《任意角的三角比定义》ppt课件(3).ppt
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任意角的三角比
视频1：在直角坐标系中角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角比。
设(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），则P 点到坐标原点O 的距离为r OP ==，定义:①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note ：①任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取点P 的位置 。
②当角α的终边落在y 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时x =，则cos α=，且tan α与sec α ；③当角α的终边落在x 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时y =，则sin α=，且 与 无意义；④角α的终边无论落在什么位置，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时0r =>，故sin α与cos α总是存在的。
⑤22sin cos αα+=练习：已知角α的终边上一点()12,5P -，求角α的六个三角比的值。
6分钟视频2：正弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 余弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 正切函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 。
练习：确定下列三角函数值的符号。
①cos 250︒；②sin 4π⎛⎫-⎪⎝⎭；③()tan 672︒-；④tan 3π 5分钟视频3：练习：根据下列条件确定角θ属于哪个象限： ①sin cos 0θθ>；②sin 0θ<且tan 0θ> 2分钟视频4：从开始--------05:27结束（将开头删掉）。
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 ①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note1：常见的三角函数的定义域与值域①正弦函数sin y x =，定义域为 ，值域为 。
任意角的三角比
第一组诱导公式：
Q 2kπ + α (k ∈ Z )与α有相同的终边，而三角比值仅与终边的位置有关
∴ sin( 2kπ + α ) = sin α cos(2kπ + α ) = cos α tan(2kπ + α ) = tan α cot(2kπ + α ) = cot α 其中k ∈ Z
练习：计算下列个三角比 25π sin 3 5π cot(− ) 4 31π tan 6
例2 : 求 和- 的正弦，余弦正切和余切 2 2 π 解：在角 的终边，即y轴的正半轴上取一点（0,1）
π
π
∴ x = 0, y = 1 π y 得,sin = = 1 2 r π tg tan 不存在 2
π
2
∴ r = x2 + y2 = 1
x cos = = 0 2 r π π x ctg cot = = 0 2 2 y
π
在角- 的终边，即y轴的负半轴上取一点（0,-1） 2 ∴ r = x2 + y2 = 1 ∴ x = 0, y = −1
π x y 得,sin(− ) = = −1 cos(− ) = = 0 2 r 2 r ππ ππ x tan( − ) 不 存 在 cot(ctg ) = = 0 − tg 22 22 y
y
r
P ( x,
y)
y
α
o
x
Q
x
可见,锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义 可见 锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义. 锐角的三角比可以用该角终边上任意一点的坐标来定义 我们可以仿照锐角的三角比的定义来定义任意角的三角比
设P是角 终边上任意一点，（点P不能是角的顶点） 是角α终边上任意一点，（点 不能是角的顶点） 是角 终边上任意一点，（ 不能是角的顶点 它的坐标为（ ） 它的坐标为（x,y）, op = r = x 2 + y 2
高一上学期劳保版(第七版)中职数学(上册)《任意角的三角比》课件
；
（2）x 叫做 的余弦，记作 cos，即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；
单位圆：是指
以坐标原点为
﹒
圆心，以1为
半径的圆
任意角的三角函数
新课讲解
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
的距离为 r.
比值
y
叫做角 的正弦.记作
r
sin y r
比值
x
叫做角 的余弦.记作
r
cos x r
比值
y
叫做角 的正切.记作
x
tan y x
注意：无论角α是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。
任意角的三角函数
新课讲解
依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别
有唯一确定的三角函数值与之对应，所以这三个对应
任意角的三角函数
新课讲解
所以当角 不变时，不论点 P 在角 的
终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只
依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上的位
置无关.
