最新2021考研数学高数备考复习知识点：中值定理与导数的应用
高等数学第三章中值定理与导数的应用
1 0. 当 x 0 时 0 , 因此由上式得 cos
0? 问是否可由此得出 lim cos 1 x
x0
不能 !
因为 ( x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0 表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
备用题 1. 设 f ( x) 在 [0,1] 连续， (0 ,1) 可导，且 f (1) 0 ,
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f ( x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
假设另有
但
矛盾, 故假设不真!
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
使
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
1
分析:
例5. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x) cos ln x sin1 x x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
3 15 4 . _____
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.本节主要内容1罗尔定理2拉格朗日中值定理3柯西中值定理讲解提纲：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处,0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数()x x f sin ln =在区间[]5,ππ上验证罗尔定理的正确性. 解:21sin ln )65()6(==ππf f ，0)2('=πf . 例2 设()x f 在[]b a ,上连续, ()x f '在[]b a ,连续. 且()()()0,0,0<><b f c f a f ,c 介于a,b 之间. 证明: 存在()b a ,∈ξ, 使()0='ξf 成立.证明:函数在[]b a ,内连续.在[]c a ,内由条件根据介值定理可推得存在一点1ξ，使得 ()01=ξf .同理, []b c ,内存在一点2ξ，使得()02=ξf .在[]21,ξξ内满足罗尔定理存在()b a ,∈ξ, 使()0='ξf 成立.拉格朗日中值定理的应用例3证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π证明:令x x x f arccos arcsin )(+=；则11,0)('<<=x x f .所以f(x)为一常数设为f(x)=c,又因为2)1(,2)1(,2)0(πππ=-==f f f , 故).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π例4 证明当0>x 时,.)1ln(1x x xx <+<+ 证明:设)1ln()(x x f +=，则函数在区间[0，x]上满足拉格朗日中值定理得条件，有 x x f f x f <<-=-ξξ0),0)(()0()(' 因为x x f f 1)(,0)0('==，所以ξ+=+1)1ln(x x ，又因为x <<ξ0 所以 .)1ln(1x x xx <+<+ 柯西中值定理的应用例5 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ证明:只需令2)(x x g =即可课堂练习1. 试举例说明罗尔定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使()()()()().lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。
2021考研数学高数必背定理：中值定理与导数的应用
2021考研数学高数必背定理：中值定理与导数的应用1、定理（罗尔定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a3、定理（柯西中值定理）如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使的等式[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么：（1）如果在（a，b）内f’（x）如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’（x）=0的根及f’（x）不存在的6、函数的极值如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的定理（函数取得极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’（x0）=0.定理（定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：（1）当f’’（x07、函数的凹凸性及其判定设f（x）在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2][f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（a，b）内f’’（x）0，则f（x）在判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求出f’’（x）；（2）令f’’（x）=0，解出这方程在区间（a，b）内的实根；（3）对于（2在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
4.中值定理导数的应用
二、拉格朗日中值定理
如果函数 f(x) (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 那么在(a,b)内至少有一点 ξ(a < ξ < b),使不等式
f (b) f (a) f ( )(b a)
成立. 注意: 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b). f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
2 t 2
x2
例 设函数y = y(x)由方程 y ln y x y 0
确定, 试判断曲线y = y(x)在点(1, 1)附近的凹凸性
例 设 a e ,0 x y
y x
2 x 求证 a a (cos x cos y )a ln a
例 证明不等式
1 1 1 （当 x < 1 且 x 0 ) x ln(1 x )
例 已知f (x)在(−∞,+∞)内可导，且 lim f ( x) e， x x xc lim lim[ f ( x) f ( x 1)] ,求c 的值. x x c x
例 求函数 f ( x) ( x t )e dt 的单调区间与极值。 1
( 定义 使导数为零的点即方程 f ( x ) 0 的实根)叫 做函数 f ( x ) 的驻点.
点 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 , 但函数的驻点却不一定 是极值点.
