计量经济学-设定误差与测量误差

ˆu2 RSSu n - 3
x22i
x22i
的有偏估计，即使 X3与X2 不相关，也有 Vaˆr(ˆ2) Vaˆr(ˆ)，
致使假设检验程序很有可能是可疑的。
必须清楚，一旦根据相关理论把模型建立起来，
再从中删除变量需要有充分的理由并十分谨慎。
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2. 包含无关变量偏误
定义:模型中包括了不重要的解释变量，即采用误 选了无关解释变量的模型进行估计而带来的偏误， 称为包含无关变量偏误
2 v
x22i (1- r223 )
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无关变量的设定误差的后果
1. 可以证明，（2）式参数的OLS估计量是无偏， 且为一致性的。即：
E(ˆ1) 1, E(ˆ3 ) 3 0
同理，可证明：
E(ˆ2 ) 2
p limˆ1 1
n
p limˆ2 2
n
p limˆ3 3 0
n
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2. ˆ2 不是有效估计量：
10
1. 相关变量的遗漏
（Omitting Relevant Variables）
例如，如果“正确”的模型为
Yi 1 2 X 2i 3 X3i i
而我们将模型设定为
Yi 1 2 X 2i i
即设定模型时漏掉了一个相关的解释变量。 这类错误称为遗漏相关变量（“欠拟合”）。
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2. 无关变量的误选
4. 遗漏变量 X 3 ，式中的随机扰动项 vi的方差估计
量将是有偏的，即：
ˆ
2 v
RSSv
(n - 2)
E ˆv2
2 u
5. 与方差相关的检验，包括假设检验、区间估计，
在关于参数的统计显著性方面，都容易导出错误的
结论。
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特别注意
(1) 若 X3与X2相关，r223 0，显然，Var ˆ2 Var ˆ2
关，则拒绝原假设，受约束回归模型不成立，存 在模型设定误差，否则接受原假设，受约束回归 模型成立，模型无设定误差。
33

举例
对下表的数据设定总生产成本函数，准备 使用如 下三个备选模型：
1
Yi
1 2 Xi
3 Xi2
4
X
3 i
ui
2
Yi
1
2 Xi
3
X
2 i
3 Yi 1 2 Xi
有（1）为真实模型，试用DW法检验模型设定误 差。
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第二节 设定误差的检验
本节基本内容:
●DW检验 ●拉各朗日乘数检验 ●一般性检验
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对变量设定误差进行检验必须在经济理论指导下进行， 不可抛弃经济理论而进行假设检验。
对于是否误选无关变量的检验，只要针对无关变量系 数的期望值为零的假设，用t检验或F检验，对无关变 量系数作显著性检验即可。
对于遗漏变量设定误差的检验有多种方法，例如DW 检验、拉格朗日乘数检验、豪斯曼检验、RESET 一 般性检验等。
x2i x3i x22i
x2i (ui - u ) x22i
16
遗漏变量设定误差的后果
由此可以看出，X 3的遗漏将产生如下后果。
两边取概率极限，有：
p limˆ2
n
2
3
Cov X2i , X3i Var X2i
Cov
Var
X2i ,ui
X2i
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1.