任意角的三角函数
新课讲解
利用单位圆定义任意角的三角函数
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1）y 叫做 的正弦，记作 sin ，即
关系都是以角 为自变量的函数，分别称作角 的
余弦函数、正弦函数和正切函数．
任意角的三角函数
新课讲解
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
任意角的三角比PPT课件
29
解：x2，y–3， r 22 (3)2 13
cssctioaensstncryxyrrxyxy1231212332333132311313133
7
二、单位圆与三角函数线
在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心、 以1为半径的圆为单位圆(unit circle)．
10
三角函数线
y
Y’
N
PT
α
o
M Ax
y
Y’
y
T α终边在第一象限
y
Y’
P
N
α
A
Mo
x
Y’
T
α终边在第二象限
Mo
PNΒιβλιοθήκη Axα终边在第三象限
o
MA x
N
P
T α终边在第四象限 11
例2、 求角7 的正弦、 余弦和正切的值．
4
解：如图 AOB 7
4
则BOA
4
y
在终边OB上取一点P，使OP=1
x2 y2
x y
1 3
10
x
y
13或xy
1 3
又 2 y 0
P(1， 3)
13
例4、填表：
α
点P的 坐标
OP
sinα
cosα tanα
cotα
secα cscα
0 (1,0) 1
0
1
0 不存在 1 不存在
思考1：如图，已知角的终边 与单位圆的交点为P，如何求点 P坐标？
单位圆上点P的坐标为 (cos,sin)
y P(x, y)
解：x2，y–3， r 22 (3)2 13
cssctioaensstncryxyrrxyxy1231212332333132311313133
7
二、单位圆与三角函数线
在平面直角坐标系中，称以原点O为圆心、 以1为半径的圆为单位圆(unit circle)．
10
三角函数线
y
Y’
N
PT
α
o
M Ax
y
Y’
y
T α终边在第一象限
y
Y’
P
N
α
A
Mo
x
Y’
T
α终边在第二象限
Mo
PNΒιβλιοθήκη Axα终边在第三象限
o
MA x
N
P
T α终边在第四象限 11
例2、 求角7 的正弦、 余弦和正切的值．
4
解：如图 AOB 7
4
则BOA
4
y
在终边OB上取一点P，使OP=1
x2 y2
x y
1 3
10
x
y
13或xy
1 3
又 2 y 0
P(1， 3)
13
例4、填表：
α
点P的 坐标
OP
sinα
cosα tanα
cotα
secα cscα
0 (1,0) 1
0
1
0 不存在 1 不存在
思考1：如图，已知角的终边 与单位圆的交点为P，如何求点 P坐标？
单位圆上点P的坐标为 (cos,sin)
y P(x, y)
任意角的三角比
PT
O
M A x
交角 的终边与点 T
MP sin , OM cos , AT tan
思考 这些结论是否对于任意角都成立？
一、正弦值、余弦值和正切值的几何表示
y
T
y
1
P P
1
规定：有向线段
A
MP, OM , AT
x
O
M A x T
M O
y
T
与坐标轴同向时， 其数量为正值.
例3.判断角 所在象限： (1) sin( ) 0, tan(4 ) 0 (2) sin(2 ) cos(2 ) 0 解: (1) sin 0, tan 0
属于第三象限;
cos(2 ) cos
(2) sin(2 ) sin
y
T P
(2)
P
y
1
1
A
O
M A x
M O
T
x
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 5 2 13 (1) (2) (3) (4) 3 6 3 6 解:正弦线 MP ，余弦线 OM ，正切线 AT (3)
y
T
(4)
y
1
1
M
O
M A A x
O
P
P
T
x
例2.已知 (0, ) ，利用三角函数线证明： 2 y T (1) sin cos 1
第II组诱导公式
P
M
O
A
y
1
T'
sin( ) sin cos( ) cos
tan( ) tan
3.2任意角的三角比
=|cos430°|
=|cos(70°+360°)|
=cos70°
练习
1. 已知cosɑ=35,0<ɑ<2,求sinɑ和tanɑ的值.
解:∵cosɑ=35
3
4
∵cosɑ=
,sinɑ=
9
5
5
∴cos2ɑ=25
ɑ 4 5
4
∴tanɑ=
=
×
=
ɑ 5 3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
9
16
∴sin2ɑ=1-cos2ɑ=1-25
25
∴tanɑ=
=×()=
ɑ
5
3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
25−16
9
∴cos2ɑ=1-sin2ɑ=1-16
=
=
25
25
25
∴cosɑ=±
9
25
=±35
∵ɑ是第三象限角
∴x<0
∵cosɑ=,r>0
∴cosɑ<0
∴cosɑ=-35
3.化简下列三角式：
ɑcosɑ
(1)cosɑtanɑ;(2) 1− ɑ ;(3) 1 − 2130°.
2
解:(1)cosɑtanɑ
ɑ
=cosɑ·ɑ
=sinɑ
ɑcosɑ
2
1− ɑ
ɑɑ
2ɑ
(2)
=
=tanɑ
(3) 1 − 2130°
=-cos130°
a的算数平方根记为
,a 的 平 方 根 记 为
± .
1
2
4.已知sinx-cosx= ,求(sinx+cosx)2的值.
