河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(pdf版)
6
1 C． 2
2018
7 2
1 D． 3
2018
10 3
10．若两个正实数 x, y 满足 值范围为（ A． 1,4 ）
y 1 4 1 ，且不等式 x m 2 3m 有解，则实数 m 的取 4 x y
C． ,1 4, D. ， 0 3,
b3 的取值范围为（ a 1
B． 1,3
）
C． ， 2 2
*
1 3
D. ，
1 3 2 2
）
9．设数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 3S n 2an 3n （ n N ） ，则 a2018 （ A． 2
2018
1
B． 3
2018
B． 4,1
2
11． 已知 F 抛物线 C1 : y 2 px p 0 的焦点， 曲线 C 2 是以 F 为圆心，
p 为半径的圆， 2 AB CD
直线 4 x 3 y 2 p 0 与曲线 C1 , C 2 从上到下依次相交于 A ， B ， C ， D ，则 A． 4 B．16 C．
2 2 2
2 ， 则椭圆 C 的标准方程是 （ 2
D.
）
A．
x2 y2 1 4 8
B．
x2 y2 1 12 16
理科数学
C．
x2 y2 1 16 12
x2 y2 1 8 4
高二
第 1页 （共 4 页）
6．已知数列 an 满足 an 1 A．
1 * （n N ） ， a8 2 ，则 a1 （ 1 an 8 11 7 9 c =（ 3, 则 sin C
5 3
）
D．
8 3
12．设 a log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，则（ A．ab a b 0 B．a b ab 0
高二 理科数学
C．ab 0 a b
第 2页 （共 4 页）
D．a b 0 ab
第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
19． （本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 满足 a1 1 ，且 2nan 1 2n 1an nn 1 （ n N ） ．
*
（I）求数列 {an } 的通项公式； （II）若 bn
2 n an ，求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ． n 1
1 2 3 n 3 2n * 3 1 ， （n N ） ． a1 a2 a3 an 8
（I）求数列 {an } 的通项公式； （II）若 bn log 3
an 1 1 1 1 1 ． ，求证： n b1b2 b2b3 b3b4 bn bn 1 2
2 2 2
要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 18． （本小题满分 12 分） 在
ABC 中 ， 角
A, B, C
Hale Waihona Puke 所 对 的 边 分 别 为
a , b, c
， 且
2 cos C a cos C c cos A b 0 ．
（I）求角 C 的值； （II）若 b 2 ， c 2 3 ，求 ABC 的面积．
高二 理科数学 第 3页 （共 4 页）
20． （本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层． 某 幢建筑物需建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物 每 年 的 能 源 消 耗 费 用 C ( 单 位 ： 万 元 ) 与 隔 热 层 厚 度 x ( 单 位 ： cm ) 满 足 关 系 ：
22． （本小题满分 12 分） 已知圆 x 3
y
2
2
点 P 是圆 M 上的动点， 点N 16 的圆心为 M ，
点G 3 ,0 ，
在线段 MP 上，且满足 GN GP GN GP ． （I）求动点 G 的轨迹 C 的方程； （II）过点 T 4,0 作斜率不为 0 的直线与轨迹 C 交于 A , B 两点，点 A 关于 x 轴的对 称点为 D ，连接 BD 交 x 轴于点 Q ，求 ABQ 面积的最大值． ．
高二
理科数学
第 4页 （共 4 页）
2
） D． a 2a ab
B． a ab 2a ）
C． ab a 2a
2．抛物线 C : y x 的准线方程为（ A． x
1 4
B． x
1 4
C． y
1 4
D． y ）
1 4
3．已知数列 {an } 满足 an 1 A．13 B．14
4an 3 * （n N ） ，且 a1 1 ，则 a21 =（ 4
C． C．
）
5 9
B．
D. ）
1 2
7．在 ABC 中， A 60 , b 1, S ABC A．
8 3 81
B．
26 3 3
2
2 39 3
D． 2 7
8．若关于 x 的一元二次方程 x ax 2b 0 有两个实根，一个根在区间 0,1 内，另一 个根在区间 1,2 内，则 A． 1,3
x 1, 13． 设变量 x, y 满足约束条件 x y 4 0, 则目标函数 z 2 x y 的最小值为_______． x 3 y 4 0,
14．在钝角 ABC 中， AB 3, BC
3 , A 30 ，则 ABC 的面积为_________． 2 1 2 ， 则 的最小值______． 2 a2017 a2019
