1993考研数一真题及答案解析
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(B)
【解析】 lim f (x) 为“ 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点 0 处导数都存在,
x0 g(x)
0
运用洛必达法则,有
lim f (x) lim
x0 g(x) x0
sin x sin(t 2 )dt
0
x3 x4
Ax 0 的一个非零解,它就是 Ax 0 的基础解系.
各行元素的和均为 0,即
a11 a12 a1n 0 a21a22 a2n 0 , an1 an2 ann 0 而齐次方程组 Ax 0 为 aa1211xx11 aa1222xx22aa12nnxxnn00 . an1x1 an2 x2 ann xn 0 两者比较,可知 x1 x2 xn 1是 Ax 0 的解.所以应填 k (1,1,,1)T .
x sin 3xdx 为偶函数,所以
b3
x sin 3xdx 2
x sin 3xdx
0
2
0
xd (
1 3
cos 3x)
2x 3
cos
3x
0
2 3
cos 3xdx
0
2 3
2 3
sin 3x 3 0
2 3
.
1
(4)【答案】
x2 y2 z2
【解析】先计算 u 的梯度,再计算该梯度的散度.
三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)
(1) 求 lim(sin 2 cos 1) x .
x
x
x
(2) 求
xex dx . ex 1
(3) 求微分方程 x2 y xy y2 ,满足初始条件 y |x1 1 的特解.
()
四、(本题满分 6 分)
计算 2xzdydz yzdzdx z 2dxdy ,其中 是由曲面 z x2 y2 与
度 fY ( y) _______.
十一、(本题满分 6 分)
设随机变量 X 的概率分布密度为 f (x) 1 e|x| , x . 2
(1) 求 X 的数学期望 E( X ) 和方差 D( X ) .
(2) 求 X 与| X | 的协方差,并问 X 与| X | 是否不相关？
(3) 问 X 与| X | 是否相互独立？为什么？
1
t
x
若函数 F (x) 严格单调减少,则 F (x) 2 1 0 ,即 x 1 .
x
2
所以函数 F (x) 单调减少区间为 0 x 1 . 4
【相关知识点】函数的单调性：设函数 y f (x) 在[a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导.
(1) 如果在 (a, b) 内 f (x) 0 ,那么函数 y f (x) 在[a, b] 上单调增加；
(2) 若 l 1, 称 (x), (x) 在该极限过程中为等价无穷小,记为 (x) (x) ；
(3) 若 l 0, 称在该极限过程中 (x) 是 (x) 的高阶无穷小,记为 (x) o (x) .
若
lim
( (
x) x)
不存在(不为
),称
(
x),
(
x)
不可比较.
(2)【答案】(A)
程,并写出初始条件.
十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分,把答案填在题中横线上.) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第
二次抽出的是次品的概率为_______.
(2) 设随机变量 X 服从 (0, 2) 上的均匀分布,则随机变量 Y X 2 在 (0, 4) 内的概率分布密
(3)
设有直线 L1 :
x 1 1
y5 2
z
1
8
与
L2
x y 6
:
2 y
z
3
,则
L1
与
L2
的夹角为
()Βιβλιοθήκη (A)6 (C)
3
(B)
4
(D)
2
(4) 设曲线积分 [ f (x) ex ]sin ydx f (x) cos ydy 与路径无关,其中 f (x) 具有一阶连续 L
导数,且 f (0) 0 ,则 f (x) 等于
因为
grad
u
u
i
u
j
u
k
,
x y z
所以
div(grad u)
div
u x
,
u y
,
u z
2u x 2
2u y 2
2u z 2
.
数量场 u ln x2 y 2 z 2 分别对 x, y, z 求偏导数,得
u
1
1
2x
x
,
x
x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x 2 y 2 z 2
1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)
(1)【答案】 0 x 1 4
【解析】由连续可导函数的导数与 0 的关系判别函数的单调性.
将函数 F (x) x (2 1 )dt, 两边对 x 求导,得 F (x) 2 1 .
由对称性知
u
y
,
y x2 y2 z 2
u
z
,
z x2 y2 z 2
将 u , u , u 分别对 x, y, z 求偏导,得 x y z
2u (x2 y2 z2 ) x 2x y2 z2 x2 ,
x2
(x2 y2 z2 )2
(x2 y2 z2 )2
2u z2 x2 y2 , y2 (x2 y2 z2 )2
3,
2) 处的指向外侧
的单位法向量为______________.
(3) 设函数 f (x) x x2( x ) 的傅里叶级数展开式为
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
,则其中系数 b3 的值为______________.
(4) 设数量场 u ln x2 y 2 z 2 , 则 div(gradu) ______________. (5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为 n 1,则线性方程组 Ax 0 的通解
ex ex
(A)
2
ex ex
(B)
2
(C) ex ex 1 2
(D) 1 ex ex 2
1 2 3
(5)
已知 Q
2
4
t
,
P
为三阶非零矩阵,且满足
PQ
0
,则
3 6 9
(A) t 6 时, P 的秩必为 1 (C) t 6 时, P 的秩必为 1
(B) t 6 时, P 的秩必为 2 (D) t 6 时, P 的秩必为 2
内有且仅有一个零点.
(2) 设 b a e ,证明 ab ba .
七、(本题满分 8 分)
已知二次型 f (x1, x2 , x3) 2x12 3x22 3x32 2ax2x3(a 0) ,通过正交变换化成标准形
f y12 2y22 5y32 ,求参数 a 及所用的正交变换矩阵.
八、(本题满分 6 分)
设 A 是 n m 矩阵, B 是 m n 矩阵,其中 n m , E 是 n 阶单位矩阵,若 AB E ,证明 B 的列向量组线性无关.
九、(本题满分 6 分)
设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正向运动.物体 B 从点 (1, 0) 与 A 同时出发,其速度大小为 2v ,方向始终指向 A ,试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方
ex f (x) e2x ,
解之得
ex f (x) 1 e2x C , 所以 2
f (x) ex( 1 e2x C) . 2
sin(sin2 x) 3x2 4x3
lim
x0
3x2
x2
4
x3
lim 1 x0 3 4x
1 3
,
所以 f (x) 与 g(x) 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中, (x), (x) 为无穷小且存在极限
lim
(x) (x)
l
,
(1) 若 l 0, 称 (x), (x) 在该极限过程中为同阶无穷小；
2u x2 y2 z2 , z2 (x2 y2 z2 )2
因此,
div(grad
u)
2u x2
2u y 2
2u z 2
1 x2 y2 z2
.
(5)【答案】 k (1,1,,1)T
【解析】因为 r( A) n 1 ,由 n r(A) 1 知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故
Ax 0 的通解形式为 k .下面根据已知条件“ A 的各行元素之和均为零”来分析推导
4
2
3
6
2
2
1 0, 2 3,3 2 1 0, 2, 3 .
30
5
(3)【答案】 2 3
【解析】按傅式系数的积分表达式
bn
1
f (x) sin nxdx ,
所以
b3
1
( x x 2) sin 3xdx
x
sin
3xdx
1
x 2 sin 3xdx .