=|cos(70°+360°)|
=cos70°
练习
1. 已知cosɑ=35,0<ɑ<2,求sinɑ和tanɑ的值.
解:∵cosɑ=35
3
4
∵cosɑ=
,sinɑ=
9
5
5
∴cos2ɑ=25
ɑ 4 5
4
∴tanɑ=
=
×
=
ɑ 5 3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
9
16
∴sin2ɑ=1-cos2ɑ=1-25
25
∴tanɑ=
=×()=
ɑ
5
3
3
∵sin2ɑ+cos2ɑ=1
25−16
9
∴cos2ɑ=1-sin2ɑ=1-16
=
=
25
25
25
∴cosɑ=±
9
25
=±35
∵ɑ是第三象限角
∴x<0
∵cosɑ=,r>0
∴cosɑ<0
∴cosɑ=-35
3.化简下列三角式：
ɑcosɑ
(1)cosɑtanɑ;(2) 1− ɑ ;(3) 1 − 2130°.
2
解:(1)cosɑtanɑ
ɑ
=cosɑ·ɑ
=sinɑ
ɑcosɑ
2
1− ɑ
ɑɑ
2ɑ
(2)
=
=tanɑ
(3) 1 − 2130°
=-cos130°
a的算数平方根记为
,a 的 平 方 根 记 为
± .
1
2
4.已知sinx-cosx= ,求(sinx+cosx)2的值.
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
中等职业数学课件-3-2-1-任意角的三角比
解:由已知可得 由定义得，
r OP0 (3)2 (4) 2 5.
P0 4,3 y
P x, y
y 3 sin r 5 x 4 4 cos r 5 5 y 3 3 tan x 4 4
M0
M
O
x
任意角的三角比
例题
例2. 求下列各角的正弦、余弦和正切值 . 3 11 (1) 0 ; (2) ; (3) . 2 6 解 （1）角0的终边在x轴的正半轴 上，在终边上取一点P，使OP=1， 则点P的坐标为（1,0） 因为 r OP 12 02 1
2 2 r OP 0 ( 1) 1 因为
P(0,-1)
3 y 1 sin 1 2 r 1 3 tan 不存在 2
3 x 0 cos 0 2 r 1
任意角的三角比
例题
例2. 求下列各角的正弦、余弦和正切值 . 3 11 (1) 0 ; (2) ; (3) . 2 6 11 解 （3）角 6 的终边在第四象限， 在终边上取一点P，使OP=1，则 ) 点P的坐标为 （ 23 ，- 1 2 因为 r OP 1 1 11 y 1 2 sin 6 r 1 2 3 11 x 3 2 cos 6 r 1 2
sin y
cos x
y tan x
任意角的三角比
概念
根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数
y sin = r
α取值范围
R
R
x,y不能同时为0
x cos r
r x2 y 2 0
y tan = x
k (k Z ) 2
所以 sin 495 0 。 （2）因为-150o是第三象限角，
r OP0 (3)2 (4) 2 5.
P0 4,3 y
P x, y
y 3 sin r 5 x 4 4 cos r 5 5 y 3 3 tan x 4 4
M0
M
O
x
任意角的三角比
例题
例2. 求下列各角的正弦、余弦和正切值 . 3 11 (1) 0 ; (2) ; (3) . 2 6 解 （1）角0的终边在x轴的正半轴 上，在终边上取一点P，使OP=1， 则点P的坐标为（1,0） 因为 r OP 12 02 1
2 2 r OP 0 ( 1) 1 因为
P(0,-1)
3 y 1 sin 1 2 r 1 3 tan 不存在 2
3 x 0 cos 0 2 r 1
任意角的三角比
例题
例2. 求下列各角的正弦、余弦和正切值 . 3 11 (1) 0 ; (2) ; (3) . 2 6 11 解 （3）角 6 的终边在第四象限， 在终边上取一点P，使OP=1，则 ) 点P的坐标为 （ 23 ，- 1 2 因为 r OP 1 1 11 y 1 2 sin 6 r 1 2 3 11 x 3 2 cos 6 r 1 2
sin y
cos x
y tan x
任意角的三角比
概念
根据三角函数的定义，确定它们的定义域 （弧度制）
三角函数
y sin = r
α取值范围
R
R
x,y不能同时为0
x cos r
r x2 y 2 0
y tan = x
k (k Z ) 2
所以 sin 495 0 。 （2）因为-150o是第三象限角，