15．在各项均为正数的等比数列 {an } 中， 若 a2018
x2 y2 16．已知双曲线 C : 2 2 1a 0, b 0 的右焦点为 F ，过点 F 向双曲线的一条渐 a b
近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于点 N ，若 7 FM 3FN ，则双曲线的离心 率为_________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 10 分） 已知条件 p : x 4ax 3a 0a 0 ；条件 q : x 2 x 8 0 ．若 p 是 q 的必
C．15 D．16 ）
2
4．下列说法正确的是（
2
A．命题“若 x 1 ，则 x 1 ”的否命题为“若 x 1 ，则 x 1 ” B．命题“若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题是真命题 C．命题“ x R ，使得 x x 1 0 ” 的否定是“ x R ，均有 x x 1 0 D． “ x 1 ”是“ x 5 x 6 0 ”的必要不充分条件 5．已知椭圆 C 的焦点在 y 轴上， 焦距为 4， 离心率为
2018—2019 学年上期中考 20 届 高二理科数学试题
说明：1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） ，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表（答题卡）中． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知 a 0,1 b 2, 则下列不等式成立的是（ A． a ab 2a
C x
k 0 x 10 ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f x 为隔 3x 5
热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． （I）求 k 的值及 f x 的表达式； （II）隔热层修建多厚时，总费用 f x 达到最小，并求最小值．
21． （本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 满足
郑州一中2018-2019学年下学期期中高二数学理科试题含答案
所以 Lx x 30 ay 500x 30 a e40x 35 x 41 ．……………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， Lx 500e40x 31 a x
①当 2 x 4 时， Lx 500e40x 31 4 35 0 ，
当且仅当 a 4, x 35 时取等号．所以 Lx在 35,41上单调递减．
第Ⅱ卷 （ 非选择题，共 90 分） 二．填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分．
1
13.
4
14． 0.34
15． , e
16． 3 3 4
三．解答题： 本大题共 6 小题． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：
（Ⅰ）由题意
a2 a 4b
a3
0
0，解之得．
所以 z 3 3i 为所 -------5 分
2 假设 n k （ k N* ）时， ak 2k 1 2k 1 成立，
ak 1
Sk 1 Sk
ak 1 2
1 ak 1
1
ak 2
1 ak
1
ak1 2 2k 1ak1 2 0
高二 数学(理)答案 第 1页（共 5 页）
ak1 0, ak1 2k 11 2k 11 ．
所以当 n k 1 时猜想也成立． 综上可知，猜想 an 2n 1 2n 1 对一切 n N* 都成立．………………12 分
5
围是（ ）
A. 2 , 6 5 5
B . 2 , 3 5 5
C. 3 , 6 5 5
D. 2 ,1 5
高二 数学（理）试题 第 2页（共 4 页）
第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）
二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
郑州一中18-19学年下学期期中考试高二数学(理)试题卷(含答案)
位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
A. A95 种
B. 2 A55 A44 种
C. 5 A55 种
D. 6 A55 种
9. 已知曲线 y 1 x2 ， x 轴与 y 轴在第一象限所围成的图形面积为 S ，
曲线
y
1
x2
，曲线
y
3x2 与
y
轴所围成的图形面积为
S1 ，则
S1 S
的
值为( )
a3
1 ，解得
a3
5
7 ，又 an 0 ， a3
7
5．
猜想 an 2n 1 2n 1 ．…．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
（Ⅱ）证明：1 当 n 1 时，由（Ⅰ）可知 a1 3 1成立．
2 假设 n k （ k N* ）时， ak 2k 1 2k 1 成立，
，当
x2
x1 时，不等式
f x1
x2
f x2 0 恒成
x1
立，则实数 a 的取值范围为
.
16. 已知 f x sin x 1 sin 2x ，则 f x 的最小值为
.