因为 x2 sin 3x 为奇函数,所以 x2 sin 3xdx 0 ；
【解析】由方程可以看出双纽线关于 x 轴、 y 轴对称,(如草图)
只需计算所围图形在第一象限部分的面积；
中国科学院1993年研究生入学试题《细胞生物学》试题及答案详解
中国科学院1993年研究生入学试题《细胞生物学》试题及答案详解上海生命科学研究院考研――专业课复习笔记石正国（西北农林科技大学生命科学学院）中国科学院1993年硕士生入学试题（a卷）一、正确和错误的问题。
（每题1分，共20分，答案为“+”而非“-”。
）题目：1、溶酶体在动物、植物、原生动物和细菌中均有存在。
（）考查点：溶酶体的分布教材内容：溶酶体几乎存在于所有动物细胞中，植物细胞中也有溶酶体功能似的细胞器――圆球体及植物中央液泡。
原生动物细胞也有类似溶酶体的结构。
回答：没有-相关内容：溶酶体的形成，溶酶体酶及其功能。
标题：2。
干细胞是可以无限期分裂和增殖的未分化细胞。
（）检查要点：细胞全能性和细胞分化课本内容：具有多潜能性的细胞称干细胞。
在整个发育过程中，细胞分化潜能逐渐限制性的两个缩小了，从全能性细胞到多能干细胞和单能干细胞。
答案：非，-。
多能干细胞和单能干细胞均已经分化。
相关内容：脱分化、再生、胚胎发育。
标题：3。
在核质关系中，细胞质决定细胞的类型，而细胞核中的基因组决定细胞的类型着细胞的基因型。
（）参考点：核质相互作用、基因组和基因型的概念。
答：是的，+相关内容：基因表达调控。
题目：4、细胞对外界环境因子反应敏感性与细胞的增殖能力成正比，而与分化程程度成反比。
（）考查点：细胞敏感性。
回答：没有。
细胞对外界因素的敏感性受分化程度的影响，但不成正比。
相关内容：细胞增殖和细胞分化。
78上海生命科学院研究生入学考试——石正国主编《西北农林科技大学生命科学学院》题目：5、细胞分化过程一般是不稳定的，可逆的。
（）考查点：细胞分化的概念。
教材内容：在个体发育中，同一细胞类型在细胞分裂后逐渐改变形状和节律构、功能上形成稳定性差异，产生不同的细胞类群的过程称细胞分化（celldifferentiation）。
回答：没有-题目：6、同一有机体的不同组织细胞核仁的大小和数目都有很大的变化，这种变磷酸化与细胞中蛋白质合成的活跃程度有关。
(详细解析)1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案全国(三南试题)(理科)
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共68分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB ．π22C ．πD ．4π 【答案】A【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以周期221T ππ==．2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 A ．23B ．23C ．26D ．2【答案】C【解析】由题设23,2a cc ==，解得a =2c e a ===．3．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=【答案】B 【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x 轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可．设所求对称直线的点的坐标(,)x y ，关于x 轴的对称点的坐标(,)x y -在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=．点评：本题是基础题，考查直线关于直线的对称直线方程的求法，考查计算能力，常考题型，注意特殊直线为对称轴的情况，化简解题过程．4．极坐标方程θρcos 534-=所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为54的椭圆B ．焦点到准线距离为54的双曲线右支C ．焦点到准线距离为34的椭圆D ．焦点到准线距离为34的双曲线右支【答案】B【解析】443535cos 1cos 3ρθθ==--，而1cos ep e ρθ=-，所以54,35e p ==．5．53x y =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数 【答案】A【解析】35y x ==A 正确．6．5215lim 22+--∞→n n n n 的值为A ．51-B ．25- C ．51 D ．25 【答案】D【解析】222215515lim lim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．7．集合{|}{|}2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ==+∈==+∈,,,，则 A ．M N = B ．N M ⊃ C ．N M ⊂ D ．M N =∅【答案】C【解析】由于212{|,},{|,}44k k M x x k Z N x x k Z ππ++==∈==∈，21k +可以取所有的奇数，而2k +可以取所有的整数，所以N M ⊂．8．sin 20cos70sin10sin50︒︒+︒︒的值是 A ．41 B ．23 C ．21D ．43【答案】A【解析】1sin 20cos70sin10sin 50[sin(2070)sin(2070)]2︒︒+︒︒=︒+︒+︒-︒ 111[cos(1050)cos(1050)](sin 90sin 50)(cos60cos 40)222-︒+︒-︒-︒=︒-︒-︒-︒ 1111(1sin 50)(sin 50)2224=-︒--︒=．9．参数方程cos sin 221(1sin )2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ()πθ20<<表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2- 【答案】B【解析】由题设可知cossin,[0,222x x θθ=+∈，且21sin x θ=+，则2sin 1x θ=-，所以2211(11),22y x x x =+-=∈，显然参数方程表示抛物线的一部分，这部分过1(1,)2．10．（同全国1理科10）若,a b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b > B ．1<a b C ．lg()0a b -> D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212111．（同全国1理科11）一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B 椭圆．C ．双曲线的一支D ．抛物线12．（同全国1理科12）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 A ．3()6l π B ．31()92l π C ．3()4lπ D ．32()4l π13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．45 【答案】D【解析】41)中02,,x x x 的系数分别为420444,,C C C ，在5(1)x -中对应的432,,x x x 123555,,C C C --，则展开式中4x 的系数为412203454545()()45C C C C C C -++-=．14．直角梯形的一个内角为45︒，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB ．43+ C ．53+ D ．π37【答案】D【解析】旋转体是一个圆柱与一个圆锥的简单组合体．这个几何体的面积是一个圆（以直角梯形的高为半径）+一个长方形（圆柱的侧面展开）+一个扇形的面积（圆锥的侧面）．设直角梯形的上底长为x ，则下底为32x ，由题设可得直角梯形的高3122h x x x =-=，x ，全面积为2111()(2)222x x x x πππ+⨯⨯+⨯25(24x x π⨯=，即2(5x ππ=+，2x =． 旋转体的体积为322111177()()2322243x x x x x πππ⨯+⨯==．15．已知128,,...,a a a 为各项都大于零的等比数列，公式1q ≠，则 A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +和45a a +的大小关系不能由已知条件确定 【答案】A【解析】题目要求比较18a a +和45a a +的大小．由于73434184511111()()(1)(1)a a a a a a q a q a q a q q +-+=+-+=--，又10a >，且1q ≠，所以3(1)q -与4(1)q -同号，所以1845()0a a a a +-+>，即1845a a a a +>+．16．设有如下三个命题：甲：相交两直线,l m 都在平面α内，并且都不在平面β内． 乙：,l m 之中至少有一条与β相交． 丙：α与β相交． 当甲成立时A ．乙是丙的充分而不必要的条件B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 【答案】C【解析】分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙=>丙、丙=>乙是否成立．当乙成立时，即“,l m 之中至少有一条与β相交”，则平面α与β至少有一个公共点，故α与β相交；反之丙成立时，即“α与β相交”，则,l m 之中至少有一条与β相交，故乙成立．故选C ．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种 【答案】B【解析】分三类：第一格填2，则第二格有13A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有13A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第撕格有13A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有1339A =．第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+= ． 【答案】6322+ 【解析】设11arccos,arccos 23αβ==，则11cos ,cos 23αβ==，有sin αβ==，所以11sin(arccos arccos )sin()23αβ+=+=．19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|【解析】双曲线的焦点在x 上，顶点坐标为(3,0)k ±，圆的圆心坐标为在原点，半径为1，由题设可知31k >，所以13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|．20．从1,2,...,10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用 数字作答）．【答案】100【解析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数．若有1个奇数时，有135550C C =种取法，若有3个奇数时，有135550C C =种取法，故符合题意的取法共100种取法．21．（同全国1理科23）设1()42xx f x +=+，则1(0)f-= ．22．（同全国1理科24）建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将DAE ∆和CBE ∆分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．【答案】30【解析】不妨设正方形的边长为2，取CD 的中点M ，连接,PM EM ，∵PD PC =，∴PM CD ⊥，∵ED EC =，∴EM CD ⊥．故PME ∠即为面PCD 与面ECD 所成二面角的平面角．在PME ∆中：1,2PE PM EM ===，2223cos 22PM EM PE PME PM EM +-∠==⋅ ∴30PME ∠=︒，故答案为30．三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠-． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （Ⅲ）求使()0f x >的x 取值范围．【解】本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分． （Ⅰ）由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则11x -<<；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故()f x 的定义域为(1,1)-． （Ⅱ）∵()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴()f x 为奇函数． ——6分 （Ⅲ）（ⅰ）对1a >，1log 01ax x +>-等价于111>-+xx， ① 而从（Ⅰ）知10x ->，故①等价于11x x +>-，又等价于0x >． 故对1a >，当(0,1)x ∈时有()0f x >． ——9分 （ⅱ）对01a <<，1log 01ax x +>-等价于1011xx+<<-． ②而从（Ⅰ）知10x ->，故②等价于10x -<<．故对01a <<，当(1,0)x ∈-时有()0f x >． ——12分25．（同全国1文科26，分值不同）（本小题满分12分）已知数列()()2222228182813352121nn n ⋅⋅⋅⋅-+，，，，．n S 为其前n 项和．计算得189S =， 234244880254981S S S ===,,． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．22(21)1()(21)n n S n N n +-=∈+． （4分） 证明如下：（Ⅰ）当1n =时，21231839S -==，等式成立． （6分） （Ⅱ）设当n k =时等式成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+． （7分） 则21222228(1)(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k S S k k k k k +++-+=+=++++++222222222[(21)1](23)8(1)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)k k k k k k k k k k k +-+++++-+++==++++2222222(21)(23)(21)(23)1(21)(23)(23)k k k k k k k ++-++-==+++． 由此可知，当1n k =+时等式也成立． （9分）根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n N ∈都成立． （12分）26．（本小题满分12分）已知：平面α平面β=直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证：（Ⅰ）a γ⊥；（Ⅱ）b γ⊥．【解】本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分． 证法一：（Ⅰ）设,AB AC αγβγ==．在γ内任取一点P 并于γ内作直线,PM AB PN AC ⊥⊥． ——1分∵ γα⊥，∴PM α⊥． 而a α⊂，∴PM a ⊥．同理PN a ⊥． ——4分 又,PM PN γγ⊂⊂，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ．——7分∵//b α，∴1//b a ．同理2//b a ． ——8分 ∵12,a a 同过Q 且平行于b ，∴12,a a 重合． 又12,a a αβ⊂⊂，∴12,a a 都是,αβ的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵1//b a ，∴//b a ．而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分． 证法二：（Ⅰ）在a 上任取一点P ，过P 作直线a γ'⊥． ——1分∵,P αγα⊥∈，∴a α'⊂．同理a β'⊂． ——3分 可见a '是,αβ的交线．因而a '重合于a ． ——5分又a γ'⊥，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ． ——7分∵//,//b b αβ．∴//,//b c b d ． ——8分 又,c d ββ⊄⊂，可见c 与d 不重合．因而//c d ．于是//c β． ——9分 ∵//,,c c a βααβ⊂=，∴//c a ． ——10分∵//,//b c a c ，b 与a 不重合（,b a αα⊄⊂，∴//b a ． ——11分 而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分．27．