立体图形、截面图形、投影图形的画法
《建筑制图与识图》第3章
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
1．利用曲面投影的积聚性
例3-2 如图（a）所示，已知圆柱体表面上一点A的V面投影。 求点A的H面、W面投影。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
分析与作图： 因圆柱的轴线垂直于H面，故圆柱的水平投影有积聚性，又 因a′可见，表明点A位于圆柱的前半个表面上，因此过a′向下投 影，在圆柱水平投影的前半圆周上得点A的水平投影a。由a，a′ 可求出a″，如图3-9（b）所示。因a′位于V投影对称轴的右侧， 故a″为不可见，A点在圆柱体上的位置如图3-9（c）所示。
3.3.1 截切体
因为立体的形状都不一样，截平面与立体表面的相对位置 也各不相同，由此产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交 线都具有以下基本性质：
① 共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截 平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
② 封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是 封闭的平面图形。
第3章 立体的投影
目录
3.1
平面立体
曲面立体
3.2
3.3
截切体和相贯体
组合体
3.4
3.1 平面立体
3.1.1 常见平面立体的投影图
平面立体
3.1.2 平面立体的投影图的绘制
3.1.3 平面立体表面上点和直线的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.2 平面立体图的绘制
绘制平面立体的三面投影图，首先要按正确位置将 形体放入三面投影体系中，让形体的表面和棱线与投影 面尽量平行或垂直。
绘制平面体的投影图实际上就是绘制平面体底面和 侧表面的投影，一般先画出反映底面实形的正投影图， 然后再根据投影规律画出其他两个投影。
初中数学 如何绘制立体图形的投影
初中数学如何绘制立体图形的投影绘制立体图形的投影需要一定的几何知识和绘图技巧。
下面将详细介绍绘制立体图形投影的步骤和方法。
1. 确定投影平面：首先，需要确定立体图形的投影平面。
投影平面可以是水平面、垂直面或其他平面。
根据需要，选择合适的投影平面。
2. 绘制基本形状：根据立体图形的形状，绘制基本形状的投影。
例如，如果立体图形是一个长方体，可以先绘制长方形的投影。
如果立体图形是一个球体，可以绘制一个圆的投影。
3. 定位顶点和边：根据立体图形的顶点和边的位置，使用几何知识将它们定位到投影平面上。
可以利用垂直投影或平行投影的方法。
-垂直投影：将立体图形的顶点和边垂直地投影到投影平面上。
使用垂直投影可以保持立体图形的形状和大小不变。
在投影平面上，使用垂直线表示立体图形的边。
-平行投影：将立体图形的顶点和边平行地投影到投影平面上。
使用平行投影可以保持立体图形的形状和大小不变。
在投影平面上，使用平行线表示立体图形的边。
4. 连接顶点和边：在投影平面上，根据立体图形的顶点和边的位置，连接顶点和边，绘制立体图形的投影。
-在平行投影中，使用平行线连接顶点和边。
-在垂直投影中，使用垂直线连接顶点和边。
5. 添加细节：根据需要，可以添加立体图形的细节，如曲线、阴影等。
这样可以使投影更加真实和逼真。
绘制立体图形的投影需要具备几何知识和绘图技巧。
对于不同类型的立体图形，可以选择不同的投影方法和投影平面。
在绘制过程中，要注意保持正确的比例和尺寸，以确保投影的准确性。
总结起来，绘制立体图形的投影需要以下步骤：确定投影平面、绘制基本形状、定位顶点和边、连接顶点和边，并添加细节。
通过正确选择投影方法和投影平面，可以准确地表示立体图形在二维投影平面上的形状和尺寸。
如何画好立体图形