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分 10 分）
B. 37 种
C.18 种
D.16 种
高二 数学（理）试题 第 1页（共 4 页）
7.
已知 i 为虚数单位， a R
,若
2i ai
为纯虚数，则复数 z
2a
3i 的模等于（
）
A. 17
河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)答案
2n 1 (n N ) n2
14.
10 6 3
15.
2 3 3
16.
2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17.解： m 1,1 ，
m2 8 3
p为真命题， a 2 5a 3 3, a 6或a 1
2 q为真命题， =（2a） 4(2 a) 0 ， a 2或a 1 p 所以 2 a 1
高二
文科数学答案
（Ⅱ）依题意当 l x 轴不合题意，故设直线 l： y kx 2 ，设 P x1 , y1 , Q x2 , y2 将 y kx 2 代入
x2 y 2 1 ，得 1 4k 2 x 2 16kx 12 0 ， 4
2
当 16(4k 3) 0 ，即 k
文科数学答案
第 3 页 (共 3 页)
两式相减得
高二
文科数学答案
第 1 页 (共 3 页)
1 3 1 1 1 n2 3 1 1 n2 S n 3 4 n 1 n 2 1 n 1 n 2 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2
所以 S n 2
2
8k 2 4k 2 3 3 时， x1,2 4 1 4k 2
从而 PQ
k 2 1 x1 x2
4 k 2 1 4k 2 3 1 4k 2
2 k 2 1
又点 O 到直线 PQ 的距离 d
，所以 OPQ 的面积
SOPQ
1 4 4k 2 3 d PQ ， 2 1 4k 2
2
设 4kห้องสมุดไป่ตู้ 3 t ，则 t 0 ， S OPQ
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学理试题
相交于点 0 ,6 ． （Ⅰ）确定 a 的值； （Ⅱ）求函数 f x 的单调区间与极值．
高二 数学（理）试题 第 3页（共 4 页）
20.（本小题满分 12 分） 某射手每次射击击中目标的概率均为
2 ，且各次射击的结果互不影响. 3
（Ⅰ）假设这名射手射击 3 次，求至少 1 次击中目标的概率； （Ⅱ）假设这名射手射击 3 次，每次击中目标得 10 分，未击中目标得 0 分．在 3 次射 击中，若有 2 次连续击中目标，而另外 1 次未击中目标，则额外加 5 分；若 3 次全部击中， 则额外加 10 分.用随机变量 表示射手射击 3 次后的总得分，求 的分布列和数学期望.
（Ⅰ）求复数 z ； （Ⅱ）若 z
18.（本小题满分 12 分）
m 是实数，求实数 m 的值． z 1 2 an an 1 且 an 0 ， n N * ． 2
已知数列 an 的前 n 项和 S n 满足： an S n
（Ⅰ）计算 a1 , a 2 , a 3 的值，并猜想 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）用数学归纳法证明 {a n } 的通项公式． 19.（本小题满分 12 分） 设 f x a x 5 6 ln x ， 其中 a∈R， 曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与 y 轴
A. e B. 2e C. 1 D. 2 4. 设 △ABC 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， △ABC 的 面 积 为 S ， 内 切 圆 半 径 为 r ， 则
r
2S ，类比这个结论可知：四面体 S - ABC 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3， abc
) D.
S4，内切球半径为 R ，四面体 S - ABC 的体积为 V ，则 R ( A.