（同全国1理科27，解法不同，分值不同）（本小题满分12分）在面积为1的PMN ∆中，1tan ,tan 22PMN MNP ==-．建立适当的坐标系，求以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程．【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂 直平分线为y 轴建立直角坐标系．设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为(,0),(,0)M c N c -． ——1分由1tan ,tan tan()22PMN N απ==-=，得 直线PM 和直线PN 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得54,33x c y c ==，即P 点坐标为54(,)33c c ． ——5分在MPN ∆中，2MN c =，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件1MNP S ∆=，∴c =P点坐标为． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ． 得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又222153344b ac =-=-=， 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法二：同解法一得23=c ，P点的坐标为． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+22231b +=． 化简得423830b b --=．解得23b =或213b =-（舍去）． ——10分 又222315344a b c =+=+=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三：同解法一建立坐标系． ——1分∵P PMN α∠=∠-∠，∴ 12tan()tan 32tan 11tan()tan 4122N M P N M ππ---===+-+⨯．∴P ∠为锐角．∴34sin ,cos 55P P ==． 而1sin 12MNP S PM PN P ∆=⋅=，∴ 103PM PN ⋅=． ——4分 ∵2,2PM PN a MN c +==，由余弦定理，222(2)2cos c PM PN PM PN P =+-⋅2()2(1c o s)P M P N P M P N P =+-⋅+ 2104(2)2235a =-⋅-⋅， ∴223c a =-，即23b =． ——7分又sin M =sin N =，由正弦定理，sin sin sin PM PN MN N M P ==， ∴PMN MN PN PM sin sin sin =++．即53251522ca =+，∴a =． ——10分 ∴222235a a b c =+=+．∴2154a =．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分28．（同全国1理科28，解法不同）（本小题满分12分）设复数441()cos sin (0),1z z i z θθθπω-=+<<=+，并且2πωω=<，求θ．【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一：()()[]()()441cos sin 1cos 4sin 41cos 4sin 41cos sin i i i i θθθθωθθθθ--+-⎡⎤----⎣⎦==++++ ——2分()222sin 22sin 2cos 2tan2sin 4cos 42cos 22sin 2cos 2i i i θθθθθθθθθ+==++． ——5分tan 2sin 4cos 4tan 2i ωθθθθ=⋅+==，tan2θ=±． ——6分 因πθ<<0，故有（ⅰ）当tan23θ=12πθ=或127πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ， 得26arg ππω<=，适合题意． ——10分（ⅱ）当tan2θ=时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ，得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合（ⅰ）、（ⅱ）知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=——2分()()sin sin cos tan sin cos 1cos 2i i ϕϕϕϕϕϕϕ=+=++． ——5分∵33=ω，2arg πω<，∴tan 23tan sin 0,2tan cos 0,2ϕϕϕϕϕ⎧=⎪⎪⎪⋅>⎨⎪⎪⋅≥⎪⎩——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，或（ⅱ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩——10分解（ⅰ）得12πθ=或127πθ=．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）12πθ=或127πθ=． ——12分。
1993考研数一真题解析
[0, ] .再由对称性得 4
S
4S1
4
1 2
4 2d 2
0
4 cos 2d ,
0
应选(A). (3)【答案】(C)
【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题, L1 与 L2 的方向向量分别是
i j k
l1 (1, 2,1),l2 1 1 0 (1, 1, 2) ,
021
L1 与 L2 的夹角 的余弦为
b3
x sin 3xdx 2
x sin 3xdx
0
2
0
xd (
1 3
cos 3x)
2x 3
cos
3x
0
2 3
cos 3xdx
0
2 3
2 3
sin 3x 3 0
2 3
.
1
(4)【答案】
x2 y2 z2
【解析】先计算 u 的梯度,再计算该梯度的散度.
因为
grad
u
u
i
u
j
Ax 0 的通解形式为 k .下面根据已知条件“ A 的各行元素之和均为零”来分析推导
Ax 0 的一个非零解,它就是 Ax 0 的基础解系.
各行元素的和均为 0,即
a11 a12 a1n 0 a21a22 a2n 0 , an1 an2 ann 0 而齐次方程组 Ax 0 为 aa1211xx11 aa1222xx22aa12nnxxnn00 . an1x1 an2 x2 ann xn 0 两者比较,可知 x1 x2 xn 1是 Ax 0 的解.所以应填 k (1,1,,1)T .
【解析】按傅式系数的积分表达式
bn
1
f (x) sin nxdx ,
考研数学高数真题分类—微分方程
一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。
中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-微分方程知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。
微分方程综述：微分方程可以看做一元函数微积分学的应用与推广，主要考查考生的计算能力。
这一部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右.本章的主要知识点有：微分方程的阶、通解和特解等基本概念，可分离变量方程的求解，齐次方程的求解，一阶线性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降阶的高阶微分方程的求解，高阶线性微分方程解的结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此基础上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何及物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用. 常考题型一：一阶方程的求解1．可分离变量方程1.【2006-1 4分】微分方程(1)y x y x-'=的通解是 2.【2008-1 4分】微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y =3.【1998-2 3分】已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y x α∆∆=++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于4.【1994-23分】微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为5.【2001-23分】微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足12y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0的特解为（ ）．6.【2005-3 4分】微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 .7.【2008-2 10分】设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题020|0x t dx te dt x -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解. 求22d y dx .【小结】：如果一个一阶微分方程可以写成()()g y dy f x dx =的形式，我们就称该微分方程为可分离变量的微分方程.对该方程的两端求不定积分()()g y dy f x dx =⎰⎰就得到微分方程的通解. 2.齐次方程8.【2007-3 4分】微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y ==的特解为y =________.9.【1996-3 6分】求微分方程dy dx =的通解. 10.【1993-1 5分】求微分方程22x y xy y '+=满足初始条件11y x ==的特解11.【1997-2 5分】求微分方程0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 的通解.12.【1999-27分】求初始问题1(0,(0)0x y dx xdy x y =⎧+-=>⎪⎨=⎪⎩的解.13．【2014-1 4分】微分方程0)ln (ln '=-+y x y xy 满足3)1(e y =的解为．【小结】：如果一阶微分方程(,)dy f x y dx=中的函数(,)f x y 可以写成()y x ϕ的形式，则称该方程为齐次方程.对于齐次方程，我们引入新函数y u x =，则y ux =.由一元函数微分学的知识，可知dy xdu udx =+.代入原方程可得()du x u u dxϕ+=，整理得()du dx u u x ϕ=-.则原方程就被化为了可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数u ，再由y ux =就可以得到未知函数y 的表达式.齐次方程是通过变量代换化为可分离变量方程的。
1993考研数学一真题及答案解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为______________. (2) 由曲线223212,x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为______________.(3) 设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑,则其中系数3b 的值为______________. (4)设数量场u =则(grad )div u =______________.(5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1n -,则线性方程组0Ax =的通解为______________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设sin 20()sin()xf x t dt =⎰,34()g x x x =+则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小(2) 双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )(A) 402cos 2d πθθ⎰(B) 404cos 2d πθθ⎰(C) 2θ (D) 2401(cos 2)2d πθθ⎰(3) 设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩,则1L 与2L 的夹角为 ( ) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设曲线积分[()]sin ()cos xLf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0f =,则()f x 等于 ( )(A) 2x x e e -- (B) 2x xe e --(C) 12x x e e -+- (D) 12x xe e -+- (5) 已知12324369Q t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,P 为三阶非零矩阵,且满足0PQ =,则(A) 6t =时,P 的秩必为1 (B) 6t =时,P 的秩必为2(C) 6t ≠时,P 的秩必为1 (D) 6t ≠时,P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 21lim(sincos )x x x x→∞+. (2) 求x. (3) 求微分方程22x y xy y '+=,满足初始条件1|1x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,+)∞内有且仅有一个零点. (2) 设b a e >>,证明b aa b >.七、(本题满分8分)已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>,通过正交变换化成标准形22212325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中n m <,E 是n 阶单位矩阵,若AB E =,证明B 的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2v ,方向始终指向A ,试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______. (2) 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =_______.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率分布密度为||1()2x f x e -=,x -∞<<+∞. (1) 求X 的数学期望()E X 和方差()D X .(2) 求X 与||X 的协方差,并问X 与||X 是否不相关？ (3) 问X 与||X 是否相互独立？为什么？1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数1()(2,xF x dt =⎰两边对x 求导,得()2F x '=-.若函数()F x 严格单调减少,则()20F x '=-<,12<.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.(2)【解析】先写出旋转面S 的方程：2223()212x z y ++=. 令 222(,,)3()212F x y z x z y =++-. 则S 在点(,,)x y z 的法向量为{},,6,4,6F F F n x y z x y z ⎧⎫∂∂∂=±=±⎨⎬∂∂∂⎩⎭,所以在点处的法向量为{{2n =±=±. 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为()0220,0,||0n n n ====. (3)【答案】23π【解析】按傅式系数的积分表达式 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰,所以 22311()sin 3sin 3sin 3b x x xdx x xdx x xdx πππππππππ---=+=+⎰⎰⎰.