理论力学-虚位移原理 案例
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理论力学：虚位移原理
y
B
内力虚功：W (Fs ) Fs
b
xE xD 2b sin 2b cos
l
A
FS D FS' E
CF
外力虚功：W (F ) FxC
xC 2l sin
xC 2l cos
x
根据虚位移原理：W 0
当0 2b
Fs
k(
0 )
b l
k ( xC
a)
当：xC a, 0
2020/12/9
变形体的虚位移原理：具有双面、理想约束处于静止的质 点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外 力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等 于零。
2020/12/9
2
理论力学
§4-6 虚位移原理
例：机构如图所示，不计构件自重。 已知 AB = BC = l, 弹簧
刚度为k，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平
理论力学
习题：4-7、4-12、4-15
•变形体的虚位移原理
•质点系平衡的稳定性
2020/12/9
1
理论力学
§4-6 虚位移原理
三、变形体的虚位移原理
m1
F1
m2
F2
F1
m1
m2 F2
FN 1
FN 2
FN 1
FN 2
•外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力
•内力(internal force)：质点系内部的作用力
V
nห้องสมุดไป่ตู้i1
V qi
qi
0
(*)
对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移（变分）是独立的
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
理论力学PPT课件第8章虚位移原理与能量法
理论力学ppt课件第8章虚位移原理与能量法
目录
虚位移原理 能量法 拉格朗日方程 哈密顿原理 最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。
目录
虚位移原理 能量法 拉格朗日方程 哈密顿原理 最小作用量原理
01
CHAPTER
虚位移原理
03
与实际位移的区别
实际位移会改变系统的能量和状态，而虚位移不会。
01
虚位移
系统在平衡状态下的一种假设的、微小的位移，不改变系统的内能。
02
特点
虚位移是约束允许的、可以无限接近的、无穷小且不改变系统能量的位移。
虚位移概念
虚位移原理
对于一个处于平衡状态的完整系统，所有主动力在虚位移上所做的功之和等于零。
表述公式
$ΣF_{i}δr_{i} = 0$
解释
该公式表示系统在平衡状态下，主动力在任意虚位移上所做的功之和为零。
虚位移原理的表述
判断系统平衡状态
通过计算主动力在虚位移上所做的功之和，如果结果为零，则系统处于平衡状态。
哈密顿量是系统的总动能和总势能之和，加上约束条件的势能。
该原理适用于完整约束和非完整约束系统，是经典力学中最基本的原理之一。
哈密顿原理的表述
哈密顿原理与拉格朗日方程的关系
01
哈密顿原理和拉格朗日方程是经典力学中两个重要的基本原理，它们之间存在密切的联系。
02
拉格朗日方程是从哈密顿原理推导出来的，描述了系统运动状态随时间的变化规律。
哈密顿原理是更一般的原理，可以推导出拉格朗日方程，也可以推导出其他形式的运动方程。
03
哈密顿原理在经典力学中有着广泛的应用，例如在分析力学、振动分析、稳定性分析等领域。
在振动分析中，哈密顿原理可以用来描述振动系统的能量分布和传播规律。
哈密顿原理的应用实例
在分析力学中，哈密顿原理可以用来求解约束系统的运动轨迹和运动状态。
15 理论力学--虚位移原理及其应用
(i = 1, 2,⋯, n )
O θ1 l1 M1(x1，2) y θ2 y l2 M2(x2，y2) x
如图15-5所示双摆。质点系由两个 质点组成，受到两个几何约束，广义坐 标数（或自由度数）为 2 ，可以选取角
ϕ 1和 ϕ 2作为广义坐标， ϕ 1和 ϕ 2相互
独立。
图 15-5
15.2.4 虚位移分析 15.2.4.1 几何法 应用几何学或运动学的方法求各点虚位移间的关 系。首先根据系统的约束条件，确定自由度，给定虚 位移，画出虚位移图，然后应用运动学的方法求有关 点虚位移间的关系。 质点的无限小位移与该点的速度成正比，即dr = v dt。 两质点无限小位移大小之比等于两点速度大小之比。 两质点虚位移大小之比等于对应点虚速度大小之比。 可以应用运动学中的速度分析方法（如瞬心法、速度 投影法、速度合成定理等）去建立虚位移间的关系。
本章重点 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理 求解物体系的平衡问题。 本章难点 广义坐标、广义力的概念，广义坐标形式的 虚位移原理。