定理2(第一充分条件) 设函数f (x)在x0处连续,且 在x0某去心邻域内可导. (1)如果 x ( x0 , x0 ) ,有 f ( x) 0 ,而 x ( x0 , x0 ),
则称
则称
第三章 中值定理与导数的应用-13页word资料
第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=a b a f b f --)()(,定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-a b a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0.由此得 a b a f b f --)()(= f '(ξ) ,即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x x x <+<+)1ln(1.证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
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中值定理及导数的应用(一)
的极大值点
中值定理及应用
2、若对于该邻域内任意的x(x x0 )
总有f (x) f (x0). 则称 f (x0)为函数
f (x) 的极小值，并称点 x0是 f (x)
的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函 数的极值，极大值点与极小值点统
称为函数的极值点。
D、若函数 f (x)在点 x0 连续，则 f (x0)
一定存在
中值定理及应用
四、函数的最大值与最小值
定义
设函数y f (x) 在闭区间[a,b]上有定
义，设 x0 [a,b], 若对于任意 x [a,b], 恒有f (x) f (x0)[或f (x) f (x0) ]，则称 f (x0)
为函数f (x)在闭区间[a,b]上的最大(小) 值。称 x0为f (x) 在闭区间[a,b]上的最
x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极大值 f (x0 );
2、若当 x (x0 , x0)时，f (x) 0, x (x0, x0 )时，f (x) 0, 则函数
f (x)在点 x0处取得极小值 f (x0 );
中值定理及应用
3、若当x (x0 , x0 ) 和 x (x0, x0 ) 时，f (x) 的符号相同，则函数 f (x)
故函数 y x 4 的单调区间是
x (2,0),(0,2)
应选D
中值定理及应用
用函数的单调性证明不等式是一种 常用的方法。
一般步骤为： 假设证明 f (x) g(x)(x D)成立。
1、设 F(x) f (x) g(x) 2、求导数F ( x)并根据已知条件
判断F ( x)的正负。 从而判断 F ( x)的增减性。
第三章中值定理与导数的应用
lim
x
正确做法：
x sin x sin x lim lim(1 ) 1 x x x x
三、其它不定型 0 1 0
0 0
例8： lim x ln x
n x 0
( x 0)
0 型
1 ln x n x 解： lim ln x lim lim x x 0 x 0 1 x 0 n x xn lim 0 x 0 n
几何意义：在 (a, b)内存在平行于 x轴的切线
y
a
f ( x)
o
a
x
b
注：三个条件缺一个时，定理不一定成立
x 0 x 1 例：f ( x) x 1 0
在(0,1)可导，在x 1处不连续
y
f (0) 0 f (1)
f ' ( x) 1 0 x (0,1)
例 10：求 lim (sin x)
x 0
x
0型
解：y (sin x)
x
ln y x ln(sin x)
ln sin x lim ln y lim x ln sin x lim x 0 x 0 x 0 1 x cos x
x sin x lim lim ( ) x cos x 0 x 0 1 x0 sin x 2 x
例1：验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
5 [ , 的正确性 6 6 ] 5 解： y ln sin x在[ , ]上连续 6 6
y ln sin x在(
5
6 , 6
)上可导
1 5 且f ( ) ln f ( ) 6 2 6
中值定理与导数的应用-§3.1 中值定理
于是对于x0 x U ( x0 ) ,有 f ( x0 x) f ( x0 )
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
f ( x0 x ) f ( x0 ) 当 x 0 时, 0; x f ( x0 x ) f ( x0 ) 0. 当 x <0 时, x 根据函数 f ( x ) 在 x0 处可导及极限的保号性得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
同理可知,方程还有两个根 2 , 3分别属于区间 2,3 及
3,4 . 因此，有且仅有三个实根，它们分别属于区间 1, 2 , 2, 3 及 3, 4 .