因为2sin 3x x 为奇函数,所以2sin 30x xdx ππ-=⎰；sin3x xdx 为偶函数,所以30sin 32sin 3b x xdx x xdx πππ-==⎰⎰01222(cos3)cos3cos3333x xd x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰022sin 323333x πππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. (4)【答案】2221x y z ++【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x yz ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u zz x y z∂=∂++, 将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++,因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z ∂∂∂=++=∂∂∂++.(5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 222034232300000sin()()sin(sin )cos sin(sin )lim lim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++,所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||1cos |cos(,)|2||||66l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关⇔((())sin )(()cos )x f x e y f x y y x∂∂-=-∂∂, 即 (())cos ()cos xf x e y f x y '-=-,化简得 ()()xf x f x e '+=, 即 2()x x e f x e '⎡⎤=⎣⎦, 解之得 21()2xx e f x e C =+, 所以 21()()2x x f x e e C -=+. 由(0)0f = 得12C =-,因此 1()()2x xf x e e -=-,故应选(B).【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy +⎰在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是P Qy x∂∂=∂∂. (5)【答案】(C)【解析】若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤.当6t =时,矩阵的三行元素对应成比例,()1r Q =,有()()3r P r Q +≤,知()2r P ≤, 所以,()r P 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当6t ≠时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2r Q =,于是从()()3r P r Q +≤得()1r P ≤,又因0P ≠,有 ()1r P ≥,从而()1r P =必成立,所以应当选(C).三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】令1t x=,则当x →∞时,0t →, 1021lim(sin cos )lim(sin 2cos )xt x t t t x x→∞→+=+, 这是1∞型未定式,11sin 2cos 1sin 2cos 10lim(sin 2cos )lim(1sin 2cos 1)t t t t t tt t t t t t +-⋅+-→→+=++-,而1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t +-→++-是两个重要极限之一,即1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t e +-→++-=.所以 01sin 2cos 1sin 2cos 1limlim(sin 2cos )lim t t t t t t ttt t t t ee→+-+-→→+==.而 00sin 2cos 12cos 2sin lim lim 21t t t t t tt →→+--=洛,故 221lim(sin cos )x x e x x→∞+=.(2)【解析】方法一：222x==⎰.t =,则 222ln(1),1tdtx t dx t =+=+, 所以22222122(1)111tdt t t dt dt t t t =⋅==-+++⎰⎰⎰22arctan t t C C =-+=, 所以22x=2C =. 方法二t =,则 22221,ln(1),1xtdte t x t dx t =+=+=+, 所以2222(1)ln(1)22ln(1)1xt t t dt t dt t t ++=⋅=++⎰⎰222222ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t td t t t dt t =+-+=+-+⎰⎰. 关于221t dt t +⎰的求解同方法一,所以22ln(1)4(arctan )xt t t t C =+--+2C =. (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以2y 得2211x y y xy --'+=,即211()1x y xy --'-+=.令1yz -=,则方程化为21x z xz '-+=,即211z z x x'-=-, 即 31()z x x '=-, 积分得 212z x C x -=+.由1yz -=得2112x C xy -=+, 即 2212xy Cx=+, 代入初始条件1|1x y ==,得 12C =,所以所求方程的特解是221x y x =+. 解法二：所给方程可写成 2()y yy x x'=-的形式,此方程为齐次方程.令yu x=,则,y xu y u xu ''==+,所以方程可化为 2u xu u u '+=-,分离变量得(2)du dxu u x=-,积分得112ln ln ||2u x C u -=+, 即22u Cx u-=. 以yu x=代入上式,得22y x Cx y -=.代入初始条件1|1x y ==,得1C =-, 故特解为221xy x =+.四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是2240cos sin I zdV d d d ππθϕϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰3402sin sin d d ππϕϕρ=⋅⎰42401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,2000(1)(1)(1)(1)1()222n n nn nn n n n n n n A ∞∞∞===--+--==+-∑∑∑. 第二个级数是几何级数,它的和已知112()1231()2n n ∞=-==--∑. 求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察1(1)(||1)1n n n x x x∞=-=<+∑. 2()(1)(1)((1))nn n n n n S x n n xx ∞∞-==''=--=-∑∑312()1(1)x x ''==++, 所以 23(1)(1)11124()1222427(1)2n n n n n S ∞=--===+∑. 因此原级数的和 422227327A =+=.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞.由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)x xf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->.从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 baa b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x -'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即baa b >.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,它的特征方程是22200||03(2)(69)003E A a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--.f 经正交变换化成标准形22212325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的特征值.把1λ=代入特性方程,得240a -=2a ⇒=±.因0a >知2a =.这时 200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于11λ=,由()0E A x -=, 100100022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得 1(0,11)TX =-.对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得2(1,0,0)TX =.对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,得3(0,1,1)TX =.将123,,X X X 单位化,得1230101,0,1101γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭. 故所用的正交变换矩阵为123010(,,)00P γγγ⎛⎫⎪ ⎪ ==⎝. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型.令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()TA A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k k k βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k Bk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤. 又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分6分)【解析】如图,设当A 运动到(0,)Y 时,B 运动到(,)x y . 由B 的方向始终指向A ,有0dy y Ydx x -=-,即 .dyY y xdx=- (1) 又由dYv dt =,222()()dy dx v dt dt =+,得22()()2dy dx dY dt dt dt+=. 由题意,()x t 单调增,0dxdt>,所以 21()2dx dy dY dt dx dt +=.亦即2dY dx=. (2) 由(1),(2)消去Y ,dYdx,便得微分方程20xy ''=. 初始条件显然是(1)0,(1)1y y '-=-=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=. 方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪ ≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Yyf y F y<<'==⎩其他.故随机变量2Y X=在(0,4)内的概率分布密度()Yf y=方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x=在(0,4)内单调,反函数()x h y=(0,2)内可导,且导数()h y'=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y的概率密度为[]1,04,04, ()(),042()0,0,0,XYy yh y f h y yf y<< << '⎧ <<⎪===⎨⎪⎩⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X=在(0,4)内的概率分布密度()Yf y=十一、(本题满分6分)【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.||()()02xxE X xf x dx e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰.(因为被积函数||2xxe-是奇函数,积分区域关于y轴对称,所以积分值为0.)22||2||2()()211222xx xxD X x f x dx e dxx e dx x e dx+∞+∞--∞-∞+∞+∞---∞===⋅⎰⎰⎰⎰偶函数积分的性质220000222() 2.x x xx xxx e dx x e xe dxxe e dxe+∞+∞--+∞-+∞-+∞--+∞==-+=-=-=⎰⎰⎰（+）(2) 根据协方差的计算公式(,)(||)()(||)cov X Y E X X E X E X=-来计算协方差.因为||()()02xxE X xf x dx e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰,所以||(,)(||)0(||)(||)1||()||0.2x Cov X Y E X X E X E X X x x f x dx x x e dx +∞+∞--∞-∞=-====⎰⎰(因为被积函数||||2x xx e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 所以X 与||X 不相关. (3) 方法一：对于任意正实数(0)a a <<+∞,事件{}||X a <含于事件{}X a <,且{}01P X a <<<,所以 {}{},||||P X a X a P X a <<=<,{}{}{}||||P X a P X a P X a <<<<, 可见 {}{}{},||||P X a X a P X a P X a <<≠<<, 因此X 与||X 不独立.方法二：因为11111111{1}()1112222x x x P X f x dx e dx e dx e e+∞---+∞-∞-∞≤===-=+=-⎰⎰⎰； 又1111011011{1}()12x x xP X f x dx e dx e dx e e-----≤====-=-⎰⎰⎰，显然有{,}{}{}{}P X X P X P X P X ≤≤=≤≠≤≤11111，因此X 与||X 不独立.。
1993年全国高考数学试题(理)
1993年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k kn k n n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共68分）一、选择题：本大题共17小题，每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB． C ．πD ．4π 2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为A ．32BCD ．23．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为 A ．3450x y +-= B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=4．极坐标方程435cos ρθ=-所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为45的椭圆B ．焦点到准线距离为45的双曲线右支C ．焦点到准线距离为43的椭圆D ．焦点到准线距离为43的双曲线右支5．35y x =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数6．2251lim 25n n n n →∞--+的值为A ．15-B ．52-C ．15 D ．527．集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈，{|,}42k N x x k Z ππ==+∈，则A ．M N =B ．M N ⊃C ．M N ⊂D ．M N =∅I8．sin 20cos70sin10sin 50+oooo的值是A ．14BC ．12D9．参数方程|cos sin |22(02)1(1sin )2x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=+⎪⎩表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过点1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过点1(1,)2- 10．若a 、b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b >B ．1ba<C ．lg()0a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线12．圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是A ．36l π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3192l π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34l π⎛⎫⎪⎝⎭D ．