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，其反设正确的是（）A．都能被5整除B．不都能被5整除C．都不能被5整除D．不能被5整除【答案】C【解析】求中至少有一个能被5整除的否定即可.【详解】因为中至少有一个能被5整除的否定为都不能被5整除，选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求复数代数形式，再根据复数几何意义得结果,【详解】因为，所以，对应点为，选B.【点睛】本题考查复数代数形式以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3．曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求导数，再根据导数几何意义得结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】4．设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知，四面体S−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于A．B．C．D．【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为，因此可知R＝，选B5．在的展开式中，含项的系数为（）A．60 B．64 C．160 D．【答案】A【解析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.【详解】因为，所以令，因此含项的系数为，选A.【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A．种B．37种C．18种D．16种【答案】B【解析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.【详解】高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有种方法，若甲工厂没有班级去，则有种方法，所以所求不同的分配方案有种方法，选B.【点睛】7．已知为虚数单位，,若为纯虚数，则复数的模等于（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】先根据纯虚数概念得，再根据模的定义求结果.【详解】因为为纯虚数，所以，即，因此，所以，选D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8．停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．种D．种【答案】D【解析】剩余的4个空车位看作一个元素，由相邻问题用捆绑法求排列数.【详解】剩余的4个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有种，选D.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知曲线，轴与轴在第一象限所围成的图形面积为，曲线，曲线与轴所围成的图形面积为，则的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】根据定积分求，即得结果.因为，由得,所以，因此，选A,【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.10．函数在内存在极值点，则（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】转化为导函数在内有变号的零点，分离参数，进而转化为求函数的值域问题.【详解】因为在有解，即求值域，因为在上单调递增，所以，选B.【点睛】本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.11．在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求，再确定有理项项数，最后根据排列组合方法计算，利用古典概型概率公式得结果.【详解】因为只有第五项的二项式系数最大，所以从而，所以时为有理项，有理项不相邻有种方法,因此所求概率为,选A.本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12．定义：如果函数在区间上存在满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数.已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果. 【详解】由题意得在区间上有两个零点，即，因此或，解得或，即，选C. 【点睛】本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题二、填空题13．袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是________.【答案】【解析】试题分析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．【考点】条件概率与独立事件．点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．14．已知随机变量服从正态分布，若，则________.【详解】【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题15．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】转化函数单调性，再利用导数求解.【详解】令，则当时，不等式恒成立,即在上单调递增，所以在上恒成立，，因为，所以当时，当时，从而当时【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题16．已知，则的最小值为________.【答案】【解析】利用导数求函数最值.【详解】因为，所以的最值在取得，当时，，对应值为，当时，，对应值为，综上的最小值为【点睛】三、解答题17．已知复数，且．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若是实数，求实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得（Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数的值．【详解】解：（Ⅰ）由题意解之得．所以为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，是实数，，即为所求．【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题18．已知数列的前项和满足：且（Ⅰ）计算的值，并猜想的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据递推关系逐一代入求解，再根据规律归纳，（Ⅱ）根据和项与通项关系得递推关系式，再利用求根公式解得相邻项关系，最后根据数学归纳法证明.【详解】解：（Ⅰ）当时，，解得，又，．当时，，解得，又，．当时，，解得，又，．猜想．（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）可知成立．．所以当时猜想也成立．综上可知，猜想对一切都成立．【点睛】本题考查数学归纳法求与证数列通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题19．（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为，故．令，得，，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得．（2）由（1）知，（），．令，解得，．当或时，，故的递增区间是，；当时，，故的递减区间是．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 （1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f′（x 0）； （2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f′（x 1）＝k ；（3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝求解．