A-1.1-1.2 晶格-晶列和晶面-28
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3、晶列、晶面指数、倒格空间讲解
第 13 页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面族的两种标示方法：
晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢 a1、a2、a3 为坐 标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称为该 晶面族的晶面指数。
晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢 a、b、c 为坐标系三 个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面族的 密勒指数。
第3页
(1,0,0)
(0,1,1)
§1.4 晶列 晶面指数
第4页
§1.4 晶列 晶面指数
晶向上原子排列规律相同但空间方位不同的晶向属于同一晶向族， 用<uvw>表示。
立方边一共有六个不同的晶向，如图：
[100].[010].[001].[100].[010].[001]
第5页
§1.4 晶列 晶面指数
r st
第 10 页
晶面指数与截距的关系
§1.4 晶列 晶面指数
截距为（r，s，t）的晶面族中，总有两个晶面分别通过基矢的两端，
从而这个晶面族把基矢 a1, a2 分, a别3 截成
h1, h2个, h3等长的小段。
由图可以看出，该晶面系中离原点 最近的晶面（ μ ＝1）的截距分别是
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
n)
d
(2)
ta3 cos(a3 , n)
d
取a1、a2、a3为沿三个轴的自然的长度单位， 得：
cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
r st
第9页
§1.4 晶列 晶面指数
晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余 弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。 cos(a1, n) : cos(a2 , n) : cos(a3 , n) 1 : 1 : 1 (3)
3、 晶列、晶面指数、倒格空间
a1, a2 分别截成 , a3
个等长的小段。 h1 , h2 个等长的小段。 , h3
由图可以看出，该晶面系中离原点 由图可以看出，该晶面系中离原点 最近的晶面（ µ ＝1）的截距分别是 最近的晶面（
a1 a 2 a 3 , , h1 h 2 h 3
由方程（2）就得到第一晶面满足的方程组： 由方程（ 就得到第一晶面满足的方程组： 第一晶面满足的方程组
x ⋅ n = µd ⋯⋯(1)
μ为整数， x是晶面上任意点的位矢。 为整数， 是晶面上任意点的位矢。
第一章 晶体的结构
第8页
设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： 设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为： ra1、sa2、ta3,依次代入上 式就得到： 式就得到：
ra 1 cos( a 1 , n ) = µ d sa 2 cos( a 2 , n ) = µ d ta 3 cos( a 3 , n ) = µ d
第一章 晶体的结构
第 19 页
本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间） 本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间）与后面 将要提及的布里渊区，就是试图给出晶体中传播的波的 将要提及的布里渊区， 一些普遍的几何特性。 一些普遍的几何特性。 1913年 1913年， 德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888-1985 ） 德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888为解释X射线的单晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念， 为解释X射线的单晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念， 同时引进倒易空间的概念。 同时引进倒易空间的概念。