324l π⎛⎫⎪⎝⎭13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．4514．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB C D ．73π15．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则A ．1845a a a a +>+B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +与45a a +的大小关系不能确定16．设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内．乙：l ，m 之中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．当甲成立时 A ．乙是丙的充分而不必要的条件 B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．将数字1，2，3，4填入1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+＝ ． 19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 20．从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法．（用数字作答） 21．设1()42xx f x +=-，则1(0)f-＝ ．22．建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．三、解答题：本大题共6小题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠-． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 取值范围．25．（本小题满分12分）已知数列228113⋅⋅，228235⋅⋅，…，228(21)(21)n n n -+，…．n S 为其前n 项和．计算得189S =，22425S =，34849S =，48081S =． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（本小题满分12分）已知平面αI 平面β＝直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证： （1）a γ⊥；（2）b γ⊥．27．（本小题满分12分）在面积为1的△PMN 中，1tan 2PMN ∠=，tan 2MNP ∠=-．建立ECD PABC D E βαγab适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．28．（本小题满分12分）设复数cos sin (0)z i θθθπ=+<<，441()1z z ω-=+，并且||ω=，arg 2πω<，求θ．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．(18)6322+ (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．M NP解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则－1<x <1；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故f (x )的定义域为(－1，1)(Ⅱ) ∵ ()()x f x xx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ，∴ f (x )为奇函数． ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1，log a 011>-+x x 等价于111>-+xx， ①而从(Ⅰ)知1－x >0，故①等价于1+x >1－x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0，1)时有f (x )>0． ——9分(ⅱ)对0<a <1，log a011>-+x x 等价于0<111<-+xx． ② 而从(Ⅰ)知1－x >0，故②等价于－1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(－1，0)时有f (x )>0． ——12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112． ——4分 证明如下：(Ⅰ)当n =1时，98313221=-=S ，等式成立． ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k ——7分 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当n =k +1时等式也成立． ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n ∈N 都成立． ——10分 (26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC ． ——1分 ∵ γ⊥α，∴ PM ⊥α．而 a ⊂α，∴ PM ⊥a ．同理PN ⊥a ． ——4分 又 PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ． ——6分(Ⅱ)于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线a 1，交β于直线a 2．—7分∵ b ∥α，∴ b ∥a 1．同理b ∥a 2． ——8分 ∵ a 1，a 2同过Q 且平行于b ，∵ a 1，a 2重合．又 a 1⊂α，a 2⊂β，∴ a 1，a 2都是α、β的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵ b ∥a 1，∴ b ∥a ．而a ⊥γ，∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分． 证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ，过P 作直线a ′⊥γ． ——1分 ∵ α⊥γ，P ∈α， ∴ a ′⊂α．同理a ′⊂β． ——3分 可见a ′是α，β的交线．因而a ′重合于a ． ——5分 又 a ′⊥γ，∴ a ⊥γ． ——6分(Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ——7分∵ b ∥α，b ∥β．∴ b ∥c ，b ∥d ． ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合．因而c ∥d ．于是c ∥β． ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴ c ∥a ． ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴ b ∥a ． ——11分 而 a ⊥γ，∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分．(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分． 解法一如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为M (－c ，0)，N (c ，0)． —1分由tg M =21，tg α=tg(π－∠MNP )=2，得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x －c )．将此二方程联立，解得x =35c ，y =34c ，即P 点坐标为(35c ，34c )． ——5分在△MNP 中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆由题设条件S △MNP =1，∴ c =23，即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ．得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又 b 2=a 2－c 2=343415=-，故所求椭圆方程为 1315422=+y x ． ——12分 解法二同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且a 2=b 2+c 2．∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b ．化简得3b 4－8b 2－3=0． 解得b 2=3，或b 2=31-(舍去)． ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三同解法一建立坐标系． ——1分∵ ∠P =∠α－∠PMN ，∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ． ∴ ∠P 为锐角．∴ sin P =53，cos P =54．而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1，∴ |PM |·|PN |=310． ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ，|MN |=2c ，由余弦定理，(2c )2=|PM |2+|PN |2－2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2－2|PM |·|PN |(1+cos P )=(2a )2－2·310－2·310·54， ∴ c 2=a 2－3，即b 2=3． ——7分 又 sin M =51，sin N =52，由正弦定理，PMN MPN NPM sin sin sin ==，∴PMNM N PNPM sin sin sin =++．即 53251522ca =+，∴ a =5c ． ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a ．∴ a 2=415．① ② ③ 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一()()[][]44sin cos 1sin cos 1θθθθωi i ++-+--=()()θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1i i ++----=——2分θθθθθθ2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222i i ++=()θθθ4cos 4sin 2tg i += ——5分 332tg 4cos 4sin 2tg ==+⋅=θθθθωi 332tg ±=θ． ——6分因πθ<<0，故有(ⅰ)当332tg =θ时，得12πθ=或127πθ=，这时都有⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ，得26arg ππω<=，适合题意． ——10分(ⅱ)当332tg -=θ时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ， 得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合(ⅰ)、(ⅱ)知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=． ——2分()ϕϕϕϕcos sin cos 1sin i ++=()ϕϕϕcos sin 2tg i +=． ——5分 ∵ 33=ω，2arg πω<， ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅>⋅=0cos 2tg 0sin 2tg 332tg ϕϕϕϕϕ ——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足(ⅰ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=<<04cos 332tg 0θθπθ，或(ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=<<04cos 332tg 0θθπθ，——10分解(ⅰ)得12πθ=或127πθ=．(ⅱ)无解．综合(ⅰ)、(ⅱ) 12πθ=或127πθ=． ——12分。
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1 y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2—y3线性无关．事实上，若令A(y1—y3)+B(y2一y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1一y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解．知识模块：常微分方程2．(1991年)若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=ln2.故f(x)=e2xln2 知识模块：常微分方程3．(1993年)设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：由得f’(x)+f(x)=ex解此方程得f(x)=e-x(e2x+C)由f(0)=0得，故知识模块：常微分方程填空题4．(1992年)微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_____________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：常微分方程5．(1996年)微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为___________．正确答案：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 涉及知识点：常微分方程6．(1999年)y”一4y—e2x的通解为y=____________．正确答案：C1e-2x+C2e2x+xe2x．解析：特征方程为λ2一4=0，则λ=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为由于λ=2为特征方程单根，则非齐次待定特解可设为y*=Axe2x代入原方程得故所求通解为y=C1e-2x+C2e2x+xe2x 知识模块：常微分方程7．(2000年)微分方程xy”+3y’=0的通解为____________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：常微分方程8．(2001年)设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为___________．正确答案：y”-2y’+2y=0解析：所求方程的特征根为λ1，2=1,±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：常微分方程9．(2002年)微分方程yy”+y’2一0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：解 1 令y’=P，则代入原方程得解得可知，则所求的特解为y2=x+1 解2 由于原方程左端从而原方程可改写为因此yy’=C1以下求解同解1．知识模块：常微分方程10．(2004年)欧拉方程的通解为___________．正确答案：解析：令z=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0 解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
n(n 1)( 1)n
( 1)n ,
n0
2n
n0
2 n0 2
……1 分
其中 ( 1)n 1 2 ,
n0 2
1
1 2
3
……2 分
设 S(x)
n(n 1)xn2, x (1,1) ，则
x
[
x
S(x)dx]dx
xn
x2
n2
00
n2
1 x
故
S(x)
x2 ( 1 x
)
2 (1 x)3
n0
（B）
(A) 等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
(2) 双纽线 (x2 y2 )2 x2 y2所围成的区域面积可用定积分表示为
（A）
(A) 2 4 cos2d
(B) 4 4 cos2d
(C) 2 4 cos2 d
1
(D)
4 cos2 2 d
0
0
0
20
1993 年 • 第 3 页
(0, ) 内有且仅有一个零点．
x
x
证：在[0, ) 上，由 f '(x) k 得 f '(x)dx kdx ，即 f (x) kx f (0) .
