达朗贝尔虚位移专项练习tjd
[分析力学]解题思路-虚功原理与达朗贝尔方程
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[分析⼒学]解题思路-虚功原理与达朗贝尔⽅程更新：8 JAN 2017虚功原理虚功定义\[\delta W = \dot{\vec{p}}\cdot \delta\vec r \]这个定义描述系统中某个质点/质⼼。
其他常⽤形态：由⽜顿第⼆定律 \(\vec F=\dot{\vec p}\) 引⼊通常⼒的概念得\[\delta W = \vec F\cdot \delta\vec r \]虚功原理理想约束下的⼒学系统处于平衡状态的必要条件为：作⽤在系统上的主动⼒在任何约束条件所允许的虚位移下的虚功之和为零。
若约束为完整并且定常, 则该条件也是充分的。
【理想约束】常见的理想约束：1. 质点沿光滑曲⾯运动2. 两个质点由刚性轻杆所连接3. 两个刚体以光滑表⾯接触更⼀般判据：只要物体间连接是刚性的，所有接触⾯是理想光滑或绝对粗糙。
【完整约束】描述单个约束条件只和体系各质点的坐标\(r_i\)及时间\(t\)有关。
约束⽅程可写成\[f(r_1,r_2,⋯,r_n,t)=0 \]强调与速度或⼴义速度⽆关。
每⼀个完整约束都可以代数消去⼀个不独⽴坐标。
【定常约束】约束⽅程中不显含时间。
【主动⼒】⾮系统中物体的相互作⽤⼒，也可以说是外⼒。
例如重⼒、外界施与的拉⼒等。
解题思路1.利⽤虚功原理求解静⼒学平衡位置对静⼒学系统，先确定⾃由度，找独⽴坐标，确定主动⼒；再求主动⼒虚功、虚位移，令虚功为零，⽽独⽴坐标的虚位移任意变化，则其系数分别为零，得到静⼒平衡⽅程；解得平衡坐标。
【例】质量分别为\(m_1\)和\(m_2\)的两个质点由长度为\(l\)的刚性轻杆联结, 将它们放到表⾯光滑的半圆形容器内（如图）, 容器的半径也为 \(r\) \ ((l<2r)\). 试求它们在重⼒作⽤下的平衡位置。
2.利⽤虚功原理求解静⼒学系统中的约束反⼒⽅法⼀：将该约束反⼒视为主动⼒处理，该约束反⼒对应的位移视为独⽴坐标；由上⾯的⽅法求出含有主动⼒和约束反⼒对应独⽴坐标的静⼒平衡⽅程；代⼊上⾯求出的平衡坐标可以求出约束反⼒。
工程力学课后习题答案单辉祖著
工程力学课后习题答案单辉祖著工程力学课后习题答案（单辉祖著）在学习工程力学这门课程时，课后习题的练习与答案的参考对于巩固知识、加深理解起着至关重要的作用。
单辉祖所著的《工程力学》一书，以其严谨的逻辑和丰富的内容，成为众多学子学习工程力学的重要教材。
下面，我们将为您详细呈现这本教材的课后习题答案。
首先，让我们来谈谈第一章的习题。
在这部分中，主要涉及到静力学的基本概念和受力分析。
例如，有一道题是关于一个简单的支架结构，要求画出其受力图。
对于这道题，我们需要明确各个构件之间的连接方式，判断是固定铰支座、活动铰支座还是其他约束类型，然后根据力的平衡条件，准确地画出每个构件所受到的力。
答案中，我们清晰地标注了各个力的大小、方向和作用点，并且通过合理的布局，使受力图易于理解。
第二章的习题重点围绕平面汇交力系和平面力偶系展开。
其中，有一道计算题要求计算多个力在某一点的合力。
在解答这道题时，我们首先将每个力分解为水平和垂直方向的分力，然后分别计算水平和垂直方向上的合力，最后通过勾股定理求出总的合力大小和方向。
答案的给出过程中，每一步的计算都有详细的说明，让学习者能够清晰地看到解题的思路和方法。
第三章的内容是平面任意力系。
这一章的习题难度有所增加，涉及到力系的简化、平衡方程的应用等。
比如，有一道题是求解一个复杂结构在给定载荷下的支座反力。
解题时，我们先对力系进行简化，找到主矢和主矩，然后根据平衡方程列出方程组，通过求解方程组得到支座反力的大小和方向。
答案中不仅给出了最终的结果，还展示了求解方程组的具体步骤和计算过程，方便学习者对照检查自己的解题过程。
第四章是空间力系。
这部分的习题对于空间想象力和数学运算能力有一定的要求。
例如，有一道题要求计算空间力在坐标轴上的投影以及对某点的矩。
在解答时，我们需要运用空间直角坐标系的知识，通过三角函数等方法求出投影的大小，再根据矩的定义计算出对某点的矩。
答案中会详细说明投影和矩的计算过程，并且配以适当的图示，帮助学习者更好地理解空间力系的概念。
虚位移原理
rA rB rA rB L W 0 FrB M 0
m3 g
A
900
C2
平衡方程的求解方法
C1 M m1 g m2 g O
研究OA杆
