求山东大学陈鄂生编《量子力学基础教程》讲义与课后题答案
《量子力学教程》第二版答案及补充练习(1)
第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kTekThc λ⇒ kThc ekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程课后习题答案
量子力学教程课后习题答案量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式，（1）以及，（2），（3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。
但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下：如果令x= ，则上述方程为这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。
量子力学基础教程答案
量子力学基础教程答案【篇一：量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明：由普朗克黑体辐射公式：8?h?31 ??d??d?， h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5，hc?e?kt?1 d?hc令x?，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2．在0k附近，钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt，求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解：? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t，玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1，求动能的量子化间隔?e，并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解：（1）方法1：谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?e,b?，相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???，动量为p??q??a??cos??t???，则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?，n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学答案陈鄂生
量子力学答案陈鄂生【篇一：考研理论物理：备考复习的重难点与轻易面】ss=txt>易面虽然各高校的考试科目不同，但复习方法是相同的。
物理作为一门基础学科，无论是基础物理还是四大力学，都需要掌握最基本的原理和公式，复习主要侧重课本、习题集、往年真题三方面。
2014考研理论物理：考复习的重难点与轻易面经典物理：很多院校都是把经典物理作为必考科目，但不会涉及力、热、光、电、原子物理的所有部分。
每一院校都会给出参考书目和考试范围，如果没有参考书目，可以用该校的本科教材。
复习是最关键的部分是吃透课本，对基本概念、基本原理熟练掌握，这个过程要通过看课本、推导公式与结论以及做课后习题来实现。
然后是认真做历年真题，建议考生准备一个习题集，把自己推导过的公式和做过的题目整理出来，这样有利于厘清薄弱环节。
最后就是根据自己的薄弱点找几本参考书目浏览，推荐中国科学技术大学出版的《物理学大题典》和陈秉乾的《物理学难题集萃》，这些书题量大，最好是根据自己的薄弱环节先挑出几个章节扫一下题目，如果觉得有思路，大概算一下，如果思路不清晰，则直接看解答。
考试之前最好再把课本浏览一遍，可以只看目录，通过目录检查自己对课本里的基本概念、基本公式是否都掌握了，如果不清楚，再翻开去详读。
高等数学：建议考生每天保证至少三个小时的复习时间。
数学题目做不完，但如果不经过大量的习题训练，成绩很难得到提高。
高等数学的考试不会出现太多的偏题、怪题，考生要从基础学起，先把教材中的概念、公式复习好，然后在此基础上选择一些题目进行强化，尤其是综合性试题和应用题。
解应用题一般是在理解题意的基础上建立数学模型，这种题目现在每年都考，考生需要平时进行强化训练。
最后是重视历年试卷，高等数学部分试题重复率比较高。
推荐复习书目有中国科学技术大学数学系的《高等数学导论习题集》、同济大学的《高等数学习题集》。
量子力学：和复习经典物理一样，吃透课本和课后习题是量子力学复习的第一步。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案
第二章 力学量算符2.1 证明空间反演算符ˆˆ(()())x x ψψ∏∏=-是厄米算符。
指出在什么条件下，ˆd p i dx =- 是厄米算符。
2.2 动量在径向方向的分量定义为1ˆˆˆ2r p r r ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭r r p p ，求出ˆr p 在球坐标系中的表示式。
2.3 证明[][]ˆˆˆ,()();,()()ˆx x x x p f x i f x x f p i f p x p∂∂=-=∂∂ 2.4 设算符ˆA满足条件2ˆ1A =，证明ˆˆcos sin i A e i A ααα=+，其中α为实常数. 2.5 设算符ˆˆˆˆˆˆˆ,1KLM LM ML =-=,又设ϕ为ˆK 的本征矢,相应本征值为λ.求证ˆˆu L v M ϕϕ≡≡和也是ˆK 的本征矢,并求出相应的本征值.2.6 粒子作一维运动,2ˆˆ()2p H V x μ=+,定态波函数为n ,ˆ,1,2,3,n H n E n n == (1)证明ˆnm n pm a n x m =,并求出系数nm a . (2)利用(1)式推导求和公式()22222ˆn m nEE n x m m p m μ-=∑ (3)证明()222n m n EE n x m μ-=∑ 2.7 设ˆF为厄米算符,证明在能量表象中下式成立:()21ˆˆˆ,,2n m nk n E E F k F F H k ⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦∑ 2.8 已知(,)lm Y θϕ是2ˆˆZL L 和的共同本征函数，本征值分别为2(1)l l m + 和。
令ˆˆˆx y L L L ±=±. (1)证明ˆ(,)lm L Y θϕ±仍是2ˆˆZ L L 和的共同本征函数,求出他们的本征值.(2)推导公式1ˆ(,)(,)lm lm L Y Y θϕθϕ±± 2.9 证明ˆˆ11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,2!3!A A e Be B A B A A B A A A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.10 设算符ˆA 与ˆB 同它们的对易关系式ˆˆ,A B ⎡⎤⎣⎦都对易，证明1ˆˆˆˆˆ,,n n A B nB A B -⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ 1122ˆˆˆˆˆˆ,,ˆˆˆˆˆˆA B A B A B A B A B A B e e e e e e e ⎡⎤⎡⎤-+++⎣⎦⎣⎦==或2.11 设ˆL 为轨道角动量算符。
量子力学基础教程陈鄂生
i (mk ) t
2
二、共振跃迁 末态能量大于初态能量 1.共振吸收（受激吸收）
Em Ek 时， mk
Wk m t Fmk 4
2 2
0 。若 mk，则
i mk t
e
1
2
mk
Fmk sin
2 2
2
mk
2 2
t
mk
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率 一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
y z 0
z ~ 1011 m, ~ 106 m z
cos( 2
z t ) cos t
2 z
sin t
ˆ F ˆ cos t ，其中 F ˆ e x 于是 H 0
ii.共振跃迁速率
wk m
wk m
e2 02
(0) (1) a ( t ) a ( t ) a am (t )的一级近似：m m m (t ),
dam (t ) 1 dt i
imnt a (t )H mn (t )e (0) n n
a 其中一级修正为：
(1) m
1 i
t
0
imk t H mk (t )e dt
方程左乘 (r )后做全空间积分
* m
n
n
dam (t ) iEnt / (t )e iEnt / i e an (t ) H mn dt n
量子力学教程课后习题答案（doc）
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThc λ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h v ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。