20．某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响. （Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外次未击中目标，则额外加分；若3次全部击中，则额外加10分.用随机变量表示射手射击3次后的总得分，求的分布列和数学期望.【答案】（I） （II ）故的分布列是【解析】试题分析：解：⑴设为射手3次射击击中目标的总次数，则.故,所以所求概率为.⑵由题意可知，的所有可能取值为,用表示事件“第次击中目标”，则，，，.故的分布列是.【考点】n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；离散型随机变量的期望与方差． 点评：本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．21．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．【答案】(1) L (x )= 500(x －30－a )e 40－x(35≤x ≤41)；(2) 当2≤a ≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500(5－a )e 5万元；当4<a ≤5时，每件产品的售价为(31＋a )元时，该产品一年的利润L (x )最大，最大为500e 9－a万元.【解析】试题分析：（1）先根据条件求出k ，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值 试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y ＝.将x ＝40，y ＝500代入，得k ＝500e 40.所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号．所以L(x)在[35，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.②当4<a≤5时，L′(x)>0⇔35≤x<31＋a，L′(x)<0⇔31＋a<x≤41.所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．22．已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.试题解析：（1）定义域为，若，，在上单调递增若，，所以，当时，，当时，综上：若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，时，不可能成立；若，恒成立，，得综上，.（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即令，得，即，得证.点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，2,4a b A π===，则角B = （ ）A ．6π B ．6π或56π C ．3πD ．56π2. “20x x ><或” 是“11x<” 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件3. 已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =（ ）A ．16B ．4C ．．454. 命题“0,x R n N *∀∈∃∈，使得20n x >”的否定形式是（ ）A ．0,x R n N *∀∈∃∈,使得20n x ≤B ．,x R n N *∀∈∀∈使得,2n x ≤ C. 00,x R n N *∃∈∃∈,使得 200n x ≤ D ．0,x R n N *∃∈∀∈,使得20n x ≤5. 《莱茵德纸草书》 是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题： 把 120个面包分成 5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的 7倍，则最少的那份面包个数为（ ）A ．4B ．3 C.2 D ． 16. 已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，8242,14S S ==, 则2016S = （ ） A ．25222- B ．25322- C.100822- D ．201622-7. 设,a b 是非零实数， 若a b > ，则一定有 （ ） A ．11a b < B ．2a ab > C.2211ab a b > D ．11a b a b->- 8. 设等差数列{}n a 的前n 项和 n S ，且满足201620170,0S S ><,对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则 k 的值为 （ ）A ．1006B ．1007 C.1008 D ．1009 9. 若实数,x y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值为（ ） A．2 B．24+ D．4-10. 若对于任意的[]1,0x ∈-,关于x 的不等式2320x ax b ++≤恒成立， 则222a b +-的最小值为（ ）A ．15-B ．54 C.45 D ．1411. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(),1cos cos ,23A b C c A b π=-==,则ABC ∆的面积为（ ）A．D12. 设{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()2f x x px q =++的图象经过两点()(),0,,0αβ ，且存在正整数 n ，使得1n n αβ<<<+成立，则 （ ）A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +< C.()(){}1min ,14f n f n += D ．()(){}1min ,14f n f n +≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 若0,0,2a b a b ab >>+=，则3a b +的最小值为 __________. 14. 已知两个等差数列 {}n a 和{}n b 的前 n 项和分别为,n n S T ，若231n n S nT n =+，则 823746a ab b b b +=++ __________.15. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2,3,4a b c ===，则s i n2s i n CA= _________. 16. 已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，记数列{}n a 的前n 项和为n T ，若对任意的3,362n n N T k n *⎛⎫∈+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 则实数 k 的取值范围 _________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知命题12:,p x x 是方程210x mx --=的两个实根 ，且不等式21243a a x x +-≤-对任意的m R ∈恒成立；命题:q 不等式220x x a ++<有实数解． 若命题p q ∨为真，p q ∧为假， 求实数 a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足11243133,,a b a b a b ====. （1）求数列{}n a 的{}n b 通项公式；（2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）某人上午7时， 乘摩托艇以匀速()/840vkm h v ≤≤从A 港出发到距100km 的B 港去， 然后乘汽车以匀速()/30100wkm h w ≤≤自B 港向距300km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市． 