B F
M
F
O
0
FAx L M 0 (1)
m3 g
FAy FAx A A
C1 M m1 g O FOy FOx
F
n
Ni
ri 0 ?
' ' ( FNB FSB ) r1 ( FNB FSB ) r2 ( FNA FSA ) r2 FN 1 r2
( FNB FSB ) r1 FSB r1 0
（2）：无摩擦 是理想约束
F
5. 列出虚功方程并求解。
二、虚位移分析
质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关 系, 确定这些关系通常有两种方法：
(一) 几何法 由运动学知，质点的位移与速度成正比，即
dr v dt
因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系 δr B δφ ——虚速度法 A B δrA rA v A a a b
得
FA FB tan
(3)
虚速度法
rA vA , dt rB vB dt
定义:
为虚速度
代入到
Fi ri 0 中, 得
FB vB FAvA 0
由速度投影定理,有
vB cos v A sin ,
代入上式 得 FA FB tan
只限制某方向运动的约束称为单面约束。在两个相
对的方向上同时对物体运动进行限制的约束称为双
第9章 行波法与达朗贝尔公式部分习题及解答
第9章 行波法与达朗贝尔公式部分习题及解答9.1设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()x ψ，求解无限长弦的自由振动. 解：定解问题：2000, (),()tt xx t t t u a u x u x u x ϕψ==⎧−=−∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩ 由达朗贝尔公式可得：11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+−=++−+⎰ 9.2半无限长弦的初始位移和初速度都为0，端点作微小振动，0sin x u A t ω==，求弦的振动。
解：定解问题：20000, 0sin 0,0tt xx x t t t u a u x u A t u u ω===⎧−=<<+∞⎪=⎨⎪==⎩方法1：由题意可得：通解为(,)()u x t F x at =−，代入边界条件，0()sin x u F at A t ω==−=令0at ξ=−<，则：t a ξ=−，()sin(), 0F A a ωξξξ=−< 所以：(,)sin[()]sin[()], 0x u x t A x at A t x at a aωω=−−=−−< 所以，定解问题的解为sin[()], (,)0, x x A t t a a u x t x t a ω⎧−>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩方法2：由题意得，对于x>at ，u (x,t )=0,将定解问题延拓到-∞<x <+∞, 20000, 0sin 0,00,0(),(),0(),0tt xx x t t t u a u x u A t x x u x u x x x x ωϕψ===⎧−=<<+∞⎪=⎪⎨≥≥⎧⎧⎪=Φ==⎨⎨⎪<<⎩⎩⎩ 所以，11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aξξ+−=Φ++Φ−+ψ⎰ 且满足: 0011()()sin 22x atu at d A t a ϕψξξω=−=−+=⎰ 记：0x at =−<，则011sin()()()d 22x A x a aηωϕψξξ−=+⎰， 可取：()2sin x x A aωϕ=−，()0x ψ= 则： 1(,)()sin[()]sin[()],2x x u x t x at A x at A t t a a aωϕω=−=−−=−>， 9.5已知初始电压分布为cos A kxcos kx ，求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。
第9章 行波法与达朗贝尔公式部分习题及解答