如何画好立体图形对于初中的同学来说，虽然通过在小学里对立体图形的学习有了一定的空间想象力，但要准确的画出几何体的三视图，并不是件很容易的事情．为此，可采用如下方法：（一） 从正投影的角度想象几何体的三视图在学习的画立体图形的三视图，采取的实际上是常见的正投影的方法，即当光线与投影面垂直时的投影．人在阳光下产生影子，物体在光线的照射下也会产生投影，如图1，在自上而下垂直于平面的光线的照射下，线段AB 的位置不同可分别得到的投影为一点、和它等长的线段、比它小的线段．因此，当想象不出几何体的三视图时，可以想象在物体的后面有一个投影面，有一束光线以垂直于投影面的角度照射物体，在投影面上形成的影子即相应的视图．例如: 初学画三视图的同学，很容易把图2中的几何体的正视图画成图3的样子．但是，从投影的角度就很容易画成图4的样子．图345图 1图 2（二）用45º线的方法形成对应因为三视图中的正视图和俯视图都反映几何体的长，所以在画三视图时，正视图和俯视图在长上应保持一致，同理，正视图和左视图应在高上保持一致，左视图和俯视图应在宽上保持一致．在这几种保持一致的对应上，左视图和俯视图的一致比较难掌握，而画45º线的方法则可以使它们之间保持很好的一致．具体画法为：1．确定主视图的位置，画出主视图；2．在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；3．在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”；4．为表示出旋转几何体（圆柱、圆锥、球等）的对称轴，可在视图中加画点划线。
《几何画板》在数学教学中的应用对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。
同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。
因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革──用计算机辅助教学，改善人们的认知环境──越来越受到重视。
立体图形怎么画
立体图形怎么画立体图形是由三维空间中的几何体构成的，具有长度、宽度和高度三个方向。
常见的立体图形有立方体、长方体、球体、圆锥体、圆柱体等。
在绘制立体图形时，需要遵循一定的规律和技巧，以获得更加真实、精确和美观的效果。
下面将介绍如何绘制常见的立体图形，并提供相关的绘图技巧和实例。
1.立方体的绘制立方体是一种六面体，每个面都是一个正方形。
在绘制立方体时，需要先画定位线，然后绘制正方形的平面，再将他们合成一个六面体。
（1）先画出一个正方形，作为立方体的底面，在底面四个顶点处描绘四个边向上的垂直线，这些线应高出底面边的长度，相交处即为顶部的四个点。
（2）连接底面和顶部，从每个底面上端平行线向上连接，然后向下连接到相应的垂直线，再连接相邻的线段，即得到了一个完整的立方体。
绘制立方体时需要注意以下几点：（1）定位线和平面的尺寸应该相同，以确保立方体的比例正确。
（2）在制作六个正方形时，要保证它们的边缘互相平行，这有助于提高图形的准确性。
（3）在绘制各个面时，应遵循透视原理，即远离我们的面会缩小，而靠近我们的面会增大。
2.长方体的绘制长方体是一种六面体，由两个平行的长方形作为顶部和底部，以及四个矩形作为侧面组成。
与立方体类似，绘制长方体时也需要先绘制定位线和平面。
（1）确定长方体的长度、宽度和高度，以此在画面上虚构出一个长方体的框架。
（2）在底面四个顶点处描绘四个边向上的垂直线，这些线应高出底面边的长度，相交处即为顶部的四个点。
（3）连接底面和顶部，从每个底面上端平行线向上连接，然后向下连接到相应的垂直线，再连接相邻的线段，即得到了一个完整的长方体。
绘制长方体时需要注意以下几点：（1）与立方体相同，定位线和平面的尺寸应该相同，以确保长方体的比例正确。
（2）在制作顶部和底部的两个长方形时，要确保它们的边缘互相平行，这有助于提高图形的准确性。
（3）在绘制矩形时，应遵循透视原理，以确保各个侧面的比例正确。
3.球体的绘制球体是一种三维圆形体，由无数平行的圆形组成，可以绘制出不同的大小和形状。
初中数学 如何绘制立体图形的投影
初中数学如何绘制立体图形的投影绘制立体图形的投影是初中数学中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解三维物体在二维平面上的表现。
在绘制立体图形的投影时，我们需要掌握一些基本的技巧和方法。
下面我将为你详细介绍如何绘制立体图形的投影。
一、绘制平面投影平面投影是指将一个三维物体的影像投影到一个平面上。
根据投影方向的不同，平面投影可以分为正射投影和斜投影。
在绘制平面投影时，我们可以通过以下步骤进行操作：1. 确定投影平面：首先，确定要将物体投影到的平面。
这个平面可以是水平的、垂直的或斜的，具体根据题目或需要来确定。
2. 确定投影方向：根据题目要求或需要，确定投影的方向。
例如，俯视图、正视图、侧视图等。
3. 绘制主要轮廓线：根据物体的主要轮廓线，在投影平面上绘制出物体的主要形状。
4. 绘制次要轮廓线：根据物体的次要轮廓线，在投影平面上绘制出物体的次要形状。