设乘坐汽车、 摩托艇去目的地所需要的时间分别是,xh yh .（1）作图表示满足上述条件的,x y 范围;（2）如果已知所需的经费()()1003528p x y =+-+-（元），那么,v w 分别是多少时p 最小？ 此时需花费多少元？20. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos25cos 2B A C -+=. （1）求角B 的值；（2）若 1cos 7A =,ABC ∆的面积为求BC 边上的中线长. 21.（本小题满分12分）某城市响应城市绿化的号召， 计划建一个如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园,其中一边利用现成的围墙BC ， 长度为米， 另外两边,AB AC 使用某种新型材料围成， 已知120,,(,BAC AB x AC y x y ∠===单位均为米）．（1）求 ,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？ 最短长度是多少？22. （本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1221n n n n n a a b a a ++++=+,数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：122n T n <+.河南省郑州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. ABBDC 6-10.BCDDA 11-12. DB 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7+914 15. 1- 16. 2,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17.解：若p 为真,不等式21243a a x x +-≤-对任意的 m R ∈恒成立，243a a +-m R ∈恒成立，2432a a +-≤,解得51a -≤≤,若q 为真,不等式220x x a ++<有解，2440a ∆=->,解得1a <,因为命题p q ∨为真,p q ∧ 为假，所以,p q , 一真一假．（1）p 真q 假，则51,11a a a -≤≤⎧∴=⎨≥⎩.（2）若p 假q 真，则51,51a a a a <->⎧∴<-⎨<⎩或,综上,a 的取值范围是{}|51a a a <-=或.18.解：（1）由已知得： 2234133,3,33,312a q a q b d b d ===+=+,即23333312q d q d=+⎧⎨=+⎩，解得2031d d q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ( 舍) ，所以2d =，所以3,21nn n a b n ==+.19.解：（1）依题意得 100300525,,840,30100,310,22y x v w x y v w ==≤≤≤≤∴≤≤≤≤① 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x y +应在9至 14个小时之间，即914x y ≤+≤ ② 因此，满足①②的点(),x y 的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）()()100352813132p x y x y =+-+-=--，上式表示斜率为32-的直线，当动直线13132p x y =--通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A 时，p 值最小．由1410x y x +=⎧⎨=⎩得 104x y =⎧⎨=⎩，即当10,4x y ==时，p 最小． 此时，25,30,v w p ==的最小值为 93元． 20.解：（1）由条件知 22cos 15cos 2B B -+=，即22cos 5cos 30B B +-= ，解得 1cos 2B =或cos 3B =-（舍去）又0B π<<， 3B π∴=.（2）由于11cos ,sin sin 3572A A S bc A bc =∴===∴=. ①又由正弦定理得，sinsin 33b cA ππ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又1sin sin cos ,5732214A A A b c π⎛⎫+=+=∴= ⎪⎝⎭， ② 由① ②知，7,5b c ==，由余弦定理得，8,a BC ==边上的中线AD ==21.解：（1）在ABC ∆中,由余弦定理，得222222cos ,2cos12030000AB AC AB AC A BC x y xy +-=∴+-=，即 2230000x y xy ++=，由正弦定理，得200,200sin ,060,0sin sin sin AB AC BC x C C x C B A ====∴=<<∴<<同理0y <<（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x y +最小，由（1）知，()23000x y xy =+-，由于22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时，等号成立． 所以()()()()2222300044x y x y x y xy x y ++=+-≥+-=，所以200x y +≤，故当,AB AC 边长均为100米时，所用材料长度最短为 200米．22.解：（1）由题意可得221112,2n n n n n n S a a S a a ---=+=+， 两式相减得， 22112n n n n n a a a a a --=-++ ，所以22110n n n n a a a a -----=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，又因为数列{}n a 为正项数列，所以11n n a a -+=.即数列{}n a 为等差数列，又1n =时，21112a a a =+，所以111,1n a a a n n ==+-=.（2）由（1）知1221n n n b n n ++=+++，又因为121111112212112n n n b n n n n n n ++=+=-++=+-++++++， 所以()12111111...22...2...233412n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以12111 (22222)n n T b b b n n n =+++=+-<++.。
河南省郑州市第一中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
10.若函数 在 内有极小值，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：
求得函数导数，令导数为0，得极小值点，使其属于 ，即可得解．
详解：
由题意得,函数 的导数 .
18.求由曲线 ， ， 所围成的封闭图形的面积.
【答案】
【解析】试题分析：求出曲线 的交点 横坐标,求出 的交点 的横坐标,再分成两部分算出阴影部分的面积.
考点：1.用定积分算阴影部分面积的步骤；2.微积分基本定理.
19.已知 ， ，
（1）当 时，试比较 与 的大小关系；
（2）猜想 与 的大小关系，并给出证明.
由函数单增等价转换为导函数大于等于0恒成立，通过二倍角化简，进而换元为二次不等式恒成立即可.
详解：
若函数 在 单调递增，则 在 上恒成立.
即 在 上恒成立，即 恒成立.
令 ，原命题等价于 在 恒成立.
只需 ，解得： .
故选C.
点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.
7.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以射线 为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程是 ，则直线 与曲线 相交所得的弦 的长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：
将曲线的参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，得到圆和直线，进而利用垂径定理即可得弦长.