15.1 约束及其分类 . 15.1.1 约束与约束方程 位形（Configuration）： 位形 质点系内各质点在空间的位置的集合。 约束（Constraints）： 约束 在非自由质点系中，那些预先给定的限制质点系 位形或速度的运动学条件。 例如，限制刚体内任意两点间的距离不变的条件 ，限制车轮在直线轨道上滚动而不滑动的条件 约束方程（Contraint equations）： 约束方程 限制条件的数学方程式。
f j ( x1 , y1 , z1 ; ⋯; xn , yn , zn ) = 0
( j = 1, 2,⋯, s )
（15-3）
15.2 虚位移与自由度 . 15.2.1 虚位移 质点或质点系在给定位置（或瞬时），为约束所 容许的任何无限小位移，称为质点或质点系在该位置 的虚位移 虚位移（Virtual displacement）。 虚位移 虚线位移：δ r ， δ r = δ x i + δ y j + δ z k 。 虚角位移：δϕ ， δθ 。
虚位移原理例题
虚位移原理例题虚位移原理是力学中的一个重要概念，它是描述物体在受力作用下发生位移的原理。
虚位移原理在力学、静力学、动力学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解虚位移原理的应用。
例题一，弹簧振子。
一根质量为m的弹簧上挂着一个质量为M的物体，当物体受到外力F时，弹簧发生形变。
求弹簧的位移x。
解析，根据虚位移原理，我们可以假设弹簧的位移为x，那么弹簧所受的弹力为-kx，其中k为弹簧的弹簧系数。
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为F-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。
因此，我们可以得到F-kx=0，解得x=F/k。
例题二，斜面上的物体。
一个质量为m的物体沿着无摩擦的斜面向下滑动，斜面的倾角为θ，斜面的高度为h。
求物体滑动的位移s。
解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体沿着斜面滑动的位移为s，那么物体所受的重力分解成沿斜面方向的分力为mgsinθ，垂直斜面方向的分力为mgcos θ。
根据虚位移原理，物体所受的合外力为mgsinθ，这个合外力所做的虚功等于零。
因此，我们可以得到mgsinθs=0，解得s=0。
例题三，简谐振动。
一个质量为m的物体挂在一个弹簧上，弹簧的劲度系数为k。
求物体振动的最大位移A。
解析，根据虚位移原理，我们可以假设物体振动的位移为x，那么物体所受的弹力为-kx。
根据牛顿第二定律，物体所受的合外力为-mg-kx，根据虚位移原理，这个合外力所做的虚功等于零。
因此，我们可以得到-mg-kA=0，解得A=mg/k。
通过以上例题的分析，我们可以看到虚位移原理在力学问题中的重要作用。
它通过假设物体的虚位移，使得问题的分析变得简单而直观。
虚位移原理的应用不仅仅局限于上面的例题，它在静力学、动力学、弹性力学等领域都有着广泛的应用。
因此，掌握虚位移原理对于理解力学问题、解决实际问题具有重要意义。
总结：虚位移原理是力学中的一个重要概念，它描述了物体在受力作用下发生位移的原理。
第12章 虚位移原理
B
rB
A
r
A
l
O
B
rB
虚位移
虚 位 移 与 实 位 移 的 比 较
实位移 1. 为约束所容许； 2. 可以是有限值，真是发生； 3. 除与约束有关，还与力、时间、 初始条件有关； 4. 所能实现的只有一组；
1. 为约束所容许； 2. 总为无限小，非真实发生； 3. 只与约束有关，与力、时间、初 始条件无关，是纯粹的几何概念； 4. 一个位置下可以有几组；
解析式为：
xi i yi i zi
Fi ri FNi ri 0
Fi FNi 0
F x F y F z 0
i
虚位移原理或虚功原理: 对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用 于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.
FA cos r B FB rB 0
FA FB tan
例：求图示组合梁支座A的约束力，求FA。
解:
s A 8
WF FA sA F1 s1M F2 s2 0
3 11 1 FA F1 F2 M 8 14 8
s1 3
M
E
C
rE
D
rD
rB
mA M Q1 rE F1 sin rB F2 rD 0
rE l , rB 2l , rD rE 2l
mA M 2F1l sin Q1l 2F2l 3 kN m
sM 11
4 s2 s M 7
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
理论力学(14.2)--虚位移原理
F
cotq
q q
问题：如图在 CG 间加一弹簧 , 刚度 k ,
且已有伸长量 0 , 仍求FBx .
在弹簧处也代之以力 , 如图 .