导数，且 f (0) 0 ，则 f (x) 等于
(B)
ex ex
(A)
2
ex ex
(B)
2
(C) e x ex 1 2
(D) 1 e x ex 2
1 2 3
(5) 已知 Q= 2
4
t
，P
为三阶非零矩阵，且满足
PQ
=
0，则
(C)
3 6 9
1993考研数学全试题及答案
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 函数)0()12()(1>-=⎰x dt t x F x的单调减少区间为1(0,)4.(答1(0,]4也对)(2) 由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0,2,3）处的指向外侧的单位法向量为2,3}5(3) 设函数2()f x x x π=+()ππ<<-x 的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 则其中系数3b 的值为 π32(4) 设数量场222u x y z =++，则()div gradu =2221x y z++ (5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为()1,1,,1T k二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设sin 2340()sin(),()x f x t dt g x x x ==+⎰，则当x →0时，()f x 是()g x 的 （B ）(A) 等价无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小 (2) 双纽线22222)(y x y x -=+所围成的区域面积可用定积分表示为 （A ）(A) 2⎰42cos πθθd (B) 4⎰402cos πθθd (C) 2θθπd ⎰42cos (D)21()⎰4022cos πθθd (3) 设直线182511:1+=--=-z y x l 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l ，则1l 与2l 的夹角为 (C) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设曲线积分ydy x f ydx e x f xLcos )(sin ])([--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0f =，则()f x 等于 (B)(A) 2x x e e -- (B) 2x x e e -- (C) 12-+-x x e e (D) 21xx e e -+-(5) 已知Q=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡96342321t ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ = 0，则 (C)(A) 6t =时P 的秩必为1 (B) 6t =时P 的秩必为2 (C) 6t ≠时P 的秩必为1 (D) 6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1) 求21lim(sincos )x x x x→∞+.解：因021ln(sin 2cos )lim ln(sin cos )lim x t t t x x x t→∞→++=……2分 02cos 2sin lim 2sin 2cos t t tt t→-==+,……4分 所以原式2e =. ……5分(2) 求dx e xe xx⎰-1. 解：令1x u e =-222ln(1),1u x u dx du u=+=+，从而 222(1)ln(1)2(1)1x x u u udu u u e ++=⋅+-⎰ ……2分22ln(1)u du =+⎰222242ln(1)2ln(1)441u u u du u u u arctgu C u=+-=+-+++⎰……4分 214141x x x x e e e C =---.……5分(3) 求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件11==x y 的特解.解一： 22'y xy y x -=，令y xu =，有22','2xu u u u xu u u +=-=-. ……2分分离变量得22du dx u u x =-，积分得11[ln(2)ln ]ln 2u u x C --=+即22u Cx u-=，亦即22y x Cx y -=. ……4分 由11x y =∣=得1C =-，故所求特解为22y x x y -=-，即221x y x =+. ……5分解二 2222111'1,,'1,'x x y z x z xz z z y y y x x+==-+=-=-令有,……2分 解得 311[()]2z x dx C Cx x x=-+=+⎰ ……4分 即2212x y Cx =+，由11x y =∣=得12C =，故所求特解为221xy x =+.. ……5分四、(本题满分6分) 计算⎰⎰∑-+dxdy zyzdzdx xzdydz 22，其中∑是由曲面22y x z +=与222y x z --=所围立体的表面外侧.解：22,,,2,,2,P Q R P Q RP xz Q yz R z z z z z x y z x y z∂∂∂∂∂∂===-===-++=∂∂∂∂∂∂因故.根据奥-高公式，22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰……2分 2234sin cos d d dr ππθϕϕϕ=⎰⎰……5分 2π=.……6分五、(本题满分6分) 求级数()()∑∞=+--02211n nn n n 的和.解：2000(1)(1)11(1)()()222n n nnn n n n n n n ∞∞∞===--+=--+-∑∑∑, ……1分 其中12112()213n n ∞=-==+∑, ……2分设22()(1),(1,1)n n S x n n xx ∞-==-∈-∑，则22[()]1x xnn x S x dx dx x x ∞===-∑⎰⎰故232()()1(1)x S x x x ''==--2302(1),(1,1)(1)nn x n n x x x ∞=-=∈--∑， ……5分 于是014(1)()227n n n n ∞=--=∑，……6分 20(1)(1)4222227327n nn n n ∞=--+=+=∑所以. ……7分六、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数，且f '(x)0>≥k ，(0)0f <，证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点．证：在[0,)+∞上，由'()f x k ≥得'()xxf x dx kdx ≥⎰⎰，即()(0)f x kx f ≥+.11(0)(0)0,()[](0)0f f x f x k f k k>->>-+=取有. ……2分 1010()0,(0)0,,(0,),()0f x f x x f x ><∈=因由题设根据零点定理故必存在使.……4分又因'()0f x k ≥>，故()f x 严格单调增加，()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点．……5分(2) 设b a e >>，证明 abb a >.证: 要证ab b a >，只需证ln ln .b a a b > 令()ln ln (),f x x a a x x a =-≥……2分 因为'()ln 10(),a af x a x a x x=->-≥≥所以()f x 在x a ≥时单调增加. ……3分 于是，当b a >时，()()0f b f a >=，即有ln ln b a a b >.……5分七、(本题满分8分)已知二次型()02332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型f 的矩阵2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， ……1分特征方程为22200||03(2)(69)003a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--I A ，……2分由题设，知A 的特征值为1231,2,5λλλ===.将1λ=（或5λ=）代入特征方程，得240,2a a -==±. 又0a >，故取2a =.这时200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 当11λ=时，由()-=I A x 0，即1231000220022x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，解得对应的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 当22λ=时，由(2)-=I A x 0，解得对应的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当35λ=时，由(5)-=I A x 0，解得对应的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ……7分将123,,ξξξ单位化，得0001230101,0,1,22101ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭故所用的正交变换矩阵为010202202⎛⎫ = -⎝T . ……8分八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <，I 是n 阶单位矩阵.若AB = I ，证明 B 的列向量组线性无关.证一：设12[,,,]n B βββ= ，其中(1,2,,)i i n β= 是B 的列向量.若11220n n x x x βββ+++= ，即1212(,,,)0n n x x BX x βββ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， ……2分两边左乘A ，则得0ABX =，即0I X =，亦即0X =.……5分 所以12,,,n βββ 线性无关.……6分 证二：因为()r B n ≤， ……1分 又()()()r B r AB r I n ≥==， ……4分 故()r B n =.……5分 所以12,,,n βββ 线性无关.……6分九、(本题满分6分)设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运 动.物体B 从点（-1，0）与A 同时出发，其速度大小为2v ，方向 始终指向A. 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出 初始条件.解：设在时刻t ，B 位于点(,)x y 处，则 (1)dy y vt dx x-+=， ……2分 两边对x 求导得22()d y dt x vx dx=-*∂由221()ds dy dx v dt dx dt ==+，得211()2dt dy dx v dx=+ 代入(*)式得到所求的微分方程为22211()02d y dyx x dx+=∂. ……5分其初始条件为110,'1x x y y =-=-∣=∣=. ……6分 十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则 第二次抽出的是次品的概率为1/6.(2) 设随机变量X 服从(0,2)的均匀分布，则随机变量2Y X =在（0，4）内概率分布密度()Y f y 4y十一、(本题满分6分) 设随机变量X 的概率分布密度为1(),.2xf x e x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差DX ； (2)求X 与X 的协方差;并问X 与X 是否不相关？(3)问X 与X 是否相互独立？为什么？解：(1) ()0EX xf x dx ∞-∞==⎰，……1分 220()02x DX x f x dx x e dx ∞∞--∞=-==⎰⎰.……2分(2) cov(,||)(||)||||()00X X E X X EX E X x x f x dx ∞-∞=⋅-⋅=-=⎰，……3分 故X 与X 不相关.……4分(3) 对给定0a <<+∞，显然{||}{}X a X a <⊂<，故{,||}{||}P X a X a P X a <<=<. 又易见{}1P X a <<，{||}0P X a <>，所以{}{||}{||}P X a P X a P X a <⋅<<<， 因此{,||}{}{||}P X a X a P X a P X a <<≠<⋅<，因此X 与X 不独立. ……6分数 学（试卷二）一 ~ 三、【 同数学一 第一 ~ 三题 】 四、(本题共3小题，每小题6分，满分18分)(1) 设),(3xyxy f x z =，f 具有连续二阶偏导数，求22,y z y z ∂∂∂∂及y x z ∂∂∂2 解: 4212z x f x f y ∂''=+∂.……2分 2533531112212211122222z x f x f x f xf x f x f xf y ∂''''''''''''''=+++=++∂. ……3分23422111122212242zx f x yf x yf xf x yf yf x y∂''''''''''=+-++-∂∂ 3412112242x f xf x yf yf ''''''=++-.……6分(2) 【 同数学一 第四题 】(3) 已知3R 的两个基为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1013α；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4322β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3433β.求由基3,2,1ααα到基3,2,1βββ的过渡矩阵.解：设由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为C ， 则()()1,2,31,2,3C βββααα= ……1分故()()11,2,31,2,3C αααβββ-=，其中()111,2,3111100111ααα--⎛⎫ ⎪== ⎪⎪-⎝⎭0101102211122⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭……3分 于是234010101C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……5分五~九、【 同数学一 第五 ~ 九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0ln lim 0=+→x x x .(2) 函数()y y x =由方程()0sin 222=-++xy e y x x 所确定，则dx dy =222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-.