例3 若 f ( x )在区间 [a , b]上连续，在 ( a , b ) 内可导，且 满足 f ( x ) 0，及 f (a ) f (b) 0 ， 证明方程 f ( x ) 0
三、柯西中值定理
柯西中值定理 设函数 f ( x ) 及 F ( x ) 满足条件： (1）在闭区间 [a , b] 上连续； （2）在开区间( a , b ) 内可导, 且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处均不为零. 则在 ( a , b ) 内 至少有一点 (a b), 使得
微积分 第3章 中值定理与导数的应用
3.1 中值定理
（2）若 M m ， 由于 f (a ) f (b), 所以 M 和 m 至少有一个不 等于 f ( x ) 在区间 [a , b] 端点处的函数值.不妨设 M f (a ) ， 则必定在 (a, b) 有一点 使 f ( ) M . 因此任取 x [a, b] 均有 f ( x ) f ( ) ， 从而由费马引理有 f ( ) 0 . 证毕
中值定理与导数的应用
f (ξ + ∆x) − f (ξ ) 若 ∆x > 0, 则有 ≤0 ; ∆x
若 ∆x < 0, 则有
f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ≥0 ; ∆x f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ∴ f−′(ξ ) = lim ≥0 ; ∆x→−0 ∆x
f (ξ + ∆x) − f (ξ ) f+′(ξ ) = lim ≤ 0 ; Q f ′(ξ )存在, ∆x→+0 ∆x
ξ
分析 原式等价于 ξ f ′(ξ ) + f (ξ ) = 0， 即等价于
[ xf ( x)]′ x=ξ = 0.
因此构造辅助函数 ϕ( x) = xf ( x), 并对ϕ( x) 在[a, b] 定理. 上使用 Rolle 定理
证明 令ϕ( x) = xf ( x). 由题意知， ( x) 在[a, b] ϕ 由题意知， 又因为 f (a) = b, f (b) = a, 上连续， 内可导， 上连续，在(a, b)内可导， 所以 ϕ(a) = af (a) = ab = bf (b) = ϕ(b),
证明 结论可变形为
f ′(ξ ) f (1) − f (0) f ′(ξ ) . = 2 = ( x )′ x =ξ 1− 0 2ξ
设 g( x) = x2 ,
则 f ( x), g( x) 在 0,1]上满足柯西中值定理的 [ 条件,
∴在(0,1)内至少存在一点ξ , 有
f (1) − f (0) f ′(ξ ) = ， 即 f ′(ξ ) = 2ξ[ f (1) − f (0)]. 1− 0 2ξ
(a, b)内每一点处均不为零，那末在(a, b) 内至少有一点 内每一点处均不为零， ξ(a < ξ < b),使等式
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2021考研数学高数备考复习知识点：中值定理与导数的应用
1、定理（罗尔定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a
2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a
3、定理（柯西中值定理）如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使的等式[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。
4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么：（1）如果在（a，b）内f’（x）>0，那么函数f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f’（x）
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’（x）=0的根及f’（x）不存在的点来划分函数f（x）的定义区间，就能保证f’（x）在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f （x）在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f （x）f（x0）均成立，就称f（x0）是函数f（x）的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。
定理（函数取得极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’（x0）=0.定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数f（x）在x0一个邻域内可导，且f’（x0）=0，那么：（1）如果当x取x0左侧临近的值时，f’（x）恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’（x）恒为负，那么函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x 取x0左侧临近的值时，f’（x）恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’（x）恒为正，那么函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’（x）恒为正或恒为负，那么函数f（x）在x0处没有极值。
定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：（1）当f’’（x0）0时，函数f（x）在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设f（x）在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2][f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）在区间Ix上图形是凸的。
定理设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（a，b）内f’’（x）>0，则f（x）在闭区间[a，b]上的图形是凹的；（2）若在（a，b）内f’’（x）
判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求出f’’（x）；（2）令f’’（x）=0，解出这方程在区间（a，b）内的实根；（3）对于（2）中解出的每一个实根x0，检查f’’（x）在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’（x）在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0，f（x0））是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0，f（x0））不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。