第9章 行波法与达朗贝尔公式部分习题及解答9.1设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()x ψ，求解无限长弦的自由振动. 解：定解问题：2000, (),()tt xx t t t u a u x u x u x ϕψ==⎧−=−∞<<+∞⎪⎨==⎪⎩ 由达朗贝尔公式可得：11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+−=++−+⎰ 9.2半无限长弦的初始位移和初速度都为0，端点作微小振动，0sin x u A t ω==，求弦的振动。
解：定解问题：20000, 0sin 0,0tt xx x t t t u a u x u A t u u ω===⎧−=<<+∞⎪=⎨⎪==⎩方法1：由题意可得：通解为(,)()u x t F x at =−，代入边界条件，0()sin x u F at A t ω==−=令0at ξ=−<，则：t a ξ=−，()sin(), 0F A a ωξξξ=−< 所以：(,)sin[()]sin[()], 0x u x t A x at A t x at a aωω=−−=−−< 所以，定解问题的解为sin[()], (,)0, x x A t t a a u x t x t a ω⎧−>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩方法2：由题意得，对于x>at ，u (x,t )=0,将定解问题延拓到-∞<x <+∞, 20000, 0sin 0,00,0(),(),0(),0tt xx x t t t u a u x u A t x x u x u x x x x ωϕψ===⎧−=<<+∞⎪=⎪⎨≥≥⎧⎧⎪=Φ==⎨⎨⎪<<⎩⎩⎩ 所以，11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aξξ+−=Φ++Φ−+ψ⎰ 且满足: 0011()()sin 22x atu at d A t a ϕψξξω=−=−+=⎰ 记：0x at =−<，则011sin()()()d 22x A x a aηωϕψξξ−=+⎰， 可取：()2sin x x A aωϕ=−，()0x ψ= 则： 1(,)()sin[()]sin[()],2x x u x t x at A x at A t t a a aωϕω=−=−−=−>， 9.5已知初始电压分布为cos A kxcos kx ，求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。
虚位移的应用_练习题
1．地震仪的杠杆ACD与铰链B连接，其上固结一个质量为m的重物，如图所示。
当ABC 处于水平位置时，弹簧具有初压力F0。
若不计杠杆质量，求当BD处于铅垂位置且为稳定平衡时的弹簧系数k。
2．图示机构的在C处铰接，在D点上作用水平力P，已知AC=BC=EC=FC=DE=DF=l，求保持机构平衡的力Q的值。
3．套D套在光滑直杆AB上，并带动CD杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。
已知当0
θ= 时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m。
若系统的自重不计，求在任意位置θ角平衡时，在AB杆上应加多大力偶矩M。
4．均质杆AB的长为l，重为P，搁置在宽为a的槽内，如图所示。
设A、D处光滑接触，试求平衡位置的θ角。
x
y。
第10章达朗贝尔原理及虚位移原理ppt课件
例10-1
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60
求:
用达朗贝尔原理求解 v, FT .
解:
FI
m
a
n m
l
v2 sin
mg FT FI 0
Fb 0, FT cos mg 0
Fn 0, FT sin FI 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
v
FT l sin 2
按不同坐标系，惯性力可分解为：
FJ x
max
FJ y
may
FJ z
maz
F J ma ——切向惯性力 FnJ man ——法............... FbJ mab 0
3
10.1.2 质点的达朗贝尔原理
非自由质点M：质量m，受主动力 F， 约束反力 N 作
用， F 、N 的 合力为
轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力 的影响. 求:轮缘横截面的张力.