§1.4 晶列 晶面指数 晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。 晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。 1、晶列和晶列族 联结任意二个格点的一条直线上包含无 限个相同格点，这样的一条直线称为晶列 晶列。 限个相同格点，这样的一条直线称为晶列。 同一个格子可以形成方向不同的晶列。 同一个格子可以形成方向不同的晶列。 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向， 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向， 晶向 它的确定依赖于晶体单胞的基矢。 它的确定依赖于晶体单胞的基矢。 所有与该晶列平行的全同晶列（ 所有与该晶列平行的全同晶列（有无穷 多个）的集合称为晶列族 晶列族。 多个）的集合称为晶列族。
第一章 硅的晶体结构
的方向来标记，其中m1、m2、m3必为互质的整数。若m1、m2、
m3不为互质，那么这两个格点之间一定还包含有格点。对于 任何一个确定的晶格来说，x，y，z是确定的，实际上只用这 三个互质的整数m1、m2、m3来标记晶向，一般写作[m1、m2、 m3]，称为晶向指数。
14
3. 硅晶体不同晶向上的原子分布情况
(或米勒指数)。
16
关于米勒指数的一些其他规定： ( h kl)：代表在x轴上截距为负的平面，如 ( 1 00) {hkl} ：代表相对称的平面群，如在立方对称平面中，可用 (00 1 )六个平面。 (0 1 0)， ( 1 00)， {100}表示(100)，(010)，(001)， [hkl]：代表一晶体的方向，如 [100]方向定义为垂直于 (100) 平 面的方向，即表示 x 轴方向。而 [111] 则表示垂直于 (111) 平面的 方向。 <hkl> ：代表等效方向的所有方向组，如 <100> 代表 [100] 、 [010]、[001]、 [ 1 00]、 [0 1 0]、 [00 1 ] 六个等效方向的族群。
间隙式杂质
替位式杂质
24
1.3.2 线缺陷
线缺陷，亦称位错－刃位错和螺位错： 晶体中的位错可以设想是由滑移所形成的，滑移以后两部分
晶体重新吻合。滑移的晶面中，在滑移部分和未滑移部分的 交界处形成位错； 当位错线与滑移矢量垂直时，这样的位错称为刃位错； 如果位错线与滑移矢量平行，称为螺位错。
3 4 r Si / 3 则空间利用率为： 34% 3 a /8
空隙为66%
12
1.2 晶向、晶面和堆积模型
1.2.1 晶向
一、晶列
晶体晶格中的原子被看作是处在一系列方向相同的平行 直线系上，这种直线系称为晶列。同一晶体中存在许多取向 不同的晶列，在不同取向的晶列上原子排列情况一般是不同 的。
m3不为互质，那么这两个格点之间一定还包含有格点。对于 任何一个确定的晶格来说，x，y，z是确定的，实际上只用这 三个互质的整数m1、m2、m3来标记晶向，一般写作[m1、m2、 m3]，称为晶向指数。
14
3. 硅晶体不同晶向上的原子分布情况
(或米勒指数)。
16
关于米勒指数的一些其他规定： ( h kl)：代表在x轴上截距为负的平面，如 ( 1 00) {hkl} ：代表相对称的平面群，如在立方对称平面中，可用 (00 1 )六个平面。 (0 1 0)， ( 1 00)， {100}表示(100)，(010)，(001)， [hkl]：代表一晶体的方向，如 [100]方向定义为垂直于 (100) 平 面的方向，即表示 x 轴方向。而 [111] 则表示垂直于 (111) 平面的 方向。 <hkl> ：代表等效方向的所有方向组，如 <100> 代表 [100] 、 [010]、[001]、 [ 1 00]、 [0 1 0]、 [00 1 ] 六个等效方向的族群。
间隙式杂质
替位式杂质
24
1.3.2 线缺陷
线缺陷，亦称位错－刃位错和螺位错： 晶体中的位错可以设想是由滑移所形成的，滑移以后两部分
晶体重新吻合。滑移的晶面中，在滑移部分和未滑移部分的 交界处形成位错； 当位错线与滑移矢量垂直时，这样的位错称为刃位错； 如果位错线与滑移矢量平行，称为螺位错。
3 4 r Si / 3 则空间利用率为： 34% 3 a /8
空隙为66%
12
1.2 晶向、晶面和堆积模型
1.2.1 晶向
一、晶列
晶体晶格中的原子被看作是处在一系列方向相同的平行 直线系上，这种直线系称为晶列。同一晶体中存在许多取向 不同的晶列，在不同取向的晶列上原子排列情况一般是不同 的。
聚丙烯a晶的晶面参数-概述说明以及解释
聚丙烯a晶的晶面参数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：聚丙烯是一种常见的塑料材料，其中的聚丙烯a晶是其在晶体结构上的一种形态。
对于聚丙烯a晶的晶面参数的研究，可以帮助我们更好地了解其结构特点以及影响晶面参数的因素，从而为聚丙烯的制备和性能研究提供重要的参考。
本文将对聚丙烯a晶的晶面参数进行探讨，并介绍测定晶面参数的方法以及影响晶面参数的因素，希望能为相关领域的研究提供一定的指导和启发。
1.2文章结构在文章结构部分，我们将按照以下顺序来展开讨论：首先我们会介绍聚丙烯a晶体的结构特点，包括其晶体形貌和晶面的组成特点。