5. 补充细节：根据需要，可以在投影图中添加一些细节，如标记点、标尺、坐标轴等。
二、绘制正交投影正交投影是指将三维物体的各个面分别投影到与其平行的投影面上。
在绘制正交投影时，我们可以通过以下步骤进行操作：1. 确定投影平面：首先，确定要将物体投影到的平面。
这个平面可以是水平的、垂直的或斜的，具体根据题目或需要来确定。
2. 确定投影方向：根据题目要求或需要，确定投影的方向。
例如，主视图、副视图等。
3. 绘制主视图：根据物体的主要轮廓线，在投影平面上绘制出物体的主视图。
主视图通常选择与物体的主轴平行的投影面。
4. 绘制副视图：根据物体的次要轮廓线，在投影平面上绘制出物体的副视图。
副视图通常选择与物体的副轴平行的投影面。
5. 补充细节：根据需要，可以在投影图中添加一些细节，如标记点、标尺、坐标轴等。
三、绘制斜投影斜投影是指将三维物体的各个面分别投影到一个与其不平行的投影面上。
在绘制斜投影时，我们可以通过以下步骤进行操作：1. 确定投影平面：首先，确定要将物体投影到的平面。
机械制图 第3章 平面立体
截平面截断所有 侧棱,截交线为与底 面类似的多边形
例3 求四棱柱开槽的截交线
例4：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。
1(2) 2"●
●
1"
3(4)
5´
4"
3"
5"
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后 再取局部。
1(3)
一 圆柱
1 圆柱的投影
V
一面投影为反映 底面实形的圆， 另两面投影为相 同的矩形。
分析圆柱转向素线的投影规律
圆柱投影不为 圆的两个视图 上，转向素线 在一个图的两 边，一定在另 一个图的中间！
2 在圆柱表面上取点 c´ c"直接利用积
b´
a´
(d´)
(d") a"
b"
聚性在圆周 上取点
d a b c
例3：补全三棱锥被截后的左视图和俯视图
1´ 3´
1"
3" 5´（6´）
2" 6" 5"
2´
4´
4
3 4
O A
3.2 回转体
O1
A1
由曲面或曲面与平面所围成的立体。 曲面可看作由直线或曲线绕轴线旋转所形成。 这条运动的线称为母线，而母线在曲面上任—位置称 为素线。母线上的点绕轴线旋转时，形成回转面上垂 直于轴线的纬圆。 在画回转体的投影时，除了画出轮廓线外，还要画出 曲面投影的转向轮廓线，简称为转向素线。
a
2 在棱锥表面上取点
当棱锥表面的投影没有积 聚性时，可利用平面上的 辅助线进行作图。
机械制图第三章 基本体投影
2'
5' 3' 4' 6'
4
PW
1" 2" 5"
4"
6" 3"
y
解题步骤
1、分析两圆柱的相对位置
2、判断相贯线的已知投影 是，由已知求未知投影.
3、求出相贯线上的特殊点.
4、求出一对一般点. 5、顺次光滑地连接各 点，并且判别可见性.
6、加粗可见轮廓线。
y
1
2
PH
5 36
一、辅助平面求点法——柱与孔
5 67 4
32
8
1 10 9
P Q
〔例8 〕 完成组合立体被截切后的投影
1' 4' (5')2' (3')
3" 5"
4" 2" 1"
3 5 1 4 2
2. 求曲面立体截交线的步骤
求曲面立体截交线的步骤：
找若
确定 截切 前基 本体 形状
判断 截平 面数 量及 位置
判断 各截 平面 形状
截平 面为 曲线 图形
1. 球的投影及表面取点
球的投影及表面取点： 辅助平面法。
1'
2'
如何求？
1" 3"
(2")
投投影影 可可见见否否？？
1 (2)
2. 作曲面立体投影及表面取点的注意问题
作曲面立体投影及表面取点的注意问题： （1）需要确定各投影面转向轮廓线的位置； （2）分清各条转向轮廓线在三个投影面的投影； （3）选择合适的辅助平面求点的投影。
4''
第六章 几何图形初步 第二节 立体图形的三视图
第六章几何图形初步
§6.2立体图形的三视图
【知识要点】
1．三视图是从三个正向视角看几何体，所得到的平面图形．主视图：从前往后看，是从前往后的正投影；
左视图：从左往右看，是从左往右的正投影；
俯视图：从上往下看，是从上往下的正投影；
2．常见几何体的三视图如下表所示：
一般,将看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线．类型一投影法画三视图
例1请画出下列几何体的三视图．
（1）（2）（3）
练习1请画出下列几何体的三视图．
（1）（2）（3）（4）
类型二从不同方向看立体图形
例2如图是由5个相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的形状图是( )