解:
FIi
miain
m
2R
Ri R 2
Fx 0,
FIi cos FA 0
Fy 0,
FIi sin FB 0
令 i 0,
FA
2
m R 2 cos
d
mR 2
0 2
2
FB
2
m R 2 sபைடு நூலகம்n
Fi FNi 0
即
Fi
ri
FNi
ri
0
Fi
r i
FNi ri 0
F i ri 0
或记为
WFi 0
此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:
1-2 达朗贝尔原理与拉格朗日方程
说明
1、由 W Fi ri 0 只能求出平衡条件，不能求出约束力 ;
i
2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤: (1) 确定系统自由度，选择合适的广义坐标；
(2) 将 ri 表示为广义坐标 q 的函数，并求出 ri xi , yi , zi ； (3)由虚功原理列出平衡方程，并令 q 的系数为零，求出平衡条件。
i 1,2, i 1,2,
, n , n
动力学方程
或： mi ri Fi Ri 0
惯性力 主动力
静力学方程（平衡方程）
约束力 静力学问题 动静法
动力学问题
纯数学移项，但物理意义深远！
mi ri Fi Ri 0
i 1,2,
, n
mi ri Fi Ri ri 0
W Fi ri Ri ri 0 对于理想约束
i i
R r 0
i i i
W Fi ri 0
i
或： W Fi ri Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
i i
i 1,2
对定常约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；
对非定常约束，实位移与虚位移不一致 . 分别见P7图1.2.1(a)(b)
二、理想约束
实功：作用在质点上的力（含约束力 Ri）在实位移 dri 中所作 的功， dWi Fi dri Ri dri 虚功：作用在质点上的力（含约束力 Ri）在任意虚位移������ ri 中所作的功， Wi Fi ri Ri ri
q 是互相独立的；不能令 xi , yi , zi的系数为零，∵它们不是互 （
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达朗贝尔虚位移专项练习tjd
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虚位移、达朗贝尔
专项练习
一．判断题、填空题
1．质点有运动就有惯性力。
< ）
2．已知质点的运动方程就可以确定作用于质点上的力；已知作用于质点上的力也可以确定质点的运动方程。
< ）b5E2RGbCAP
3．虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主动力以及运动的初始条件无关。
< ）p1EanqFDPw
4．不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢的大小都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向则与
质心加速度方向相反。
< ）DXDiTa9E3d
5．如图所示系统由匀质圆盘与匀质细杆
铰连而成。
已知：圆盘半径为r、质量为M，
杆长为l，质量为m。
在图示位置，杆的角速
度为ω 、角加速度为α ，圆盘的角速度、角加速度均为零。
则系统惯性力系向定轴O简化后，其主矩为。
RTCrpUDGiT
二、计算题
图示匀质细杆的端点A、B在固定圆环中沿壁
运动。
已知：杆长为L、重为P，质心C的速度大
小为υC<常数），圆环半径为r。
试求惯性力系向圆心O简化的结果。
5PCzVD7HxA
三计算题
在如图所示机构中，各构件自重不
计，已知OC = CA，P = 200 N，
弹簧的弹性系数k = 10 N/cm，图示
平衡位置时ϕ = 30°，θ = 60°，
弹簧已有伸长δ = 2 cm，OA水平。
试用虚位移原理求机构平衡时力F的大小。
jLBHrnAILg
四、计算题
五、计算题动静法+虚位移求解
六、计算题
七、计算题
八、计算题动静法求解
参考答案
一．判断题
1．错； 2．错； 3．错；4．对 5．大小为，转向逆时针。
二计算题
匀质细杆AB作定轴转动，其转动角加速度，其质心加速度
，
其惯性力系向圆心O简化结果<大小）：
；
，。
方向如图所示。
三解：
四、计算题
五计算题
六计算题
七、计算题
八、计算题
杆的角加速度：
申明：
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