接着，我们将详细阐述用于测定晶面参数的方法，包括实验方法和理论计算方法，并对其优缺点进行比较和分析。
之后，我们将探讨影响晶面参数的因素，如晶体生长条件、晶体成分以及外界环境等因素对晶面参数的影响。
通过这些内容的讨论，我们可以更深入地了解聚丙烯a晶体的晶面参数及其影响因素，为实际生产和应用提供理论基础和参考依据。
1.3 目的：本文旨在探讨聚丙烯a晶的晶面参数的相关研究。
通过对聚丙烯a晶的结构特点、测定晶面参数的方法以及影响晶面参数的因素进行全面分析和总结，以期能够深入了解聚丙烯a晶体结构的特征，并为其应用领域提供理论支持和指导。
同时，通过研究聚丙烯a晶的晶面参数，也可以为相关材料的设计、制备和性能调控提供重要参考和指导，具有一定的理论和实际价值。
2.正文2.1 聚丙烯a晶的结构特点聚丙烯a是一种常见的聚合物材料，在晶体结构上具有一些独特的特点。
聚丙烯a晶体属于正交晶系，晶格常数为a=4.78 Å，b=3.41 Å，c=5.11 Å。
其空间群为Pnma，具有四分子的晶胞，其中一个晶胞中含有4个聚丙烯分子。
在晶体结构中，聚丙烯a分子主要由CH2基元组成，这些基元在晶体中呈现出规则的排列方式，形成了晶体的周期性结构。
聚丙烯a晶体具有较高的结晶度，晶体内部排列有序，分子之间的距离和角度非常规则。
晶体管原理与设计_陈星弼_1.1-1.2
n
（1-2０）
在不同的情况下，式（1-20) 可以化减： 在定态情况下，方程左边的时间项可以略去 当电场为常数时，方程右边的第三项为零
当电场强度很小时，方程右边的第二项可以忽略 当处于平衡状态时，方程右边的最后一项可以忽略 当电场强度为常数且为小数时，方程右边的第二和第 三项可以忽略．所得的就是Ｐ区中电子的扩散方程
致谢
成都电子科技大学的陈星弻和张庆中先 生是本PPT的原创。 特此致谢
晶体管原理与设计
第 1 章 半导体器件基本方程
1.1 半导体器件基本方程的形式
半导体器件内的载流子在外电场作用下的运动规律可以用 一套 基本方程 来加以描述，这套基本方程是分析一切半导体 器件的基本数学工具。 半导体器件基本方程是由三维的麦克斯韦方程组 结合 半 导体的固体物理特性 推导出来的。
分析半导体器件时，应先将整个器件分为若干个区，然后 在各个区中视具体情况对基本方程做相应的简化后进行求解。 求解微分方程时还需要给出边界条件。扩散方程的边界条件为 边界上的少子浓度与外加电压之间的关系。于是就可以将外加 电压作为已知量，求解出各个区中的少子浓度分布、少子浓度
梯度分布、电场分布、电势分布、电流密度分布等，最终求得
（1-6） （1-7） （1-8）
n I n J n dA q ( U n )dv A V t p I p J p dA q ( U p )dv A V t
上面的方程（1-6）
q E dA
A
s
ห้องสมุดไป่ตู้
V
( p n N D N A )dv
dE dx q ND
s
（1-14a）
同理可得在Ｐ区耗尽区中
晶体结构
晶体结构I —— 固体物理导论
CsCl结构中的原子排列 ＝ 简立方点阵 ＋ CsCl
晶体结构I —— 固体物理导论
晶体结构I —— 固体物理导论
原胞和基矢
由基矢 为三个棱边组成的平行六面体是晶格结构 的最小周期重复单元，它们平行、无交叠堆积在 起，形成 的最小周期重复单元，它们平行、无交叠堆积在一起，形成 整个晶体，这种最小重复单元叫做原胞 (Primitive cell)。 体积为
这些相互平行且等距的平面称为晶体 的晶面
晶面指数的 般确定方法 晶面指数的一般确定方法：
1. 在一组相互平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距并用点阵周期 a,b,c b 为单位来量度； 为单位来量度 2. 写出三个截距的倒数，和一个坐标轴平行、 截距为∞时，倒数记做零； 3 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数， 3. 将三个倒数分别乘以分母的最小公倍数 把它们化为三个简单整数，并用圆括号括起， 即为该组平面系的晶面指数。
立方体中几个主要的晶面和晶向指数
可以看出，简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。 注：我们习惯使用晶胞a,b,c作单位来进行标注
晶体结构I —— 固体物理导论
1.2 晶体的对称性
对称性： 一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或 图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定 的空间操作 线性变换 的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整 各 换 之 个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。即： 操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。主要有：旋 转 反演 平移 转、反演、平移。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作 点对称操作：在对称操作过程中至少有 点保持不动的操作。 有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
