)21()02()34(222=-+-+-= 方向余弦：21cos - =α，2 2cos -=β，21cos =γ． 方向角：32πα= ，43πβ=，3 πγ=． 平行于向量21M M 的单位向量是k 2 1 j 22i 21± ． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量． 解：因为p n 3m 4a -+= k 15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++= 所以在x 轴上的投影为13a =x ． 在y 轴上的分向量为j 7．
1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M 垂直的单位向量． 解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ， 设所求向量为),,(c b a b = ，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a 因为32M M b ⊥ ，所以 022=+-c b ， 因为1||=b ，所以12 22=++c b a 求得17 3± =a ，172 =b ，172 =c 故所求单位向量为)172 ,17 2,17 3 ( ±=b e 方法二：所求向量)4,4,6(2 201422221--±=--±=?±=k j i M M M M b 故)172 ,172,173(161636)4,4,6(|| ±=++--±==b b e b 2．设{}=3,5,-2 a ，{}=2,1,4 b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直． 解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλ k )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++= 因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=?=+-． 3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ； (2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？ 解：(方法一) 设},,{z y x a a a a = ，},,{z y x b b b b = ， 由题意已知12 2 2 =++z y x a a a ，42 2 2 =++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a }2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++= (1) 已知n m ⊥，
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
(word完整版)高等数学习题集及答案
第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】
深圳大学工商管理专业本科人才培养方案
深圳大学工商管理专业本科人才培养方案 一、培养目标 本专业培养德智体美全面发展，具有现代人文素质和科学素养，富有创新精神和实践能力，在具备管理、经济、法律等方面的知识和能力，熟练运用计算机技术和一门外国语的基础上，系统掌握现代工商管理理论和方法，能在工商企事业单位、金融机构、政府等从事管理、教育和科研方面工作的宽口径、厚基础、高素质、强能力的复合型专门人才。 二、培养要求 本专业实施通才教育与专才教育相结合的培养方案。学生主要学习管理学、经济学及工商管理的基本理论和基本知识，接受企业和公共部门工商管理实践领域的方法与技术方面的基本训练，得到管理技能、管理思维和管理研究方法的锻炼，具有分析和解决企业和公共部门工商管理问题的基本能力。 通过课程学习和实践训练，学生应获得以下的知识和能力： 1. 掌握管理学、经济学及工商管理的基本理论和基本知识； 2. 掌握工商管理实践领域的基本方法和技术； 3. 熟悉我国企业管理的有关方针、政策和法规以及国际企业管理的惯例与规则； 4. 具备较强的语言与文字表达、人际沟通以及分析和解决企业管理工作问题的基本能力； 5. 了解现代信息技术，熟练运用计算机、网络及工商管理相关的常用办公、统计、企业信息管理软件； 6. 了解本学科理论和实践前沿与发展动态； 7. 掌握文献检索、资料查询的基本方法，掌握工商管理常用定性、定量研究分析方法，具有初步研究和实际工作能力。 8. 英语应达到国家要求的标准水平，并有一定的听、说、读、写、译的能力。。 三、主干学科 管理学、经济学 四、主要课程 本专业科学地设置了校、院、专业三级“进阶式”课程体系，它们分别为综合必修（校级）、专业必须（院、专业）和综合选修（专业）课程，体现了工商管理专业对学生基本知识和能力、管理技能、管理思维和管理研究方法四大方面的培养要求。课程计划遵循学科知识构成的逻辑关系，学生循序渐进完成必修和选修课程的学习。 综合必修课程是学校统一开设的基本知识和能力的课程，体现了对学生进行素质教育的宽口径的要求，主要有人文素质、体能素质、计算机基本能力培养等方面的课程。详见附表一。 本专业学生需要修读管理学院统一开设的学科平台课程，这些课程属于管理学入门的基础课程，包含在专业必修课程计划中，包括：高等数学、管理学原理、宏观经济学、微观经济学、概率论、统计学原理、管理信息系统等。详见附表二。 