如果漏掉的X
与
3
X
相关，则参数估计值是有偏且不一致
3
对模型的设定是计量经济研究的重要环节。
前面各章除了对随机扰动项 ui分布的基本假定以 外，还强调:
假定设定的模型对变量和函数形式的设定是正 确地描述被解释变量与解释变量之间的真实关系， 假定模型中的变量没有测量误差。
但是在实际的建模实践中，对模型的设定不一定
能够完全满足这样的要求，从而会使模型出现设
定误差。
4
第九章 设定误差与测量误差
本章主要讨论:
●设定误差 ●设定误差的检验 ●测量误差
5
第一节 设定误差
本节基本内容:
●设定误差及类型 ●变量设定误差的后果
6
• 不能机械的做应用计量经济学，他需要理 解、直觉和技巧:
• …通常我们在驾车通过一座桥梁时，并不 担心其结构的可靠性，因为我们合理的相 信已经有人严格的检查过其工程的原理和 实践。经济学家做模型时也必须这样，否 则的话，就必须奉送一句警告“使用导致 坍塌概不负责。”
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总成本（Y ）
1
193
2
226
3
240
4
244
5
257
6
260
7
274
8
297
9
350
10
420
产出（X ）
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
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三个模型分别代入数据回归
)
(1)
Yi
141.767
63.487
X
i
-12.962
X
2 i
0.939
X
3 i
se (6.375) (4.778) (0.9856) (0.0592)
7
• 经济学家多年来对真理的寻求曾给人一种 感觉：经济学家们就好像在一间黑房子里 搜寻一只原本并不存在的黑猫，而计量经 济学家还声称找到了一只。
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一、设定误差及类型
计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想， 若所设定的回归模型是“正确”的，主要任务是所 选模型参数的估计和假设检验。但是如果对计量模 型的各种诊断或检验总不能令人满意，这时应把注 意力集中到模型的设定方面：
当模型设定出现误差时，模型估计结果也会与 “实际”有偏误；
偏误的性质与程度与模型设定误差的类型密切相 关。
从实质上看，变量设定误差的主要后果，是一个 或多个解释变量与随机扰动项之间存在着相关性， 进而影响参数估计的统计特性。
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1. 遗漏相关变量（欠拟合）偏误
采用遗漏了重要解释变量的模型进行估计而带来 的偏误，称为遗漏相关变量偏误。 设正确的模型为：
x22i 0；
似乎分别有：
Eˆ2 2 Var(ˆ2) Var(ˆ2);
若这两个等式成立，意味着尽管变量 X 3，在理 论上分析是有关的变量，但从所选模型中略去
似乎也不会导致什么危害。这种认识实际也不
正确。
22
因为
Vaˆr(ˆ2)
ˆv2 RSSv n - 2
x22i
x22i
是Vaˆr(ˆ2)
2
的。分别在小样本下求期望、在大样本下求概率极限，
有：
E(ˆ1) 1
且 p lim(ˆ1) 1
n
E(ˆ2 ) 2
p lim(ˆ2 ) 2
n
2. 如果X 3 与 X不2 相关，则 2的估计满足无偏性与一致
性；但这时 的估计却是有偏的。 1 18
3. ˆ2 的方差是 ˆ2方差的有偏估计：
由 Y = 1 + 2 X2 + v得 Var(ˆ2)
(Including Irrevelant Variables)
例如，如果“真实模型”为：
Yi 1 2 X 2i 3 X3i i
但我们却将模型设定为
Yi 1 2 X 2i 3 X3i 4 X 4i i
即设定模型时，多选了一个无关解释变量。这类 错误称为无关变量的误选（“过拟合”）。
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似乎有：Varˆ2 Var ˆ2 ;
但实际情形并不完全如此。 可以注意到残差平方和RSS的计算
ˆ2 RSSv (n 2) RSSu (n 3) ˆu2; 因此，有可能：
RSSv (n 2) RSSu (n 3);
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（2）若X 3与X 2 不相关，有
r223 0和 x2i x3i
IM = -172.42 + 0.271GDP - 949.12T + 160.73T 2 - 10.18T 3
t (-0.177) (5.67) (-2.22) (2.20) (-2.74) R2 0.991 F 272.95 DW 1.97
2
有人根据“简单优于复杂”原则，得到以下方程：
设正确模型 Y = β1 + β2X2 + μ
(1)
但却估计了 Y α1 α2X2 α3X3 v
(2)
如果 3 0，则(2)与(1)相同，因此，可将(1)式 视为以 3 0 为约束的(2)式的特殊形式。
采用OLS 法对（2）进行估计，有：
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ˆ2
x2i yi x32i - x3i yi x2i x3i x22i x32i - ( x2i x3i )2
IM -217.186 0.173GDP
t (-0.5) (16.94)
(2)
R2 0.960 F 286.95 DW 0.735 进行比较：
两个方程的检验结果都较理想；
方程（2）GDP的t检验值似乎优于方程（1）；
方程（2）函数形式也更为简单；
然而，能否根据“Occam’s razor”原则，判断方程（2）比 方程（1）好？
由
得
v2
x22i
Y = β1 + β2 X2 + β3 X3 + u
Var(ˆ2)
2
x22i (1-
x2i x22i
x3i x32i
)
u2
x22i (1- r223)
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如果 X 3与 X 2相关，显然有 Var(ˆ2) Var(ˆ2)
如果
X
与
3
X
不相关，也有
2
Var(ˆ2) Var(ˆ2)
Yi 1 2 X 2i 3i X 3i ui
正确模型离差形式为：