FC FG k0
δ0WF FBx �δxδBδ + FC �yC - FG �yG +F �δy0G
xB 2l cosq , yC l sinq , yG 3l sinq δx2B sin-δ, l q q cosδy,C l q3 qcos yG l qq
δδrA dt
,
vB
rB dt
￥ 代入到
Fi
�δ0ri
, 中得
为 虚速度
FBvB - FAvA 0
由速度投影定理 , 有 vB cosj vA sin j
FA FB tanj
例 14-4
已知：如图所示机构 , 不计各构件自重与各处摩擦 . 求：机构在图示位置平衡时 , 主动力偶矩Ｍ 与主动
Mw - FvC 0
M
Fh sin2 q
解析法：Mδqδ0+ F xC
xC h cotq + BC
δ xC
-
hδq sin2 q
M
Fh sin2 q
例 14-5 求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力 .
解：解除 A 处约束，代之FA ，给虚位移，如图
δWδδFδδ0FA sA - F1 s 1+M j + F2 s2
第十四章
虚位移原 理
例 14-1
已知：如图所示 , 在螺旋压榨机的手柄 AB 上作用一在水平 面内的力偶 ( F , F), 其力矩 M ,2螺F杆l
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代入到 Fi δri 0 中, 得
为虚速度
FBvB FAvA 0
由速度投影定理,有 vB cos vA sin
FA FB tan
例14-4
已知：如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦.
求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系.
解: 给虚位移 θ , rC
WF M Frc 0
－－直接法（几何法）
(2) 解析法 建立坐标系如图.
Fxiδxi Fyiδyi Fziδzi 0
FBδxB FAδyA 0
xB l cos, yA l sin
δxB l sin δ δyA l cosδ
FA FB tan
(3) 虚速度法
定义:
vA
δrA dt
,
vB
δrB dt
xB 2l cos , yC l sin , yG 3l sin δxB 2l sinδ , yC l cosδ , yG 3l cos
FBx(2l sin ) k0l cos k03l cos F3l cos 0
FBx
3 2
F
cot
k 0
cot
－－解析法例14-3Fra bibliotek已知：如图所示椭圆规机构中,连杆AB长为l,滑块A ,B与杆
xB 2l cos , yG 3l sin δxB 2l sin δ , δyG 3l cos δ
代入虚功方程
FBx 2l sinδ F 3l cosδ 0
FBx
3 2
F
cot
问题：如图在CG 间加一弹簧,刚度k , 且已有伸长量 0 ,仍求 FBx .
在弹簧处也代之以力,如图.
FC FG k0 δWF 0 FBx δxB FC δyC FG δyG F δyG 0
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.
求：主动力F与A F之B 间的关系。
解: (1) 给虚位移 δrA , δrB ,
Fi δri 0
FAδrA FBδ rB 0
由 δrB cos δrA sin ( δrA,在δrBA ,B 连线上投影相等)
代入虚功方程,有
FAδrB cot FBδrB FA FB tan
第十四章 虚位移原理
例14-1
已知：如图所示,在螺旋压榨 机的手柄AB上作用一在水平
面内的力偶( F),,其F力 矩
,螺M杆 2Fl
的导程为 . h
求：机构平衡时加在被压物体上的力.
解: 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 受力如图.
给虚位移 δ与 δs
δ δs
2π h
δW F
FNδs 2Flδ
解：解除A处约束，代之 FA ，给虚位移，如图
δWF FAδsA F1δs1Mδ F2δs2 0
δ δsA ,
8
δs1
3δ
3 8
δs
A
,
δsM
11δ
11 8
δs
A
δs2
4 7
δsM
4 7
11 8
δ
s
A
11 14
δsA
3 11 1 FA 8 F1 14 F2 8 M
0
δWF
2Fl
FN h 2π
δ
0
因 是任意的
2Fl FNh 0 2π
FN
4πl h
F
例14-2
已知：图中所示结构,各杆自重不计,在Ｇ点作用一铅直向上的
力Ｆ, AC CE CD CB DG GE . l
求：支座Ｂ的水平约束力.
解: 解除B端水平约束,以力代替.
δWF FBxδxB FδyG 0
δra
δre
sin
δre
OBδ
h
sin
δ ,
δrC
δra
hδ sin2
M
Fh
sin 2
虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin2
M FvC 0
Fh M
sin 2
解析法：Mδ FδxC 0
xC h cot BC
δ xC
hδ sin2
M
Fh
sin 2
例14-5
求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力.