(3) 【 同数学一 第一（1）题 】 (4)cos cos dx c xx=+ . (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2-，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +，则()f x =22(1)[ln(1)1]/2x x ++-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 当x 0→时，变量x x1sin 12是 ( D) (A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的，但不是无穷小量 (D) 无界的,但不是无穷大(2) 设()f x =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--1,21,112x x x x ，则在点1x =处函数()f x ( A ) (A) 不连续 (B) 连续，但不可导 (C) 可导，但导数不连续 (D) 可导，且导数连续(3) 已知()f x =201112x x x ⎧≤<⎨≤≤⎩，设()1()()02x F x f td t x =≤≤⎰，则()F x 为 (D) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤2110313x xx x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-211031313x x x x (C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤21110313x x x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-2111031313x x x x (4) 设常数0k >，函数k exx x f +-=)ln()(在()+∞,0内零点个数为 ( B )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若()()f x f x =--， 且在()+∞,0内0)('>x f ,0)(''>x f ,则()f x 在()0,∞-内 (C)(A) 0)('',0)('<<x f x f (B) 0)('',0)('><x f x f (C) 0)('',0)('<>x f x f (D) 0)('',0)('>>x f x f 三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)(1) 设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22dx yd .解：222()cos[()]dy xf x f x dx '=,……2分 222222222222{()cos[()]2()cos[()]2['()]sin[()]}d yf x f x x f x f x x f x f x dx'''=+- 222222222'()cos[()]4{''()cos[()]['()]sin[()]}f x f x x f x f x f x f x =+-. ……5分(2) 求 2lim 100)x x x x →-∞+.解：原式2lim100x x x =+-……1分 2lim10011x x=-+- ……4分50=-. ……5分(3) 求 dx xx⎰+402cos 1π.解：原式442001tan 2cos 2x dx xd x x ππ==⎰⎰ ……1分 44001sin (tan )2cos x x x dx xππ=∣-⎰ ……3分 4011(ln cos )ln 22484x πππ=+∣=-. ……5分(4) 求 ()dx x x⎰∞++031 解：原式3011(1)x dx x +∞+-=+⎰……1分23201111[]lim (1)(1)12(1)bb dx x x x x +∞→+∞⎡⎤=-=-+⎢⎥++++⎣⎦⎰……3分12=. ……5分(5) 求微分方程0)cos 2()1(2=-+-dx x xy dy x 满足初始条件10==x y 的特解.解：原方程可化为 222cos 11dy x xy dx x x +=--……1分 此一阶线性微分方程的通解为2222112cos (),1x x dx dx x x x y e e dx C x ---⎰⎰=+-⎰ ……3分 即2sin 1x C y x +=-.……4分 由01x y =∣=，得1C =-，故满足初始条件的特解是2sin 11x y x -=-. ……5分四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为()x x e x e y ++=12.试确 定常数,,,γβα并求该方程的通解.解一：由题设特解知原方程的特征根为1和2，……2分 所以特征方程为(1)(2)0r r --=，即2320r r -+=，于是3,2αβ=-= ……5分 将1x y xe =代入方程得(2)3(1)2x x x x x e x e xe e γ+-++=，即1γ=- ……7分 从而原方程的通解为212x x x y c e c e xe =++.……9分 解二: 将2(1)xx y ex e =++代入原方程得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++=,……2分 比较同类项的系数，有4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得αβγ=-3,=2,=-1. ……5分即原方程为32xy y y e-'''-+=-，它对应的齐次方程的特征方程为2320r r -+=，解之得特征根121,2r r ==，故齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+. ……7分由题设特解知，原方程的通解为2212[(1)]x x x x y c e c e e x e =++++, 即234x x x y c e c e xe =++……9分五、(本题满分9分)设平面图形A 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.解：A 的图形如下图所示.取y 为积分变量,它的变化区间为[0,1]，易见A的两条边界曲线方程分别为 211(01)x y x y y =-=≤≤及.……2分于是相应于[0,1]区间上任一小区间[],y y dy +的薄片的体积元素为22222{[2(11(2)}2[1(1)]dV y y dy y y dy πππ=----=--， ……5分于是所求体积为12202[1(1)]V y y dy π=--⎰……6分 1321(1)2[1arcsin ]223y y y y π-=-+……8分 12()43ππ=-2223ππ=- ……9分六、(本题满分9分)作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时， 其体积V 最小，并求出该最小值.解：设圆锥底面圆半径为R ，如图所示SC h, OC OD r,BC R ====.因222,R 2()BC CD R SC SD h h hr h r r ==---故从而 ……2分 于是圆锥体积为222()(2)332r h V h R h r h h rππ==<<+∞-.……4分2224(h)=,(h)04,0().3(2)r h rhh r h h r π-''===-因V 故解V 得舍去 ……7分由于圆锥的最小体积一定存在,且h=4r 是()V h 在(2r,+)∞内的唯一驻点，所以当h=4r 时，V 取最小值223(4)8(4)3(42)3r r r V r r r ππ==-. ……9分七、(本题满分9分)设0x >，常数a e >，证明：()x a aa x a +<+.证：因为ln y x =是单调增加函数，所以欲证明()x a aa x a +<+，只需证ln()()ln a a x a x a +<+.……2分 设()()ln ln(),f x a x a a a x =+-+ ……4分则在[0,)+∞内连续且可导，又有()ln af x a a x'=-+. ……5分 ln 1,1,()0,()[0,].aa f x f x a x'><>+∞+因为故所以函数在内单调增加 ……7分(0)0,()0(0),ln()()ln ,()a a x f f x x a a x a x a a x a +=><<+∞+<++<而所以即.……9分八、(本题满分9分)设()f x '在[0,]a 上连续，且(0)0f =，证明：2()2a Ma f x dx ≤⎰，其中0max '()x aM f x ≤≤=.证一：任取(0,]x a ∈，由微分中值定理有()(0)(),(0,)f x f f x x ξξ'-=∈. ……3分 又(0)0f =，故()(),(0,]f x f x x a ξ'=∈. 所以()()()aaaf x dx f xdx f xdx ξξ''=≤⎰⎰⎰……6分 0a M xdx ≤⎰22M a =……9分证二：设[0,]x a ∈，由(0)0f =，知'()()(0)()xf t dt f x f f x =-=⎰……4分由积分基本性质，并考虑到0max '()x aM f x ≤≤=，有()'()'()xx xf x f t dt f t dt Mdt Mx =≤≤=⎰⎰⎰.……7分 于是2()()2aaaMa f x dx f x dx Mxdx ≤≤=⎰⎰⎰. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 562sin 3553lim 2=++∞→x x x x . (2) 已知()232,,32x y f f x arctgx x -⎛⎫='= ⎪+⎝⎭则 ==0x dx dy π43.(3) 级数()∑∞=023ln n nn的和为22ln3-.(4) 设4阶方阵A 的秩为2, 则其伴随矩阵*A 的秩为 0 .(5) 设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 ( 4.804 ,5.196 ) . 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f , 则 f (x ) 在点x = 0处 ( C ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续. (C) 连续但不可导. (D) 可导. (2) 设()f x 为连续函数，且ln 1()()x xF x f t dt =⎰, 则)(x F '等于 ( A )(A))1(1)(l n 12x f x x f x + (B) )1()(ln x f x f + (C) )1(1)(ln 12x f xx f x -(D) )1()(ln x f x f - (3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 (B) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =，则 (D)(A) A 是必然事件 (B)()0P B A = (C) A ⊃ B (D) A ⊂ B(5) 设随机变量X 的密度函数为)(x ϕ,且)(x -ϕ=)(x ϕ,()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ， 有 (B )(A ) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰ (B ) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C ) ()()F a F a -= (D ) ()2()1F a F a -=- 三、(本题满分5分)设(,)z f x y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数，求dz .解：将方程两端微分，得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx ------++--= ……3分 整理后得(1)(1)(1)z y x z y x z y x z y x xe dz xe e dx xe dy --------+=+-++……4分 由此，得1(1)1z y xz y xx e dz dx dy xe----+-=++. ……5分四、(本题满分7分)已知⎰∞+-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a xxx dx e x a x a x 224lim ，求常数a 的值. 解：左边=22lim(1)xa x a e x a-→∞-=+.……2分 22222224x x x aaax dex e xe dx +∞+∞--+∞-=-=-∣+⎰⎰右边……3分 22222a x aa e xde +∞--=-⎰……4分2222222a x x a aa e xe e dx +∞--+∞-=-∣+⎰……5分 222222a a x aa e ae e ---+∞=+-∣222222a a a a e ae e ---=++. ……6分 于是，有2222222aa a a ea e ae e ----=++，解得0a =或1a =-……7分五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2C aq bq c =++，需求函数为()1q d p e=-，其中C 为成本，q 为需求量(即产量)，p 为单价，,,,,a b c d e 都是正的常数，且d b >，求：(1) 利润最大时的产量及最大利润； (2) 需求对价格的弹性； (3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量. 解：(1) 利润函数为22()()()()L pq C d eq q aq bq c d b q e a q c =-=--++=--+-……2分 两侧同时对q 求导，得'()2()L d b e a q =--+. 令'L =0，得2()d bq e a -=+……3分 因为2()0L e a ''=-+<，所以当2()d bq e a -=+时，利润最大，且……4分 2max()L 4()d b ce a -=-+. ……5分(2) 因为1'q e=-， 所以需求对价格的弹性为'p q qη=-……7分 1()d eq d eqq e eq --=--=. ……8分 (3) 由1η=，得2dq e=.……9分六、(本题满分8分)假设: (1) 函数)(x f y =(∞<≤x 0) 满足条件 0)0(=f 和1)(0-≤≤x e x f ；(2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线)(x f y =和1-=xe y 分别交于点1P 和2P ；(3) 曲线)(x f y =、直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段21P P 的长度. 求函数)(x f y =的表达式.解：由题设可得示意图如下： 由图可知()1()xx f x dx e f x =--⎰……3分两端求导，得()()x f x e f x '=- ……4分 即()()x f x f x e '+=. 