综合必修课程和学科平台课程主要集中在学生入学的前四个学期。 从第三学期开始，本专业学生开始学习工商管理专业知识和能力课程，该类课程以本专业开设的专业必修课为主。包括：管理沟通概论、组织行为学、会计学原理、人力资源开发与管理、市场营销学、运筹学、技术经济学等。详见附表二、三。 从第四学期开始，本专业学生开始学习管理技能、管理思维和管理研究方法模块的课程，该课程以本专业开设的专业必修课和综合选修课为主，包括：企业会计、生产与运作管理、企业战略管理、零售管理、财务管理、商法、消费者行为学、国际经济学、市场调研、金融学、旅游与休闲活动概论、国际市场营销、国际经济合作、供应链管理、资本投资学、跨国公司管理、项目管理、旅游法规、服务营销、物流管理、ERP理论与实践、企业伦理学、工商管理前沿研讨等。详见附表三。 学生根据个人学习兴趣和发展计划，修读选修课程，包括全校性公共选修课。本专业允许外专业学生申请本专业的辅修、双专业和双学位。
高数下典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
高等数学(专科)复习题及答案
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
关于高等数学方法与典型例题归纳
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
高等数学习题集[附答案及解析]
WORD 格式 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
WORD 格式 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
深圳大学大一期末高数线代复习资料
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 深圳大学期末考试试卷 开/闭卷 闭 A/B 卷 A 课程编号 课程名称 高等数学B(1) 学分 4 命题人(签字) 审题人(签字) 2006 年 12 月10日 高等数学B （1）21试卷 一.选择与填空题(每题3分，共18分) 1.当0x →时，)sinx x (x +与2x 比较是（ ） A . 同阶但不等价无穷小 B . 等价无穷小 C . 高阶无穷小 D . 低阶无穷小 2.曲线3x x y 3-=上切线平行于x 轴的点有（ ） A .(0,0) B .(1,2) C .(-1,2) D .(1,-2) 3.若c e x dx )x (f -x 2+=? 则=)x (f （ ）。 A . e x x B . x 2e x C . x 2xe D . )x -2x (e 2-x 4.求极限3()1lim x x x x →∞+-=______________________。 5.设x e 是)x (f 的原函数，则?=dx )x (xf __________。 6.曲线2)1(12--=x x y 的铅垂渐近线是____________。 二.计算题：（每题 6分，共48分） 1.求极限4x 23x x lim 222x -+-→ 2.求极限)x 1sinx 1(lim 0x -→ 3 .e sin tan x y x x =+ 求dx dy 。 4. 设y x e x y +=,y 是x 的函数，求'y ；
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 5.设()e f x y = 求y '' ； 6. 322sin , x y x y =设 求d ； 7. 求2ln(1)x dx +?； 8. 求?-dx e x 3 x 2； 三.设f (x )=??? ????>=<0 1sin 0 (0 sin 1x x x x k x x x 常数） 问当k 为何值时，函数在x =0处连续？为什么？（7分） 四、ln(1) 01x x x x x <+<>+ 利用拉格朗日中值定理证明不等式对一切成立．（7分） 五. 判定曲线x x e y -=的单调性、极值、凹向及拐点 （10分） 六. 某厂每批生产某种商品x 单位的费用为 2005x )x (C += （元） 得到的收益是 201x .010x )x (R -= （元） 求:1.生产10个单位时的边际成本和边际收益. 2.每批应生产多少单位时才能使利润最大。 （10分） 附加题：（（每题10分共30分） 1．2lim 1(1)x x x e x →+∞+ （10分） 2. 求L L 中的最大值. 3. 若()f x 的一个原函数是ln(x ，求()xf x dx ''?
深圳大学 高数试题
函数的连续性与可微性 拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。 在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。 人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。 柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为： 如果在两个界限之间（即某一区间）变量的无穷小增量总使函数产生一个 无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。 连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人：欧拉、拉格朗日、柯西、
高等数学习题集[附答案及解析]
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。