河南省郑州市第一中学高二数学上学期期中试题理(含解析)
河南省郑州市第一中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）说明：1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分,考试时间120分钟。
2。
将第Ⅰ卷的答案代表字母和第Ⅱ卷的答案填在答题表（答题卡）中。
第Ⅰ卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知5a =,2c =，2cos 3A =,则b= A. 2 B. 3C. 2D 。
3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去）,故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b 。
运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！2。
已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A. 100 B 。
99C. 98D. 97【答案】C 【解析】试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.3。
命题“20(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ） A 。
2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B. 2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ C 。
2000(0,1),0x x x ∀∉-<D. 2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B 【解析】分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可。
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题及参考答案
7.
已知 i 为虚数单位， a R
,若
2i ai
为纯虚数，则复数 z
2a
3i 的模等于（
）
A. 17
B. 3
C. 11
D. 2
8. 停车场划出一排 9 个停车位置，今有 5 辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4 个空车
位连在一起，则不同的停车方法有（ ）
A. A95 种
B. 2 A55 A44 种
可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球
的概率是
.
14. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 2, 2 ， 若 PX 0 0.16 ， 则
P2 X 4
.
15.Leabharlann 已知函数f x ex x
ax 2
,
x
0,
，当
x2
x1 时，不等式
f x1
2
某射手每次射击击中目标的概率均为 ，且各次射击的结果互不影响.
3 （Ⅰ）假设这名射手射击 3 次，求至少1次击中目标的概率； （Ⅱ）假设这名射手射击 3 次，每次击中目标得10 分，未击中目标得 0 分．在 3 次射 击中，若有 2 次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加 5 分；若 3 次全部击中，
A. 4,2
B. 4,2
C. 4,2
D. 4,2
3. 曲线 y xex1 在点 1,1处切线的斜率为（ ）
A. e
B. 2e
C. 1
D. 2
4. 设 △ABC 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， △ABC 的 面 积 为 S ， 内 切 圆 半 径 为 r ， 则
r
河南省郑州市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用反证法证明命题“可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，其反设正确的是（）A.都能被5整除 B. 不都能被5整除C.都不能被5整除 D. 不能被5整除【答案】C【解析】【分析】求中至少有一个能被5整除的否定即可.【详解】因为中至少有一个能被5整除的否定为都不能被5整除，选C.【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.2.若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求复数代数形式，再根据复数几何意义得结果,【详解】因为，所以，对应点为，选B.【点睛】本题考查复数代数形式以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.曲线在点处切线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得结果.【详解】因为，所以，选D.【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.4.设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知，四面体S−ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于A. B.C. D.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为，因此可知R＝，选B5.在的展开式中，含项的系数为（）A. 60B. 64C. 160D.【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式通项公式求特定项系数.【详解】因为，所以令，因此含项的系数为，选A.【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）A. 种B. 37种C. 18种D. 16种【答案】B【解析】【分析】根据间接法求解甲工厂没有班级去的方法数即可.【详解】高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有种方法，若甲工厂没有班级去，则有种方法，所以所求不同的分配方案有种方法，选B.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知为虚数单位， ,若为纯虚数，则复数的模等于（ ）A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先根据纯虚数概念得，再根据模的定义求结果. 【详解】因为为纯虚数，所以，即，因此，所以，选D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.8.停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ） A.种B.种C.种D.种【答案】D 【解析】 【分析】剩余的4个空车位看作一个元素，由相邻问题用捆绑法求排列数. 【详解】剩余的4个空车位看作一个元素，则不同的停车方法有种，选D.【点睛】本题考查排列组合，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知曲线，轴与轴在第一象限所围成的图形面积为，曲线，曲线与轴所围成的图形面积为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据定积分求，即得结果.【详解】因为，由得,所以，因此，选A,【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.函数在内存在极值点，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】转化为导函数在内有变号的零点，分离参数，进而转化为求函数的值域问题.【详解】因为在有解，即求值域，因为在上单调递增，所以，选B.【点睛】本题考查函数极值，考查等价转化思想方法与基本求解能力，属中档题.11.在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再确定有理项项数，最后根据排列组合方法计算，利用古典概型概率公式得结果.【详解】因为只有第五项的二项式系数最大，所以从而，所以时为有理项，有理项不相邻有种方法,因此所求概率为,选A.【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.12.