解此一阶线性方程，得1()()2x x x x x f x e e e dx C e Ce --=+=+⎰, ……7分因(0)0f =，故有1C 2=-，因此所求函数为1()()2x x f x e e -=-……8分七、(本题满分6分)假设函数)(x f 在[0,1]上连续，在()1,0内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直 线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在()1,0内至少存在一点ξ， 使0)(=''ξf .证一：因为()f x 在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在1(0,),c ξ∈使1()(0)()0f c f f c ξ-'=- ……2分由于点C 在弦AB 上，故有()(0)(1)(0)(1)(0)010f c f f f f f c --==---， 1'()(1)(0)f f f ξ=-从而. ……3分 同理可证，存在22(,1),'()(1)(0)c f f f ξξ∈=-使,……4分于是有12'()'()f f ξξ=，从而()f x '在12[,]ξξ上满足罗尔定理的条件， 所以存在12(,)(0,1)ξξξ∈⊂使()0f ξ''=.……6分八、(本题满分10分)k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.解： 21141141102281124(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪=-→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭- ⎪⎝⎭A ， ……1分 当1k ≠-和4时，有2221001141224014010212200100111k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪-++ ⎪→→ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭A ， ……2分 这时方程组有唯一解：221232242,,111k k k k kx x x k k k+++-===+++. ……4分 当1k =-时，有()2()3R R =<=A A ，方程组无解. ……6分当4k =时，有114410300114011400000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，()()23R R n ==<=A A ，故方程组有无穷多组解.这时，得同解方程组13233,4x x x x =-⎧⎨=-+⎩. ……8分令3x c =，得方程组的全部解：34c x c c -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭或034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中c 为任意常数.……10分 九、(本题满分9分)设二次型222123123122313(,,)222f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X = P Y 化成=f 23222y y +，其中()T x x x X 321,,=和()T y y y Y 321,,=是三维列向量，P 是3阶正交矩阵. 试求常数,αβ.解：变换前后二次型的矩阵分别为110001,01011002A B ααββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……2分二次型可以写成T f X AX =和Tf Y BY =，……3分 由于TP AP B =，P 为正交矩阵，故1P AP B -=，……5分 因此||||E A E B λλ-=-，即1100101011002λαλαλβλβλλ------=-----，……6分亦即32222323(2)()32λλαβλαβλλλ-+--+-=-+， ……8分 故其解0αβ==为所求常数.……9分十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布,X 的概率密度为()f x =⎪⎩⎪⎨⎧<<他其020832x x , (1) 已知事件A ={X >a }和B ={Y >a }独立，且P (A B )=34,求常数a ； (2) 求21X 的数学期望. 解：(1) 由条件知()()()()()P A P B P AB P A P B ==；，……1分 23()()()()2()[()]4P A B P A P B P AB P A P A =+-=-=， ……3分由此得1()2P A =.又由条件知222333311{}()(8)8882a a a P X a f x dx x dx x a +∞>====-=⎰⎰，于是有34a =……6分 (2) 22222200113133()884E f x dx x dx x X x x +∞-∞====⎛⎛⎜⎜⎠⎠. ……8分十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .解：(1) 由于T 是非负随机变量，可见当0t <时，(){}0F t P T t =≤=， ……1分设0t ≥，则事件{}T t >与{()0}N t =等价.因此，当0t ≥时，有(){}1{}1{()0}1t F t P T t P T t N t e λ-=≤=->=-==-， ……4分 于是，T 服从参数为λ的指数分布.(2) {16|8}Q P T T =≥≥……5分 {16,8}{16}{8}{8}P T T P T P T P T ≥≥≥==≥≥ ……7分 1688e e eλλλ---==. ……8分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) lim 1212(1)22n n n →∞⎡++++++-=⎣ .(2) 已知()232,arcsin ,32x y f f x x x -⎛⎫='= ⎪+⎝⎭则0x dy dx ==32π.(3)=--⎰xx dx 1)2(1x c --.(4) 【 同数学四 第一、（4）题 】(5) 设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为15二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、（1）题 】 (2) 【 同数学四 第二、（2）题 】(3) 若 21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式n m ==32211321,αβααβααα，则四阶行列式()21123ββααα+ 等于 (C )(A) m + n (B) - ( m + n ) (C) n - m (D) m - n(4) 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵 211()3A -有一特征值等于 (B)(A)34 (B) 43 (C) 21 (D) 41(5) 设随机变量X 与Y 均服从正态分布，22~(,4),~(,5)X N Y N μμ，记}5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 (A )(A) 对任何实数μ，都有21p p = (B ) 对任何实数μ，都有 21p p < (C) 只对μ的个别值，才有21p p = (D ) 对任何实数μ，都有 21p p > 三、(本题满分5分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分7分)【 同数学四 第四题 】 五、(本题满分7分)已知某厂生产x 件产品的成本为2125000020040C x x =++（元）.问： (1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2) 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1) 设平均成本为y ，则25000200,40xy x =++ ……1分 2250001'040y x =-+=由，得121000,1000x x ==-（舍去）. ……2分因为510005100x y =''=⨯>，所以当310x =时，y 取得极小值，即最小值.因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品.……4分 (2) 利润函数为22500(25000200)300250004040x x L x x x =-++=--，……5分 由20'3000L x=-=，得6000x =.……6分因为1L''(6000)020=-<，所以当6000x =时，L 取得极大值，即最大值.因此，要使利润最大，应生产6000件产品.……7分六、(本题满分6分) 设,p q 是大于1的常数，且111=+q p ，证明：对于任意0x >，有x qx p p ≥+11. 证：记11()p f x x x p q=+-，则 ……1分 1'()1p f x x -=-……2分 令()0f x '=，得 1.x =……3分 因为2''()(1),''(1)10.p f x p x f p -=-=-> ……4分 所以当1x =时，()f x 取得极小值，即最小值. ……5分 从而当0x >时，有()(1)0f x f ≥=，即11p x x p q+≥. ……6分七、(本题满分13分)运用导数的知识作函数xe x y 1)6(+=的图形. 解：显然定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞.令12260x x x y e x--'==，得122, 3.x x =-= ……3分又令14136''0xx y e x +==，得3613x =- ……5分列表如下：可见，极大值为2x y e=-∣=339x y e =∣= 拐点为136672(,e )1313-- ……8分又由0lim ,0.x y x +→=+∞=知为铅直渐近线 ……9分 而由1()(6)limlim 1xx x f x x ea x x→∞→∞+=== 1lim[()]lim[(6)]7xx x b f x x x e x →∞→∞=-=+-=知7y x =+为斜渐近线. ……11分此外，由于0lim 0x y -→=，可知函数曲线的左半支，当0x →时趋向于原点. 综上所述，即可作出图所示的图形. ……13分八、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解：因1*1||A A A -=，故*||A A E A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是*111()||2||A A A A A A --===. ……3分 由于1111100111100(|)121010*********001002101A E -⎡⎡⎤⎤⎢⎢⎥⎥=→-⎢⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎥-⎦⎦⎣⎣1015/211/20101100011/201/2⎡--⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ……5分所以 5/211/21101/201/2A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.……6分因此 *1521()220101A ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.……8分九、(本题满分8分)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵()m n >.已知BA E =，试判 断A 的列向量组是否线性相关？为什么？解：记12[,,,]n A ααα= ，其中12,,,n ααα 为m 维列向量. 设存在数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++= .……2分即1212[,,,]0n n k k a k αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 或120n k k A k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……4分这时，由于BA E =，故将上式左乘矩阵B 后，可得120n k k k ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……6分即120n k k k ==== . 因此矩阵A 的列向量组线性无关.……8分十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 独立，都在区间[1,3]上服从均匀分布；引进事件A ={X a ≤}， B ={Y >a }.(1) 已知P (A B )=9/7，求常数a ； (2) 求1X的数学期望. 解：(1) 设()p P A =.由X Y 和同分布，知(){}{}()P B P Y P X P A p αα=≤=≤==，故()1P B p =-.……1分由题设27()()()()(1)(1)19P A B P A P B P AB p p p p p p =+-=+---=-+= ， ……3分 由此得1212,33p p ==. 于是问题有两个解，即a 有两个可能值：122547113333αα=+==+=；. ……5分 (2) 3111111()ln 322E f x dx dx X x x +∞-∞===⎛⎛⎜⎜⎠⎠.……8分十一、(本题满分8分) 【 同数学四 第十一题 】。
1993考研数二真题及解析
（A） 无穷小 （B） 无穷大
(C） 有界的,但不是无穷小 (D） 有界的，但不是无穷大
（2) 设 则在点 处函数 （ )
(A） 不连续 （B） 连续，但不可导
(C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续
（3) 已知 设 ，则 为 ( ）
（A） （B）
(C) (D）
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一填空题本题共5小题每小题3limln所确定则dydxtancos二选择题本题共5小题每小题3每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。）
设 ，常数 ,证明 .
八、（本题满分6分）
设 在 上连续，且 ,证明： ，其中 。
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.)
（1)【答案】
【解析】这是个 型未定式,可将其等价变换成 型，从而利用洛必达法则进行求解.
。
（2)【答案】
【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数，将方程 两边对 求导，得
故函数 在 内零点个数为2,选项（B）正确.
（5）【答案】（C)
【解析】方法一：由几何图形判断.
由 知 为奇函数，图形关于原点对称；
在 内 图形单调增加且向上凹，
根据图可以看出 在 内增加而凸， ，选（C）。
方法二:用代数法证明。
对恒等式 两边求导,得
.
当 时，有 ，所以
，
故应选(C）。
三、（本题共5小题,每小题5分,满分25分。）