3、 晶列、晶面指数、倒格空间
第 28 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
(4)闪锌矿（立方ZnS）型结构
如果在金刚石结构中，顶角与面心处为硫离子，而在立方单元的内部 为锌离子，就形成闪锌矿型结构。
闪锌矿型结构为由硫离子和锌离子各自构成的面心立方子晶格沿立方
体对角线平移1/4长度相互错开穿套而成。 其基由一对硫离子与锌离子组成。 许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿型结构。
的点子，通常代表基元的重心。 点阵学说概括了晶体的周期性 晶体结构
第1页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第2页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布拉菲格子（ Bravais lattice）：布拉菲格子是矢量
第3页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第4页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
由氯离子和钠离子组成的两个面心立方晶格，彼此沿立方体边错开
a/2的距离而穿套。a为立方体边长。 子晶格为面心立方的复式格子晶体结构。 固体物理学原胞基矢就是面心立方的基矢，原 胞内包含两个异号离子（氯离子和钠离子）。 注意：不要将这种结构视为原胞边长为a/2 的简立方，因为氯离子和钠离子是不等价的。
格子，一个晶胞内包含8个原子。 固体物理学原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中
包含两个不等价的原子。
第 27 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
原子在金刚石结构立方晶胞中的位置分布图
0 1/2 0 1/4
3/4
1/2
0
1/2
1/4
3/4
0
1/2
0
图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。
第1章 硅的晶体结构、环境与衬底制备
1.2.3 堆积模型
面心立方晶格又称立方密排晶格 两种堆积方式：AB-六角密积 ABC－立方密积 配位数－12
1.2.4 双层密排面
金刚石结构为两套面心立方晶格套构而成，所以它的{111}晶面也是原子 密排面。沿体对角线滑移1/4梯对角线的长度，刚好是晶胞面心立方原子 所在位置。形成AA BB´CC´堆积。故硅晶体的密排面都是双层的。 双层密排面内距离：
1.7 1.8
1.8.1 1.8.2
衬底材料 衬底制备
单晶的整形和定向 晶片加工
1.7.1 IC与硅材料 1.7.2 大直径单晶制备
1.6
微电子加工环境
微电子加工环境是指微电子产品在加工过程中所接触的除单晶材
料、加工设备及加工技术之外的一切物质。
微电子器件加工水平进入亚微米阶段后,不仅涉及到微细加工等各种 高、精、尖技术,而且对加工环境也提出了十分苛刻的要求。任何尘埃
VLSI、ULSI对单晶材料质量要求的降低。单晶完美化的根本方法还是控制和
提高生产过程中单晶材料的质量。
1.4
硅中杂质
ni pi KT e
3 / 2 Eg 0 /(2kT )
1.5
杂质在硅晶体中的溶解度
1.6
1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4
微电子加工环境
环境对成品率的影响 超净空间环境要求 超纯水 超纯气体和超纯试剂
原生缺陷是晶体生长过程中形成的缺陷。主要有宏观缺陷
和微观缺陷两大类。孪晶、裂纹、夹杂、位错、小角度晶界、微缺陷和
微沉积等。
有害杂质则是会影响晶体性质的杂质或杂质团，主要有
受主、施主、重金属、碱金属等。原量生缺陷和有害杂质除影响材料的
力学性质、载流子的输运或杂质的扩散行为外,还与加工工艺中产生的诱
《晶列和晶面指数》课件
晶面指数的意义
晶面指数可以用来描述晶体中晶面的性质，如晶面间距、晶面取向等。 通过研究不同晶面指数的晶面，可以了解晶体在不同方向上的结构和性 质。
晶列和晶面指数的关系
晶列与晶面指数的关系
晶列与晶面指数之间存在一定的关系。同一方向的晶列对应于不同的晶面指数，而同一晶面指数也可能对应于不同方 向的晶列。因此，了解晶列和晶面指数之间的关系对于理解晶体结构和性质非常重要。
01
晶面指数定义
晶面指数是指用来描述晶体中某一晶面的标量，通常用三个互质的整数
（h、k、l）表示。每个整数对应一个方向的晶列。
02 03
晶面指数的确定