定义：如果函数在区间上存在满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数.已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】转化为函数有两个零点问题，再根据二次函数图象可得不等式，即得结果.【详解】由题意得在区间上有两个零点，即，因此或，解得或，即，选C.点睛】本题考查函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.袋中有3个白球2个黑球共5个小球，现从袋中每次取一个小球，每个小球被抽到的可能性均相同，不放回地抽取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次仍取到黑球的概率是________.【答案】【解析】试题分析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知，，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是．考点：条件概率与独立事件．点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题．14.已知随机变量服从正态分布，若，则________.【答案】【解析】【分析】根据正态分布对称性求解.【详解】【点睛】本题考查正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题15.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】【解析】【分析】转化函数单调性，再利用导数求解.【详解】令，则当时，不等式恒成立,即在上单调递增，所以在上恒成立，，因为，所以当时，当时，从而当时【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题16.已知，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】利用导数求函数最值.【详解】因，所以的最值在取得，当时，，对应值为，当时，，对应值为，综上的最小值为【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知复数，且．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若是实数，求实数的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得（Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数的值．【详解】解：（Ⅰ）由题意解之得．所以为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，是实数，，即为所求．【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题18.已知数列的前项和满足：且（Ⅰ）计算的值，并猜想的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据递推关系逐一代入求解，再根据规律归纳，（Ⅱ）根据和项与通项关系得递推关系式，再利用求根公式解得相邻项关系，最后根据数学归纳法证明.【详解】解：（Ⅰ）当时，，解得，又，．当时，，解得，又，． 当时，，解得，又，．猜想．（Ⅱ）证明：当时，由（Ⅰ）可知成立．假设（）时，成立，． 所以当时猜想也成立．综上可知，猜想对一切都成立．【点睛】本题考查数学归纳法求与证数列通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题19.（2013•重庆）设f （x ）=a （x ﹣5）2+6lnx ，其中a ∈R ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与y 轴相交于点（0，6）． （1）确定a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间与极值． 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）求出导数，得，写出题中切线方程，令，则，由此可得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间；的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为，故．令，得，，所以曲线在点处的切线方程为，由点在切线上，可得，解得．（2）由（1）知，（），．令，解得，．当或时，，故的递增区间是，；当时，，故的递减区间是．由此可知在处取得极大值，在处取得极小值．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝求解．20.某射手每次射击击中目标的概率均为，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设这名射手射击3次，求至少1次击中目标的概率；（Ⅱ）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外次未击中目标，则额外加分；若3次全部击中，则额外加10分.用随机变量表示射手射击3次后的总得分，求的分布列和数学期望.【答案】（I ）（II）故的分布列是【解析】试题分析：解：⑴设为射手3次射击击中目标的总次数，则.故,所以所求概率为.⑵由题意可知，的所有可能取值为,用表示事件“第次击中目标”，则，， ， ，.故的分布列是.考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量的数学期望的求法，属于中档题．21.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳元(为常数，)的管理费．根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润万元与每件产品的售价元的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润最大，并求的最大值．【答案】(1)L(x)= 500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)；(2) 当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元.【解析】试题分析:（1）先根据条件求出k，再根据利润等于销售量乘以单个利润得函数解析式，最后交代定义域（2）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间关系分类讨论，确定导函数符号，进而确定最大值试题解析：(1)由题意，该产品一年的销售量为y＝.将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.所以L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．(2)由(1)得，L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，当且仅当a＝4，x＝35时取等号．所以L(x)在[35，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.②当4<a≤5时，L′(x)>0⇔35≤x<31＋a，L′(x)<0⇔31＋a<x≤41.所以L(x)在[35，31＋a)上单调递增，在[31＋a，41]上单调递减．因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.综上所述当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；当4<a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．22.已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，时，在上是增函数，而，不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.试题解析：（1）定义域为，若，，在上单调递增若，，所以，当时，，当时，综上：若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，时，不可能成立；若，恒成立，，得综上，.（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即令，得，即，得证.点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。