A．B．C．D．
练习2请画出下列几何体的三视图．
（1）（2）
（3） （4）
类型三 根据不同方向看到的图形还原几何体的形状
例3如图用若干小正方体搭成的几何体的三视图，则原几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
练习3（1）如图是几个小正方体搭成的几何体的三视图，则原几何体中小正方体的个数为 ；
（2）若正方体的棱长为1，则还原后的几何体的表面积为对少？
主视图
左视图
俯视图
俯视图
左视图
主视图
练习4如图是几个小正方体搭成的几何体的俯视图，其中数字表示从上面看一列有几个小正方体，请画出主视图和左视图．
2
21
1
主视图
左视图。
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图例解释
.A
θ 投影线
L
平行射影
射影
.A2 .A1
平面
射影图形
空间几何体截面或者侧面与其摄影图形的面积关系
S1=Scosθ
谢谢观看
B
4 3
C
0
D
1
2 A
D1
C1
A1 P1 D Q1 A
B1 R1
、
给定正方形ABCD-A1B1C1D1，设P1、 Q1、R1分别是侧面ADD1A1、ABA1A1、 BCC1B1上的点，画出平面P1Q1R1截 正方形的截口图形？
C
B
A1
A2
解：过P1、Q1、R1作直线平行于 侧棱分别交AD、AB、BC于P、Q、R， 连接PB和QR相交于O。在平面 QRR1Q1中通过O作直线平行于RR1， B1 D2 C2 以O1表示它于Q1R1交点。由P、O、R 三点共线，所以三平行线PP1、OO1、 P1 R1 D C BB1共面。连接P1O1交BB1于点B2， O1 (关键点)延长B2Q1、B2R1分别交AA1、 P Q1 R CC1于A2、C2，连接A2P1交DD1于D2， B2 最后连接C2D2既为所求。 O
斜二测画法的坐标
O
空间旋转体的正等测画法
适合于圆柱、圆台、圆锥等立体图形 （1）以已知图形的底面圆心为原点取相互垂直的轴，Ox, Oy,在直 观图中画成角度为120度或者60度，而原图形中垂直于底面的Oz 轴，在直观图形中画成于其他两轴成120度或者60度。 （2）画已知在图形中平行于轴轴轴的线段，在直观图中也分别 平行于相应的轴。 （3）花平行于x轴y轴z轴的线段，长度都不变。
空间旋转体图形的正等测画法坐标
O
椭圆的简易画法
六点共圆，三点共线
3
y 4 0 2
1
原图中的圆
x
正方形在正等测坐标系中的图形
B
4
3特点可知正等测坐标系的原点到点A、B、1、2、3、4的距离相 等，可知A、B、1、2、3、4六点共圆，同样可知C点到14和D点到23的距 离相等，故选取相应的半径做出四个圆，分别切于1、2、3、4、四点。擦 去多余的部分，得到原图中的圆在直观图的椭圆。
空间直线型图形的斜二测画法
斜二测画法的规则： (1)话平面图形的直观图时，先在已知平面图形中取相互垂直 的轴0x，0y，在直观图中，画出对应的轴，使它们确定的平面表 示水平平面。画立体图形的直观图时，在原立体图形的一面中取 相互垂直的轴0x,0y,取与这一面垂直的线为0z.直观图中 轴， 且使，夹角成45度或者135度。 (2)已知图形中平行于x轴y轴或z轴的线段，在直观图中分别 画成平行于 轴 轴 轴的线段。 (3) 在直观图中保持原长度不变；画平行于y轴的线段，在直 观图中长度变为原来的一半，画平行于z轴的线段，在直观图中 长度不变。
第七章 立体几何研究与解题
第一节 立体图形、截面图形、投影图形的画法
甘肃庆阳：王瑞鹏
知识要点
四类问题的可解性
空间直线型图形的斜二测画法
空间旋转体图形的正等测画法
立体截面图形的画法
射影图形的画法
四类问题的可解性
以下四类问题承认其可解性 （1）通过不共线三点画一个平面； （2）画已知两相交平面的交线； （3）在已知平面上用直尺和圆规或代用工具按平面几何中画图 解决一切画图问题； （4）任取一点，在或不在已知直线上，或不在已知平面；任取 一直线通过或不通过一已知点，在或不在已知平面上；任取一个 平面，通过或不通过一已知点，通过或不通过一已知直线。
C1
、
D1
A
Q
B
射影图形的画法
1.射影（正射影）：从给定点到给定平面作垂线，则垂足就为该 点在给定平面上的射影。 2.射影图形：从给定图形到给定平面作垂线，则所有垂足组成的 图形就为该图形在给定平面上的射影图形。 3.投射线：从给定点到给定图形的垂线就是投射线。 4.平行射影：通过一点的直线平行于已知直线L，投射在已知平面 的射影称为这点的在直线L方向的平行射影。 5.角射影