通过晶体学中的X射线衍射技术或电子显微镜等手段，可以确定晶体中 某一晶面的晶面指数。通过对晶体进行衍射实验，可以获得衍射斑点的 位置和强度信息，从而确定晶面指数。
晶面指数的物理意义对于材料科学和物理学等领域的研究具有重要意义。通过对 晶面指数的研究和分析，可以深入了解晶体中原子或分子的相互作用和运动规律 ，从而为新材料的开发和现有材料的优化提供理论支持和实践指导。
04
晶列和晶面指数的应用
在晶体结构分析中的应用
确定晶体结构
通过晶列和晶面指数，可以确定晶体的内部结构，了解原子或分 子的排列方式。
案例分析
通过具体案例分析，展示如何运用晶列和晶面指数解决实际问题，如 晶体结构解析、材料性能预测等。
使用建议
根据使用者的反馈和经验，提出针对ppt课件的使用建议，以提高学 习效果和应用能力。
展望
技术发展
跨学科应用
实践应用展望
教学改进
探讨当前晶体学领域的技术发 展趋势，如新型晶体结构分析 方法、高精度计算模拟等，为 进一步研究晶列和晶面指数提 供新的思路和方向。
晶面指数可以用来描述晶体中晶面的性质，如晶面间距、晶面取向等。 通过研究不同晶面指数的晶面，可以了解晶体在不同方向上的结构和性 质。
晶列和晶面指数的关系
晶列与晶面指数的关系
晶列与晶面指数之间存在一定的关系。同一方向的晶列对应于不同的晶面指数，而同一晶面指数也可能对应于不同方 向的晶列。因此，了解晶列和晶面指数之间的关系对于理解晶体结构和性质非常重要。
01
晶面指数定义
晶面指数是指用来描述晶体中某一晶面的标量，通常用三个互质的整数
（h、k、l）表示。每个整数对应一个方向的晶列。
02 03
晶面指数的确定
通过晶体学中的X射线衍射技术或电子显微镜等手段，可以确定晶体中 某一晶面的晶面指数。通过对晶体进行衍射实验，可以获得衍射斑点的 位置和强度信息，从而确定晶面指数。
晶面指数的物理意义对于材料科学和物理学等领域的研究具有重要意义。通过对 晶面指数的研究和分析，可以深入了解晶体中原子或分子的相互作用和运动规律 ，从而为新材料的开发和现有材料的优化提供理论支持和实践指导。
04
晶列和晶面指数的应用
在晶体结构分析中的应用
确定晶体结构
通过晶列和晶面指数，可以确定晶体的内部结构，了解原子或分 子的排列方式。
案例分析
通过具体案例分析，展示如何运用晶列和晶面指数解决实际问题，如 晶体结构解析、材料性能预测等。
使用建议
根据使用者的反馈和经验，提出针对ppt课件的使用建议，以提高学 习效果和应用能力。
展望
技术发展
跨学科应用
实践应用展望
教学改进
探讨当前晶体学领域的技术发 展趋势，如新型晶体结构分析 方法、高精度计算模拟等，为 进一步研究晶列和晶面指数提 供新的思路和方向。
第一章 晶体结构
σ (m)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
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1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
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4
V
fcc
2 6
具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等
• 六角密堆(hcp)晶体结构
配位数：12 原子半径： r
3
a
2
4 a 3 2 2 6 3 a 6 a 3 2 a V atom 3 hcp 4 3 2 原子数：12 1 2 1 3 6 6 2
2、元胞
对于一个点阵，通常定义三种元胞：初基元胞、单胞和维格纳-塞茨(WignerSeitz)元胞。 （1）初基元胞 • 最小空间体积元，只包含一个结点 • NΩ=1，N为单位体积结点数目， Ω为初基元胞的体积。
a1 a2 a3
• 初基元胞与基矢的选择有关，基矢非唯一，初基元胞也不唯一。
a1 a2 a3 A
a3
2
a a1 j k
a a2 k i
2
2
a3
a i j 2
0 1 1 a A 1 0 1 2 1 1 0
a1 a2 a3 A
二、结点和点阵 • 忽略内部分布，用一个几何点代表一个基元，称为结点。
• 晶格被抽象成这些结点的几何结构，称为点阵。点阵完全反映了晶格
的平移对称性。 • 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
r
r R
i
Rl
Rl
r
Rl
r Rl r
V
堆积密度： f
V
atom
6
V
hcp
2 6
Hexagonal close-packed lattice
具有此类结构的原子：Be、Mg、Zn、Cd、Ti等 请列出推导过程
（4）金刚石结构 配位数：4 作业：请求出金刚石结构的堆积密度
上述几种属于同一种原子组成的晶体，即元素晶体。
Cl : 0 0 0, 2 2 0 , 2 0 2 , 0 2 2
初基元胞的体积为 体心立方点阵
a1 a2 a3 A பைடு நூலகம்a 3
a
a1
a2 a3
i j k a i j k 2
2
a
i 2
j k
1 1 1 a A 1 1 1 2 1 1 1
第一章 晶体的结构及其对称性
绪论
• 凝聚态物质：液体、固体以及介于其间的软物质（如液晶、凝胶等），
是原子、离子、分子的聚集体。 • 固体：在压强和温度一定，且无外力作用时，形状不变。根据组成粒子 在空间排列的有序度和对称性可分为晶体、准晶体和非晶体。 • 晶体：组成粒子在空间周期性排列，长程有序；无任意的平移和旋转对
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12 原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
2 a 4
a
3
Face centered cubic lattice
堆积密度： f
V
atom
（2）体心立方(bcc)晶体结构
配位数：8
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数：
8
堆积密度：
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
3
V
原子数：
sc
a
3
Simple cubic lattice
8
1 1 8
atom sc
堆积密度：
f V
V
6
（2）体心立方(bcc)晶体结构
配位数：
原子半径：
Body centered cubic lattice
原子数：
堆积密度：
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
• 晶体结构(Crystal Structure)：晶体中原子的具体排列形式
关于常见晶体结构的一些定义：
• 配位数：每个原子周围的最近邻原子数
• 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
原子半径： r 2
a
V
atom
4 a 3 2
1 1,1 1
1,1 1 1,
二、晶面及有理指数定律
• 点阵的结点也可以看成分布在一系列平行且等间距的平面上，这些平面
称为一族晶面（包括所有结点）。同一点阵有无限多方向不同的晶面族。
• 如何建立一个平面的方位：
该平面的法线的方向余 弦 的截距 该平面在三个坐标轴上
称性，对称性破缺。
• 非晶体：组成粒子在空间的分布是完全无序或仅仅具有短程有序；高度 对称性，物理性质各向同性。
• 准晶体：介于晶体与非晶体之间，组成粒子分布完全有序，但不具有周
期性，仅仅具有长程取向序；可具有晶体不允许的旋转对称性。
1.1 晶格及其平移对称性
一、晶体结构及基元 1.晶体结构
• 晶格(Lattice)：晶体中原子的规则排列
1 1 1 ， ， r s t
X
r
h1
，s
h2
，t
h3
r1
h
1
h 2 h3
1 1 1 ，s1 ，t1 h1 h2 h3
X en d
1 cos a1 en d h1 1 cos a e 2 n d h 2 1 cos a 3 en d h3
1 1
1
1
1
1
Na : 2 2 2 , 0 0 2 , 0 2 0 , 2 0 0
1
1
1
1
1
1
3、基元
• 在理想情况下，晶体是由全同最小原子团在空间无限重复排列而构成， 这样的原子团称为基元，而这些点的集合称为晶格。 • 基元可以是一个原子（简单晶格），也可以是一个原子群（复式晶 格）。原子群的原子可以相同，也可以不同。
X en d
rcosa1 en d scosa2 en d tcosa3 en d
1 1 1 cosa1 en ：cosa 2 en ：cosa3 en ： ： r s t
a3
4
（3）维格纳-塞茨（W-S）元胞
• 既反映点阵平移对称性，又反映点阵宏观对称性的点阵结构单元。
• W-S元胞点阵的结点处于元胞的中心，一个W-S元胞只包含一个结点，它是 初基的。 • 适用：固体物理学的理论研究。
1.2晶列和晶面
• 在sc点阵中，
1
1 1 1 表示1 1 1, 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1
（3）密堆晶体结构
面心(fcc)立方晶体结构 （…ABCABC…堆积）
密排六方(hcp)晶体结构 （…ABABAB…堆积）
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数： 原子半径：
Face centered cubic lattice
原子数： 堆积密度： 具有此结构的金属原子：Cu、Ag、Au、Al、Ni等
• 对于每一种点阵，通常约定一种公认的基矢和元胞的选择方式。
简单立方点阵
a1 ai
a2 aj
a3 ak
a为立方胞边长， i ,j ,k 为直角坐标系中的单位矢量
i a1 1 0 0 i a2 a 0 1 0 j A j a 0 0 1 k 3 k 1 0 0 A a 0 1 0 0 0 1
l1cosa1 en l2cosa2 en l3cosa3 en d l1h1 l2h2 l3h3 1
1.2.7 1.2.7
m（l1h1' l2h2 ' l3h3 '） 1